必修二3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1两条直线的交点坐标
3.3.1 两条直线的交点坐标求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l1：2x＋3y＝12，l2：x－2y＝4；(2)l1：x＝2，l2：3x＋2y－12＝0.两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.求两点间的距离已知点A (－1，2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．3．求下列两点间的距离：(1)A (6，0)，B (－2，0)；(2)C (0，－4)，D (0，－1)；(3)P (6，0)，Q(0，－2)；(4)M (2，1)，N(5，－1)．坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－25．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( )A ．12B ．－12C ．23D ．－23某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？A组训练1．已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是() A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝03．若过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为()A．6 B． 2C．2 D．不能确定4.已知A(2，1)，B(3，2)，C(－1，4)，则△ABC是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形5．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是()A．(5，2) B．(2，5)C．(－5，－2) D．(－2，5)6．直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．7．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M的线段的中点是(1，0)，那么点M到原点的距离为________．8．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．9．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标．10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0) D ．(0，225)2．若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________．3．已知AO是△ABC边BC的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．3.3.1 两条直线的交点坐标参考答案求两直线的交点求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.[解] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以，l 1与l 2的交点坐标是M (－2，2)．1．求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：(1)l 1：2x ＋3y ＝12，l 2：x －2y ＝4；(2)l 1：x ＝2，l 2：3x ＋2y －12＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝12，x －2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝367，y ＝47， ∴交点坐标为(367，47)．如图(1)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，3x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， ∴交点坐标为(2，3)，如图(2)．两条直线的位置关系的判断判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．(1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0；(2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0；(3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝03x ＋3y －10＝0， 得⎩⎨⎧x ＝53y ＝53. 所以，l 1与l 2相交，交点坐标是M (53，53)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋4＝0， ①6x －2y －1＝0， ②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0， ①6x ＋8y －10＝0， ②①×2得6x ＋8y －10＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．2．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：(1)2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1；(2)x －3y －10＝0，y ＝x ＋53； (3)3x －5y ＋10＝0，9x －15y ＋30＝0.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋7＝0，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.所以两直线相交，交点坐标为(－2，3)．(2)两直线方程分别化为y ＝13x －103， y ＝13x ＋53.由斜率相等，纵截距不等知两直线平行． (3)将3x －5y ＋10＝0的两边同乘以3得，9x－15y＋30＝0，与第二个方程完全相同，故两直线重合．求两点间的距离已知点A(－1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．[解]设所求点为P(x，0)，∵|P A|＝|PB|，∴（x＋1）2＋（0－2）2＝（x－2）2＋（0－7）2，∴x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.∴所求点为P(1，0)，|P A|＝（1＋1）2＋（0－2）2＝2 2.3．求下列两点间的距离：(1)A(6，0)，B(－2，0)；(2)C(0，－4)，D(0，－1)；(3)P(6，0)，Q(0，－2)；(4)M(2，1)，N(5，－1)．解：(1)|AB|＝[6－（－2）]2＋（0－0）2＝8.(2)|CD|＝（0－0）2＋[－4－（－1）]2＝3.(3)|P Q|＝（6－0）2＋[0－（－2）]2＝210.(4)|M N|＝（2－5）2＋[1－（－1）]2＝13.坐标法证明几何问题证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．[证明]如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2.所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．4．证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．证明：以两直角边OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，C 为AB 的中点，设A (a ，0)，B (0，b )，则C (a 2，b 2)． ∴|OC |＝（a 2）2＋（b 2）2＝12 a 2＋b 2，|AB |＝ a 2＋b 2. ∴|OC |＝12|AB |， 即直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等．若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3 的交点(－a －1，1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0， 得a ＝±1②，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0， 得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2.[答案] D5．直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A ．12B ．－12C ．23D ．－23解析：选C ．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋10y ＝x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9y ＝－8，把点(－9，－8)代入y ＝ax －2，得－8＝－9a －2， 解得a ＝69＝23.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A (1，2)，B (4，0)，一条河所在直线方程为l ：x ＋2y －10＝0，若在河边l 上建一座供水站P 使之到A ，B 两镇的管道最省，问供水站P 应建在什么地方？此时|P A |＋|PB |为多少？[解]如图所示，过A 作直线l 的对称点A ′，连接A ′B 交l 于P ，因为若P ′(异于P )在直线l 上，则|AP ′|＋|BP ′|＝|A ′P ′|＋|BP ′|>|A ′B |.因此，供水站只能在点P 处，才能取得最小值． 设A ′(a ，b )，则AA ′的中点在l 上，且AA ′⊥l ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋2×b ＋22－10＝0，b －2a －1·（－12）＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6，即A ′(3，6)，所以直线A ′B 的方程为6x ＋y －24＝0， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －24＝0，x ＋2y －10＝0，得⎩⎨⎧x ＝3811，y ＝3611.所以P 点的坐标为(3811，3611)．故供水站应建在点P (3811，3611)处，此时|P A |＋|PB |＝|A ′B |＝（3－4）2＋（6－0）2＝37.A 组训练1．已知点A (－3，4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( ) A ．0或8 B ．0或－8 C ．0或6 D ．0或－6 解析：选A ．由|AB |＝5得（－3－0）2＋（4－b ）2＝5，所以(4－b )2＝16， ∴4－b ＝±4， ∴b ＝0或b ＝8.2．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0解析：选A ．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4＝0x －y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6，故过点(1，6)与x －2y ＝0垂直的直线为y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6B ． 2C ．2D ．不能确定解析：选B ．因为直线AB 与y ＝x ＋m 平行，则b －a5－4＝1，即b －a ＝1，|AB |＝（4－5）2＋（a －b ）2＝ 2.4.已知A (2，1)，B (3，2)，C (－1，4)，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 解析：选A ．∵|AB |＝（2－3）2＋（1－2）2＝2，|BC |＝（3＋1）2＋（2－4）2＝20， |AC |＝（2＋1）2＋（1－4）2＝18，所以|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为直角三角形．5．点P (2，5)关于直线x ＋y ＝0的对称点的坐标是( ) A ．(5，2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－2，5) 解析：选C ．设对称点P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x －2＝1x ＋22＋y ＋52＝0，∴x ＝－5，y ＝－2.6．直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 交于点(1，1)，则a ＝________，b ＝________． 解析：因为直线y ＝ax ＋1与y ＝x ＋b 的交点为(1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ＋11＝1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0.答案：0 07．直角坐标平面上连接点(－2，5)和点M 的线段的中点是(1，0)，那么点M 到原点的距离为________．解析：设M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x 2＝15＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－5，所以|OM |＝42＋（－5）2＝41.答案：418．经过两条直线2x －3y ＋10＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋10＝03x ＋4y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2，垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝09．(1)求在x 轴上与点A (5，12)的距离为13的点的坐标；(2)已知点P 的横坐标是7，点P 与点N(－1，5)间的距离等于10，求点P 的纵坐标． 解：(1)设x 轴上的点为B (x ，0)， 由|AB |＝13， 得（x －5）2＋（0－12）2＝13，∴(x －5)2＝25， ∴x －5＝5或x －5＝－5. ∴x ＝10或x ＝0，即点B 的坐标为(10，0)或(0，0)．(2)设点P 的纵坐标为y ，即P (7，y )． 由于|P N|＝10， ∴[7－（－1）]2＋（y －5）2＝10，∴(y －5)2＝36，∴y －5＝6或y －5＝－6，从而y ＝11或y ＝－1， ∴P 点的纵坐标为11或－1.10．求经过两直线2x ＋y －8＝0与x －2y ＋1＝0的交点，且在y 轴上的截距为x 轴上截距的2倍的直线l 的方程．解：(1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意． (2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时， 设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0， 即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0. 据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0. 令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2；令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ.所以－1－8λλ－2＝2·(－1－8λ1＋2λ)，解得λ＝18，此时直线l 的方程为2x －3y ＝0.综合(1)(2)，所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.B 组训练1．已知A (－3，8)，B (2，2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1，0)B ．(1，0)C ．(225，0)D ．(0，225)解析：选B ．A (－3，8)关于x 轴对称的点A ′(－3，－8)，A ′B 与x 轴的交点，就是使|MA |＋|MB |最短的M 点，直线A ′B 的方程为 y ＋82＋8＝x ＋32＋3， 当y ＝0时，得x ＝1， 即此时M 的坐标为(1，0)．2．若三条直线x ＋y ＋1＝0，2x －y ＋8＝0和ax ＋3y －5＝0共有三个不同的交点，则实数a 应满足的条件是________． 解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x －y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2，即两直线的交点坐标为(－3，2)． 依题意知，实数a 满足的条件为⎩⎨⎧a ·（－3）＋3×2－5≠0－a3≠－1－a 3≠2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠13a ≠3a ≠－6，即实数a 满足的条件为a ∈R ，且a ≠13且a ≠3且a ≠－6.答案：a ≠13且a ≠3且a ≠－63．已知AO 是△ABC 边BC 的中线，求证： |AB |2＋|AC |2＝2(|AO |2＋|OC |2)． 证明：以BC所在直线为x轴，BC的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设B(－a，0)，C(a，0)，A(b，c)．则|AB|2＋|AC|2＝[b－(－a)]2＋(c－0)2＋(b－a)2＋(c－0)2＝2(a2＋b2＋c2)，|AO|2＋|OC|2＝b2＋c2＋a2.故|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．4．已知两点A(－2，4)，B(4，2)和直线l：y＝kx－2.(1)求直线l恒过的定点P的坐标；(2)若直线l与线段AB相交，试求k的取值范围．解：(1)令x＝0，则y＝－2，所以不论k取什么值，直线l：y＝kx－2都过定点P(0，－2)．(2)直线l：y＝kx－2过定点P(0，－2)，所以k P A＝－2－40－（－2）＝－3，k PB＝－2－20－4＝1.如图所示，所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．。
3.3.1两条直线的交点坐标
在3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常 数）表示的直线集合中，如何确定经过点（-2，5） 的直线？
将坐标（-2，5）代入方程3x+2y－1+λ（2x－ 1 3y－5）=0，得到 λ . 8 1 再将 λ ，代入3x+2y－1+λ（2x－3y－ 8 5）=0，得到直线方程22x+19y-3=0.
新课导入
在平面几何中，我们对方程做定性的研究. 引入直角坐标系后，我们用方程表示直线。
y
x
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式
(x0, y 0 ), k
y - y 0 k(x, x0 ) 有斜率的直线
y kx b
有斜率的直线
斜截式 k,y轴上截距b
两点式 截距式
一般式
y y1 x x1 (x1, y1 )(x2 , y 2 ) y 2 y 1 x 2 x1 x y x轴上截距a 1 a b Y轴上截距b
一元二次方程
3.3.1 两直线的交点坐标
教学目标
知识与能力
直线和直线的交点。 二元一次方程组的解。
过程与方法
学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位 置的方法。 掌握数形结合的学习法。
情感态度与价值观
通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从 而认识事物之间的内在联系。 能够用辩证的观点看问题。 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决 几何问题。
此方程即为所求。
例二 判断下面各对直线的位置关系，如果相交，求出 交点的坐标： (1)l1:3x+4y－2=0， l2:2x+y+2=0； (2)l1:3x+5y-2=0, (3)l1:x-2y+3=0, l2:6x+10y+7=0; l2:3x-6y+9=0;
必修二3[1].3.1两条直线的交点坐标7
![必修二3[1].3.1两条直线的交点坐标7](https://img.taocdn.com/s3/m/d16919cd58f5f61fb736668b.png)
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l
A(a, b)
l : Ax By C 0
点 A在直线 l上
Aa Bb C 0
A a B b C 0 A11x B11y C11 0 直线 l1与直线 l2的交点 A A a B b C 0 A22x B22y C22 0
例4 已知两直线 l1:x+my+6=0, l2:(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直
归纳小结：如何根据两直线的方程系数之间 的关系来判定两直线的位置关系？
l1 : A1 x B1 y C1 0
B2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2 A1 B1 C1 A2 B2 C 2
(1 )2 ( 2)1 (4 2 ) 0 4
所以直线的方程为：x 2 y 4 0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线l的方程。 (2)和直线3x-4y+5=0垂直
解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
A2
l2 : A2 x B2 y C2 0 A1 B1 l1与l2 相交
l1与l2平行 l1与l2重合
课堂小结
1.两条直线交点与它们方程组的解之间 的关系. 2.求两条相交直线的交点及利用方程组 判断两直线的位置关系.
重合 平行
3
l1 : x y 1 0 l2 : x y 1 0
练习:判断下列各组直线的位置关系：
1l1 x y 7 0 :2
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.3.1两条直线的交点坐标》教案_001
3.3.1 两条直线的交点坐标教学目的：使学生了解两条直线交点坐标的求法，会联立两条直线所表示的方程成方 程组求交点坐标。
教学重点：两直线交点坐标的求法。
教学难点：两直线交点坐标的求法。
教学过程一、复习提问平面内两条直线有什么位置关系？空间里呢？二、新课已知两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0如何求它们的交点坐标呢？一般地将它们联立成方程组，若方程组有唯一的解，则两条直线相交，此解就是 交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两直线平行。
例1、求下列两条直线的交点坐标：l 1：3x ＋4y －2＝0l 2：2x ＋y ＋2＝0解：解方程组：⎩⎨⎧=++=-+0220243y x y x ，解得：⎩⎨⎧=-=22y x 所以两条直线的交点是M （－2,2）。
探究：当λ变化时，方程3x ＋4y －2＋λ（2x ＋y ＋2）＝0表示什么图形？图形有何特点？例2、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标：（1）l 1：x －y ＝0， l 2：3x ＋3y －10＝0（2）l 1：3x －y ＋4＝0， l 2：6x －2y ＝0（3）l 1：3x ＋4y －5＝0， l 2：6x ＋8y －10＝0解：（1）解方程组：⎩⎨⎧=-+=-010330y x y x ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3535y x 所以，l 1，l 2相交，交点是M （35，35） （2）解方程组：⎩⎨⎧=-=+-026043y x y x ，①×2－② 得：9＝0，矛盾！方程组无解，所以两直线无交点，l 1∥l 2（3）解方程组：：⎩⎨⎧=-+=-+010860543y x y x ，①×2得：6x ＋8y －10＝0，两个方程可以化为同一个方程，即它们表示同一条直线，l 1，l 2重合。
人教版高中数学必修二《3.3.1 两条直线的交点坐标》
x 0y+10=0和3x+4y-2=0的交点坐标为(0,2) 又因为所求直线过点(2,1)
所以所求直线方程为x+2y-4=0
法二：设经过两直线交点的直线方程为：
当直线斜率不存 在时，如何判断?
（ 1 ）k1 k 2 , b1 b2
（2）k1 k 2 , b1 b2
l1 // l2
l1与l 2 重合
l1与l2相交
（3）k1 k 2
二、新课讲授
y P(a,b)
直线l : 2 x y 3 0
(1)点15 ， 在直线上吗？ (2)点 2， 7 在直线上吗？ (3)点3， 8 在直线上吗？
点P(a,b)在直线l上，那么 P(a,b)满足直线l的方程 即2a-b+3=0
l : 2x y 3 0
x
l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 y
l1
y
l2
y A(a,b)
l1
A(a,b) x l1:A1x+B1y+C1=0 A1a+B1b+C1=0
A(a,b)
（3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=0 x-y=0 解（ : 1）解方程组 3x+3y-10=10 x= 5 得： 3 所以l1与l2相交， 5 y= 3 5 5 交点坐标为（ 3 ，3 ）.
3x y 4 0, （2） 解方程组 6 x 2 y 1 0,
问题4:方程组 两条直线的位置关系有何关系？
高中数学 3.3.1、3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离练习 新人教A版必修2-新人教A版
3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知直线x －y ＋1＝0和直线x －2y ＋1＝0，则它们的交点坐标是( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(－1，0) D ．(－2，－1)2．已知△ABC 中，顶点分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定4．已知坐标平面内两点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫135，－135D ．(－2，2)5．已知坐标平面内两点M (1，0)，N (－1，0)，若直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值X 围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0，2]6．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( )A．5 2B．5 13C．5 17D．5 5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b ＝________．9．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．10．经过两直线2x－y－3＝0和x＋y＋3＝0的交点且与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为______________．11．已知坐标平面内两点A(－2，2)，B(2，2 3)，若在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则此时|PA|的值为________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．13．(13分)求过两直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．14．(5分)已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2，则S 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D. 215．(15分)已知直线l 被两平行直线3x ＋y －6＝0和3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，且直线过点A (1，0)，求直线l 的方程．3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离1．C [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.2．D [解析] 由两点间的距离公式得||AB ＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，||AC ＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52， ||BC ＝（1－3）2＋（7＋3）2＝104， 所以有||AB 2＋||AC 2＝||BC 2，且||AB ＝||AC ，故△ABC 为等腰直角三角形．3．B [解析] 由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，由两点间的距离公式得|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝ 2.4．C [解析] 设点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为P 点，因为直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1×(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.5．A [解析] 将M (1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝2；将N (－1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝－2.对比选项知应选A.6．D [解析] 当直线4x ＋y ＝4与直线mx ＋y ＝0平行时，m ＝4；当直线4x ＋y ＝4与直线2x －3my ＝4平行时，－4＝23m ，即m ＝－16；当直线mx ＋y ＝0与直线2x －3my ＝4平行时，－m ＝23m，无解；当三条直线交于一点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m 4－m ，代入2x －3my ＝4，解得m＝23或m ＝－1.综上所述，满足条件的m 值有4个． 7．B [解析] 设A (－3，5)关于直线l ：3x －4y ＋4＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3×x ′－32－4×y ′＋52＋4＝0，y ′－5x ′＋3×34＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3，y ′＝－3.∵所求的路程即为|A ′B |， ∴由两点间的距离公式得d ＝|A ′B |＝（3－2）2＋（－3－15）2＝5 13.8．－13 [解析] 由两直线互相垂直得－a 3·4＝－1，即a ＝34，由点P (4，m )在直线34x＋3y －12＝0上，得3＋3m －12＝0，即m ＝3，再将P (4，3)的坐标代入4x －y ＋b ＝0，得16－3＋b ＝0，即b ＝－13.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1k [解析] 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a )y ＝1，即a (x －y )＋ky －1＝0，若其对于任何a ∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k ，y ＝1k .10．x ＋3y ＋9＝0 [解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，故交点为(0，－3)．又因为直线3x －y －1＝0的斜率为3，所求的直线与直线3x －y －1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋3＝－13x ，化简得x ＋3y ＋9＝0.11.13 [解析] 设所求点P 的坐标为(x ，0)，由||PA ＝|PB |及两点间的距离公式得， （x ＋2）2＋（0－2）2＝（x －2）2＋（0－2 3）2， 化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P 的坐标为(1，0)，所以||PA ＝（1＋2）2＋（0－2）2＝13.12．解：设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 整理得(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.又∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 故直线l 的方程为15x ＋5y ＋16＝0.13．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，2x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即P 点坐标为(－2，1)．根据题意知，当截距等于0时，所求直线的方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当截距不等于0时，设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，－2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，所以所求直线的方程为x －1＋y－1＝1，即x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0.14．B [解析] S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．解：①若直线l 的斜率不存在，且过点A (1，0)，则l 的方程为x ＝1，此时l 与两平行线的交点分别为M (1，3)，N (1，－6)，由两点间的距离公式得|MN |＝9，满足题意．②若直线l 的斜率存在，且过点A (1，0)，则可设l 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，y ＝k （x －1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6k ＋3，y ＝3k k ＋3，即直线l 与直线3x ＋y －6＝0的交点坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3.同理可得直线l 与直线3x ＋y ＋3＝0的交点坐标为D ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴由两点间的距离公式得|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32＝9， ∴k ＝－43，∴直线l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综合①②可知，直线l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.。
2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离
3．3 直线的交点坐标与距离公式3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离[目标] 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.会用代数方法判定两直线的位置关系；3.记住两点间的距离公式并会应用．[重点] 求两直线的交点坐标、两点间的距离公式及应用．[难点] 方程组解的个数与两线相交、平行或重合的对应关系的理解．知识点一 两条直线的交点坐标[填一填]1．求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．2．应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系． 一般地，将直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 当方程组有唯一解时，l 1和l 2相交，方程组的解就是交点坐标； 当方程组无解时，l 1与l 2平行；当方程组有无数组解时，l 1与l 2重合．[答一答]1．在下列直线中，与直线x ＋3y －4＝0相交的直线为( C )A.x ＋3y ＝0B.y ＝－13x －12C.x 2＋y 3＝1D.y ＝－13x ＋4解析：A 、B 、D 选项的斜率都是－13，且与x ＋3y －4＝0平行，C选项的斜率是－32，所以x 2＋y 3＝1与x ＋3y －4＝0相交．2．若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？ 提示：不一定．两条直线是否交于一点，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．知识点二 两点间的距离公式[填一填]1．公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.2．文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．名师点拨：坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．[答一答]3．两点间的距离公式中点P 1，P 2的位置有先后之分么？提示：点P 1，P 2的位置没有先后之分，即距离公式也可以写为|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.4．对于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2平行于x 轴时，如何求P 1，P 2的距离，当P 1P 2平行于y 轴时，如何求P 1，P 2的距离？提示：当P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.当P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 1－y 2|.5．式子x 2＋y 2的几何意义是什么？提示：x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．类型一 求两条直线的交点[例1] (1)直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是( )A.(2,0)B.(2,1)C.(0,2)D.(1,2) (2)两直线2x ＋3y －k ＝0与x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，则k 的值为( )A.－24B.6C.±6D.24 [解析] (1)解方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2x －y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2.即直线x ＋2y －4＝0与直线2x －y ＋2＝0的交点坐标是(0,2)．(2)在2x ＋3y －k ＝0中，令x ＝0，得y ＝k 3，在x －ky ＋12＝0中，令x ＝0，得y ＝12k ，所以12k ＝k 3，解得k ＝±6.[答案] (1)C (2)C解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.[变式训练1] 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：(1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0.(2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12.(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.解：(1)解方程组⎩⎨⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－103，y ＝143. 所以l 1与l 2相交，且交点坐标为－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合．(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾． 方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2.类型二 求过两条直线交点的直线方程[例2] 已知两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0.(1)求两直线的交点；(2)求过两直线的交点和坐标原点的直线l 的方程．[解] (1)由方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2.即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．(2)解法1：∵直线过点(－2,2)和坐标原点，∴其斜率k ＝2－2＝－1，∴直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.解法2：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.解法2用到过两直线交点的直线系方程，避免了求两直线的交点.选择不同的方法求解题目，可以训练自己的解题思路，使思路更开阔.[变式训练2] 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线l 的方程．解：方法1：由方程组⎩⎨⎧ 2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝－75.∵直线l 和直线3x ＋y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝－3.∴根据点斜式有y －(－75)＝－3[x －(－35)]，即所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.方法2：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行，∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 从而所求直线方程为15x ＋5y ＋16＝0.类型三 两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，则P 点坐标为________．[解析] 设P (x,2)，∵点A (－2,1)，B (1，－2)，直线y ＝2上一点P ，使|AP |＝|BP |，∴(x ＋2)2＋(2－1)2＝(x －1)2＋(2＋2)2，解得x ＝2.∴P (2,2)．[答案] (2,2)已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点坐标的方程或方程组求解.[变式训练3] 已知点A (－1,2)，B (1,3)，P 在直线y ＝2x 上，求|P A |2＋|PB |2取得最小值时点P 的坐标．解析：设P点坐标为(x,2x)，∵|P A|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(2x－2)2＋(x －1)2＋(2x－3)2＝10x2－20x＋15＝10(x－1)2＋5，∴|P A|2＋|PB|2≥5.(当且仅当x＝1时取等号)∴当|P A|2＋|PB|2取得最小值5时，点P的坐标为(1,2)．类型四对称问题命题视角1：点关于点的对称问题[例4]已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3,4)对称，则ab＝()A.－5B.14C.－14D.5[分析]利用中点坐标公式求解．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋12＝3，a－b－12＝4，即⎩⎨⎧a＋b＝5，a－b＝9，解得⎩⎨⎧a＝7，b＝－2，故ab＝7×(－2)＝－14.[答案] C点关于点的对称问题一般用中点坐标公式即可解决．[变式训练4]点(1，y)关于(－1,0)的对称点坐标是(x,2)，则x＝－3，y＝－2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1，y ＋22＝0得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝－2.命题视角2：点关于线、线关于线的对称问题[例5] 已知直线l ：y ＝3x ＋3，求(1)点P (4,5)关于直线l 的对称点的坐标；(2)直线l 1：y ＝x －2关于直线l 对称的直线l 2的方程．[解] (1)设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则线段PP ′的中点M 在对称轴上，且直线PP ′垂直于对称轴，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ′＋52＝3×x ′＋42＋3，y ′－5x ′－4×3＝－1，解得⎩⎨⎧ x ′＝－2，y ′＝7.所以点P ′的坐标是(－2,7)．(2)由题意，得l 1上任一点P 1(x 1，y 1)关于l 的对称点P 2(x 2，y 2)一定在l 2上，反之也成立．故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 22＝3×x 1＋x 22＋3，y 1－y 2x 1－x 2×3＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－45x 2＋35y 2－95，y 1＝35x 2＋45y 2＋35. 把(x 1，y 1)代入y ＝x －2，整理得7x 2＋y 2＋22＝0，所以直线l 2的方程为7x ＋y＋22＝0.(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式可求出l 2的方程．[变式训练5] 已知两点A (3，－3)，B (5,1)，直线l ：y ＝x ，在直线l 上求一点P 使|P A |＋|PB |最小．解：如图，作点A 关于直线l 的对称点A ′，易知A ′(－3,3)．连接BA ′交直线l 于点P ，则|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |＝|A ′B |.又直线A ′B 的方程为x ＋4y －9＝0，与y ＝x 联立解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，95.1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是( C )A.(4,1)B.(1,4)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43 解析：由方程组⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝43，y ＝13.即直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于( A )A.5B.37C.13D.4 解析：|MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5.3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线方程是( A )A.2x ＋y －8＝0B.2x －y －8＝0C.2x ＋y ＋8＝0D.2x －y ＋8＝0解析：首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0.4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是a ≠2.解析：l 1与l 2相交则有：a 4≠36，∴a ≠2.5．已知△ABC 的三个顶点的坐标是A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)．(1)判断△ABC 的形状；(2)求△ABC 的面积．解：(1)因为|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，又|BC|＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰直角三角形．(2)△ABC的面积S△ABC＝12|AC|·|AB|＝12×213×213＝26.——本课须掌握的两大问题1．过两条直线交点的直线系方程：过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但此方程中不含l2；一般形式是m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0(m2＋n2≠0)，是过l1与l2交点的所有直线方程．2．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．。
3.3.1_两条直线的交点坐标&3.3.2_两点间的距离
解得 x=1。所以，所求点P（1，0）且
PA (1 1) 2 (0 2) 2 2 2
例5; 证明：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线 的平方和。 分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后 用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。
证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标 原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴， 建立直角坐标系.
∴l1与l2的交点是（2，2）
设经过原点的直线方程为 y=k x
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 x-y=0
思考与探究： 当 变化时，方程
3x 4 y 2 (2 x y 2) 0
表示何图形，图形有何特点？ 解：先以特殊值引路：
=0时，方程为3x+4y-2=0 =1时，方程为5x+5y=0
则A(0，0)。设B(ａ，0)， D(ｂ，ｃ)，由平行四边形性质得点 C的坐标为(ａ＋ｂ，ｃ)，
y D C
A
B
x
因为
AB a CD , AD BC b 2 c 2
2 2 2 2 2
AC (a b) c , BD (a b) 2 c 2
2 2 2 2
所以
AB CD AD BC 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2 2 2
AC BD 2(a 2 b 2 c 2 )
2 2
所以
AB CD AD BC AC BD
2 2 2 2
2
2
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的 平方和。
用“坐标法”解决有关几何问题的基本步骤： 第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
已知两条直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 相交, 如何求这两条直线交点 的坐标 ?
几何元素及关系
代数表示
点A
直线 l
A(a, b)
l : Ax + By + C = 0
点 A在 线 l上 直
Aa + Bb + C = 0
经过直线 l1 : Ax+ By +C1 = 0与直线 l2 : A2x + B2 y +C2 = 0 1 1 的交点的直线系方程为: 的交点的直线系方程为
( A1x + B1 y + C1 ) + λ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0
(λ为待定系数)
此直线系方程 少一条直线l2 一条直线
所以直线的方程为： 所以直线的方程为： x + 3 y − 6 = 0 4
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (3)和直线 和直线2x-y+6=0平行 和直线 平行
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (3) 设经过二直线交点的直线方程为：
相交; (1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交 若方程组有且只有一个解 若方程组有且只有一个解 (2)若方程组无解, 则l1// l2; 若方程组无解 若方程组无解 (3)若方程组有无数解 则l1与l2重合 若方程组有无数解 若方程组有无数解, 重合.
讨论下列二元一次方程组解的情况: 讨论下列二元一次方程组解的情况
(1)l1 x + y − 7 = 0 :2
l2 : x − y + 1 = 0
相交
(2,3)
(2)l1 − 2 y +1 = 0 :x
l2 x − 4y + 2 = 0 :2
重合
(3)l1 + y − 1 = 0 :x
l2 : x + y + 1 = 0
平行
练习
已知两直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0， :(m-2)x+3y+2m=0， 问当m为何值时，直线l 问当m为何值时，直线l1与l2： (1)相交，(2) 平行，(3) 垂直 (1)相交， 平行， 相交
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (2) 设经过二直线交点的直线方程为：
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0
∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
1+ λ 3 1+ λ ∴− × = −1 ∴ λ = 11 ∴k = − λ −2 λ −2 4
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0
∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
1+ λ 1+ λ ∴− =2 ∴ λ = 1 ∴k = − λ −2 λ −2
所以直线的方程为： 所以直线的方程为：2 x −
y+2=0
课堂小结
1.两条直线交点与它们方程组的解之间 两条直线交点与它们方程组的解之间 的关系. 的关系 2.求两条相交直线的交点及利用方程组 求两条相交直线的交点及利用方程组 判断两直线的位置关系. 判断两直线的位置关系
x－2y+2=0 得 x= 2 解：解方程组 y=2 2x－y－2=0 ∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x 把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
一、两条直线的交点: 两条直线的交点
A1 x + B1 y + C1 = 0 A2 x + B2 y + C2 = 0
解：解方程组 3x+4y－2 =0 － 2x+y+2 = 0 得 x= －2）
练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: 2y+2=0， 2x－ l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
A a + B b A11x + B11y + C1 = 0 1 直 l1与 线 l2的 点 A 线 直 交 2 A a + B b A22x + B22y + C 2 = 0
例1：求下列两条直线的交点： 求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0； 3x+4y－2=0； l2：2x+y+2=0.
变式： 求过点A(1，－ 且与直线 ＋3y＋5=0平行 ，－4)且与直线 变式： 求过点 ，－ 且与直线2x＋ ＋ 平行 的直线方程. 的直线方程
当λ变化时 方程 , 3x + 4 y − 2 + λ(2x + y + 2) = 0 ? ? 表示什么图形 图形有何特点
二、共点直线系方程: 共点直线系方程
l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
A B1 1 ≠ A2 B2 A B1 C1 1 = ≠ A2 B2 C2 A B1 C1 1 = = A2 B2 C2
l1与 2相交 l
l1与 2平行 l l1与 2重合 l
练习:判断下列各组直线的位置关系： 练习 判断下列各组直线的位置关系： 判断下列各组直线的位置关系
∴ (1 + λ )2 + (λ − 2)1 + (4 − 2λ ) = 0
∴ λ = −4
所以直线的方程为： 所以直线的方程为：x + 2 y − 4 = 0
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (2)和直线 和直线3x-4y+5=0垂直 和直线 垂直
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 的交点， 例2: 求过两直线 和 的交点 且满足下列条件的直线l的方程 的方程。 且满足下列条件的直线 的方程。 (1)过点 过点(2,1) 过点
设经过二直线交点的直线方程为： 解: (1) 设经过二直线交点的直线方程为：
x − 2 y + 4 + λ ( x + y − 2) = 0 ∴ (1 + λ ) x + (λ − 2) y + (4 − 2λ ) = 0
x + y + 1 = 0 (1) x − y −1 = 0
x − y +1 = 0 (2) − x + y −1 = 0
x=0 一组解 相交 y = −1
无数组 无解
重合 平行
x − y + 1 = 0 (3) x − y −1 = 0
归纳小结： 归纳小结：如何根据两直线的方程系数之间 的关系来判定两直线的位置关系？ 的关系来判定两直线的位置关系？
讨论下列二元一次方程组解的情况: 讨论下列二元一次方程组解的情况
x + y + 1 = 0 (1) x − y −1 = 0
x − y +1 = 0 (2) − x + y −1 = 0
一组解
x=0 y = −1
无数组 无解
x − y + 1 = 0 (3) x − y −1 = 0