两条直线的交点坐标导学案
导学案相交线
a b
§5.1 相交线 【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材（P160—P167），用红色笔实行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做； 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 4.预习指导：认真学习对顶角、邻补角、垂直、垂线段及点到直线的距离的概念，掌握对顶角的性质，垂线的基本领实，能识别三种角。 【学习目标】 1. 理解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质，并会用这个性质实行简单的计算。 2、理解垂直概念,能说出垂线的性质,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 3、理解垂线段的概念,理解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离。 4、理解同位角、内错角、同旁内角的意义，会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角。 5、培养学生分析、抽象、归纳水平，培养学生的识图水平
自学案 一、预习自学： 基础知识梳理 问题导引 1、①任意画两条相交直线，在形成的四个角（∠1，∠2，∠3，∠4）中，两两相配共能组成 对角,分别是 。 ②分别测量一下各个角的度数，是否发现规律？你能否把他们分类？完成教材P160的表格。 ③再画两条相交直线比较。 . 2、归纳：邻补角、对顶角定义 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点 的两个角是邻补角。 两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点 的两个角是对顶角。 3、邻补角的性质：邻补角 。 4、由推理可知，对顶角的性质：对顶角 。 问题1：观察思考：剪刀剪开纸张的过程，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角度也相对应 。我们把剪刀的构成抽象为两条直线，就是我们要研究的两条相交直线所成的角的问题。
问题2：①两条直线相交所构成的四个角中，邻补角有 对,对顶角有 对。②对顶角形成的前提条件是 。
问题3：邻补角是互补的一种特殊的情况，其数量关系是？位置关系为？ 问题4：完成以下推理过程：
2014届高三数学一轮复习导学案：两直线的位置关系
三：课堂研讨
例1.已知直线 ：（3+m）x+4y=5-3m，直线 ：2x+（5+m）y=8，分别求 的值，使得 和 ⑴相交⑵垂直⑶平行；（4） 到 的距离相等.
例2.已知三条直线 ： ， ： ， ： ⑴若三条直线能围成一个三角形，求 的取值范围；⑵当 =-2时，求 关于 对称的直线方程。
2.直线 在两轴上的截距相等，则
3、.与 平行的直线方程可设为，
与 垂直的直线方程可设为.
4.经过 ： ， ： 的交点的直线方程可设为，其中不含直线.
5.已知：过点A（-2， ），B（ ，4）的直线与直线 ，若平行，则 =，若垂直， =.
6.两直线 ， 之间的距离 =.
7.已知直线 ： 可看作是经过两直线和的交点的直线系方程，所以直线 必过点，若 ，则直线 必定过点.
②过点 且与直线 垂直的直线方程为______________.
③经过 与 的交点，且与直线 平行的直线方程为_____________.
④设 的倾斜角为 ，直线 的倾斜角为 ，且 ，则
２.若 ： 与 的交点在第一象限，则 的倾斜角的范围为____________.
3.已知两点Ｏ（０，０）、Ａ（４，-1）到直线 的距离相等，则 可取的不同的数值共有_________个.
4.已知正方形中心为点（-1，0），一条边所在的直线方程 ： ，求其它三边所在直线方程.
课外作业——两直线的位置关系姓名：
1.在ΔABC中， ，则直线 与 的位置关系为_______________.
2.已知梯形两底边所在直线为 ， ，则 =，= ，B= ，若 ，则 =________.
4.已知n条直线l1：x－y+C1=0，C1= ，l2：x－y+C2=0，l3：x－y+C3=0，…，ln：x－y+Cn=0（其中C1＜C2＜C3＜…＜Cn），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n.
相交线导学案
相交线》导学案《5.1.1.了解对顶角的概念，会在图形中认识对顶角1.发展有条2.理解对顶角的性质，经历在数学活动中探索对顶角性质的过程，.理的思考与表达能力.【学习重点】对顶角的定义和性质.简便准确的利用几何语言表示角【学习难点】剪刀就构成了一个相交【学法指导】把剪刀的构造看做是两条相交的直线，两条相交线形成的角也在不断线的模型，从剪刀剪开布片过程中角的不断变化，这就引出了邻补角和对但是这些角之间存在不变的数量关系和位置关系，变化， .顶角【学习过程】一、学前准备 1．热身填空：. ，那么说这两个角互为补角(1)如果两个角的和是平角（或等于），简称互补；与∠β数学符号表示为：若∠α＋∠β＝180°，则∠α反过来，若∠α与∠β互补，则∠α＋∠β＝ .°－α的补角是180我们得到：α1 图 .，α的余角是0°，则∠α与∠β互为 (2)若∠α＋∠β＝9 互为补角，∠1的余角是 .与(3)如图1中的∠3(4)余角与补角的性质：同角或等角的余角；同角或等角的补角.二、解读教材（一）．对顶角和邻补角的概念提出问题：上图中AB与CD相交，形成了4个小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.如果任取其中2个角，它们之间存在怎样的位置关系和数量关系？(1)通过∠1与∠2的研究，说明邻补角的位置关系和数量关系；两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个邻补角定义：.角 (2)找一找图中还有没有其他邻补角，如果有，是哪些角？. 说明邻补角与两个角互补的区别 (3)∠1和∠3是邻补角吗？为什么？. 对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角1和∠3(4)的研究，得到对顶角的位置关系通过∠.(5)找一找图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？即时练习一：1．如图2所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线.（1）写出∠AOC的邻补角：；（2）写出∠COE的邻补角：；（3）写出∠BOC的邻补角：；（4）写出∠BOD的对顶角： .2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）、对顶角和邻补角的性质 (二)任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由.即时练习二：1．如图，直线a，b相交，∠1＝40°，则∠2＝_______∠3＝_______∠4＝_______. 2．如图直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是______，∠COF的邻补角是____，若∠AOE＝30°，那么∠BOE＝_______，∠BOF＝_______.3．如图，直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°,∠AOC＝30°,∠FOB＝90°,_____. ＝EOF则∠．①两个角有公共的顶点②一个角的两边是另一互为对顶角的两个角的特点：. 个角两边的反向延长线①两个角有一个公共顶点②两个角有一条公共互为邻补角的两个角的特点：.（补）③两个角在公共边两侧④两个角和为边（邻）难点透释）对顶角和邻补角都是指两个角之间的关系，即互为对顶角、互为邻补1（.角（2）对顶角相等，但相等的两个角却不一定是对顶角；邻补角是具有特殊位置关系且互补的两个角.三、课堂小结：总结邻补角和对顶角的特征、性质、相同点和不同点.四、作业必做1．若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为度.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，若∠1＝28°，?则∠2＝_____.3．如图2，O为直线AB上一点，过O作一射线OC使∠AOC＝3∠BOC，则∠BOC ＝_____.4．如图3，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC＋∠BOD＝90°，则∠BOC＝_____.）5．下列说法中，正确的是（．相等的角是对顶角A．有公共顶点的角是对顶角 B ．不是对顶角的角不相等C．对顶角一定相等 D( ). 它们的交点个数是6．两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,3或2或A.1 B.2 C.3或2 D.1°，求∠＝70平分∠，OAEOC，并且∠EOC．如图，直线7AB、CD相交于点O.BOD的度数.的度数3，求∠12，c两两相交，∠4＝120°，∠＝∠b8．如图，直线a，2∠4，?求∠3°，∠两两相交，∠、9．如图所示，直线ab、c1＝602、＝3∠5的度数.选做：1.如图，AOE是一条直线，OB⊥AE，OC⊥OD，找出图中互补的角有多少对，分别是哪些？2．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOE＝30°，∠BOC是∠AOC的2倍多30°，求∠DOF的度数.答案：必做:1.90°2.152°3.45°4.135°5.C6.D7.∵OA平分∠EOC，11×70°＝35＝°，∠EOC＝∴∠AOC22∴∠BOD＝∠AOC＝35°.8.∵∠3＝180°－∠4＝180°－120°＝60°，∴∠2＝∠3＝60°，∴∠1＝∠2＝60°.9.∵∠2＝∠1＝60°，∴∠3＝180°－∠1＝120°.2∠4，又∵∠2＝33∠2＝90°，∴∠4＝2∴∠5＝180°－∠4＝90°.选作：1.互补的角有4对，分别为∠4与与∠AOD ∠2与与∠AOD ∠与与∠1EOC 与与∠EOC ∠3 2x°＋30°，AOC2.设∠＝x°，则∠BOC＝＝180°，∵∠AOC ＋∠BOC ，30＋2x＋＝180x∴ 50解得x＝，°，30AOE－∠＝50°－°＝20AOCEOC∴∠＝∠. °20EOCDOF∴∠＝∠＝。
高中数学 322(直线的两点式方程)导学案 新人教A版必修2 学案
3.2.2《直线的两点式方程》导学案【学习目标】知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
情感态度与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
【重点难点】1、 重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
【学法指导】注意逐字逐句仔细审题，认真思考阅读教材、独立规范作答。
牢记直线方程的表达形式及解题方法规律。
平行班完成学案AB 类问题. 【知识链接】：过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程)(00x x k y y -=-它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
斜截式方程：b kx y += 理解“截距”与“距离”两个概念的区别.【学习过程】A 问题1、利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点)5,3(),2,1(21P P ,求直线l 的方程. （2）已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，求通过这两点的直线方程。
由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程.B 问题2、若点),(),,(222211y x P x x P 中有21x x =，或21y y =，此时这两点的直线方程是什么？例1已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a ，求直线l 的方程。
B 例2 已知三角形的三个顶点A （-5，0），B （3，-3），C （0，2），求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。
【基础达标】A .１求过下列两点的直线的两点式方程;(1)A(2,1),B(0,-3); (2)A(0,5),B(5,0)A2.根据下列条件求直线的方程，并画出图形：（１）在x 轴上的截距是２，在y 轴上的截距是３;（２）在x 轴上的截距是－５，在y 轴上的截距是６.B .B3.根据下列条件,求直线的方程:(1)过点（０，５），且在两坐标轴上的截距之和为２(2)过点（５，０），且在两坐标轴上的截距之差为２４一条直线经过点（－２，２），并且与两坐标轴围成的三角形的面积是１，求此直线的方程。
第五章相交线与平行线导学案
第五章 相交线与平行线课题：5.1.1 相交线学习目标：1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质.2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算.3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力. 学习重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质. 学习难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角. 学习过程：一．自主学习(5-7分钟)1.阅读课本P 1图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? .3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角的问题, 阅读课本P 2内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征? 二．合作探究(5-8分钟)1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成 几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类?例如:(1)∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 (2)∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的 ，称这两个角互为 .用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 .2.根据观察图形和度量角度完成下表:两直线相交所形成的角有对顶角有 邻补角有 数量关系式有4321ODC BA3.用语言概括邻补角、对顶角概念.的两个角叫邻补角. 的两个角叫对顶角. 4.探究对顶角性质.在图1中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相．．．．等．. 注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系. 三.巩固运用(人人完成,分组展示10-15分钟)1.例题:如图,直线a,b 相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.提示：未知角与已知角有什么关系？通过什么途径去求这些未知角的度数？,规范地写出求解关键过程，并写明理由. 2.练习:完成课本P 3练习. 四.反思总结(1-3分钟)本节课你学到了什么？困惑是什么?（小组交流，互助解决）五.达标检测(5-8分钟)1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O, ∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______，若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____.OF ED CBA六.布置下一课时预习任务 P3-5垂线(1)OA BCD134ba212121221E(3)O D CBA (2)O D CBA (1)ODC BAOD CB A课题：5.1.2 垂线（1）学习目标：1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离. 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理. 学习重点：垂线的定义及性质. 学习难点：垂线的画法 学习过程： 一．自主学习1．如图，若∠1=60°，那么∠2=_______、∠3=_______、∠4=_______ 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°，请画出这种图形，并求出此时∠2、∠3、∠4的大小. 二．合作探究1.阅读课本P3的内容，回答上面所画图形中两条直线的关系是__________，知道两条直线互相________是两条直线相交的特殊情况.2. 用语言概括垂直定义两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____. 3．垂直的表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号,如下图. 4.垂直的推理应用：（1）∵∠AOD=90° （ ） （2）∵ AB ⊥CD （ ）∴AB ⊥CD （ ） ∴ ∠AOD=90°（ ） 5．垂直的生活应用观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线和竖线思考这些给大家什么印象?找一找：在你身边，还能发现哪些“垂直”的实例？ 三．巩固运用1．用三角尺或量角器画已知直线L 的垂线.(1)已知直线L ，画出直线L 的垂线，能画几条? L小组内交流,明确直线L 的垂线有_________条,即存在,但位置有不______性。
高中数学选修一《两条平行线间的距离》教案与导学案和同步练习
《2.3.4 两条平行线间的距离》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。
学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。
希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。
本节重点是距离公式的推导和应用。
解决问题的关键是理解距离公式的推导。
【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式【教学重点】：理解和掌握两条平行线间的距离公式【教学难点】：应用距离公式解决综合问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。
思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C. 点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l 1,l 2的方程，如何求l 1与l 2间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线l 1上取任一点P (x 0,y 0)，,点P (x 0,y 0)到直线l 2的距离就是直线l 1与直线l 2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
两条平行直线间的距离1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段2. 图示：3. 求法：转化为点到直线的距离. 1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ． 2 B ． 3 C ．2 D ． 5 D [d ＝|－5|12＋22＝ 5.选D.]三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1−C 2|√A 2+B 2分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax +By +C 1=0上任取一点P (x 0,y 0),点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C 2=0的距离，就是这两条平行线间的距离即 d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2，因为点P (x 0,y 0)在直线Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0, 即Ax 0+By 0=−C 1因此d =|Ax 0+By 0+C 2|√A 2+B 2=|−C 1+C 2|√A 2+B 2=|C 1−C 2|√A 2+B 2通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
精品导学案(收藏)：直线与直线的位置关系与距离公式
课题：直线与直线的位置关系与距离公式考纲要求：①能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.②能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.③掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.教材复习1.两条直线的平行与垂直关系(分斜率存在与不存在两种情况讨论)①若两条不重合的直线的斜率都不存在,则这两条直线平行；若一条直线的斜率不存在， 另一条直线的斜率为0,则这两条直线垂直.平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交.当直线不平行于坐标轴时，直线与圆的位置关系可根据下表判定几个公式①已知两点),(),,(222111y x P y x P ,则 =||21P P②设点),(00y x A ，直线,0:=++C By Ax l 点A 到直线l 的距离为=d ③设直线11:0,l Ax By C ++=2212:0(),l Ax By C C C ++=≠则1l 与2l 间的距离=d5.直线系① 与直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为 ②与直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为③过两直线0:,0:22221111=++=++c y b x a l c y b x a l 的交点的直线系方程为基本知识方法1.在判断两条直线的位置关系时的分类讨论, 要防止因考虑不周造成的增解与漏解,关键是要树立检验的意识.①要考虑斜率存在与斜率不存在两种情形;②要考虑两条直线平行时不能重合;2.在分析题意,寻找解题思路时,要充分利用数形结合思想,将问题转化,化繁为简,有效降低运算量.3.在使用点到直线的距离公式和两条直线的距离公式时,应先将直线方程化为一般式,使用两条直线的距离公式,还要使两直线方程中的y x 、的系数对应相等4.处理动直线过定点问题的常用的方法: ①将直线方程化为点斜式；②化为过两条直线的交点的直线系方程；③特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点；④从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立. 2.当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系.3.两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.典例分析：考点一 两直线的垂直与平行问题1．()1（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件()2 （09上海春）已知直线1l ：()()3410k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是 .A 1或3 .B 1或5 .C 3或5 .D 1或2()3（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =()4已知两条直线1l ：40ax by -+=和2l ：()10a x y b -++=，求满足下列条件的,a b 值：()112l l ⊥，且1l 过点()3,1--；()212l l ∥，且坐标原点到这两条直线的距离相等.问题2．已知ABC △三边的方程为：AB ：3260x y -+=，AC ：23220x y +-=，BC ：340x y m +-=.()1判断三角形的形状；()2当BC 边上的高为1时，求m 的值.考点二 运用直线系求直线方程问题3.()1（2010安徽）过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是 .A 210x y --= .B 210x y -+= .C 220x y +-= .D 210x y +-=()2（04全国Ⅱ）过点()1,3-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为.A 012=-+y x .B 052=-+y x .C 052=-+y x .D 072=+-y x()3（2013银川一中月考）求过直线1:3210l x y +-=和2:5210l x y ++=的交点且垂直于直线3l 3560x y -+=的直线方程.问题4.已知直线0)()2(:=-++++b a y b a x b a l 及点)4,3(P .()1证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标；()2当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.考点三 点到直线的距离问题问题5.()1 （06浙江）点()1,1-到直线10x y -+=的距离是.A 12 .B 32.C 2 .D 2()2已知()00,P x y ，直线l ：()2200Ax By C A B ++=+≠.求证：点P 到直线l的距离是d =.()3已知51260x y +=的最小值是()4已知一直线l 被两直线1l ：3470x y +-=和2l ：3480x y ++=截得的线段长为154，且l 过点()2,3P ，求直线l 的方程.考点四 对称问题问题6.()1点()2,3关于直线10x y ++=的对称点是 .()2(2012南京调研)与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线方程为.A 3450x y ++=.B 3450x y +-= .C 3450x y -+-= .D 3450x y ++=()3求直线1l 23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程课后作业：1.已知直线1l ：()()2350m x m y +++-=和直线2l ：()6215x m y +-=，求满足下列条件的实数m 的取值范围或取值：()11l 与2l 相交； ；()21l ∥2l ：；()312l l ⊥； ；()41l 与2l 重合；2.（07届高三北京海淀第一学期期末练习）若直线()120x m y m +++-=与直线280mx y ++=平行，则实数m 的值为.A 1.B 2-.C 1或2-.D 1-或2-3.（98上海）设,,a b c 分别为ABC △所对边长，则直线sin 0x A ay c ++=与直线sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是：.A 平行.B 重合.C 垂直.D 相交但不垂直4.过点P ()1,2-且与点A ()2,3和B ()4,5-距离相等的直线l 的方程是5.已知：a 、b R ∈，且2a b +=，求证：()()2222a b -+-≥26.若两平行线3460x y -+=与680x y k -+=之间的距离为2，则k =走向高考：7.（97全国）如果直线220ax y ++=与直线320x y --=平行,那么系数a = .A 3- .B 6- .C 32-.D 238.（98全国）两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=垂直的充要条件是：.A 12120A A B B += .B 12120A A B B -= .C 12121A A B B =- .D 12121B BA A =9.（05北京）“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-= 相互垂直”的.A 充要条件； .B 充分而不必要条件；.C 必要而不充分条件；.D 既不充分也不必要条件.10.（00京皖春）直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是.A 相交不垂直 .B 垂直 .C 平行 .D 重合11. (05全国Ⅲ)已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m的值为 .A 0 .B 8- .C 2 .D 1012. （07天津文）“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的 .A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件13. （03全国）已知点(),2a （0a >）到直线l ：30x y -+=的距离为1，则a 等于.A .B 2 .C 1 .D 1。
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平遥二中有效教学
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高二年级数学学科“问题导学案”
课题：两条直线的交点坐标 课型：问题探究课
编写人：付丽萍 审核人：王永专
【学习目标】
1、 掌握联立两直线方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且
会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点。
2、 当两条直线相交时，会求交点坐标。培养学生思维的严谨性，注意学
生语言表达能力的训练。
【重点难点】
重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。
难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。
【知识探究】
（一）两条直线的交点坐标
问题1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程
Ax+By+C=0有什么关系？
问题2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线
2x+y+2=0的位置关系分别如何？
问题3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标
吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？
y
o
P
平遥二中有效教学
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问题4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如
何求其交点坐标？
问题5：对于两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0，若方程
组有唯一解、有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
（二）过交点的直线系
问题1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作多少
条直线？这些直线的方程有什么共同特征？你能将他们统一表示吗？
问题2:方程 （m，n不同
时为0）表示什么图形？
问题3:上述直线l1与直线l2的交点M（-2，2）在这条直线上吗？当m，
n为何值时，方程 分别表示直
线l1和l2？
问题4:方程 表示的
直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？
m(342)(22)0xynxy
m(342)(22)0xynxy
342(22)0xyxy
平遥二中有效教学
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问题5:方程 表示经过
直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0
和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？
拓展：你能尝试写出与直线l：Ax+By+C=0平行的直线系方程吗？与
之垂直的直线系方程又是什么样子呢？
【理论迁移】
1.两直线12:210,:220lxylxy的交点坐标为（ ）.
A．13(,)24 B．13(,)24
C．13(,)24 D．13(,)24
2.当k为何值时，直线3ykx过直线2xy10与5yx的交点?
3.直线0mxym，无论m取任意实数，它都过点 .
4、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标。
(1) l1:x-y=0 l2:3x+3y-10=0
(2) l1:3x-y+4=0 l2:6x-2y-1=0
(3) l1:3x+4y-5=0 l2:6x+8y-10=0
5、 求经过两直线3x+2y+1=0和2x-3y+5=0的交点，且斜率为3的直线方
程.
m(342)(22)0xynxy
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6、 设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交,且交点P在第一象限,求k的取
值范围.
7、已知ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(-2,-3),E(3,1),F(-1,2),
先画出这个三角形，再求出三个顶点的坐标
8、光线沿直线x+2y-1=0射入，遇x轴后反射，反射光线遇直线x+y-5=0
又反射，求反射光线最终所在直线的方程
小结提升
1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
111
222
00AxByCAxByC
，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数
组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，可以将几何问题转化为
代数问题来解决.