高二数学 求两直线的交点坐标
两条直线的交点坐标高二上学期数学(人教A版2019选修一)
x 0 ，即4x 3 y 30
0.
2
解2: 由已知可设直线l 的方程为(2x 2 y 1) (6x 4 y 1) 0 .
∵直线l 经过原点，
∴ 1 0，解得 =1.
∴直线l 的方程为(2x 2 y 1) 1 (6x 4 y 1) 0，即4x 3 y 0.
3.直线恒过定点问题 【例题】求证: 不论m为何实数, 直线 (m－1)x＋(2m－1)y=m－5都恒过某一 定点.
【方法总结】 解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验 证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中 λ 是参数，这就说明了它表示的直 线必过定点，其定点可由方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 解得． 若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
y
12
，得 0
x
2,y
3.
∴两条直线的交点坐标为(2, 3). 图形如图示.
y
l1 4
3 2 1
-2 -1 O -1 -2
l2 -3
-4
M
1 2 34 56x
l2 y l1
6
5
4
3
M
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x -1 -2
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标.
(1) l1 : 2x 3 y 12 , l2 : x 2 y 4 ;
(2) l1 : x 2 ,
l2 : 3x 2 y 12 0.
高中数学 同步教学 两条直线的交点坐标
方法二:(待定系数法)
设直线l的方程为4x+3y+m=0.
-2 + 4 = 0,
解方程组
得P(0,2).
+ -2 = 0,
因为直线l经过直线l1与l2的交点P(0,2),
所以4×0+3×2+m=0,解得m=-6.
所以直线l的方程为4x+3y-6=0.
反思1.直接法是从两条垂直直线的斜率关系求出直线l的斜率和
解:方法一:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
所以直线l1与l2的交点坐标为(0,1).
又因为直线2x+y-3=0与所求直线平行,
所以所求直线的斜率为-2.
所以所求直线的方程为y=-2x+1,即2x+y-1=0.
+ 3-3 = 0,
= 0,
方法二:由
得
= 1,
- + 1 = 0,
围成三角形,求m的值.
错解当三条直线中至少有两条平行时,三条直线不能围成三角形.
显然l1与l3不平行.当l1∥l2时,m=4;当l2∥l3时,m=-1.故m=4或m=-1.
错因分析错解直接认为当存在两条直线平行时,不能围成三角形,
所以两条直线无公共点,即 l1∥l2.
解:(1)解方程组
题型一
题型二
题型三
反思判断两条直线的位置关系,关键是看将两条直线的方程联立所
得的方程组的解的情况.注意最后一定要将方程组解的情况还原为
直线的位置关系.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断直线l1:x-2y+1=0与直线l2:2x-2y+3=0的位置
3.3.1直线的交点坐标与距离公式
b 2
O C (0,0)
A(a,0x)
BM MA MC
a
2
b
2
2 2
21
x y 1(a 0,b 0) ab
当垂直于坐标轴和 经过原点时不适用
Ax By C 0 (其中A、B不同时为0)
当直线与y轴垂直时 x x0 0 或 x x0
当直线与x轴垂直时 y y0 0 或 y y0
2
两直线的交点 1.讨论下列二元一次方程组解的情况:
y1 P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q || y2 y1 |
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q || x2 x1 |
17
两点间距离公式
一般地，已知平面上两点P1(x1， y)1 和P2(x2，y2)，利 用上述方法求点P1和P2的距离为
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y 1)2
( A1x B1 y C1) ( A2x B2 y C2 ) 0
为待定系数
此直线系方程少一条直线l2
10
例3: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件 的直线l的方程。
(1)过点(2,1)；(2)和直线3x-4y+5=0垂直; (3)和直线2x-y+6=0平行
1xx
y y
1 1
0 0
一组解
x0 y 1
2 xx
y y
1 0 1 0
3xx
y y
1 1
高中数学-直线的交点坐标与距离公式
解:(1)方程组
2x-y-7=0,
3x+2y-7=0.的解为 x=3,
2
22
即x 2y 2 0
答案:B
12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是 ___________________.
x+2y-2=0
解析 : 如图所示,Q y 1 x的斜率为 1 ,
2
2
所求直线l的斜率k
1 2
.由y x
1 2
1,
x
得交点(1, 1),该点应在l上,故l的方程为y 1 1 (x 1),
解:∵点P在直线l上, ∴可设P(a,2-4a). 又A(4,-3)､B(2,-1), ∴由|PA|=|PB|可得 (a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,
解得a 7 . P(7 , 18). 5 55
易错探究
例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形. 错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形, ∴当l2,l3相交于一点时,由 3x-2y-5=0,
4.已知△ABC的顶点A(2,3)､B(-1,0),C(2,0)则△ABC的周长 是( )
A.2 3 B.3 2 3 C.6 3 2 D.6 10 解析 : AB (1 2)2 (0 3)2 3 2. | BC | 3,| AC | (2 2)2 (0 3)2 3. VABC的周长为6 3 2.
高中数学必修二两条直线的交点坐标公开课教案课件教案课件
3.3.1 两条直线的交点坐标【教学目标】1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，2.当两条直线相交时，会求交点坐标.3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.【重点难点】教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.【教学过程】导入新课问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.新知探究 提出问题①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？ ②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.几何元素及关系代数表示 点A A(a ，b) 直线l l ：Ax+By+C=0点A 在直线上 直线l 1与l 2的交点A关系.设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解.(ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l(代数问题) (几何问题)③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：(ⅰ)23≠14;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠211.一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C CB B A A l lC C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.(b )如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合. 应用示例例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.解:解方程组⎩⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2).变式训练求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.解:解方程组x-2y+2=0,2x-y-2=0, 得x=2,y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. (1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0. (2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0. (3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0. 活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.35,35y x所以l 1与l 2相交,交点是(35,35). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,043y x y x①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2. (3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)2(,01086)1(,0543y x y x①×2得6x+8y-10=0.因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.变式训练判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).例3 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程. 思路解析：根据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系(平行系或过定点系)直接设出方程，根据条件求未知量，得出所求直线的方程.解：(方法一)由方程组⎩⎨⎧=++=0,2y x 0,3-3y -2x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.57,53y x∵直线l 和直线3x+y-1=0平行， ∴直线l 的斜率k=-3. ∴根据点斜式有y-(57-)=-3［x-(53-)］，即所求直线方程为15x+5y+16=0.(方法二)∵直线l 过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点， ∴设直线l 的方程为2x-3y-3+λ(x+y+2)=0， 即(λ+2)x+(λ-3)y+2λ-3=0. ∵直线l 与直线3x+y-1=0平行， ∴1321332--≠-=+λλλ.解得λ=211. 从而所求直线方程为15x+5y+16=0.点评：考查熟练求解直线方程，注意应用直线系快速简洁解决问题。
高二数学课件：第八章 第二节 直线的交点坐标与距离公式
热点考向
2
距离公式的应用
【方法点睛】
1.两点间的距离的求法
两点间的距离，可利用两点间的距离公式求解；当两点连线平
行于x轴时，其距离等于这两点横坐标之差的绝对值；当两点连
线平行于y轴时，其距离等距离最大的直线l的方程，最大距离是 5 5.
5
(3)由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过 5 的直线，因此
不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【反思·感悟】 1.在解答本题时，直线斜率存在时,根据题设 条件，由点到直线的距离公式得关于斜率的方程，这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况； 2.另外，求距离的最值时，除了考虑距离公式所要求的条件， 以防漏解、错解外，还要注意数形结合思想的应用.
1.对称中心的求法
若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称，则由中点坐标公 式求得a、b的值，即 a x1 x 2 ，b y1 y 2 ；
2 2
2.轴对称的两个公式
若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l：Ax+By+C=0(A≠0)对称，
则线段MN的中点在对称轴l上，而且连接MN的直线垂直于对称轴l. 故有
24 3
因此，过点P与AB平行的直线的方程为：
1 y 2 (x 1) ,即x+3y-5=0； 3
又因为A(2,3)，B(-4,5)的中点坐标D(-1,4)， 所以过点P及AB中点的直线方程为x=-1； 综上可知,所求直线方程为x=-1或x+3y-5=0.
热点考向 3
【方法点睛】
对称问题
利用到原点的距离为2列方程，解方程即可，但要注意对斜率不
2025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式(解析版)
第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
2.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
知识梳理一、直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点几何元素及关系代数表示点A A (a ，b )直线l 1l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0点A 在直线l 1上A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0直线l 1与l 2的交点是A(l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)2.两直线的位置关系一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行二、两点间的距离公式条件点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)结论|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2特例点P (x ，y )到原点O (0，0)的距离|OP |＝x 2＋y 22025高二上数学专题第7讲 直线的交点坐标与距离公式（解析版）三、点到直线的距离1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．2．公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2．四、两平行直线间的距离1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．2．公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2．名师导学知识点1两直线的交点问题【例1-1】（宜昌期末）已知两直线1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=，则1l 与2l 的交点坐标为．【例1-2】（雅安期末）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为()A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【例1-3】（芜湖期末）若三条直线2380x y ++=，10x y --=和0x ky +=交于一点，则k 的值为()A ．2-B ．12-C ．2D ．12【变式训练1-1】（阎良区期末）直线5y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,2)D ．(2,1)【变式训练1-2】（（安庆期末）直线210x y ++=与直线20x y -+=的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【变式训练1-3】（（庐江县期中）直线230x y k +-=和直线120x ky -+=的交点在x 轴上，则k 的值为()A ．24-B ．24C ．6D ．6±知识点2直线过定点问题【例2-1】（宿迁期末）设直线2(3)260x k y k +--+=过定点P ，则点P 的坐标为()A ．(3,0)B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(2,0)【例2-2】（江阴市期中）直线:1(2)l y k x -=+必过定点()A ．(2,1)-B ．(0,0)C ．(1,2)-D ．(2,1)--【变式训练2-1】（黄浦区期末）已知a R ∈，若不论a 为何值时，直线:(12)(32)0l a x a y a -++-=总经过一个定点，则这个定点的坐标是()A ．(2,1)-B ．(1,0)-C ．21(,)77-D ．12(,)77-【变式训练2-2】（慈溪市期末）直线1(y kx k k =++为常数）经过定点()A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--知识点3两点间距离公式的应用【例3-1】（南充期末）已知点(1A ，0，2)与点B (1，3-，1)，则||(AB =)A ．2B C ．3D【例3-2】（临川区校级一模）已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(5,2)B ，(1,4)C --，则这个三角形是()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形【变式训练3-1】（琼山区校级期末）已知ABC ∆的顶点坐标为(7,8)A ，(10,4)B ，(2,4)C -，则BC 边上的中线AM 的长为()A ．8B ．13C ．D 【变式训练3-2】（雁江区校级月考）如图，已知等腰梯形ABCD ，用坐标法证明：AC BD =．知识点4点到直线的距离【例4-1】（金凤区校级期末）已知点(2,1)P -．（1）若一条直线经过点P ，且原点到直线的距离为2，求该直线的一般式方程；（2）求过点P 且与原点距离最大的直线的一般式方程，并求出最大距离是多少？【例4-2】（韶关期末）已知点(1,3)A 和点(5,2)B 到直线l 的距离相等，且l 过点(3,1)-，则直线l 的方程为()A ．410x y ++=或3x =B ．410x y +-=或3x =C ．410x y ++=D ．410x y +-=【变式训练4-1】（保山期末）若直线l 过点，倾斜角为120︒，则点(1,到直线l 的距离为()A ．32B C ．332D ．532【变式训练4-2】（新课标Ⅲ）点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为()A ．1BC D ．2知识点5两平行线间距离公式及其应用【例5-1】（张家界期末）直线3430x y +-=与直线690x my ++=平行，则它们的距离为()A ．65B ．32C ．125D ．2【例5-2】（广州期末）若两平行直线20(0)x y m m ++=>与30x ny --=之间的距离是，则(m n +=)A ．0B ．1C ．1-D ．2-【变式训练5-1】（靖远县期末）已知直线240x y +-=与直线230x my m +++=平行，则它们之间的距离为()A B C ．352D ．3102【变式训练5-2】（连云港期末）两条平行直线6450x y -+=与32y x =的距离是()A ．13B ．26C ．13D ．26【变式训练5-3】（广东期末）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为()A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【变式训练5-4】（崇左期末）已知直线1:20l x y n ++=，2:440l x my +-=互相平行，且1l ，2l 之间的距离(m n +=)A ．3-或3B ．2-或4C ．1-或5D ．2-或2知识点6运用距离公式解决最值问题【例6-1】（北碚区校级期末）已知ABC ∆的三个顶点(1,2)A ，(2,1)B ，(3,3)C ，若ABC ∆夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是()A ．355B C ．322D 【例6-2】（鼓楼区校级期中）已知直线1:4270l x y +-=和2:210l x y +-=，直线m 分别与1l ，2l 交于A ，B 两点，则线段AB 长度的最小值为．【变式训练6-1】（闵行区校级模拟）过点(1,2)-且与原点的距离最大的直线方程是．【变式训练6-2】（和平区校级期末）已知点(2,5)A 和点(4,7)B ，点P 在y 轴上，若||||PA PB +的值最小，则点P 的坐标为．名师导练A 组-[应知应会]1．（辽源期末）点(3,1)到直线3420x y -+=的距离是()A ．45B ．75C ．425D ．2542．（宁波期末）直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为()A ．1B ．3C ．110D ．253．（内江期末）已知点(1,3)M 到直线:10l mx y +-=的距离等于1，则实数m 等于()A ．34B ．43C ．43-D ．34-4．（兴庆区校级期末）设有直线(3)1y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点()A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)5．（沙坪坝区校级期中）已知直线1:10l x ay +-=与2:210l x y -+=平行，则1l 与2l 的距离为()A ．15B ．55C ．35D ．3556．（包头期末）点(,)P x y 在直线20x y +-=上，O 是坐标原点，则||OP 的最小值是()A ．1B C ．2D ．7．（河池期末）点2(2,)P m m 到直线70x y ++=的距离的最小值为()A ．4B ．C ．D ．8．（江阴市期中）直线l 过(1,2)P ，且(2,3)A ，(4,5)B -到l 的距离相等，则直线l 的方程是()A ．460x y +-=B ．460x y +-=C ．2370x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或460x y +-=9．（平顶山期末）已知(1,2)P -，(2,4)Q ，直线:3l y kx =+．若P 点到直线l 的距离等于Q 点到直线l 的距离，则(k =)A ．2.3或6B ．23C ．.0D ．.0或2310．（昆山市期中）已知(2,3)M -，(6,2)N ，点P 在x 轴上，且使得PM PN +取最小值，则点P 的坐标为()A ．(2,0)-B ．12(5，0)C ．14(5，0)D ．(6,0)11．（宝安区校级模拟）已知0x <<，0y <<M =则M 的最小值为()A ．B ．C ．2D ．12．（多选）（江阴市期中）若两条平行直线1:20l x y m -+=与2:260l x ny +-=之间的距离是则m n +的可能值为()A ．3B ．17-C ．3-D ．1713．（多选）（山东模拟）若三条直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，3:0l x y a ++=不能围成三角形，则a 的取值为()A ．1a =B ．1a =-C ．2a =-D ．2a =14．（田家庵区校级期末）原点(0,0)到直线:20l x y -+=的距离是．15．（尖山区校级期末）两条平行直线110l y -+=与2:230l ax y +-=之间的距离为．16．（嘉兴期末）直线1:0l x y m --=与直线2:30l mx y -+=平行，则m =；1l 与2l 之间的距离为．17．（金华期末）已知直线:(1)2l x m y m ++=-，则当0m =时，直线l 的倾斜角为；当m 变化时，直线l 过定点．18．（镇江期末）已知直线1:0l x y a ++=与直线2:0l x y +=a 的值为．19．（珠海期末）已知平面直角坐标系xOy 中，点(4,1)A ，点(0,4)B ，直线:31l y x =-，则直线AB 与直线l 的交点坐标为．20．（苏州期末）已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和5x ay +=上，且线段AB 的中点为(0,5)P ，则||AB =．21．（昆山市期中）在平面直角坐标xOy 中，已知(4,3)A ，(5,2)B ，(1,0)C ，平面内的点P 满足PA PB PC ==，则点P 的坐标为．22．（新余期末）已知直线:2(2)l y ax a =+-过一、三、四象限，其中a Z ∈，则点(1,3)A -到直线l 的距离为．23．（乐山期末）已知两条直线1:420l mx y +-=和2:10l x my ++=．（1）当12//l l 时，求m 的值；（2）在（1）的条件下，求1l 、2l 间的距离．24．（宁德期末）已知直线:260l x y --=与x 轴的交点为A ，且点A 在直线m 上．（1）若m l ⊥，求直线m 的方程；（2）若点(1,1)B 到直线m 的距离等于2，求直线m 的方程．25．（新都区期末）已知ABC ∆的三个顶点坐标为(3,1)A -，(3,3)B -，(1,7)C ．（1）求BC 边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求ABC ∆的面积．26．（沭阳县期中）已知直线:(12)(1)720l m x m y m ++-++=．（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；（2）过定点M 作一条直线1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线1l 的方程．27．（宁城县期末）已知点ABC ∆三顶点坐标分别是(1,0)A -，(1,0)B ，(0,2)C ，（1）求A 到BC 边的距离d ；（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d ．B 组-[素养提升]1．（尖山区校级期末）已知在ABC ∆中，顶点(4,2)A ，点B 在直线:20l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC ∆的周长的最小值．2．（兰州期末）已知点(2,1)P -．（1）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？（2）是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．第7讲直线的交点坐标与距离公式新课标要求1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。
高二数学直线的交点坐标与距离公式
y P
o
x
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0 和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点 坐标？
几何元素及关系 点A 直线l 代数表示 A (a, b)
Aa Bb C 0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
l: A xB yC 0
点A的坐标是方程组的解
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有脱缰呢！”耿英说：“你们看，这河水看起来也多像一群野马哇，不断地翻滚咆哮着！俺可知道了，为什么爷爷和奶奶叫咱 们站远点儿瞧。咱们离得这么远呢，这看得久了，俺都有些腿发软了呢！”耿老爹指着河面对耿正兄妹三人说：“你们仔细看 看，这黄河是不是比堤岸下面的地面高出一些啊？”三人仔细观看一番，都说好像是这么回事儿呢！耿正奇怪地说：“怎么会 是这样呢？在咱们老家那一带，凡有水流过，地面都会被冲成沟渠的哇！”耿英也说：“是哇，这河水应该比地面低一些才对 哩！”耿直自言自语地念叨：“这是为什么啊？”看到三个娃儿都在用心琢磨，耿老爹很高兴，有意进一步启发他们，就又问： “那你们说，这水为什么不清澈呢？”耿正说：“肯定是里边有泥沙啦！”耿英也说：“所以俺说洗不了衣裳嘛！”耿直撇撇 嘴说：“这个连俺都知道呢！”耿老爹笑了，说：“如果水里边泥沙太多呢？”兄妹三人恍然大悟！耿正脱口而出：“就会在 水下形成很多淤泥！”耿英接着哥哥的话说：“淤泥越积越多，河道就抬高了，河水自然也就高了！”耿直眼珠子滴溜溜一转， 大声说：“那河堤也得越垒越高才能拦住河水哇！”耿老爹满意地笑了，说：“所以啊，人们历来就将黄河称为悬河呢。说的 就是，这是一条悬在地面之上的大河啊！想想看，滔滔的河水在高处流，而人是住在低处的。这样的一条大河一旦决了堤，那 要不像是一群脱缰的野马才怪呢！”兄妹三人听了，吃惊地直倒吸凉气。远远地望到在滔滔波浪中漂过来一个瓜皮小船儿，船 头船尾各站着一个人在用力地撑篙摇橹。再仔细看时，发现船上还坐着两个人，小小的船舱里还放了一些什么东西。一会儿， 小船儿飘荡过来了，在距离耿家父子四人百步之外靠西的一个简易小渡口上，站在船尾的人用力撑住小船。船上坐着的两个人 特别麻利地跳上了岸，船头摇橹的人弯腰拿起船舱里的东西递给他们。然后，瓜皮小船儿就掉转船头向南岸飘荡而去了。再看 那两个上了岸的人，他们已经背起东西快步往西走去了。远远望去，那里好像也有一个小村庄呢。耿直吃惊地瞪大眼睛说： “俺的娘耶，他们怎么这么大的胆子哇，就不怕掉到水里！这么大的水，还翻滚着呢。这要掉进去了，肯定就没命了哇！”耿 老爹说：“住在这黄河边儿上的人，没有一个不会游水的。即使是不小心掉进去了，他们也会游上岸的。只要不是发生就像决 堤那样的大灾难，他们都不会有事儿。不像俺们这些旱鸭子，一见了深水就害怕！”父子四人随便聊着继续转悠一会儿。看看 日头已经快正午了，耿老爹说：“咱们回去哇，不可以让爷爷奶奶久等的。你们如果还没有玩儿够，咱们下午再出来哇！”耿 直说：“俺可不想再出来玩儿了。除了这让人看
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A1B2-A2B1=0
例1 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和l2： (a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a 的值.
例2 已知直线l1：x-ay-1=0和
l2:a2x+y+2=0，若l1⊥l2，求a的值.
5.
4.直线族方程的应用
例4.设直线y=k(x+3)-2和x+4y-4=0相交，且交点 P在第一象限，求k的取值范围.
y B o P A x
小结
1.求两条直线的交点坐标 2.任意两条直线可能只有一个公共点，也可能 没有公共点（平行） 3.任意给两个直线方程，其对应的方程组得解 有三种可能可能： 1）有惟一解 2）无解 3）无数多解
对于两条直线 l1 : A1 x B1 y C1 0 和 l2 : A2 x B2 y C2 0 ,
若方程组
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C 2 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的 位置关系如何？
两直线有一个交点， 重合、平行
（1）l1：x y 0,
l2：x 3y 10 0 ; 3
6 3 （2） l1：x y 4 0, l2：x 2y 1 0;
6 3 （3）l1：x 4y 5 0, l2：x 8y 10 0.
例3 求经过两直线3x+2y+1=0 和 2x-3y+5=0的交 点，且斜率为3的直线)y+1=0表示一条
直线，则实数m的取值范围是
m≠0 __________.
6
一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？
用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写 出这两条直线的方程，然后联立求解.
几何概念与代数表示
例1. 求下列两条直线的交点坐标
l1 : 3x 4 y 2 0 l2 : 2 x y 2 0
当变化时，方程
3x 4 y 2 (2 x y 2) 0
表示什么图形？图形有何特点？ 表示的直线包括过交点M（-2，2）的一族直线
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出其交点的坐标.
几何元素及关系
点A 直线l 点A在直线l上 代数表示
A(a, b) l : Ax By C 0
A的坐标满足方程 l : Aa Bb C 0 A的坐标是方程组的解
直线l1与l2的交点是A
A1 x B1 y C1 0 A2 x B2 y C2 0
垂直于x轴的直线方程
复习回顾
名 称 几 何 条 件
x x0
y y0
局限性
垂直于y轴的直线方程
方程
点斜式 点P(x0,y0)和斜率k 斜截式 斜率k,y轴上的 纵截距b
y y0 k ( x x0 )
不垂直于x 轴的直线 不垂直于x 轴的直线
y kx b
y y1 x x1 不垂直于x、 两点式 P1(x1,y1),P2(x2,y2) y y x1 x2 y轴的直线 1 2
在x轴上的截距a, 截距式 在y轴上的截距b
x y 1 a b
不垂直于x、y 轴的直线，不 过原点的直线
定义：我们把关于 x , y 的二元一 次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同 时为0)叫做直线的一般式方程， 简称一般式。
设直线l1、 l2的方程分别为 l1： A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 在 什么条件下有l1⊥l2， l1// l2 ？ A1A2+B1B2=0