2 刚体
转动惯量实验报告-理论力学
理论力学转动惯量实验报告实验小组成员：1453352 郭佳林 1453422 贺春森 1453442 刘美岑 1450051 万丽娟 1453208 王玮实验时间：2015年5月24日13：30——15：30实验地点：同济大学四平路校区力学实验中心【实验概述】转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，它与刚体的质量分布及转轴位置有关。
正确测定物体的转动惯量，对于了解物体转动规律，机械设计制造有着非常重要的意义。
然而在实际工作中，大多数物体的几何形状都是不规则的，难以直接用理论公式算出其转动惯量，只能借助于实验的方法来实现。
因此，在工程技术中，用实验的方法来测定物体的转动惯量就有着十分重要的意义。
IM-2 刚体转动惯量实验仪，应用霍尔开关传感器结合计数计时多功能毫秒仪自动记录刚体在一定转矩作用下，转过π角位移的时刻，测定刚体转动时的角加速度和刚体的转动惯量。
因此本实验提供了一种测量刚体转动惯量的新方法，实验思路新颖、科学，测量数据精确，仪器结构合理，维护简单方便，是开展研究型实验教学的新仪器。
【实验目的】1.了解多功能计数，计时毫秒仪实时测量（时间）的基本方法。
2.用刚体转动法测定物体的转动惯量。
3.验证转动的平行轴定理。
4.验证刚体定轴转动惯量与外力矩无关。
【实验原理】1.转动力矩、转动惯量和角加速度的关系系统在外力矩作用下的运动方程错误！未找到引用源。
（1）由牛顿第二定律，可知：砝码下落时的运动方程为：即绳子的张力砝码与系统脱离后的运动方程（2）由方程（1）和（2）可得：（3）2.角速度的测量错误！未找到引用源。
（4）若在t1、t2时刻测得角位移θ1、θ2，则（5）（6）所以，由方程（5）和（6），可得：3.转动惯量J的理论公式1)设圆形试件，质量均匀分布，总质量为M，其对中心轴的转动惯量为J，外径为D1,，内径为D2，则2）平行轴定理：设转动体系的转动惯量为J0，当有M1的部分质量原理转轴平行移动d的距离后，则体系的转动惯量为：【实验器材】1.实验仪器IM-2刚体转动惯量实验仪（含霍尔开关传感器、计数计时多功能毫秒仪、一根细绳、一个质量为100g的砝码等，塔轮直径从下至上分别为30mm、40mm、50mm、60mm，载物台上的孔中心与圆盘中心的距离分别为40mm、80mm、120mm）（如下图）2.实验样品1)一个钢质圆环（内径为175mm，外径为215mm，质量为933g）2)两个钢质圆柱（直径为38mm，质量为400g）【实验步骤】1.实验准备在桌面上放置IM-2转动惯量实验仪，并利用基座上的三颗调平螺钉，将仪器调平。
实验2 刚体转动惯量的测定
1实验2 扭摆法测定物体的转动惯量【实验目的】1.熟悉转动惯量测试仪的使用方法。
2.掌握测试仪常数（弹簧的扭转常数）K 的测定。
3.用扭摆法测定几种不同形状物体的转动惯量，并与理论值进行比较。
【实验仪器】转动惯量测试仪，空心金属圆柱体、实心塑料圆柱体、塑料圆球、细金属杆。
【实验原理】将物体在水平面内转过一角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。
根据虎克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即M ＝－K θ （2-1） 式中，K 为弹簧的扭转常数，根据转动定律 M ＝I β式中，I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由上式得 IM＝β （2-2） 令 LK =2ω 忽略轴承的磨擦阻力矩，由（2-1）、（2-2）得θωθθβ222-=-==Kdtd上述方程表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。
此方程的解为：2θ＝Acos(ωt ＋φ)式中，A 为谐振动的角振幅，φ为初相位角，ω为角速度，此谐振动的周期为 KIT πωπ22==（2-3） 由（2-3）可知，只要实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量已知时即可计算出另一个量。
本实验用一个几何形状规则的物体，它的转动惯量可以根据它的质量和几何尺寸用理论公式直接计算得到，再算出本仪器弹簧的K 值。
若要测定其它形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在本仪器顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，由公式（2-3）即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。
理论分析证明，若质量为m 的物体绕通过质心轴的转动惯量为I O 时，当转轴平行移动距离X 时，则此物体对新轴线的转动惯量变为I O ＋mx 2。
称为转动惯量的平行轴定理。
【实验内容】1. 测定弹簧的扭转常数，调整测试仪座底脚螺丝，使水平仪的气泡位于中心。
由于弹簧的扭转常数K 值不是固定常数，它与摆动角度略有关系，摆角在90º左右基本相同，在小角度时变小。
2刚体基本运动
1 r2 n1 i 2 r1 n2
2.齿轮传动
r11= –r22;
1 n1 i12 2 n2
r2 r1 z2 z1
r1
r2
3.齿轮箱传动
1 z2 ; 2 z1
3 z4 ; 4 z3
z1
4
z4
1
z2
上二式相乘，並有：2=3
3
i14
α r ω (ω r )
at an
12
z
例：一矢量 rAB 绕 z轴以角速度定轴转动， drAB 试证： dt ω rAB B z' 证明： r r r
rB rA rAB
k
AB
B
A
x
O' i y x'
A
j y'
drAB drB drA vB v A dt dt dt
l
vA
M
vM
vM v A
B
aM a A
vA l
其中 则
π π 0 cos t 4 4 π π v A l 0 cos t 4 4
16
方向垂直O1A
π π v A l 0 cos t 4 4
O1 φ O2
A点的切向加速度 2
l B
l
n A
a
O
a
A
角速度矢量：
大小:
d dt
表征转角变化
y x
方向: 转动方向，右手螺旋确定指向
ω k
单位:
rad/s
工程中转速n： 一分钟转过的圈数
2 n 60
刚体2
三、经典力学的时空观（绝对时空观） 经典力学的时空观（绝对时空观）
1.空间的绝对性（长度测量与参照系无关） 空间的绝对性（长度测量与参照系无关） 空间的绝对性 2.时间的绝对性（时间测量与参照系无关） 时间的绝对性（时间测量与参照系无关） 时间的绝对性
1.空间的绝对性（长度测量与参照系无关） 空间的绝对性（长度测量与参照系无关） 空间的绝对性
由角动量守恒得： 由角动量守恒得：
I1
I2
J1ω1 − J2ω2 = ( J1 + J2 ) ω
J1ω1 − J2ω2 ω= J1 + J2 1 1 1 2 2 2 ∆Ek = ( J1 + J2 ) ω − J1ω1 + J2ω2 2 2 2
ω1
ω2
ω
−J1J2 (ω1 +ω2 ) = <0 J1 + J2
Δmi C× hc hi Ep=0
∆Ep = ∆mi ghi
∑E = ∑∆mgh
p i
i
∑∆mh = mg
m
i i
= mghc
2.刚体的动能： 2.刚体的动能： 刚体的动能 3.刚体的机械能守恒定律： 3.刚体的机械能守恒定律： 刚体的机械能守恒定律
1 2 EK = Jω 2
A外 + A非保内 = Ek 2 + Ep2） (Ek1 + Ep1) （ −
已知： 已知：R = 0.2 m ， m =1kg，v o = 0，
h =1.5 m
· m t R
t =3 s 。
绳轮无相对滑动，
v0=0
不可伸长， 绳不可伸长，
h
求：轮对 O轴 J=？
· m t
期末复习2(刚体)
10.0 rad/s 方向垂直纸面向外.
2
2分
0112质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑 轴转动，转动惯量为M r2/2．绕过盘的边缘挂有质量为m，长为l 的匀质柔软绳索（如图）．设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘 两侧绳长之差为S时，绳的加速度的大小.
Mr
a
S
解：选坐标如图所示，任一时刻圆盘两侧的绳长分别为x1、x2 选 长度为x1、x2的两段绳和绕着绳的盘为研究对象．设a为绳的加速 度，β为盘的角加速度，r为盘的半径，为绳的线密度，且在1、 2两点处绳中的张力分别为T1、T2，则 = m / l， a = rβ ① 2分 x2 g－T2 = x2 a ② 1分 T1－x2 g = x1 a ③ 1分 (T1－T2 ) r = ( 1 M＋r)r 2β ④ 4分
O m
v
解：碰撞时，系统的角动量守恒
1 2 2 m ' vl ( ml m ' l ) 3
m 'v 1 ( m m ')l 3 15.4rad s
1
m, l
O
m
v
棒转动：用转动定律求解 1 M r ( ml 2 m ' l 2 ) 3 1
2
M = J
-k = J d / dt
d
k dt J
0 / 2
0
1
d
t
0
k dt J
t ＝ (J ln2) / k
（质点与刚体碰撞）
一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的 竖直固定光滑轴O转动．棒的质量为m = 1.5 kg，长度为 1 2 l = 1.0 m，对轴的转动惯量为J = 3 ml .初始时棒静 止．今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并 留在棒中，如图所示．子弹的质量为m= 0.020 kg，速 率为v = 400 m· s-1．试问： (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大？ (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N· m的恒定阻力矩 作用，棒能转过多大的角度？ m, l
8.刚体2
H.Yin上节内容H.Yin一、力矩的功§3-3定轴转动中的功能关系dtP =dt 移，任何一对内力作功为零。
H.Yin二、刚体的转动动能§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin三、定轴转动的动能定理合外力矩对绕定轴转动刚体做功=刚体转动动能增量§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin四. 定轴转动的功能原理则E k +E p =常量。
E p =0§3-3定轴转动中的功能关系H.Yin[例水平位置，然后让它自由下落。
求：c mgh J +221ωh 0=ωH.Yin解三：Lω=例1解H.Yinl N N N +=42例1解H.Yin§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一、刚体的角动量i i i L m r ω⎛⎞=Δ⎜⎟⎝⎠∑2J ω=L J ω=H.Yin刚体角动量定理：作用在刚体上的冲量矩等于刚体角动量的增量。
二、定轴转动刚体的角动量定理§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律H.Yin 三、角动量守恒定律M =d L d t若=M 0，则L =c 但角动量可在内部传递。
const J M i iiz z ==∑ω时，当外0H.Yin§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律H.Yin刚体的平动和定轴转动中的一些重要公式F x mv mv =−∫22011d 22M J J θωω=−∫22011d 22H.Yin[例ωω1、J =+(J )12＜0ωωJ 1J 有机械能损失。
ω;2.对接过程中的机械能损失。
求：1.对接后共同的角速度H.Yin两摩擦轮对接。
若对接前两轮的角速度为dt22ω例2H.Yint∫t2222112r J r J +例2解H.Yin求：双臂收缩1初始转速为ω,m [ 例3] 人和转盘的转动惯量为J 0,械能增量。
哑铃的质量为2r r 1变为时的由角速度及机r r 12m m J 0ω1由角动量守恒非保守内力作正功，机械能增加1210)2(ωmr J +2220)2(ωmr J +=12202102)2()2(ωωmr J mr J ++=2121022220)2(21)2(21ωωΔmr J mr J E k +−+=0}1)2()2({)2(2122021021220>−+++=mr J mr J mr J ωH.Yin[例4自由转动。
刚体动力学2
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运 动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义 转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第 第三 三章 章
转动惯量是转 动惯性的量度
质量是平动 惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩 擦力矩使圆盘转动停止。 设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三 三章 章 设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上 第 半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。 质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转 动 定 律
第 第三 三章 章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】 如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量 一些常见刚体的转动惯量
第 第三 三章 章
细杆
1 2 J = ml 12
刚体2
ω1R1 = −ω2 R2
正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理， 正确的解法应对两圆柱分别使用角动量定理，由于两 柱接触时摩擦力大小相等、方向相反, 柱接触时摩擦力大小相等、方向相反,力矩和冲量矩的 大小正比于半径,方向相同: 大小正比于半径,方向相同: R 1 fdt = R 1 fdt = J 1 ( ω 1 − ω 10 ) ∫ ∫ ∫ R 2 fdt = R 2 ∫ fdt = J 2 ( ω 2 − ω 20 )
Li = ri ∆mi vi = ri ∆miω
所以刚体绕此轴的角动量为： 所以刚体绕此轴的角动量为：
L =
∑
i
L i = ( ∑ ∆ m i ri 2 )ω = J ω
i
刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯 量J 和角速度ω 的乘积。
2、刚体的角动量定理
d L 微分形式： 质点的角动量定理为： A：微分形式： 质点的角动量定理为： M ＝ dt d L i 对质点组讨论: 对质点组讨论 = M
l m ho
c l hc h=3h0/2
h’
a
b
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
v0 =
2 gh 0
摆锤的速度为v 令碰撞后直杆的角速度为ω，摆锤的速度为 ＇。 由角动量守恒， 由角动量守恒，有
1 ml ( v 0 − v ′ ) = J ω , 式中 J = ml 3 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: 在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
dr
F P
θ
x
2、刚体定轴转动的动能定理 刚体上所有质元的动能之和为： 刚体上所有质元的动能之和为：
E
K
1 = 2
∑
i
∆ m iv
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
R
2mr R
2
2π rdr
dr
dr
m
dJ dm r
m 2 0 r dm
2m R
2
r O
r dr
3
J
R 0
2m R
2
r dr
3
m 2
R
2
(3) J 与转轴的位置有关 z M O
J
z M L O
J
L dx x
1
2
dx
2
x
1 12 ML
2
0
L
x dx ML 3
讨论 (1) 正比于 M ，力矩越大，刚体的 越大 (2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同 (3) 与牛顿定律比较： F , J m, a M
注意： (1)转动定律为瞬时矢量关系； (2)转动定律只对惯性系成立； (3)转动定律所有的量，是对同一个转轴而言；
三. 转动惯量
z 轴做匀速转动，设某时刻刚体上
求: 解:
该时刻P点的速度。
r
2 60 k 2 k 60
Z
P
2 k ( 3 i 4 j 5 k )
6 k i 8 k j 10 k k
F
h
r
• 力矩取决于力的大小、方
向和作用点 在转动平面内的分力对转轴的力矩。
A
F Fn
F
• 在刚体的定轴转动中，如不加说明，所指的力矩是指力
讨论 (1) 力对点的力矩 大小： M O rF sin 方向： 右螺旋法则
Mo
F
O .
r
F
MO r F
Mo
r
z
F//
(2) 力对定轴力矩的矢量形式
F
M Z r F
h
r
大小： M Z rF sin
方向： 右螺旋法则 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向 (3)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
Mo
A
F Fn
①
②
法向分力对轴O无力矩作用， ①式不予考虑。
对固定轴的力矩
Fi ri f i ri mi ai ri mi ri
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程， 将N 个方程左右相加，得： 对所有质元
Fi r i fi r i ( mi ri
合内力矩
i
应用牛顿第二定律，可得：
mi
i
Fi
Fi fi mi a i
法向： 切向：
即:
2
F i cos i f i cos i m i a in m i ri F i sin i f i sin i m i a i m i ri
O
X
Y
6 j 8 i ( 25 . 1i 18 . 8 j ) cm
s
§3.2 转动定律（刚体定轴转动）
一. 力矩
• •
力
改变质点的运动状态 改变刚体的转动状态
质点获得加速度 刚体获得角加速度
z
F//
力 F 对z 轴的力矩
M z ( F ) Fτ r F h
动平面 转
0
ω
P
X
参 考 方 向
2 ) 角速度 刚体对转轴的(瞬时)角速度
ω
转 面 动平
d dt
角速度矢量 方向： 右手螺旋定则 即四指弯曲方向与刚体的转动方向一致， 拇指所指的方向就是角速度方向。 角速度为常矢量的刚 体转动称为匀速转动。
3) 角加速度 刚体对转轴的(瞬时)角加速度大小为
d dt d
2
ω
dt
2
方向：刚体转动加快时角加速度方向与角 速度同向；刚体转动减慢时两者反向。
角速度矢量
1
2
假设向上 为正方向
1
2
刚体转动加快ω 2＞ω 1， 则Δ ω ＞0，β ＞0 ， 方向向上
刚体转动减慢ω 2＜ω 1, 则Δ ω ＜0，β ＜0 ， 方向向下
2
L / 2
L/ 2
x dx
四. 平行轴定理及垂直轴定理
1. 平行轴定理
J z' J z ML
2
z'
L
z M C
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴
L :两轴间垂直距离
例 均匀细棒的转动惯量
1 L J Z M ML2 JZ 3 2
O
M L
x
J
dJ x dx
2 0
L
L
x
2
0
J铁 J木
(2) J 与质量分布有关 例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J 0 R dm R 0 dm mR
2 L L 2
dl m R O
2
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
ds 2π rdr dm ds
m πR
若角加速度为恒矢量，这种变速转动
称为匀变速转动
0 t 1 2 ( 0 ) t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
即当
β c
与质点的匀加速直线运动公式相象
3. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同 z ω, v r' P O θ α r 刚体 参 ×基点O 考
（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。
0
解: （1）设初角度为0方向如图所示，
0=21500/60=50 rad/s
t=50S 时刻 =0 ，
O a
2
an
v r
0
t
50 50
3.14 rad / s
定义式
J mi ri
2
质量不连续分布 质量连续分布
( ( ( m L m V m S 线密度 ) 面密度 ) 体密度 )
J r dm
2
J
2 r dV V 2 2 r dm r dS S 2 r dl L
L
M
• 在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算
例如 T' T T' T
gxdx MgL L 2
M i TR T' R
M i TR T' r
二. 刚体对定轴的转动定律
对刚体中任一质量元 mi
转轴O垂直板面
Fi -外力 f i -内力
ri
Ο
fi
2
)
合外力矩 M
刚体的转动惯量 J
刚体内 作用力和反作用力的力 矩互相抵消
Ο
即
f i r i
0
d
1
f2 f1
2
刚体的转动定律
M z J J
d dt
刚体对 z 轴 的转动惯量
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
刚体在合外力矩 M作用下 ，所获得角加速度 与 M 成正 比，而与刚体的转动惯量J 成反比——刚体的转动定律
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
五. 转动定律的应用举例
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg· 2，飞轮与转轴间的摩擦 m 不计， (见图) 求 (1) 飞轮的角加速度 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳
刚体在定轴转动中， 刚体上各点具有不同的速 度和加速度，但具有相同 角速度和角加速度。
z
I
P
II
M
刚体绕定轴转动的角量描述：
转动平面：垂直于转动轴所作的平面。 刚体中任何质点都在各自的转动 平面内作圆周运动. 1)角位移 开始时质点P在X轴，经t时刻, 转 过的角度为θ ，θ 即为角位移。 方向规定： 俯视转轴观察时，刚体沿逆时针 方向转动时，θ为正值， 刚体沿顺时针方向转动时，θ为负值。
方 向 定轴
v r'
an r '
a dv dt
2
r'
速度与角速度的矢量关系式 dr v ω r dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a dv dt dω d(ω r )
z
ω, v
dt dr r ω dt dt
J z 1 / 12ML
2
z
z
2
M
L
z
2. (薄板)垂直轴轴在薄板内；
z 轴垂直薄板。
z C
mR
2
x
m 圆盘 R
y
例如求对圆盘的一条直径的转动惯量 已知 J z mR
2 1
2
Jz Jx Jy Jx Jy
Jx Jy
1 4
y
x
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度 .
第三章
刚体的转动
教学基本要求
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线