两条直线的交点坐标 PPT
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两条直线的交点坐标(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解析：当 l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得 m＝3，或 m＝－1. (1)当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以 l1 与 l2 重合． (2)当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以 l1∥l2. (3)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即 m＝12.
人A数学选择性必修第一册
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4．要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即：
l1 与
l2 平行⇔kb11＝≠kb22，
(斜率
k
存
在
)
⇔
A1 A2
＝
B1 B2
≠
C1 C2
(A2B2C2≠0)
⇔
AB11BC22＝≠AB22BC11，；
l1 与
l2 重合⇔kb11＝＝kb22，
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2.分别求过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交 点且与直线l：2x＋3y＝0垂直、平行的直线．
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相交直线系
过直线A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)与直线A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中λ为任意实数)．
[例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有 唯一解，此解就是交点坐标．
直线的交点坐标与距离公式课件PPT
1．求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点且与直 线 3x＋y－1＝0 平行的直线方程．
解： 法一：设所求的直线为 l，
由方程组2x＋x－y＋3y－2＝3＝0 0， 得xy＝ ＝－ －5753， . ∵直线 l 和直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴直线 l 的斜率 k＝－3. ∴根据点斜式有 y－－75＝－3x－－35， 即所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
法二：
∵直线 l 过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行， ∴λ＋3 2＝λ－1 3≠2－λ－13，解得 λ＝121. 从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.
题型二 两点间距离公式的应用 【例 2】 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使点 P 到点 M(－ 2，－4)，N(4,6)的距离相等．
思路点拨：有以下两种思路：①设出 P 点坐标，根据条件列 出方程，由此求出 P 点坐标；②由条件求出线段 MN 的中垂线方 程，与已知直线方程联立，可得 P 点坐标．
自学导引
1．两条直线的交点坐标
(1)直线的交点坐标：设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 ， 两 条 直 线 的 交 点 坐 标 就 是 方 程
A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
(2)两直线位置关系与方程组 的解的关系：
4．已知点 P(x,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则 x ＝________.
《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0
直线交点坐标和直线系PPT课件
新课讲解
1.两直线交点的坐标
两直线方程组成 的方程组的解
两直线的交点 坐标
第1页/共10页
例题讲解 例1.已知直线L1:2x+3y-7=0,L2:5x-y-9=0， 试判断下列各点中，哪些在L1上？哪些在L2 上？哪个点是二直线的交点？ A(1,-4) B(2,1) C(5,-1)
第2页/共10页
第5页/共10页
跟踪练习
1.不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0
恒过定点 (-2,3) 。
2.过两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点，且 与直线y=x垂直的直线的方程
是 x+y-7=0 。
3.当a为何值时，三条直线: x+y-2=0,xy=0,x+ay-3=0才能构成一个三角形?
a≠±1且a≠2
第6页/共10页
4.直线y=-x+b和x-y=0 的交点在第一象限，
那么b的范围是__b_>_0___
5. 两条直线ax+y+b=0 和x+ay+1=0平行的条
件是a=±1且a≠b ；
6.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0 的交点在y
轴上，则k= +6 。
第7页/共10#43;(2m-1)y=m-5过一 定点; (2)若2p+3q=1，求直线px-2y+q=0经过的定点； (3)直线l：x+my=2m与线段AB相交，其中 A(1,4),B(3,1)，求m范围。
第8页/共10页
例2.已知直线m：x-ky=k和n：kx-y=k+2(k>1)， 求m,n与y轴围成三角形面积的最小值及此时的k 值。
1.两直线交点的坐标
两直线方程组成 的方程组的解
两直线的交点 坐标
第1页/共10页
例题讲解 例1.已知直线L1:2x+3y-7=0,L2:5x-y-9=0， 试判断下列各点中，哪些在L1上？哪些在L2 上？哪个点是二直线的交点？ A(1,-4) B(2,1) C(5,-1)
第2页/共10页
第5页/共10页
跟踪练习
1.不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0
恒过定点 (-2,3) 。
2.过两直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点，且 与直线y=x垂直的直线的方程
是 x+y-7=0 。
3.当a为何值时，三条直线: x+y-2=0,xy=0,x+ay-3=0才能构成一个三角形?
a≠±1且a≠2
第6页/共10页
4.直线y=-x+b和x-y=0 的交点在第一象限，
那么b的范围是__b_>_0___
5. 两条直线ax+y+b=0 和x+ay+1=0平行的条
件是a=±1且a≠b ；
6.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0 的交点在y
轴上，则k= +6 。
第7页/共10#43;(2m-1)y=m-5过一 定点; (2)若2p+3q=1，求直线px-2y+q=0经过的定点； (3)直线l：x+my=2m与线段AB相交，其中 A(1,4),B(3,1)，求m范围。
第8页/共10页
例2.已知直线m：x-ky=k和n：kx-y=k+2(k>1)， 求m,n与y轴围成三角形面积的最小值及此时的k 值。
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.
两条直线的交点坐标课件
求解直线交点坐标
1 列方程组
将两条直线的方程相等 组成方程组，并用未知 量表示交点坐标。
2 消元求解
使用消元法计算未知量 的值。
3 计算交点坐标
把已知值带回到方程组， 计算出交点坐标。
常见问题一: 平面直角坐标系中直线的交 点坐标
平面坐标系
两条直线可以相交、平行 或重合。为了找到交点， 我们需要比较两条直线的 斜率和截距，然后计算方 程组的解。
平行和重合的情况
如果直线平行或重合，则 无法找到交点。在这种情 况下，我们会根据另一些 条件来确定相关的线性关 系。
实例：找到两条交叉 直线的交点
通过计算方程组的解，我 们可以找到两条直线的交 点坐标。
常见问题二：空间直角坐标系中的直线 交点坐标
1
坐标系扩展
在空间坐标系中，我们需要一条额外的直线，这样才能找到两条直线的交点。
2
差异之处
与平面坐标系不同，在空间坐标系中，直线可以相交，平行，重合或者位于同一平面上。 为了解决这些不同的情况，我们必须了解斜率、截距与空间坐标系之间的关系。
3
实例：找到两条垂直交叉的直线的交点
通过计算方程组的解，我们可以找到两条直线的交点坐标。
实例操作
列出方程
给定两条直线的点，我们可 以计算出这两条直线的一般 式和点斜式方程。
两条直线的交点坐标课件
在平面或空间直角坐标系中，学习如何找到两条直线的交点坐标。
直线的定义和方程
什么是直线？
直线是由无数个点组成的，这些点堆叠在一起的 结果是一条线。直线可以扩展到平面或空间中。
如何表示直线？
通过一般式和点斜式可以表示一条直线的方程。 这些方程基于直线在坐标系的位置和斜率进行计 算。Fra bibliotek消元求解
2.3.1 两条直线的交点坐标(PPT)-2024-2025学年高二数学同步备课 (人教A版2019
2.B
3.AC
4.（9，-4）
（五）课堂小结
知识总结
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
学生反思
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
作业布置
完成教材—— 第72页 练习
第1，2，3题
第79页 习题2.3 第1,2,3,9,10题
存在时可视为x＝x0)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(3)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0(m∈R)．
(4)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(令m＝0得x＋y－4＝0，①
令m＝1，得3x+2y-11＝0，②
将①②联立得
x＋y－4＝0
=3
得
=1
3x + 2y − 11＝0
把x＝3，y＝1代入(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0的左边，
得(2m＋1)× 3＋(m＋1)× 1－7m－4＝0,∴点P的坐标为(3,1)．
【巩固练习1】 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是
解析:由
5x + 4y = 2a + 1
,得
2x + 3y = a
3
<a<2.
2
3
答案:-2<a<2
2+3
7
−2
= 7
=
,由
2+3
>0
7
−2
<0
7
两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件
命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
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过直线3x 4 y 2=0和2x y 2=0交点的 直线系方程
例2、动直线(m+1)x (m 1) y m 5 0, 求直线恒过哪个定点？
1、如何确定两条直线的位置关系？ 2、怎样解决含参直线的定点问题？
作业
学案上的【理论迁移】
1个 无数个 无
直线l1与直线l2位置关系
相
交
重平 合行
判断下列各对直线的位置关系， 如果相交，求出其交点的坐标。
(1) l1:x-y=0 l2:3x+3y-10=0 (2) l1:3x-y+4=0 l2:6x-2y-1=0
5 ，5 33
相交
无解
平行
(3) l1:3x+4y-5=0 l2:6x+8y-10=0 无数解 重合
LOGO
3.3.1 两条直线的交点坐标
*能够根据方程来判断两条直线的位置关系， 感
受用代数方法研究几何问题的方便，体会几何问 题代数化的转化思想。（重点）
*通过探究、归纳出解决定点的直线问题的一般思 路，了解由特殊到一般，再有一般到特殊的思想 。（难点）
问题1：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解 有什么样的关系？
几何问题
几何元素及其关系
代数表示
点A
直线 l 点A在直线 l
A(a,b)
l:Ax+By+C=0
Aa+Bb+C=0
直线l1与直线l2的交点是A
AA21aa++BB12bb++CC12==00
两条直线的位置关系
方程组 AA21xx++BB12yy++CC12==00的解
线l2公共点个数
一一对应
问题2：如果直线l1与直线l2相交，如何用代数方法 求出交点坐标？
解方程组
问题3：对于两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0， 组成的方程组的解的情况与两直线的位置关系有何对应？
唯一解 无穷解
转 化ll11、、
l2相交, l2重合,
无解
l1、 l2平行.
代数问题
例1、求经过两条直线x 2 y 1 0和2x y 7 0, 且垂直于直线x 3y 5 0的直线方程
变式：将例1中的“垂直”改为“平行”呢
问题：当变化时，方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形？图形有何特点？
我们称方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0为
例2、动直线(m+1)x (m 1) y m 5 0, 求直线恒过哪个定点？
1、如何确定两条直线的位置关系？ 2、怎样解决含参直线的定点问题？
作业
学案上的【理论迁移】
1个 无数个 无
直线l1与直线l2位置关系
相
交
重平 合行
判断下列各对直线的位置关系， 如果相交，求出其交点的坐标。
(1) l1:x-y=0 l2:3x+3y-10=0 (2) l1:3x-y+4=0 l2:6x-2y-1=0
5 ，5 33
相交
无解
平行
(3) l1:3x+4y-5=0 l2:6x+8y-10=0 无数解 重合
LOGO
3.3.1 两条直线的交点坐标
*能够根据方程来判断两条直线的位置关系， 感
受用代数方法研究几何问题的方便，体会几何问 题代数化的转化思想。（重点）
*通过探究、归纳出解决定点的直线问题的一般思 路，了解由特殊到一般，再有一般到特殊的思想 。（难点）
问题1：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解 有什么样的关系？
几何问题
几何元素及其关系
代数表示
点A
直线 l 点A在直线 l
A(a,b)
l:Ax+By+C=0
Aa+Bb+C=0
直线l1与直线l2的交点是A
AA21aa++BB12bb++CC12==00
两条直线的位置关系
方程组 AA21xx++BB12yy++CC12==00的解
线l2公共点个数
一一对应
问题2：如果直线l1与直线l2相交，如何用代数方法 求出交点坐标？
解方程组
问题3：对于两条直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0， 组成的方程组的解的情况与两直线的位置关系有何对应？
唯一解 无穷解
转 化ll11、、
l2相交, l2重合,
无解
l1、 l2平行.
代数问题
例1、求经过两条直线x 2 y 1 0和2x y 7 0, 且垂直于直线x 3y 5 0的直线方程
变式：将例1中的“垂直”改为“平行”呢
问题：当变化时，方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形？图形有何特点？
我们称方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0为