高三尖子生综合素质展示 文科数学试题

顺义区2013届高三尖子生综合素质展示数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合(){}03|<-=x x x P ，{}|22M x x =-<<，则P M = （ ）A. ()0,2-B. ()2,0C. ()3,2D. ()3,2- 2.某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B 的值是 ( ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．7 3．直线3π=x ，2π=x 都是函数) , 0)(sin()(πϕπωϕω≤<->+=x x f 的对称轴，且函数)(x f 在区间]2, 3[ππ上单调递减，则( )A ．6=ω，2πϕ= B ．6=ω，2πϕ-= C . 2πϕ=D ．3=ω，2πϕ-=4．在三棱锥D ABC -中，2AC BC CD ===，CD ⊥平面BCD , 90ACB ∠=.若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为( )B.25.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a +=（ ） A. 9 B.12 C.15 D.186.从11{,,2,3}32中随机抽取一个数记为a ，从{1,1,2,2}--中随机抽取一个数记为b ,则函数xy a b =+的图象经过第三象限的概率是（ ）A.18 B. 14 C. 38 D. 127.直线1ax by +=与圆122=+y x 相交于不同的A,B 两点（其中b a ,是实数），CDBA俯视图且0OA OB ⋅> (O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点1(0,)2距离的取值范围为（ ）A.(1,)+∞B. 1(,)2+∞C. 1(2D. 11(,22+ 8．对于任意x ，][x 表示不超过x 的最大整数，如[1.1]1,[ 2.1]3=-=-. 定义R 上的函 数()[][2][4]f x x x x =++，若{}(),01A y y f x x ==≤≤，则A 中所有元素的和为（ ）A ．11 B. 15 C.17 D.21二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9.等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若205=S ，则142a a += .10．两条分别平行于x 轴和y 轴的直线与椭圆C ：192522=+y x 交于A 、B 、C 、D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为 .11. 已知ABC ∆的面积1=S ，45=A ，则=⋅AC AB _____________.12. 已知函数3()sin ,(1,1)f x x x x =+∈-，如果2(1)(1)0f m f m -+-<，则m 的取值范围是 .13.已知函数22,1()45,1x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，若()0f x a -=恰有两个实数根，则a 的取值范围是 14. 设)11()311)(211(222na n ---= ),3,2( =n ，则4a 的值是 ； 10a 的值是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -. （Ⅰ）求sin 2tan αα-的值；（Ⅱ）若函数()cos()cos sin()sin f x x x αααα=---，x R ∈求函数2(2)2()2y x f x π=--的最大值，并指出取到最大值时x 的值．16．（本小题共13分）等比数列{}n a 中，142,16a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第4项和第16项，试求数列{}n b 的前n 项和n S . 17．（本小题共13分）公安部发布酒后驾驶处罚的新规定（一次性扣罚12分）已于今年4月1日起正式施行.酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当2080Q ≤<时，为酒后驾车；当80Q ≥时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了200辆机动车驾驶员的血酒含量（如下表）.（Ⅰ）分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率；（Ⅱ）从酒后违法驾车的司机中，抽取2人，请一一列举出所有的抽取结果，并求取到的2人中含有醉酒驾车的概率. （酒后驾车的人用大写字母如A ，B ，C ，D 表示，醉酒驾车的人用小写字母如a,b,c,d 表示） 18．（本小题共13分）设椭圆M ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为2，点A （a ，0），B （0，b -），原点O 到直线AB ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点C 为（a -，0），点P 在椭圆M 上（与A 、C 均不重合），点E 在直线PC上，若直线PA 的方程为4y kx =-，且0CP BE ⋅=，试求直线BE 的方程．19．（本小题共14分）已知0>a ，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x ∈R . （Ⅰ）当1=a 时,求函数()f x 在点(1,(1))f 的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 在[1,1]-的极值;（Ⅲ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，求正实数．．．a 的取值范围．20．（本小题共14分）已知函数)(x f ，如果存在给定的实数对（b a ,），使得b x a f x a f =-⋅+)()(恒成立，则称)(x f 为“S -函数”.（Ⅰ）判断函数xx f x x f 3)(,)(21==是否是“S -函数”；（Ⅱ）若x x f tan )(3=是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对),(b a ； （Ⅲ）若定义域为R 的函数)(x f 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(，当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为]2,1[，求当]2012,2012[-∈x 时函数)(x f 的值域.顺义区2012届高三尖子生综合素质展示数学试题参考答案（文科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.8．解：1[0,),()04x f x ∈=， 12[,),()144x f x ∈=，23[,),()344x f x ∈=，3[,1),()44x f x ∈=， (1)7f =二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上，有两空的题目，第一空3分，第二空2分）.9. 12 10. 30 11. 212. 13. 23a ≤≤或a = 1 14.85；2011 .三、解答题: 本大题共4小题,共30分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为角α终边经过点(P -，所以1sin 2α=，cos 2α=-，tan 3α=-----------------3分s i n 2t a n 2s i n c o st a n236ααααα∴-=-=-+=-----------6分 （Ⅱ） ()cos()cos sin()sin cos f x x x x αααα=---= ，x R ∈---------8分2c o s (2)2c o 3s i n 21c o s 22s i n(2)126y x x x x x ππ∴=--=--=-- ---------------10分 =211y ∴-=最大值，此时，3x k ππ=+，k Z ∈. ----------------13分16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ,由已知得3162q =，解得2q =. …………………………………………3分 又12a =，所以111222n n n n a a q --==⨯=. …………………………………………6分 （Ⅱ）由（I ）得28a =，532a =，则48b =，1632b =.设{}n b 的公差为d ，则有1138,1532,b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得12,2.b d =⎧⎨=⎩ …………………………10分则数列{}n b 的前n 项和1(1)2n n n S nb d -=+2(1)22.2n n n n n -=+⨯=+ …… 13分17. （本小题共13分） 解：（Ⅰ）由表可知，酒后违法驾车的人数为6人，………………………1分则违法驾车发生的频率为：10032006=或03.0;………………………3分 酒后违法驾车中有2人是醉酒驾车，则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为3162=.…………………6分 （Ⅱ）设酒后驾车的4人分别为A 、B 、C 、D ；醉酒驾车的2人分别为a 、b……………7分则从违法驾车的6人中，任意抽取2人的结果有：(A ，B )，(A ，C)，(A ，D)，(A ，a)， (A ，b)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，a)，(B ，b)，(C ，D)，(C ，a)，(C ，b)，(D ，a)，(D ，b)， (a ，b)共有15个. …………………9分设取到的2人中含有醉酒驾车为事件E ，…………………10分 则事件E 含有9个结果：(A ，a)，(A ，b)，(B ，a)，(B ，b) ，(C ，a)，(C ，b)，(D ，a)，(D ，b)，(a ，b ). …………………12分 ∴93()155P E == …………………13分18. （本小题共13分）解：（Ⅰ）由22222222112c a b b e a a a -===-=得a = …………2分 由点A （a ，0），B （0，b -）知直线AB 的方程为1x ya b+=-， 于是可得直线AB的方程为0x -= …………4分3==，得b =，22b =，24a =， 所以椭圆M 的方程为22142x y += …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知A 、B 的坐标依次为（2，0）、(0,，因为直线PA 经过点(2,0)A ，所以024k =-，得2k =，即得直线PA 的方程为24y x =- …………8分因为0CP BE ⋅= ，所以1CP BE k k ⋅=-，即1BE CPk k =- …………9分设P 的坐标为00(,)x y ，则2000200021222442CP y y y k x x x ⋅==-=-=-+- 得14CPk -=，即直线BE 的斜率为4 …………12分 又点B的坐标为(0,，因此直线BE的方程为4y x = …………13分19. （本小题共14分）解: 由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. …………1分 （Ⅰ）当1=a 时(1)1'=-f , (1)0=f …………3分所以()f x 在点(1,(1))f 的切线方程是1=-+y x …………4分（Ⅱ）令()0'=得：f x 10=x ,22=x a(1)当201<<即2>a 时故()f x 的极大值是23;极小值是243-a a; …………7分 (2) 当21≥a即02<≤a 时 ()f x 在(1,0)-上递增, 在(0,1)上递减, …………8分所以()f x 的极大值为2(0)3=f ,无极小值. …………9分（Ⅲ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+- 1(0,]2x ∈.对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-， ……………10分因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x '=+->，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则max 1()()2F x F =. ……12分依题意，只需max ()0F x >，即2111110343a a a ⨯-⨯+⨯->，即2680a a +->，解得3a >-+或3a <-（舍去）.所以正实数a 的取值范围是(3)-++∞. ……14分20. （本小题共14分） 解：（Ⅰ）若x x f =)(1是“S -函数”，则存在常数),(b a 使得(a +x )(a-x )=b.即x 2=a 2-b 时，对x ∈R 恒成立. 而x 2=a 2-b 最多有两个解，矛盾.因此x x f =)(1不是 “S -函数”.……………………………………………………2分若xx f 3)(2=是“S -函数”，则存在常数a ,b 使得a x a xa 2333=⋅-+，即存在常数对（a , 32a ）满足.因此x x f 3)(2=是“S -函数”.……………………………………………………4分 （Ⅱ）x x f tan )(3=是一个“S -函数”，设有序实数对（a ,b ）满足.则tan(a -x )tan(a +x )=b 恒成立. 当a =Z k k ∈+,2ππ时，t an (a -x )t an (a +x )= -cot 2(x )不是常数.……………………5分因此Z k k a ∈+≠,2ππ，Z m m x ∈+≠,2ππ时，则有b xa xa x a x a x a x a =--=⋅-+⨯⋅+-2222tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan . 即0)(tan tan )1tan (222=-+-⋅b a x a b 恒成立.……………………………7分即⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⋅11tan 0tan 01tan 222b a b a a b Z k b k a ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±=,14ππ. 当Z m m x ∈+=,2ππ,4ππ±=k a 时，t an (a -x )t an (a +x )=cot 2(a )=1,因此满足x x f tan )(3=是一个“S -函数”的常数（a , b ）=Z k k ∈±),1,4(ππ.…9分(Ⅲ) 函数)(x f 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对)1,0(和)1,1(， 于是,1)1()1(,1)()(=-⋅+=-⋅x f x f x f x f即]1,0[]0,1[∈--∈x x 时，当,].2,21[)(]1,1[].1,21[)(]2,1[)()(1)(,1)()(∈-∈∴∈⇒∈--==-⋅x f x x f x f x f x f x f x f 时，，由……………………………………12分)()2()2(1)()(1)(1)1()1(1)()(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f =+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-⇒⎩⎨⎧=-⋅+=-⋅.……………13分 因此)(x f 为以2为周期的周期函数.当]2012,2012[-∈x 时，函数)(x f 的值域为]2,21[. ……………………… 14分 说明：其它正确解法按相应步骤给分.。