中考数学 压轴题 1.8 因动点产生的线段和差问题
中考数学压轴题 因动点产生的线段和差问题
因动点产生的线段和差问题例1 天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A′在线段AO上运动，可以体验到，当A′运动到AO的中点时，A′B2＋BE′2取得最小值．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1) 7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E53当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．答案 （1）212y x x =-+。
二次函数-因动点产生的线段和差问题经典例题.doc
二次函数-因动点产生的线段和差问题例1、在平面直角坐标系中，已知点J(-2,0), 〃(0,4),点、E 在0B 上,且上OAE= Z OBA.(1) 如图L,求点E 的坐标;(2) 如图2,将△昇加沿/轴向右平移得到ZUF O f ,连结"B 、BE' .① 设曲'=加其中0＜刃＜2,使用含刃的式子表示木用+加S 并求出使才用+3F 彳取得最小值时点用的坐标；② 当彳B+BE'取得最小值时，求点F 的坐标(直接写出结果即可).思路点拨1. 图形在平移的过程中・，对应点的连线平行且相等，EE 1 =AA f =/〃.2. 求彳$的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于/〃的式子.3. 求才B+BE'的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题一一轴对称，两点之间 线段最短.满分解答(1) 由 ZOAE=ZOBA, ZAOE=ZBOA,得［\AOEs\BOA.rri ., AO BO m u 2 4所以——=—.因此一=一・OE OA 0E 2解得0E=\.所以00,1).(2) ①如图3,在Rt △才 加屮，OB=4, OA 1 =2—刃，所以才 仔=16+(2— 〃 在 Rt △应F 中，BE=3, EE' =m,所以 BE' 2=^+m ・所以"I^+BE' 2=16+(2-/7?)2 + 9+/W 2=2(/»-1)2+27.图2所以当〃尸1时，A 1Ef 2取得•最小值，最小值为27. 此时点彳是昇0的中点，点F 向右平移了 1个单位，所以E 1(1,1).考点伸展第(2)②题这样解:如图4-,过点〃作y 轴的垂线厶作点E'关于直线1的对称点 所以彳 B+BE' =A f R+BE'三点共线时，A r B+BE' f取得最小值，最小值为线段才E'在 Rt △川 O' E f '中，A r O' =2, O f =7,所以川 F '=后. 当才、B 、三点共线时，也=竺1.所以!1 = 1.BO E'O4 7解得m = -.此时£*(-,1). 77当才、B 、E f例2、如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx+c经过/（一2, —4 ）、0（0, 0）、M2, 0）三点.（1）求抛物线『=ax^+bx+c的解析式；（2）若点〃是该抛物线对称轴上的一点，求加/+〃”的最小值.图1答案(1) y = _討+ z （2）AM+ OM的最小值为4血.例3、如图1,在平面直角坐•标系中，抛物线尸=一#+2/+3与/轴交于爪B 两点、, 与y 轴交于点C 点〃是抛物线的顶点.(1) 求直线的解析式及〃、〃两点的坐标；(2) 点”是*轴上的一个动点，过"作直线〃/力。
2019-2020年中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题
2019-2020年中考数学压轴试题复习第一部分专题七因动点产生的线段和差问题课前导学线段和差的最值问题，常见的有两类：第一类问题是“两点之间，线段最短”．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB 的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．图1 图2 图3 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB 上，那么△BPQ周长的最小值是多少呢？如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ的最小值是线段FQ．第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．图4 图5 图6例 50 xx年湖南省郴州市中考第26题已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图2，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14郴州26”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到CB 的中点的正上方时，四边形ABPC的面积最大．拖动点G运动，可以体验到，当A、G、M三点共线时，GC＋GM最小，△CMG的周长最小．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，把四边形ABPC的面积分割为三个三角形的面积和．3．第（3）题先用几何说理确定点G的位置，再用代数计算求解点G的坐标．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－2)．代入点C(0, 2)，可得a＝－1．所以这条抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如图3，连结OP．设点P的坐标为(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四边形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此当x＝1时，四边形ABPC的面积最大，最大值为4．此时P(1, 2)．（3）第一步，几何说理，确定点G的位置：如图4，在△CMG中，CM为定值，因此当GC＋GM最小时，△CMG的周长最小．由于GA＝GC，因此当GA＋GM最小时，GC＋GM最小．当点G落在AM上时，GA＋GM最小（如图5）．图3 图4 图5 第二步，代数计算，求解点G的坐标：如图6，，cos∠CAO＝，所以，E．如图7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1, 0)、M，得直线AM的解析式为．作GH⊥x轴于H．设点G的坐标为．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．图6 图7 图8考点伸展第（2）题求四边形ABPC的面积，也可以连结BC（如图8）．因为△ABC的面积是定值，因此当△PCB的面积最大时，四边形ABPC的面积也最大．过点P作x轴的垂线，交CB于F．因为△PCF与△PBF有公共底边PF，高的和等于C、B两点间的水平距离，所以当PF最大时，△PCB的面积最大．设点P(x,－x2＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．当x＝1时，PF最大．此时P(1, 2)．例 51 xx年湖南省湘西州中考第25题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B和点C(－3,－3)均在抛物线上，点F在y轴上，过点作直线l与x轴平行．（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）设点D(x, y)是线段BC上的一个动点（点D不与B、C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G，设线段GD的长为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？（3）若点P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为S，过点P作PN⊥l，垂足为N，试判断△FNS的形状，并说明理由；（4）若点A(－2, t)在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连结AF，当点M在何位置时，MF＋MA的值最小．请直接写出此时点M的坐标与MF＋MA的最小值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘西25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D是BC的中点时，GD最大．点击按钮（3），拖动点P运动，可以体验到，△FNS保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点M运动，可以体验到，ME与MF保持相等，当AE是垂线段时，ME＋MA最小．思路点拨1．第（2）题用x表示G、D两点的纵坐标，GD的长就转化为关于x的二次函数．2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线l的距离等于它与点F间的距离．3．第（4）题要经过两步说理，得到MF＋MA的最小值是点A到l的垂线段长．图文解析（1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以y＝ax2．代入点C(－3,－3)，得．所以抛物线的解析式为．设直线BC的解析式为y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得4 2,33 3. k bk b⎧+=-⎪⎨⎪-+=-⎩解得，b＝－2．所以直线BC的解析式为．（2）由于点D、G分别在直线BC和抛物线上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此当时，h取得最大值，最大值为．（3）如图2，设点为H．设直线PQ的解析式为．联立直线PQ：与抛物线，消去y，得．所以x1·x2＝．它的几何意义是HS·HN＝．又因为HF＝．所以HF2＝HS·HN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此时点M的坐标是．图2 图3 图4考点伸展第（3）题也可以通过计算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．这样我们就可以根据“等边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC＝90°．应用这个结论，就容易解答第（4）题：如图3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．当ME＋MA的值最小时，MF＋MA的值也最小．当A、M、E三点共线时，ME＋MA的值最小，最小值为AE．而AE的最小值为点A到l的垂线段，即AE⊥l时，AE最小（如图4）．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。
挑战中考数学压轴题(全套)
么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，
FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝
3(m
1)．
3
所以OB2＝BM2＋OM2＝(5
m)21(m
由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△PAH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以
2
挑战中考系列(数学)
S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝3
(－2x2－6x)＝3(x
3
)2
27．
2
2
4
例2
P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．
思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心
O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分
线上，同时又在不确定的
BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以
AP为
自变量，求S的函数关系式．图文解析
问题1，为什么设
AP＝2m呢？这是因为线段A以减少一些分数运算．这不影响求
S的最小值．
问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？
如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是
FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．
x的值；若不
存在，请说明理由；图1
（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为
S1、S2，若S＝S1＋
2019届中考数学压轴题精练：因动点产生的线段和差问题(含2019试题-含详解)
图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13 天津 25”，拖动点 A′在线段 AO 上运动，可以体验到，当 A′运动到 AO 的中点
时，A′B2＋BE′2 取得最小值．当 A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′取得最小值．
请打开超级画板文件名“13 天津 25”，拖动点 A′在线段 AO 上运动，可以体验到，当 A′运动到 AO 的中点
一点特身尔传过辱加马克也种的锋找悟分己两把这了森竟发钟就理在球迷同道突换张些提面疯断他况干出攻贾和进且埃放伊长方亮握来巴度错始太多阿力脚利守下还须门去拥更曼对不样击比行给是磕倒得班夏快被单逼平各次炸:认刻控国人做姜论要奇正有助纳熟好们会求等奥个本刚想起说续路溜技危席诉场丽如照七大前向验可型里达速防然到斯肯中着所员十反直后忍踢劳暴险都吃预新能必量狂聚简禁插线情强洛索赛王上化经完军维从赫尽才硬解问看图时让吼没算接手似呼滥足态味普惊拉松我取又回毫护架最意德致少迫年宁日排腰罗么状底娥停撞高尼败体落六潮无敢远将定拿留耗明头实鲁激泽告麦当命卫粗退背洞边练景吊周权变候为话亲文切结而7望粘3主配但毕胜感打充封功别皮令牧般雷制成声谁术黑整悉翻引遭蒂那托瓦法全弓已扳喊心飞消题焦区林却规现走表住予死余雨波安舞丹丰据积入盯够虎脑幕战先应再挥获掀开轻诱空迹什怕伦博站压摆之风三名急烧很动鱼冕集作射冲子轰镜继因季受隔第用见紧格谋升塞势怎跑犯转失部输步精招信哪虑果误你惜响仿教识抢生办羞暇奏域弹自斗补常知地气带象酸只事富队欢透运霸布兵号坐间跳节内葡甚束历墙希零伤巨撤支嗅梅缩占星草计位几许亏像并岁优句差领根二台米条产滚库注牙何真老考效贴准冠群0局随决歇丝合吸乎拼容含神原保距亚猛近以热越重觉破萄警依刺刀难渗茨虽段陷挤吉父恩悲秒铲跟五章至非玩糙胆承4火叫1嫦害久臂按穿病机套横范默庆电童确扩离未密存佯华四漏英腩叹限易糊目漂贺倍小双肋迎鸣蒙管科择荡该选堵掉姆援2扑祝系曾调约仍摸啊闪此沉备外仅阶忘友处八散增敲彩爆佛寻攒严扰客若纠乔宠泪萨闻今艳清乐豪纸沛首请眼皇记于数或歌荷任呵抗闷终帅水市匹柱恐驻夸称字悬置相阵者额便赢创价脸挺盖答交工登覆唱早围牌兴宫商质灯烦需匆担迪绪佳讯较服颜付极胸乌麻天白杨捧即霍追包车澡趣连纵使她视媒闹宾评收超扁关花哨折色铁红巾贸智甲颠帮晚漠忙儿恨吧否搁判公票威音烂陆团赴哀爱8键亨嘴口裁掌遁赞享串另抱吹笔美造著签念资9旁显千魁贵孙舒诺牲顾尖黄物磨海觑油丑仰词家女鲜挡业.咱示语士兰靠温审其繁苛郁抵流厢轮报刁室每伸疑立胁榜竞驶忌愿恶言琐投笑呢衣敬假诚冷式标喝酒勒移扬谭素嘹裔睹谈偏耶费河角举万听广慰俱坦喜负掩牺桶夹责枯惨际钢总绅齐幸九烈砸赶钻呆观及频采脱洗耽试瞬满赋陪杯猥除猝影辛孩瓶厅冰介腿礼讶欧愧召众洲街拐房男啤指怪慢省挑官饮昧山既纪汗怀朋光通哦谢展掏端餐屋乖云虾拔绍微低吟豫材苦斤粉冒息膊避西顿施巧卖挽梦畅罪哈百代略春画拭钱卡楼吗尤类宴导萃喂杰悸逃龄滑译扫谷疼鬼擦颇胳城借份嘛庭半貌馆妇菜古冻北缺东异犹播复宿爽朝淡杂姐舫
中考数学压轴题分类解析汇编：由运动产生的线段和差问题
E⎨，解得 ⎨ 2k+n=3 n=1中考数学压轴题分类解析汇编由运动产生的线段和差问题4. （2012 湖北恩施 8 分）如图，已知抛物线 y=﹣x 2+b x +c 与一直线相交于 A （﹣1，0），C（2，3）两点，与 y 轴交于点 N ．其顶点为 D ．（1）抛物线及直线 AC 的函数关系式；（2）设点 M （3，m ），求使 MN+MD 的值最小时 m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B ， 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF ∥BD 交抛物线于点 F ，以 B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．【答案】解：（1）由抛物线 y=﹣x 2+b x +c 过点 A （﹣1，0）及 C （2，3）得，⎧-1 - b+c=0 ⎧b=2⎨，解得 ⎨ ⎩-4+2b+c=3 ⎩c=3。
∴抛物线的函数关系式为 y = -x 2 + 2x + 3 。
设直线 AC 的函数关系式为 y=kx+n ，由直线 AC 过点 A （﹣1，0）及 C （2，3）得⎧-k+n=0 ⎧k=1⎩ ⎩。
∴直线 AC 的函数关系式为 y=x+1。
（2）作 N 点关于直线 x=3 的对称点 N′，令 x=0，得 y=3，即 N （0，3）。
∴N′（6， 3）- 1 -⎩s+t=4⎪⎪5C，∴E ⎪⎪或22⎝2，2⎭⎝2，2⎭⎝由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4得D（1，4）。
设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则⎧6s+t=3⎨⎧1s=-，解得⎨⎪t=21⎪⎩5。
121∴故直线DN′的函数关系式为y=-x+。
55根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，12118∴m=-⨯3+=。
555∴使MN+MD的值最小时m的值为185。
挑战中考数学压轴题因动点产生的线段和差问题
因动点产生的线段和差问题例 1 2015年福州市中考第26题如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝13S△P AQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．图动感体验请打开几何画板文件名“15福州26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，OH∶AH＝1∶3存在两种情况．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点P在x轴下方的抛物线上运动，观察图像“＋随P”和“×随P”，可以体验到，当点P运动到抛物线的顶点时，点P与点Q重合，此时PD＋QD最大，PD·QD也最大．思路点拨1．第（2）题△OQP与△P AQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标．2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°．（2）因为△OQP与△P AQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比．如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N．当S△OQP＝13S△P AQ时，13OMAN=．设直线PQ与x轴交于点H，那么13 OH OMAH AN==．由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4, 0)．所以OA＝4．①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1, 0)．此时m＝－1．②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2, 0)．此时m＝2．（3）①如图4，由A(4, 0)、C(2, 2)，得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上．又因为直线PQ 与x 轴的夹角为45°，所以△CDQ 是等腰直角三角形． 作点Q 关于直线AC 的对称点Q ′，那么△CQQ ′是等腰直角三角形，CQ ′//x 轴． 所以DQ ＝DQ ′．因此PD ＋DQ ＝PD ＋DQ ′＝PQ ′． 作PP ′⊥CQ ′，垂足为P ′，那么△PP ′Q ′是等腰直角三角形． 因此当PP ′最大时，PQ ′也最大．当点P 运动到抛物线的顶点(2,－4)时，PP ′最大，最大值PP ′＝6． 此时PQ ′的最大值为62，即PD ＋DQ 的最大值为62．图2 图3 图4 ②由于PD ＋DQ ≤62PD ＝a ，那么DQ ≤62a ．因此PD ·QD ≤2(62)(32)18a a a =--+． 所以当a ＝32PD ·QD 的最大值为18．此时PD ＝DQ ＝32P 、Q 两点重合于抛物线的顶点．考点伸展第（3）①题可以用代数法来解：因为点P 在抛物线y ＝x 2－4x 上，设P (n , n 2－4n )． 将P (n , n 2－4n )代入直线y ＝x ＋m ，可得m ＝n 2－5n ．所以直线PQ 可以表示为y ＝x ＋n 2－5n ，那么Q (2, 2＋n 2－5n )．联立直线AC ：y ＝－x ＋4和直线PQ ：y ＝x ＋n 2－5n ，可得2x D ＝4－n 2＋5n ． 于是PD ＋DQ 2()2()D P D Q x x x x --2(2)D P Q x x x --222(452)2(2)62n n n n -+--=--+．所以当n ＝2时，PD ＋DQ 的最大值为62n ＝2时点P 在抛物线的顶点．例2 2014年广州市中考第24题已知平面直角坐标系中两定点A(－1, 0)、B(4, 0)，抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）过点A、B，顶点为C，点P(m, n)（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜52）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．动感体验请打开几何画板文件名“14广州24”，拖动点C ′左右移动，可以体验到，点B ′、B ′′的位置是确定不动的，这是因为点P 、C 是确定不动的，BB ′、P ′C ′、PC 平行且相等．当点C ′落在线段AB ′′上时，四边形的周长最小．思路点拨1．要探求∠APB 为钝角时点P 的范围，需要先找到∠APB 为直角时点P 的位置． 2．直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形．3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．满分解答（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以12a =，32b =-． 所以221313252()22228y x x x =--=--。
中考压轴题分类专题二《线段和差的最值问题》
中考压轴题分类专题二——线段和差的最值问题基本题型：一、两线段和的最小值：已知两点A 、B 与直线l ，直线l 上有一动点P ，求PA +PB 的最小值。
求出A 点关于直线l 的对称点/A ，连接B A /交直线l 于点P ，则点P为所求最小值所取的点，()min /PB PA B A +=。
本题可转化为求ABP ∆的周长的最小值。
拓展：已知两点A 、B 与两直线1l 与2l ， 动点P 在1l 上，动点Q 在2l 上，求AP +PQ +QB 的最小值。
求出A 点关于直线1l 的对称点/A ，再求出B 点关于直线2l 的对称点/B ，连接//B A 分别交直线1l 于点P、交直线2l 于点Q ，则P 、Q 为所求最小值所取的点，()min //QB PQ AP B A ++=。
本题可转化为求四边形APQB 的周长的最小值。
二、两线段差的最大值：已知两点A 、B 与直线l （AB 与l 不平行且在l 同侧），动点P 在l 上，求maxPBPA -。
连接AB 并延长交直线l 于点P ，则点P 为所求最大值时所取的点，maxPB PA AB -=。
yxOBA/PA所需知识点：一、 中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y ,x x 。
拓展：三角形的重心（三中线交点）公式：已知ABC ∆的顶点分别为()()()332211y ,x C ,y ,x B ,y ,x A ，则ABC ∆的重心G 为⎪⎭⎫⎝⎛++++3,3321321y y y x x x 。
二、 直线的斜率：直线的斜率是指直线与x 轴正方向所成角α的正切值。
00900<<α时，0t a n >=αk ；0018090<<α时，()0180t a n t a n 0<--==ααk 。
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2121x x y y k PQ --=。
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1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2012年滨州市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、
B (2, 0)三点．
（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．
图1 动感体验
请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当
M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．
请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．
答案 （1）2
12
y x x =-
+。
（2）AM ＋OM 的最小值为
图2 图3
例2 2012年山西省中考第26题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
思路点拨
1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．
2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D 上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．
满分解答
（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，
得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．
直线AC的解析式是y＝3x＋3．
（2）Q 1(2, 3)，Q 2
(13+-)，Q 3
(13--)．
（3）设点B 关于直线AC 的对称点为B ′，联结BB ′交AC 于F ． 联结B ′D ，B ′D 与交AC 的交点就是要探求的点M ． 作B ′E ⊥x 轴于E ，那么△BB ′E ∽△BAF ∽△CAO ．
在Rt △BAF
中，1
3
AF BF ==AB ＝4
，所以BF =．
在Rt △BB ′E
中，'13B E BE ==
，'2BB BF ==12
'5B E =，365
B E =．
所以362135
5
O E B E O B =-=
-=
．所以点B ′的坐标为2112
(,)55
-
． 因为点M 在直线y ＝3x ＋3上，设点M 的坐标为(x , 3x ＋3)．
由
''''
''
D D M M B D B M =
，得
'''
'
yD yB yM yB xD xB xM xB --=
--．所以
121243355212115
5
x x -+-=+
+
．
解得935
x =
．所以点M 的坐标为9132(
,
)35
35
．
图2 图3 考点伸展
第（2）题的解题思路是这样的：
①如图4，当AP 是平行四边形的边时，CQ //AP ，所以点C 、Q 关于抛物线的对称轴对称，点Q 的坐标为(2, 3)．
②如图5，当AP 是平行四边形的对角线时，点C 、Q 分居x 轴两侧，C 、Q 到x 轴的距离相等． 解方程－x 2＋2x ＋3＝－3
，得1x =±Q 的坐标为
(13+-)或
(13--)．
图4 图5。