2.3.1 两条直线的交点坐标
课件2：2.3.1 两条直线的交点坐标 ~2.3.2 两点间的距离公式
(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)， 则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
32
[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程． 解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
18
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
19
[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长． 解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26， 所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值． 解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D
2.3.1 两直线的交点坐标教学设计
课题：2.3.1 两直线的交点坐标
【教学目标】
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
【重点难点】
重点：能用解方程组的方法求两直线的交点坐标
难点：会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系
【教学过程】
一、导
探求两条相交直线的方程与它们交点坐标之间的关系
二、思+议
1、怎样求两条直线的交点坐标？
2、怎样通过两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系？
于直线3x-2y+4=0
三、解答题
8．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l 的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
【解析】(1)由，解得，所以交点为.
因为直线l与直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率为－3，
所以直线l的方程为y＋＝－3，
15x＋5y＋16＝0.
(2)法一：解方程组得P(0,2)．
因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－，
由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，
即4x＋3y－6＝0.
法二：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，
解得λ＝11.
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.。
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标
()
√A.－24
C.6
B.24 D.±6
【解析】 (2)设交点坐标为(a，0)，
则有2a＋a－12k＝＝00，，解得ak＝＝－－2142，，故选 A.
第14页
题型二 过两条直线交点的直线系方程应用
例 2 求经过两直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点，且与直线 3x＋y －1＝0 平行的直线 l 的方程.
第9页
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
【解析】 (2)解方程组x2＋x＋y＋2y2＋＝30＝①0，②， ①×2－②得 1＝0，矛盾. 由此可知方程组无解，因此直线 l1 与 l2 平行.
第10页
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 【解析】 (3)解方程组x2－x－y＋2y1＋＝20＝①0，②， ①×2 得 2x－2y＋2＝0. 说明方程②是方程①的 2 倍，方程①的解都是方程②的解. 因此直线 l1 与 l2 重合.
第16页
方法三：∵直线 l 过直线 2x－3y－3＝0 和 x＋y＋2＝0 的交点， ∴可设直线 l 的方程为 2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ －3＝0. ∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
∴λ＋ 3 2＝λ1－3≠2λ－－1 3，解得 λ＝121.
A.2
B.3
C.4
√D.5
【解析】 (1)解方程组54xx－ ＋63yy－ ＋127＝＝00，，
得xy＝ ＝－ 1，2，
则直线 x＋by＋9＝0 经过点(1，－2)，
所以 1－2b＋9＝0，解得 b＝5，故选 D.
第13页
(2)直线 2x＋3y－k＝0 和直线 x－ky＋12＝0 的交点在 x 轴上，则 k 的值为
2.3.1 两直线的交点坐标
第二章
直线和圆的方程
2.3.1 两直线的交点坐标
情境导学
在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们
用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的
一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线
进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题
.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,
则a的取值范围是
.
=
5 + 4 = 2 + 1,
解析:由
得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 + 3 = ,
=
由
2+3
> 0,
7
得
-2
< 0,
7
3
2
答案: - ,2
3
> - ,∴-3<a<2.
2
2
< 2.
2+3
,
7
-2
(2)方程组
有无数个解,
4-12 + 8 = 0
这表明直线 l1 和 l2 重合.
4 + 2 + 4 = 0,
(3)方程组
无解,
= -2 + 3
这表明直线 l1 和 l2 没有公共点,故 l1∥l2.
跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,
则a的取值范围是
2过两条相交直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直
人教A版选择性2.3.1两条直线的交点坐标课件(17张)
二、(探究一)
❖ 两条直线的位置关系与此两条直线的方程组 的解集存在怎样的联系？
y 6
L2
L1
4 运动 直线
2
-5
O
-2
-4
5
x 10
3
结论一：
已知 ： 直线 l1 ： A1x+B1y+C1= 0 直线 l2 ： A2x+B2y+C2= 0
±6
[分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－
12 m
和－
m3 ，由题意得－1m2＝－m3 ，解得m＝±6．]
学以致用：
3.已知直线 l1：ax＋y－6＝0 与 l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0 相交 于点 P，若 l1⊥l2，则点 P 的坐标为________．
(3,3) [∵直线 l1：ax＋y－6＝0 与 l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0 相
5
例2 53
3
判断下列各对直线的位置关系，
如果相交，则求出交点的坐标。
（1） l1 ： x - y =0，l2 ：3x+3y - 10=0；
（2）l1 3x - y +4=0，l2 ：6x - 2y= 0；
（3）l1 ：3x + 4y - 5 =0， 答案 ：(1)相交
l2 ： 6x +8y - 10 =0 .
交于点 P，且 l1⊥l2，
∴a×1＋1×(a－2)＝0，解得 a＝1，
联立方程
x＋y－6＝0， x－y＝0，
易得 x＝3，y＝3，
∴点 P 的坐标为(3,3)．]
l1 : y k1x b1或A1x B1 y C1 0
2.3.1 两条直线的交点坐标~2.3.2 两点间的距离公式(解析版)..
2.3直线的交点坐标与距离公式2．3.1两条直线的交点坐标2．3.2两点间的距离公式知识梳理知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.点A (a ，b )．(1)若点A 在直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0上，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0.(2)若点A 是直线l 1与l 2的交点，则有A 1a ＋B 1b ＋C 1＝0，A 2a ＋B 2b ＋C 2＝0.2．两直线的位置关系方程组A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组无数组无解直线l 1与l 2的公共点的个数一个无数个零个直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.题型探究题型一、求相交直线的交点坐标1．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为()A ．3320x y -++=B ．33360x y -++=C ．3340x y ---=D ．333120x y ---=【答案】A【详解】由3020x y x y -=⎧⎨=⎩＋＋解得12x y =-⎧⎨=⎩，故两直线交点为(－1，2)，故直线方程是：()231y x -=＋，即3230x y -=＋＋．故选：A ．2．经过两条直线2310x y ++=和2330x y -+=的交点，并且平行于直线y x =的直线的一般式方程为______．【答案】3340x y -+=【详解】由23102330x y x y ++=⎧⎨-+=⎩解得113x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点坐标为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，由平行于直线y x =可得斜率为1，故方程为113y x -=+，化为一般方程为3340x y -+=.故答案为：3340x y -+=.3．经过两条直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点，且与直线210x y --=垂直的直线方程为_______．【答案】270x y ++=【详解】由4020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，即直线1:40l x y ++=和22:0x y l --=的交点坐标为()1,3--，设与直线210x y --=垂直的直线方程为20x y n ++=，则()1230n -+⨯-+=，解得7n =，所以直线方程为270x y ++=；故答案为：270x y ++=4．设三直线1:3420l x y +-=；2:220l x y ++=；3:340l kx y +-=交于一点，则k 的值为______．【答案】1【详解】联立3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，即1l 与2l 交于点(2,2)-，依题意可知，23240k -+⨯-=，解得1k =.故答案为：1.题型二、方程组解的个数与直线位置关系1．两条直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点坐标就是方程组1112220,{0A xB yC A x B y C ++=++=的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确.故答案为C.【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当1112220,0A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解只有一组时，这两条直线1l 和2l 有一个公共点，它们的位置关系为相交．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解有无数组时，这两条直线1l 和2l 有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当1112220,0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩无解时，这两条直线1l 和2l 没有公共点，它们的位置关系为平行．2．若关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，则实数=a ________【答案】2-【详解】由题意关于x 、y 的方程组46132x y ax y +=⎧⎨-=⎩无解，即直线461x y +=和直线32ax y -=平行，故4612603D a a ==--=-，所以2a =-，此时直线32ax y -=即464x y +=-，确实与461x y +=平行，故满足题意，所以实数2a =-.故答案为：-2.3．若关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则实数a 满足的条件是________.【答案】6a ≠【详解】由2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩，可得()660a y -+=，由关于x ，y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩有唯一解，可得方程()660a y -+=有唯一解，则6a ≠故答案为：6a ≠4．若关于x 的二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______．【答案】2-【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯，解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-题型三、由直线交点的个数求参数1．已知两定点()2,3M -，()3,2N --，直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ³B ．5k ≤-C ．51k -≤≤D ．1k ³或5k ≤-【答案】D【详解】如图所示：()()()23225,11213PM PN k k ----==-==---，因为直线l 过()1,2P 且与线段MN 相交，所以l 的斜率k 的取值范围是1k ³或5k ≤-.故选：D2．设点()2,3A -,()3,2B ,若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点,则a 的取值范围是()A ．45,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．54,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．54,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．45,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】C 【详解】直线20ax y -++=与线段AB 没有交点即直线2y ax =-与线段AB 没有交点对于直线2y ax =-,令0x =,则2y =-,则直线恒过点()0,2C -根据题意,作出如下图像:(0,2)C -,()2,3A -∴根据两点求斜率公式可得:直线AC 的斜率为32522AC k +==--(0,2)C -,()3,2B ∴根据两点求斜率公式可得:直线BC 的斜率为224303BC k +==-直线20ax y -++=的斜率为a若直线20ax y -++=与线段AB 没有交点，则5423a -<<故选:C.题型四、两点间的距离1．已知点()2,4A ，()5,4B ，那么A ，B 两点之间的距离等于（）A ．8B ．6C ．3D ．0【答案】C【详解】因点()2,4A ，()5,4B ，则22||(25)(44)3AB =-+-=，所以A ，B 两点之间的距离等于3.故选：C2．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，求证：ABC 是等腰三角形．【详解】∵22(31)(42)8AB =-+-=，22(53)(04)20BC =-+-=，22(51)(02)20AC =-+-=，∴AC BC =，∵421,31AB k -==-021512AC k -==--，∴AB AC k k ≠，∴,,A B C 三点不共线，∴ABC 是等腰三角形．3．已知点(1,3)A -，(2,6)B ，若在x 轴上存在一点P 满足PA PB =，则点P 的坐标为___________．【答案】()5,0【详解】设(),0P x ，则22(1)9(2)36x x ++=-+，解得5x =，∴点P 的坐标为()5,0，故答案为：()5,0．跟踪训练1．判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标：（1）l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；（2）l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.【详解】（1）解方程组230210x y x y ++=⎧⎨--=⎩得11x y =-⎧⎨=-⎩所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1).（2）解方程组202230x y x y ++=⎧⎨++=⎩①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1//l 2.2．若直线2100x y --=经过直线43100x y +-=和280ax y ++=的交点，则=a ___________.【答案】1-【详解】由题意，直线2100x y --=，43100x y +-=，280ax y ++=交于一点，所以210043100x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得42x y =⎧⎨=-⎩，所以直线280ax y ++=过点()4,2-，得()42280a +⨯-+=，求解得1a =-.故答案为：1-3．已知直线l ：120()kx y k k R -++=∈，若直线l 与直线10x y -+=，2380x y +-=三线共点，求k 的值.【答案】13【详解】由102380x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线10x y -+=，2380x y +-=的交点为()1,2，将()1,2代入()120R kx y k k -++=∈，解得13k =.4．若关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =__________．【答案】3-【详解】因为关于x ，y 的二元一次方程组96mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩无解，所以直线96mx y m +=+与直线+=x my m 平行，所以290m -=，解得3m =±，当3m =时，两直线重合，故答案为：3-.5．已知关于,x y 的方程组()222(1)1,(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解，则实数a 的取值范围是__________.【答案】1()a a R ≠-∈【详解】由方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足22(2)(1)(1)0a a a a -+-+≠，即2(1)0a -+≠，解得1()a a R ≠-∈.故答案为：1()a a R ≠-∈.6．关于x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则a 与b 的积是_____.【答案】-35【详解】因为x ､y 的二元一次方程组7352x by ax y -=⎧⎨+=⎩有无穷多组解，所以直线73x by -=与直线52ax y +=重合，所以7352b a -==，解得1415,32a b ==-，所以35ab =-，故答案为：-357．已知直线l 过定点()1,2P -，且与以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没．有．交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．()(),15,-∞-+∞B ．(][),15,-∞-⋃+∞C ．()1,5-D ．[]1,5-【答案】A【详解】如图，要使直线l 以()2,3A --，()4,5B -为端点的线段（包含端点）没有．．交点，则PA k k >或PB k k <,因为23255,11214PA PB k k +-====--+-+，所以直线l 的斜率k 的取值范围是()(),15,-∞-+∞；故选：A8．已知线段AB 两端点的坐标分别为()2,3A -和()4,2B ，若直线:10l x my m ++-=与线段AB 有交点，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,1,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]3,1,4⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【详解】直线:10l x my m ++-=恒过的定点()1,1P -，4,13AP BP k k =-=.当0m =时，直线l 方程为1x =，与线段AB 有交点，符合题意.当0m ≠时，直线l 的斜率为1m-，则[)14,1,3m ⎛⎤-∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦，解得10m -≤<或304m <≤，综上，31,4m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C9．已知三条直线1:440l x y +-=，2:0l mx y +=，3:2340l x my --=.（1）若直线1l ，2l ，3l 交于一点，求实数m 的值；（2）若直线1l ，2l ，3l 不能围成三角形，求实数m 的值.【答案】（1）1m =-或23；（2）1m =-或23或4或16-.【详解】（1）∵直线1l ，2l ，3l 交于一点，∴1l 与2l 不平行，∴4m ≠，由4400x y mx y +-=⎧⎨+=⎩，得4444x mm y m ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，即1l 与2l 的交点为44,44m m m -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，代入3l 的方程，得8434044m m m m--⋅-=--，解得1m =-或23.（2）若1l ，2l ，3l 交于一点，则1m =-或23；若12//l l ，则4m =；若13//l l ，则16m =-；若23//l l ，则不存在满足条件的实数m .综上，可得1m =-或23或4或16-.10．直线l 的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（）A ．2B ．2C ．22D ．4【答案】C【详解】由题设，直线:1(1)l y x -=--，整理得:20+-=l x y ，所以，直线l 与坐标轴交点为(2,0),(0,2)，故直线被坐标轴所截得的线段长是22(20)(02)22-+-=.故选：C11．已知(1,2),(,6)A B a ，且||5AB =，则a 的值为（）A ．4B ．4-或2C ．2-D ．2-或4【答案】D【详解】易知22(1)(62)5a -+-=，∴4a =或2a =-.故选：D.12．已知三角形ABC 的顶点坐标为A （－1，5）、B （－2，－1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。
2.3.1两条直线的交点坐标(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0
2.3.1两条直线的交点坐标高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
= 2,
= 2,
由
解得
∴C(2,4).
=
4,
3 + -10 = 0,
,
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)两条直线的交点;
(2)直线系过定点问题.
2.方法归纳:消元法、直线系法.
3.常见误区:(1)对两直线相交条件理解不清;
(2)容易混淆直线交点与对应方程组解的关系.
成果验收·课堂达标检测
则
-2
·2 = -1,
+4
解得
+2
-4
= 2· ,
2
2
-2
,线段
+4
AA'的中点坐标为
-4 +2
,
2
2
= 4,
∴A'(4,-2).
= -2,
∵y=2x 是角 C 平分线所在直线的方程,∴A'在直线 BC 上,
∴直线 BC
+2
的方程为
1+2
=
-4
,即
3-4
3x+y-10=0,
则
1+
2
1+
2
= 3,
= 5,
解得
= 5,
= 3,
即直线 l2 恒过定点(5,5).故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9.（多选题）若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三
角形,则a应满足的条件是( AD )
C.{(2,3)}
D.{(3,2)}
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
讲
课
人
：
邢
启 强
8
典型例题 例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交， 求出其交点的坐标.
（1）l1：x y 0, l2：3x 3y 10 0 ; （2）l1：3x y 4 0, l2：6x 2y 1 0; （3）l1：3x 4y 5 0, l2：6x 8y 10 0.
2λ－1
思考3:方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？
讲 课 人
不表示2x+y+2=0这条直线
：
邢
启 强
11
学习新知
思考4:方程 m(3x 4 y 2) n(2 x y 2) 0 表示经过直线l1和l2的交点 的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程可怎样表示？
的反方之程，组如果AA方12xx程++BB组12yy++AACC1212xx==++00BB12的yy++解CC12；==00 只有一个解，
那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点。
讲
课
人
：
邢
启 强
5
学习新知 思考5：对于两条直线 l1:A1x B1y C1 0
合
,
无 解
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l
1l
平
2
行
.
讲
课
人
：
邢
启 强
7
典型例题 例1：求下列两条直线的交点：
l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.
解：解方程组 3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 y=2
∴l1与l2的交点是M（－2，2）
练习：课本第72页练习1
解得：x=1 y= - 1
即 M(1,- 1)
y
x
o M(1, - 1)
代入：x+2y－1+λ（2x－3y－5）= 0
得 0+λ·0=0
∴M点在直线上
讲 课
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线
人 ： 邢 启 强
A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
直线l
L:Ax+By+C=0
点A在直线l上
Aa+Bb+C=0
直线l1与l2的交点是A 点A的坐标是方程组的解
A1x B1y C1 0
讲 课 人
A2x B2y C2 0
：
邢
启 强
4
学习新知 两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点 同时在两条直线上，交点坐标一定是它们的方程组成
m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
或A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0
讲
课Leabharlann 人：邢启 强
12
典型例题 例4：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，
且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
解法一：解方程组
x+2y－1=0， 2x－y－7=0
得
和 l2:A2x B2y C2 0 ,若方程组
A A
1x 2x
B1y B2y
C1 C2
0 0
有唯一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
直线l1、l2联立得方程组
唯一解 无穷多解 无解
转化
l1 l1 l1
, , ,
l2相交， l2重合， l2平行.
(代数问题)
(几何问题)
讲
课
人
10
学习新知 过交点的直线系
思考1:经过直线l1:3x+4y-2=0与直线l2:2x+y+2=0的交点可作无数 条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？
k存在: y-2=k(x+2)；k不存在: x=-2
m(3x 4 y 2) n(2x y 2) 0
思考2:上述直线l1与直线l2的交点M(-2,2)在这条直线上吗？ 当m，n为何值时，方程 m(3x 4 y 2) n(2x y 2) 0 分别表 示直线l1和l2？ n=0,m≠0表示直线l1 ,m=0,n≠0表示直线l2
讲
课
人
： 邢 启
练习：课本第72页练习2
强
9
典型例题 例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标， 并证明方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数） 表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。
证明：联立方程 3x+2y－1=0 2x－3y－5=0
y
思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线
P
2x+y+2=0的交点坐标吗？ 有什么办法求得这两条直线的交点坐标？
o
x
讲
课
人
：
邢
启 强
3
学习新知 思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和 l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a, b)
讲
课
人
：
邢
启 强
2
学习新知 两条直线的交点坐标
思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程 Ax+By+C=0有什么关系？
点的坐标是其方程的解,即Ax0+By0+C=0
思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0的位置关系如何？ 直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系如何？
2.3.1两条直线的交点坐标
回顾引入
两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置关系与系数的关系？
l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
l1//l2
A1B2-A2B1=0 且A1C2-A2C1≠0或B2C1-B1C2≠0
l1与l2相交 A1B2-A2B1≠ 0
当 —A—1 = —B—1 = —C1— 时，两条直线重合。 A2 B2 C2
x=3 y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0 解法二：所求直线在直线系2x－y－7+λ（x+2y－1）=0中
经整理，可得（2+λ）x+（2λ－1）y－λ－7=0
∴ － —2+—λ—— =3 解得 λ= 1/7
：
邢
启 强
6
学习新知 一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0， l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组
唯 一 解
A1 A2
B1 B2
l1
l
相
2
交
,
A1x
B1y
C1
0 无 数 解
A2x B2y C2 0
A1 A2
B1 B2
C1 C2
l1l
重
2