南京市建邺区2015届九年级数学期中试题
江苏省南京市秦淮区2015届九年级上学业质量监测(期中)数学试卷苏科版
乙
丙
丁
平均数 (cm)561来自560561560
方差s2(cm2)
3.5
3.5
15.5
15.5
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．把方程x2＋4x－5＝0化成（x＋m）2＝n的形式，则m、n的值分别是
A．2，9 B．－2，9 C．2，1 D．－2，1
求证：△ACE是奇异三角形．
27．(12分)如图，A、B是⊙O上的两个点，已知P为平面内一点，（P、A、B三点不在同一条直线上）．
(1)若点P在⊙O上，⊙O的半径为1．
①当∠APB＝45°时，AB的长度为▲；
②当AB＝1时，∠APB＝▲°；
(2)若点P不在⊙O上，直线PA、PB交⊙O于点C、D(点C与点A、点D与点B均不重合)，连接AD，设∠CAD＝α，∠ADB＝β，试用α、β表示∠APB（请直接写出答案，并画出示意图）．
成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，
创意设计88分，如果采访写作、计算机操作和
创意设计的成绩按4:1:3计算，则他的素质测试
平均成绩为▲分．
12．现有一块长80cm、宽60cm的长方形铁皮，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意，列方程得▲．
16．如图，点D与半圆上的点C关于直径AB成轴对称．若∠AOC＝38°,则∠CDB＝▲°．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(6分)解方程x2＋x－3＝0．
18．(6分)解方程(x＋2)2＝3(x＋2)．
2015年南京市中考数学试题及答案
数学试卷
第 5 页 （共 11 页）
27． （10 分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线 ABD、线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本 y1（单位：元） 、销售价 y2（单位：元）与产量 x（单 位：kg）之间的函数关系． （1）请解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）求线段 AB 所表示的 y1 与 x 之间的函数表达式． （3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
由 AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边 形 MNQP 是平行四边形．要证□MNQP 是菱形， 只要证 NM＝NQ． 由已知条件 ≌△QFH．易证 ∠EFH， ▲ ▲ ， ▲ ▲ ， MN∥EF， ，故只要证∠ 可证 NG＝NF，故只要证 GM＝FQ，即证△MGE MGE＝∠QFH．易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝ ，即可得证． C N G D A M E P B
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 7．±2；2 12．3；－4 8．x≥－1 13．－2；3 9． 5 14．变大 10．(a－2b)2 15．215 11．－1＜x＜1 16．y2＝ 4 x
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分） 17． （本题 6 分） 解：去括号，得 2x＋2－1≥3x＋2． 移项，得 2x－3x≥2－2＋1． 合并同类项，得－x≥1． 系数化为 1，得 x≤－1． 这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示．
H
F （第 24 题）
Q
数学试卷
第 4 页 （共 11 页）
25． （10 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在 正方形 ABCD 的边上，且含边长为 3 的所有大小不同的等腰三角形． （要求：只要画出示 意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3）
2015届江苏省南京市玄武区九年级上期中调研考试数学试题及答案
玄武区2014-2015学年初三第一学期数学期中试卷一、选择题 （本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分） 1. 一元二次方程x 2 + 2x + 4＝ 0的根的情况是（ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2. 某班6 名同学在一次“一分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：39，45，42，37，41，39，这组数据的众数，中位数分别是（ ）A.39 40B.41 42C.39 41D.42 373. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10 次射击的平均成绩恰好都是9.4 环，方差分别是0.90，1.22，0.43，1.68，在本次射击中，成绩最稳定的是（ ）A.甲B.乙C.丙D.丁4. 已知一元二次方程2 x -8x +15＝ 0的两个分别是Rt △ABC 的两边长，则第3 条边长（ ） A.3 B.4或5 C.3或5 D.4或345. 如图，在5×5 正方形网格中，一段圆弧经过A,B,C 三点， 那么这段圆弧所在圆的圆心是（ ）A.点PB.点QC.点RD.点M 6. 边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A.43a² B.a² C.233a² D.33a² 二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分）7. 方程x ²＝ 2x 的解为____________.8. 若关于x 的方程x ² -5x +k ＝0的一个根是0，则另一个根是____________.9. 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按60%，面试按40%计算加权平均，作为总成绩，孔明笔试成绩90 分，面试成绩85 分，那么孔明的总成绩是____________分.10. 已知圆O 的直径为6cm ，圆心O 到直线l 的距离是5cm ，则直线l 与圆O 的位置关系是____________.11. 已知关于x 的一元二次方程k x ²+ 4x+1＝0有两个实数根，则 k 的取值范围是____________.12. 某企业2011 年底缴税40 万元，2013 年底缴税48.4 万元，设这两年该企业缴税额年平均增长率为x ，根据题意，可列方程____________.13. 如图，AB 与O 相切于点B ，AO 的延长线交O 于点C ，连接BC ，若∠A=36°，则∠C=____________.14. 用半径为12cm ，圆心角为150°的扇形做成一个圆锥模型的侧面，则此圆锥的高为____________cm.15. 如图，半径为2的圆 P 的圆心在一次函数 y ＝ 2x -1的图像上运动，当圆 P 与 x 轴相切时，圆心P 的坐标为____________. 16. 如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=10，∠CBA=30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ，当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是____________.三、解答题（本大题共11 小题，共88 分）17. （本题满分8 分）解方程：(1) x ²-2x -1＝ 0（用配方法） (2) x (2x - 6)＝x -3 18.（本题满分6 分）如图，AB 是O 的一条弦，OD ⊥AB ，垂足为C点D ，点E 在圆O 上.⑴若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数； ⑵ 若OC=3，OA=5，求AB 的长.19. （本题满分10 分）为了从甲．乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表： 甲、乙射击成绩折线图第13题D（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？20. （本题满分8 分）在等腰△ABC 中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2 +(b+ 2)x+ 6-b＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.21. （本题满分8 分）如图，AB 为O的直径，AB=AC，BC 交O于点D，AC 交O 于点E，∠BAC=45°.（1）求∠EBC 的度数；（2）求证：BD=CD.22. （本题满分8 分）如图，将一块长60m，宽30m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度相等的人行道路，中间部分建成一块面积为1000m2 的长方形绿地，求人行道路的宽度.（第22题）23. （本题满分8 分）某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨，每售出1 吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100 元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240 元时，此时的月销售量是____________吨.（2）该经销店计划月利润为9000 元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？24. （本题满分8 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，点D 在AB 上，以BD 为直径的圆O与AC 交于点E，且BC 平分∠ABC，（1）判断直线AC 与圆O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AE=2 3，求圆O的面积25. （本题满分8 分）如图，要在一块形状为直角三角形（∠C 为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮画出一个半圆，使它的圆心在线段AC 上，且与AB、BC 都相切.⑴请你用直尺和圆规作出该半圆（要求保留作图痕迹，不要求写做法）⑵说明你所画的半圆与AB，BC 都相切的理由;⑶若AC=4，BC=3，求半圆的半径.26. （本题满8分）如图，圆O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（2, 0），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A 在O上运动.⑴当点A 运动到x 轴的负半轴上时，试判断直线BC 与O的位置关系，并说明理由.⑵当直线AB 与O相切时，求A 点的坐标.27.（本题满分8 分）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．。
苏科版2015九年级上期中考试数学试题(含答案)
第一学期初三数学期中考试试卷注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分130分，考试时间为120分钟． 2．考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．四个选项中，只有一项是正确的）1．若等腰三角形的两边长为3、6，则它的周长为 （ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．以上都不对 2．下列说法正确的是 （ ） A ．形状相同的两个三角形是全等三角形 B ．面积相等的两个三角形是全等三角形 C ．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形3．下列四种说法：① 矩形的两条对角线相等且互相垂直；② 菱形的对角线相等且互相平分； ③ 有两边相等的平行四边形是菱形； ④ 有一组邻边相等的菱形是正方形．其中正确的有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知一组数据：15，13，16，17，14，则这组数据的极差与方差分别是 （ ） A ．4，3 B ．3，3C ．3，2D ．4，25．若1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ≤1D ．1≠x6. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A ．2)1(x x x =- B ．02=++c bx ax C ．01122=++xx D ．012=+x 7．下列一元二次方程中，有实数根的是 （ ）A ．x 2－x ＋1=0B ．x 2－2x+3= 0C ．x 2+x －1=0D ． x 2＋4=0 8．在一幅长为80cm 、宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩 形挂图．如右图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是 （ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=9．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，若∠PAQ=450，那么△PCQ 的周长为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．510．如图，平行四边形ABCD 中，AB ∶BC =3∶2，∠DAB =60°，E 在AB 上，且AE ∶EB =1∶2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ∶DQ 等于 （ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分共16分）11．若等腰三角形的一个角为1000，则其余两个角为_____________．12．如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么图中共有 对全等三角形．13．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ．如果090=∠+∠ADO ABO ，那么平行四边形ABCD 一定是_____形．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，AB =8， E 是CD 的中点，则OE 的长等于 ．15．如图，△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC = °． 16．若一等腰梯形的对角线互相垂直，且它的高为5，则该梯形的面积为________． 17．若关于x 的方程042=+-mx x 有两个相等的实数根，则m =________．18．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（5，3），且这3点是一个平行四边形的顶点，请写出第四点D 的坐标为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（本题满分8分）计算：（1）21)1(320-++-π （2） 22523352-33）（）（+20. （本题满分8分） 解方程：（1）0232=-+x x （用公式法） （2） 01432=-+x x （用配方法）21．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，在①AB ∥CD ；②AO ＝CO ；③AD＝BC 中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构成命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）OD BA22．（本题满分9分）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； （1）将下表填完整：（2）甲队队员身高的平均数为______厘米，乙队队员身高的平均数为______厘米；（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．23．（本题满分8分）如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，那么利用公式法写出两个根x 1、x 2，通过计算可以得出：x 1+x 2=ab -，x 1x 2=a c．由此可见，一元二次方程两个根的和与积是由方程的系数决定的．这就是一元二次方程根与系数的关系．请利用上述知识解决下列问题： （1）若方程2x 2-4x-1=0的两根是x 1、x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=______．（2）已知方程x 2-4x+c=0的一个根是32+，请求出该方程的另一个根和c 的值．24．（本题满分8分）如图，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ’，BC 交AD 于E ， （1）试判断△BDE 的形状，并说明理由； （2）若AB=3，BC=5，试求△BDE 的面积．25．（本题满分6分）已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。
江苏省南京市2015年中考数学试题(WORD版,含答案)
第6题图F 南京市2015年初中毕业生学业考试数学试题一． 选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 1．计算︱－ 5＋3︱的结果是( )A. － 2B. 2C. － 8D. 82．计算(－xy ³)²的结果是( ) A. x ²y 6 B. －x ²y 6C. x ²y 9D. －x ²y 93．如图，在△ABC 中，DE ∥ BC ，AD DB = 12，则下列结论中正确的是()A. AE EC = 12B.DE BC = 12C.△ADE 的周长△ABC 的周长 = 13D.△ADE 的面积△ABC 的面积 = 134．某市2013年底机动车的数量是2×106辆，2014年新增3×105辆．用科学记数法表示该市2014年底机动车的数量是( )A. 2.3×105辆B. 3.2×105辆C. 2.3×106辆D. 3.2×106辆 5．估计 5 -12介于()A.0.4与0.5之间B. 0.5与0.6之间C. 0.6与0.7之间D. 0.7与0.8之间6．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D.2 5 二． 填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)7．4的平方根是；4的算术平方根是．8．若式子x +1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 9．计算5×153的结果是 ． 10．分解因式(a － b )(a － 4b )＋ab 的结果是 ．11．不等式组⎩⎨⎧2x +1＞－12x +1 ＜ 3的解集是 ．12．已知方程x ²＋mx ＋3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 ． 13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2，－ 3)，作点A 关于x 轴的对称点，得到点A'，再作点A'关于y 轴的对称点，得到点A''，则点A''的坐标是( ， )．14．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差 (填“变小”，“不变”或“变大”)．15．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD=35°，则∠B ＋∠E= °．16．如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1、y 2的图像在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB的中点．若函数y 1= 1x ，则y 2与x 的函数表达式是 ．三． 解答题(本大题共11小题，共88分)17．（6分）解不等式2(x ＋1) － 1 ≥ 3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（7分）解方程2x －3 = 3x19．（7分）计算⎝⎛⎭⎫2a ²－b ² － 1a ² － ab ÷ a a +b20．（8分）如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD =CDBD ． (1) 求证：△ACD ∽ △CBD ； (2) 求∠ACB 的大小．第15题图y 1=1B 第17题图–1–2–31230第20题图A21．（8分）为了了解2014年某地区10万名大、中、小学生50米跑成绩情况，教育部门从这三类学生群体中各抽取了10%的学生进行检测，整理样本数据，并结合2010年抽样结果，得到下列统计图．(1)本次检测抽取了大、中、小学生共名，其中小学生名；(2)根据抽样的结果，估计2014年该地区10万名大、中、小学生中，50米跑成绩合格的中学生人数为名；(3)比较2010年与2014年抽样学生50米跑成绩合格率情况，写出一条正确的结论．22．（8分）某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张．从中随机取出2张纸币．(1)求取出纸币的总额是30元的概率；(2)求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率．23．（8分）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°．轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h 和36km/h．经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D位，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O有多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)24．（8分）如图，AB ∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．(1)求证：四边形EGFH是矩形．(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．过G作MN ∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H东北OBA作PQ ∥ EF ，分别交AB 、CD 于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜想四边形MNQP 是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．25．(10分)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）26．（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．27．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1(单位：元)、销售价y 2(单位：元)与产量x (单位：kg )之间的函数关系． (1)请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？小明的证明思路 第24题图B C 第25题图A(第26题)y /江苏省历年考试真题第11 页共11 页。
2017年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期中试卷与解析
2016-2017学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题）1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+y=2 C．2x﹣x2=3D．x+=42．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣33．下列说法中，正确的是（）A．弧是半圆B．长度相等的弧是等弧C．在圆中直角所对的弦是直径D．任意一个三角形有且只有一个外接圆4．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（）A．B．πC．D．π5．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．26．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD=3，BC=6，则AB+CD的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12二、填空题7．方程x2=16的解为．8．已知⊙O的半径为3，OP=2.5，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．9．已知圆锥的底面直径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为cm2．（结果保留π）．10．设x1、x2是方程x2﹣5x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=2，则m=．11．已知关于x的方程kx2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．12．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆的半径为．13．已知x2﹣2x﹣1=0，则3x2﹣6x=．14．如图，扇形OAB的圆心角为120°，C是上一点，则∠ACB=．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长是．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是边AB上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值是．三、解答题17．解方程：2x2+4x﹣1=0．18．解方程：x（x﹣1）=2﹣2x．19．某地为了解市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率．20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°，求∠ABD的度数．21．已知△ABC．（1）作△ABC的外接圆⊙O；（2）P是⊙O外一点，在⊙O上找一点M，使PM与⊙O相切．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）22．△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，⊙O的半径为2，O到BC的距离为1．（1）求BC的长；（2）∠BAC的度数为°．23．2016巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件40元的价格购进了一批奥运纪念T恤，定价为80元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，此奥运特许经营商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，奥运纪念T恤的单价每降1元，每天可多售出2件，当这种奥运纪念T 恤每件的价格定为多少元时，商店每天获利1200元？24．如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA=∠B．（1）求证：直线CD与⊙O相切．（2）若AC=AO=1，求图中阴影部分的面积．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动．当点Q到达点B时，点P停止移动．（1）几秒钟后，S=3cm2；△PCQ（2）几秒钟后，PQ=5cm．26．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，O是AD上一点，⊙O与BC相切于点D，且与AB、AC分别相交于点E、F，连接EF交AD于点G．（1）求证：EF∥BC（2）已知AB=5，BC=8．当EF是⊙O的直径时，求EF的长．27．问题提出如图①，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点MD⊥AC，垂足为D，求证：CD=BA+AD．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图③，等边△ABC内接于⊙O，AB=1，D是上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD=BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由．2016-2017学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题）1．下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y=1 B．x2+y=2 C．2x﹣x2=3D．x+=4【解答】解：A、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误；B、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误；C、2x﹣x2=3，是一元二次方程，故此选项正确；D、x+=4，是分式方程，故此选项错误；故选：C．2．一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【解答】解：把x=1代入x2+kx﹣3=0中，得1+k﹣3=0，解得k=2，故选：A．3．下列说法中，正确的是（）A．弧是半圆B．长度相等的弧是等弧C．在圆中直角所对的弦是直径D．任意一个三角形有且只有一个外接圆【解答】解：A、错误．弧是圆上两点间的部分．B、如图，弧AB和弧CD长度相等，但是弧AB和弧CD不是等弧，故本选项错误；C、在圆中，圆周角所对的弦才是直径，并不是所有的直角所对的弦都是直径；故错误．D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；故选：D．4．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形的弧长为（）A．B．πC．D．π【解答】解：l===π．故选：D．5．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：作OH⊥AB于H，连接OA、OB．∠AOB==60°，∴∠AOC=30°，∴OH=2•cos30°=2×=，故选：B．6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD=3，BC=6，则AB+CD的值是（）A．3 B．6 C．9 D．12【解答】解：∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴AF=AE，BE=BH，CH=CG，DG=DF，∴AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD，∵AD=3，BC=6，∴AB+CD=AD+BC=9，故选：C．二、填空题7．方程x2=16的解为x1=4，x2=﹣4．【解答】解：x=±4，所以x1=4，x2=﹣4．故答案为x1=4，x2=﹣4．8．已知⊙O的半径为3，OP=2.5，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内部．【解答】解：∵OP=2.5＜3，∴点P在⊙O内部．故答案是：内部．9．已知圆锥的底面直径为2cm，母线长为3cm，则其侧面积为3πcm2．（结果保留π）．【解答】解：底面直径为2cm，则底面周长=2π，侧面积=×2π×3=3πcm2．故答案为：3π．10．设x1、x2是方程x2﹣5x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=2，则m=3．【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣5x+m=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=m．∵x1+x2﹣x1x2=5﹣m=2，∴m=3．故答案为：3．11．已知关于x的方程kx2﹣4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围k ＜4且k≠0．【解答】解：∵a=k，b=﹣4，c=1，△=b2﹣4ac=16﹣4k＞0，即k＜4方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＜4且k≠0．12．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆的半径为1．【解答】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，设半径为r，CD=r，∵∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5，∴BE=BF=4﹣r，AF=AD=3﹣r，∴4﹣r+3﹣r=5，∴r=1．∴△ABC的内切圆的半径为1．故答案为；1．13．已知x2﹣2x﹣1=0，则3x2﹣6x=3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴3x2﹣6x=3（x2﹣2x）=3×1=3，故答案为：3．14．如图，扇形OAB的圆心角为120°，C是上一点，则∠ACB=120°．【解答】解：如图所示，在⊙O上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=120°，∴∠ADB=∠AOB=×120°=60°．∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠ACB=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．15．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，⊙A与x轴相交于C、D两点，则CD的长是2．【解答】解：∵点A（0，1）、B（0，﹣1），∴AC=AD=AB=2，AO=1，∵AB⊥CD，∴OC=OD，OC===，∴CD=2，故答案为：2．16．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是边AB上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值是．【解答】解：∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴AB=OA=3，∴OP==，∴PQ==．故答案为：．三、解答题17．解方程：2x2+4x﹣1=0．【解答】解：2x2+4x﹣1=0，这里a=2，b=4，c=﹣1，∵△=16+8=24，∴x==，∴x1=，x2=．18．解方程：x（x﹣1）=2﹣2x．【解答】解：由原方程，得（x+2）（x﹣1）=0，解得x1=﹣2，x2=1．19．某地为了解市民看病贵的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率．【解答】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：200（1﹣x）2=128，解得：x=0.2=20%或x=1.8（不合题意，舍去）．答：这种药品平均每次降价的百分率为20%．20．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB=30°，求∠ABD的度数．【解答】解：∵∠DCB=30°，∴∠A=30°，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，∠ABD=90°﹣30°=60°．21．已知△ABC．（1）作△ABC的外接圆⊙O；（2）P是⊙O外一点，在⊙O上找一点M，使PM与⊙O相切．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）如图，PM为所作．22．△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，⊙O的半径为2，O到BC的距离为1．（1）求BC的长；（2）∠BAC的度数为60或120°．【解答】解：（1）分两种情况考虑：当△ABC为锐角三角形时，如图1所示，过A作AD⊥BC，由题意得到AD过圆心O，连接OB，∵OD=1，OB=2，∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD==，∴BC=2BD=2；当△ABC为钝角三角形时，如图2所示，过A作AD⊥BC，由题意得到AD延长线过圆心O，连接OB，∵OD=1，OB=2，∴在Rt△OBD中，根据勾股定理得：BD=，∴BC=2BD=2；（2）图1中，∵OD=1，OB=2，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴∠BAC=60°；图2中，∵OD=1，OB=2，∴∠OBD=30°，∴∠ACB=30°，∵AB=AC，∴∠BAC=120°，故答案为：60°或120°．23．2016巴西里约奥运会期间，南京某奥运特许经营商店以每件40元的价格购进了一批奥运纪念T恤，定价为80元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，此奥运特许经营商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，奥运纪念T恤的单价每降1元，每天可多售出2件，当这种奥运纪念T 恤每件的价格定为多少元时，商店每天获利1200元？【解答】解：设每件T恤应降价x元，据题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x=10或x=20．因为要扩大销售，增加盈利，所以x取20．所以这种奥运纪念T恤每件的价格定为80﹣20=60元，答：这种奥运纪念T恤每件的价格定为60元时，商店每天获利1200元．24．如图，C是⊙O的直径BA延长线上一点，点D在⊙O上，∠CDA=∠B．（1）求证：直线CD与⊙O相切．（2）若AC=AO=1，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∵∠CDA=∠B，∴∠CDA=∠ODB，∴∠CDO=∠ADB=90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：在Rt△CDO中，∵AC=AO=OD=1，∴OC=2OD，∴∠C=30°，CD==，∴∠AOD=60°，∴S阴=S△CDO﹣S扇形OAD=×1×﹣=﹣．25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm，点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C出发沿CB边向点B 以2cm/s的速度移动．当点Q到达点B时，点P停止移动．=3cm2；（1）几秒钟后，S△PCQ（2）几秒钟后，PQ=5cm．【解答】解：P点的移动速度为1cm/s，Q点的移动速度为2cm/s，所以设x秒钟后，AP=xcm，PC=（4﹣x）cm，CQ=2xcm，（1）△PQC的面积为3cm2，即×2x（4﹣x）=3，解得x1=1，x2=3，故1秒或3秒后△PQC的面积为3cm2；（2）PQ的长度为5cm．即（2x）2+（4﹣x）2=25，解得x1=，x2=（舍去），故秒钟后，PQ=5cm．26．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，O是AD上一点，⊙O与BC相切于点D，且与AB、AC分别相交于点E、F，连接EF交AD于点G．（1）求证：EF∥BC（2）已知AB=5，BC=8．当EF是⊙O的直径时，求EF的长．【解答】（1）证明：如图1中，作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，连接OE、OF．∵⊙O与BC相切于点D，∴AD⊥BC，∵在△ABC中，D为边BC的中点，∴AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴OM=ON，在Rt△OEM和Rt△OFN中，，∴△OEM≌△OFN，∴∠OEM=∠OFN，∵∠EOG=∠OEM+∠OAB，∠FOG=∠OFN+∠OAC，∴∠EOG=∠FOG，∵OE=OF，∴AD⊥EF，∵AD⊥BC，∴EF∥BC．（2）如图2中，设OE=OF=OD=x．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5，BD=DC=4，∴AD===3，由（1）可知，EF∥BC，∴=，∴=，∴x=，∴EF=2x=．27．问题提出如图①，AB、AC是⊙O的两条弦，AC＞AB，M是的中点MD⊥AC，垂足为D，求证：CD=BA+AD．小敏在解答此题时，利用了“补短法”进行证明，她的方法如下：如图②，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用如图③，等边△ABC内接于⊙O，AB=1，D是上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD，垂足为E，则△BDC的周长是1+．拓展研究如图④，若将“问题提出”中“M是的中点”改成“M是的中点”，其余条件不变，“CD=BA+AD”这一结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，写出CD、BA、AD三者之间存在的关系并说明理由．【解答】问题提出：证明：如图2，延长CA至E，使AE=AB，连接MA、MB、MC、ME、BC，∵M是的中点，∴MB=MC，∠MBC=∠MCB，∵∠MAB=180°﹣∠MCB，∵∠EAM=180°﹣∠CAM=180°﹣∠MBC，∴∠EAM=∠BAM，在△EAM和△BAM中∵，∴△EAM≌△BAM（SAS），∴ME=MC，又∵MD⊥AC，∴ED=CD，∴DC=AD+AE=BA+AD；推广运用：解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是1+，故答案为：1+；拓展研究：不成立，CD、BA、AD三者之间的关系：AD=BA+CD，证明：连接EA，EF，ED，EB交AC于N，∵M是的中点，∴∠BEM=∠CEM，在△EDN和△EDC中，，∴CD=ND，∠ECD=∠END，∵∠ECD=∠ABE，∠ENC=∠ANB，∴∠ANB=∠ABE，∴AN=AB，∴AD=AN+∠ND=BA+CD．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2014-2015学年度第二学期九年级期中测试数学试卷附答案
2014-2015学年度第⼆学期九年级期中测试数学试卷附答案2014-2015学年度第⼆学期九年级期中测试数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分130分.）考⽣注意：请将所有答案都写在答卷上.⼀、选择题(本⼤题共l0⼩题．每⼩题3分．共30分．)1．3-的相反数是（▲）A.3B.－3C. 31D. 31- 2．⼆次根式1-x 中，字母x 的取值范围是（▲）A. 1B. 1≤xC. 1≥xD. 1>x3. 2⽉26⽇,国家统计局发布《2014年国民经济和社会发展统计公报》．《公报》显⽰，初步核算，全年国内⽣产总值约为640000亿元，⽤科学计数法可表⽰为( ▲ )亿元．A.5103.6? 亿元B. 6103.6?亿元C. 5104.6? 亿元D. 61064.0? 亿元4．下列图形中，是中⼼对称图形但不是轴对称图形的是（▲）5．为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪⼏种⽔果作了民意调查.那么最终买什么⽔果，下⾯的调查数据最值得关注的是（▲）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．加权平均数6．已知⊙O 的半径为5，直线l 上有⼀点P 满⾜PO =5，则直线l 与⊙O 的位置关系是（▲）A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交7. 在平⾯直⾓坐标系中，将抛物线24y x =-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（▲）A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =--C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =+-8．如图，AB 是半圆O 直径，半径OC ⊥AB ，连接AC ，∠CAB 的平分线AD 分别交OC 于点E ，交BC ︵于点D ，连接CD 、OD ，以下三个结论：①AC ∥OD ；②AC ＝2CD ；③线段CD 是CE 与CO 的⽐例中项，其中所有正确结论的序号是（▲）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③9. 矩形ABCD 中，边长AB =4，边BC =2，M 、N 分别是边BC 、CD上的两个动点，且始终保持AM ⊥MN ．则CN 的最⼤为（▲）A ．1B ． 21C ．41D ．2 10.已知：顺次连接矩形各边的中点，得到⼀个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到⼀个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到⼀个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直⾓三⾓形的个数有（▲） A B M C N D （第9题） O A B CD E （第8题）A ．2014个B ．2015个C ．4028个D ．6042个⼆、填空题（本⼤题共8⼩题．每⼩题2分，共16分.）11. 4的算术平⽅根是▲．12. 因式分解：a ax ax 442+-= ▲．13. 如图，AB ∥ED ，∠ECF ＝70°，则∠BAF 的度数为▲．14. 已知圆锥的底⾯半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧⾯积是▲．15. 长⽅体的主视图、俯视图如右图所⽰，则其左视图⾯积为▲．16. 判断关于x 的⼀元⼆次⽅程()02122=++++k x k kx 的根的情况，结论是▲．（填“有两个不相等的实数根”、“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）17. 如图，扇形OMN 与正三⾓形ABC ，半径OM 与AB 重合，扇形弧MN 的长为AB 的长，已知AB =10，扇形沿着正三⾓形翻滚到⾸次与起始位置相同，则点O 经过的路径长▲ .18. 如图，在平⾏四边形ABCD 中，∠BCD=30°，BC=4，CD=33，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的⼀动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A ′MN ，连接A ′C ，则A ′C 长度的最⼩值是__ ▲___．三、解答题（本⼤题共10⼩题，共84分）19. (本题满分8分)计算：（1）232)21(123---- （2）()21111-÷??? ??--+x x x x x20．(本题满分8分)N M DC B AA'（第18题）（1）解⽅程：32321---=-x x x ；（2）解不等式组：12x ≤1，…………①2(x ―1)＜3x ． …②21.（本题满分8分）（1）如图，试⽤直尺与圆规在平⾯内确定⼀点O ，使得点O 到Rt △ABC 的两边AC 、BC 的距离相等，并且点O 到A 、B 两点的距离也相等.(不写作法，但需保留作图痕迹)（2）在（1）中，作OM ⊥AC 于M ， ON ⊥BC 于N ，连结A0、BO . 求证：△OMA ≌△ONB .22. （本⼩题满分7分）有3张形状材质相同的不透明卡⽚，正⾯分别写有1、2、－3，三个数字．将这三张卡⽚背⾯朝上洗匀后，第⼀次从中随机抽取⼀张，并把这张卡⽚标有的数字作为⼀次函数b kx y +=中k 的值；第⼆次从余下的两张卡⽚中再随机抽取⼀张，上⾯标有的数字作为b 的值．(1)k 的值为正数的概率是▲；(2)⽤画树状图或列表法求所得到的⼀次函数b kx y +=的图像经过第⼀、三、四象限的概率．23. （本⼩题满分7分）为了解2015年全国中学⽣创新能⼒⼤赛中竞赛项⽬“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：分数段频数频率 60≤x＜70 30 0.170≤x＜80 90 n80≤x＜90 m0.490≤x≤100 60 0.2请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查采⽤的调查⽅式为▲ .(2)在表中：m = ▲．n = ▲ .(3)补全频数分布直⽅图.(4)参加⽐赛的⼩聪说，他的⽐赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在▲分数段内.(5)如果⽐赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项⽬的优秀率⼤约是多少？24. （本⼩题满分8分）C BA某课桌⽣产⼚家研究发现，倾斜为12°—24°的桌⾯有利于学⽣保持躯体⾃然姿势．根据这⼀研究，⼚家决定将⽔平桌⾯做成可调节⾓度的桌⾯．新桌⾯的设计图如图1所⽰，AB 可绕点A旋转，在点C处安装⼀根长度⼀定且C处固定，可旋转的⽀撑臂CD，AC=30cm．（1）如图2中，当CD⊥AB于D时，测得∠BAC=24°，求此时⽀撑臂CD的长．（2）在图3中，当CD不垂直AB时，测得∠BAC=12°，求此时AD的长（结果保留根号）．【参考数据:sin24°=0.40，cos24°=0.91，tan24°=0.46，sin12°=0.20】25. （本题满分10分）为了迎接⽆锡市排球运动会，市排协准备新购⼀批排球.（1）张会长问⼩李：“我们现在还有多少个排球？”，⼩李说：“两年前我们购进100个新排球，由于训练损坏，现在还有81个球.”，假设这两年平均每年的损坏率相同，求损坏率.（2）张会长说：“我们协会现有训练队是奇数个，如果新购进的排球，每队分8个球，新球正好都分完；如果每队分9个球，那么有⼀个队分得的新球就不⾜6个，但超过2个.”请问市排协准备新购排球多少个？该协会有多少个训练队？（3）张会长要求⼩李去买这批新排球，⼩李看到某体育⽤品商店提供如下信息：信息⼀：可供选择的排球有A、B、C三种型号，但要求购买A、B型号数量相等.信息⼆：如表：型号每个型号批发单价（元）每年每个型号排球的损坏率A30 0.2B20 0.3C50 0.1设购买A、C型号排球分别为a个、b个，请你能帮助⼩李制定⼀个购买⽅案.要求购买总费⽤w（元）最少，⽽且要使这批排球两年后没有损坏的个数不少于27个.26. （本⼩题满分10分）。
2022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期中试题及答案
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！12022-2023学年江苏省南京市建邺区九年级上学期数学期中试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）A. x 2﹣2x+5＝0B. x 2﹣2x﹣5＝0C. x 2+2x﹣5＝0D. x 2+2x+5＝0【答案】B【解析】【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．【详解】解：（x-1）2=6，x 2-2x+1-6=0，x 2-2x-5=0，即将方程（x-1）2=6化成一般形式为x 2-2x-5=0，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0）．2. 某校把学生数学的期中、期末两次成绩分别按40%、60%的比例计入学期总成绩，小明数学期中成绩是85分，期末成绩是90分，那么他的数学学期总成绩为（ ）A. 86分B. 87分C. 88分D. 89分 【答案】C【解析】【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可．【详解】解：他的数学学期总成绩为分，8540%9060%88´+´=故选：C ．【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是本题的关键，是一道基础题．3. 如图，为⊙O 的直径，弦，垂足为，，，则⊙O 半径为CD AB CD ⊥E 1CE =6AB =（ ）A. 3B. 4C. 5D. 无法确定【答案】C【解析】 【分析】连接，由垂径定理得，设，再根据勾股定理列出方AO 3AE =OA OC r ==程，求解即可．【详解】解：连接，∵为⊙O 的直径，弦，AO CD AB CD ⊥∴， 132AE AB ==设，则， OA OC r ==1OE r =-∴，解得，()22231r r +-==5r ∴⊙O 半径为5．故选：C ．【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形．4. 如图，是的外接圆，，则的度数等于（ ）O ABC 50OCA ∠=︒B ∠A.B. C. D.30︒40︒50︒60︒【答案】B【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答AOC ∠即可．【详解】解：连接，OA∵，50OA OC OCA ∠=︒=，∴，50OAC OCA ∠=∠=︒∴，18025080AOC ∠=-︒⨯=︒︒由圆周角定理得：， 4201B AOC ∠=∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质是解题的关键．5. 三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】A【解析】 【分析】根据面积关系：，其中、是两直角边，是斜边，是11()22a b c r ab ++=a b c r 直角三角形内切圆的半径，由此关系即可求得内切圆的半径．【详解】设三角形内切圆的半径为，由于，所以此三角形是直角三角r 2226810010+==形，则有： 11(6810)6822r ++=⨯⨯解得：；2r =故选：A ．【点睛】本题考查了求三角形的内切圆半径，勾股定理的逆定理，利用面积关系是关键．6. 关于x 的一元二次方程一个实数根为2022，则方程()20ax bx c ac +=≠2cx bx a +=一定有实数根（ ）A. 2022B.C. −2022D. − 1202212022【答案】D【解析】【分析】将2022代入方程得，两边同时除以得 ：220222022a b c ⨯+=()22022-，即， 21120222022a b c ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21120222022c b a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以一定有实数根． 2cx bx a +=12022-【详解】解：∵2022是一元二次方程一个实数根，2ax bx c +=∴，220222022a b c ⨯+=两边同时除以得 ：，即：()22022-21120222022a b c ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21120222022c b a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴一定有实数根． 2cx bx a +=12022-故选：D【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到． 21120222022c b a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）7. 方程的解为___________________．23x x =【答案】120,3x x ==【解析】【分析】由方程，移项得，对方程左边因式分解得，可23x x =230x x -=()30x x -=得 或，分别解出即可．0x =30x -=【详解】解：移项得：，230x x -=即，()30x x -=∴或，0x =30x -=∴或.10x =23x =【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，用合理的方法解一元二次方程是解此题的关键．8. 下表中24位营销人员某月销量的中位数是______件．每人销售量/件 600 500 400 350 300 200人数1 4 4 6 7 2【答案】350【解析】【分析】根据中位数的概念求解即可．【详解】解：由题可知，表中的数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的是350和350，因而中位数是， 3503503502+=故答案为：350．【点睛】此题考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果数据个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数． 9. 2022年国庆长假期间七天的气温如图所示，这七天最高气温的方差为，最低气温的2H S 方差为，则______ （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2L S 2H S 2L S【答案】>【解析】【分析】根据气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温波动要小，由方差的意义可知，波动越小，数据越稳定，即方差越小．【详解】观察气温统计图可知：这七天最低气温比最高气温比较稳定，波动越小，故最低气温的方差小，∴,22H L S S >故答案为：>．【点睛】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据不稳定，反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．10. 一元二次方程的两根为，若，则220x bx c -+=12,x x 12125,2x x x x +=⋅=-b =____________，____________．c =【答案】 ①. ②.104-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解题：． 1212,b c x x x x a a+=-⋅=【详解】解：一元二次方程的两根为，220x bx c -+=12,x x 则 1212,b c x x x x a a+=-⋅= 5,222b c -∴-==-解得，10,4b c ==-故答案为：；．104-【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．11. 若一个圆锥的底面圆的半径为2，其侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是__________．【答案】8π【解析】【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】解：底面半径为2，则底面周长=4π，侧面展开图是半圆，则母线长=4π×2÷2π=4，∴圆锥的侧面积=×4π×4=8π．12故答案为：8π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，牢记圆锥与扇形各个元素之间的关系是解决此类题目的关键． 12. 如图，半圆O 的直径cm ，B 、C 是半圆上的两点，且，则的8AD =110ABC ∠︒= CD长度为______cm ．【答案】## 89π89π【解析】【分析】连接，由，得，根据,OC CD 110ABC ∠=︒18011070D ∠=︒-︒=︒OC OD =，所以，根据弧长公式计算即可得出答案．70,40OCD D COD ∠=∠=︒∠=︒【详解】解∶如图，连接，,OC CD，110ABC ∠=︒ ，18011070D ∴∠=︒-︒=︒，OC OD = ，70OCD D ∴∠=∠=︒，40COD ∴∠=︒的长度为， ∴ CD 84082(cm)1809ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=故答案为∶． 89π【点睛】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟记弧长公式和正确求出是关40COD ∠=︒键．13. 如图，正九边形的对角线AF、CH 相交于点P ，则∠CPF＝______°．【答案】100【解析】【分析】先求出正九边形的单个内角度数、五边形的内角和度数，再通过四边形CBAIH 的内角和计算即可； 【详解】解：正九边形的单个内角度数为：； ()1921801409⨯-⨯︒=︒五边形的内角和度数为：；CBAIH ()52180540-⨯︒=︒∴， ()1540602IHC BCH B BAI I ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒⎡⎤⎣⎦同理可得，，60IAP ∠=︒∴，()360100CPF APH IAP I IHC ∠=∠=︒-∠+∠+∠=︒故答案为：100．【点睛】本题主要考查多边关系的内角和应用，掌握多边形内角和计算公式并正确计算是解题的关键．14. 已知a ，b ，c 是的三边长，若一元二次方程没有实ABC 2()20a c x bx a c -+++=数根，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．ABC 【答案】锐角【解析】【分析】根据题意得到，然后求解即可．()()()2=24<0b a c a c ∆--⨯+【详解】解：∵一元二次方程没有实数根2()20a c x bx a c -+++=∴()()()2=24<0b a c a c ∆--⨯+∴()22244<0b a c --∴222<0b a c -+解得，222<b c a +∴是锐角三角形．ABC 故答案为：锐角．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和三角形的分类，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式．15. 某农场的粮食产量在两年内从增加到，且第一年的增长率是第二年的两3000t 3630t 倍．如果设第二年的增长率为x ，则可列方程为______．【答案】()()30001213630x x ++=【解析】【分析】设第二年的增长率为x ，则第一年的增长率为，根据“粮食产量在两年内从2x 增加到，”列出方程，即可求解．3000t 3630t 【详解】解：设第二年的增长率为x ，则第一年的增长率为，根据题意得： 2x ．()()30001213630x x ++=故答案为：()()30001213630x x ++=【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．16. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝4，BC ＝3，点P 在AB 边上运动（不与点A 、B 重合），过点P 作PQ⊥PC，交射线CA 于点Q ，则线段CQ 长度的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】取的中点O ，连接，由直角三角形的性质得，则当CQ OP 2CQ OP =OP AB ⊥时，最小，从而最小；利用相似三角形的性质即可求得结果．OP CQ 【详解】取的中点O ，连接，如图．CQ OP ∵，CP PQ ⊥∴，22CQ OP CO ==则当时，最小，从而最小；OP AB ⊥OP CQ ∵，，90OPA ACB ∠=∠=︒PAQ CAB ∠=∠∴，PAO CAB ∽∴； OP OA BC AB=∵，， 5AB ===4OA AC CO OP =-=-∴， 435OP OP -=解得：， 32OP =则；23CQ OP ==即的最小值为3．CQ 故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂线段最短，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，构造直角三角形斜边上中线并由线段最短转化为中线最短是本题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程：（1）；2210x x --=（2）()226921x x x -+=-【答案】（1） 1211x x =+=+，（2） 12423x x ==-，【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可；（2）先化简方程，再根据因式分解法解一元二次方程即可；【小问1详解】解：2210x x --= 221x x -=2212x x -+=()212x -=1x -=∴．1211x x ==+，【小问2详解】 解：()226921x x x -+=-23280x x +-=()()3420x x -+=或 340x -=20x +=，∴． 12423x x ==-，【点睛】本题主要考查配方法、因式分解法解一元二次方程，掌握相关求解一元二次方程的方法是解题的关键．18. 体育教师要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加校运动会比赛，在最近的五次选拔赛中，他们的成绩如下（单位：cm ）： 甲 585 596 609 610 595乙 580 603 613 585 624（1）已知甲运动员的平均成绩是599cm ，求乙运动员的平均成绩；（2）从两个不同的角度评价这两名运动员的跳远成绩．【答案】（1）乙运动员的平均成绩是601cm ；（2）从中位数方面来看，乙运动员的成绩较好，从平均数方面分析，也是乙运动员的成绩较好．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式进行解答即可；（2）从中位数和平均数两方面分析，即可得出乙运动员的跳远成绩好．【小问1详解】乙运动员的平均成绩：()15806036135856246015⨯++++=答：乙运动员的平均成绩是601cm ；【小问2详解】把甲运动员的成绩按从小到大的顺序重新排列：585，595，596，609，610，∴甲运动员的成绩的中位数为596，把乙运动员的成绩按从小到大的顺序重新排列：580，585，603，613，624，∴乙运动员的成绩的中位数为603，∴从中位数方面来看，乙运动员的成绩较好，从平均数方面分析，也是乙运动员的成绩较好．【点睛】本题考查平均数、中位数的意义，平均数表示一组数据的平均程度，中位数是将一组数据按从小到大的顺序重新排列，最中间的那个数（或者最中间的两个数的平均数）是这组数据的中位数．19. 把一根长的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形．要使这两个正方形80cm 的面积和等于．应该怎样剪？2250cm 【答案】一段长，一段长为60cm 20cm 【解析】【分析】设剪成的两段一段长为，则另一段为，由题意可得每个正方形的cm x (80cm )x -边长，则由面积关系建立方程，解方程即可．【详解】设剪成的两段一段长为，围成的正方形的边长为，则另一段为cm x 14cm x ，围成的正方形的边长为， (80cm )x -801(cm 4)x -由题意得：， 2211(80)25044x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解方程得：，，160x =220x =即剪成一段长，一段长为的两段即可．60cm 20cm 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系并表示出两个正方形的边长是关键．20. 如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆弦、分别与小圆分别相切于点AB AC D 、E ．求证：． B C ∠∠=【答案】见解析【解析】【分析】连接、、，根据切线及垂径定理的性质得出，OD OE OA AD BD AE CE ==，再由勾股定理得出，最后利用等边对等角即可证明．AD AE =【详解】证明：连接、，，如图，OD OE OA∵大圆弦、分别与小圆分别相切于点D 、E ，AB AC ∴，OD AB OE AC ⊥⊥，∴，AD BD AE CE ==，∵，AD =AE =∴，AD AE =∴，AB AC =∴．B C ∠∠=【点睛】题目主要考查切线及垂径定理的性质，勾股定理解三角形，等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．21. 某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？【答案】票价应定为35元.【解析】【分析】可设票价应定为x 元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题．【详解】设票价应定为元，依题意得：x()1200303036750x x ⎡⎤--=⎣⎦解之得x 1=x 2=35答：票价应定为35元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程式解题的关键.22. 求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形内接于．求证：ABCD O 180A C B D ∠+∠=∠+∠=︒证明：作直径．连接．AE ,BE DE 所以．90ABE ADE ∠=∠=︒因为．（ ① ）CBE CDE ∠=∠所以．180ABC CDA ABE EDA ∠+∠=∠+∠=︒同理．180DAB BCD ∠+∠=︒（1）证明过程中依据①是 ；（2）请给出另一种证明方法．【答案】（1）同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）见解析【解析】【分析】（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可求解；（2）连接，根据圆周角定理可得，再由,OB OD 112,122DAB BCD ==∠∠∠∠，可得，再根据四边形的内角和等于 ，可12360∠+∠=︒180DAB BCD ∠+∠=︒360︒得，即可．180ABC CDA ∠∠+=︒【小问1详解】解：证明过程中依据①是同圆中，同弧所对的圆周角相等；故答案为：同圆中，同弧所对的圆周角相等【小问2详解】证明：如图，连接，,OB OD∵，且， 112,122DAB BCD ==∠∠∠∠12360∠+∠=︒∴， ()112136018022DAB BCD =∠+∠=⨯︒=∠+∠︒∵360ABC CDA DAB BCD ∠+∠+∠+∠=︒∴．180ABC CDA ∠∠+=︒【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、四边形内角和等于是解题的关键．360︒23. 如图，是⊙O 的直径，点在⊙O 上， ，垂足为，且，AB C CD AB ⊥D CEBC=分别交、于点、． BE CD AC F G（1）求证：；CAB DCB ∠=∠（2）求证：是的中点．F BG 【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理及垂直的定义得到，90ACD DCB ∠+∠=︒，进而求证；90CAB ACD ∠+∠=︒CAB DCB ∠=∠（2）由，，所以，，再根据 CEBC =CBE CAB ∠=∠CBE BCD ∠=∠FB FC =，得出，所以，90CGB CBG DCG BCF ∠+∠=∠+∠=︒CGB DCG ∠=∠FC FG =即可得出．FB FG =【小问1详解】解：∵是⊙O 的直径，AB ∴，90ACB ∠=︒∴，90ACD DCB ∠+∠=︒∵，CD AB ⊥∴，90CAB ACD ∠+∠=︒∴；CAB DCB ∠=∠【小问2详解】解：∵， CE BC=∴，CBE CAB ∠=∠∵，CAB DCB ∠=∠∴，CBE BCD ∠=∠∴，FB FC =∵，90CGB CBG DCG BCF ∠+∠=∠+∠=︒∴，CGB DCG ∠=∠∴，FC FG =∴，FB FG =∴是的中点．F BG 【点睛】此题主要考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，注意直径所对的圆周角是直角．24. 已知关于x 的一元二次方程．2(2)10x m x m -+++=（1）求证：无论m 取何值，方程总有两个实数根；（2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m 的值．【答案】（1）见详解 （2）或 12-1【解析】【分析】（1）根据即可证明；24b ac ∆=-（2）根据公式法即可得，再根据方程的一个12x x ==实数根是另一个实数根的两倍即可求解；【小问1详解】解：根据题意，，()()22Δ42410b ac m m m ⎡⎤=-=-+-+=≥⎣⎦∴无论m 取何值，方程总有两个实数根.【小问2详解】由题意，根据公式法得， x ==∴， 12x x ==， 2=解得：．12112m m =-=，【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．25. 如图，已知点在边上，且，以为直径的与相D ABC AC AD AB =AB O BC 切，与相交于点．AC E（1）求证：；2BAD DBC ∠=∠（2）当，时，求的长．3AD =2CD =BD 【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，则利用等腰三角形的AF 90AFB ∠=︒性质得到平分，所以，再根据切线的性质得到AF BAD ∠2BAD BAF ∠=∠，则利用等角的余角相等得到，从而得到90ABC ∠=︒BAF DBC ∠=∠；2BAD DBC ∠=∠（2）连接，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法计算出BE 4BC =，接着利用勾股定理计算出，所以，然后在3412=55BE ⨯=95AE =65DE =Rt BDE △中利用勾股定理可计算出．BD 【小问1详解】证明：连接，如图，AF为直径，AB ，90AFB ∴∠=︒，AF BD ∴⊥，AB AD = 平分，AF ∴BAD ∠即，2BAD BAF ∠=∠以为直径的与相切，AB O BC ，AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90B A F A B F ∠+∠=︒ ，90ABF DBC ∠+∠=︒，BAF DBC ∴∠=∠．2BAD DBC ∴∠=∠【小问2详解】连接，如图，BE ，，3AD = 2CD =，，3AB ∴=5AC =，4BC ∴==为直径，AB ，90AEB ∴∠=︒， 1122BE AC AB BC ⋅=⋅ ， 341255BE ⨯∴==， 95AE ∴===， 96355DE AD AE ∴=-=-=在中， Rt BDE △BD ===【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．26. 用圆形纸片可以折出各种不同的图形．如图，点P 为⊙O 内一点，利用直尺和圆规分别作出一条符合要求的折痕（保留痕迹，给出必要的文字说明）．（1）折叠后圆弧经过点O 、P ；（2）折叠后圆弧与过点P 的直径相切，切点为P ．【答案】（1）见详解 （2）见详解【解析】【分析】（1）连接OP ，作线段OP 垂直平分线交于点T ，Q ，连接OT ，作线段OT 的线O 段垂直平分线交于点E ，F ，以T 为圆心作即可； O EOF（2）连接PO ，延长PO 交⊙O 于点K ，作OF⊥PK 交⊙O 于点F ，以OP ，PF 为邻边作矩形POO′F，以O′为圆心，OF 为半径作弧交⊙O 于M ，N ．作直线MN 即可．【小问1详解】如图①所示，折痕TQ ，即为所求． EOF【小问2详解】如图②所示，折痕RJ ，即为所求． RPJ【点睛】本题考查作图——复杂作图，垂径定理，切线的判定和性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．27. 【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：20x bx c ++=如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （0，1）、B （−b ，c ），以AB 为直径作⊙P．若⊙P 交x 轴于点M （m ，0）、N （n ，0），则m 、n 为方程两个实数根．20x bx c ++=【探究】（1）由勾股定理得，AM 2＝12+m 2，BM 2＝c 2+（−b −m ）2，AB 2＝（1−c ）2+b 2，在Rt△ABM 中，AM 2+BM 2＝AB 2，所以12+m 2+c 2+（−b −m ）2＝（1−c ）2+b 2．化简得：m 2+bm+c ＝0，同理可得： ．所以m 、n 为方程的两个实数根．20x bx c ++=【运用】（2）在图2中的x 轴上画出以方程x 2−3x −2＝0两根为横坐标的点M 、N ．（3）已知点A （0，1）、B （6，9），以AB 为直径作⊙C．判断⊙C 与x 轴的位置关系，并说明理由．【拓展】（4）在平面直角坐标系中，已知两点A （0，a ）、B （−b ，c ），若以AB 为直径的圆与交x 轴有两个交点M 、N ，则以点M 、N 的横坐标为根的一元二次方程 ．【答案】（1）；（2）见解析；（3）相切，理由见解析；（4）20bn n c ++＝20bx c x a ++＝【解析】【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决；20bn n c ++＝（2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x 轴的交点的横坐标(0,1)A (3,2)B -AB 即为方程的两个根，两交点M 、N 即为所画的点；（3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与x 轴只有一个交点，2690x x -+=C 即与x 轴相切；（4）仿照（1）的过程即可求得．【详解】（1）如图，连接，，由勾股定理得，，AN BN 2221AN n +＝，，222()BN c b n +--＝2221()AB c b -+=在中，，Rt ABN △222AN BN AB +＝所以．2222221()()1n c b n c b +++=---+化简得：，20bn n c ++=所以n 为方程的一个实数根．20x bx c ++=故答案为：．20bn n c ++＝（2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x 轴的交点的横坐标(0,1)A (3,2)B -AB 即为方程的两个根，两交点M 、N 即为所画的点，如图所示；2320x x --＝（3）与x 轴相切；理由如下：C 由题意知，与x 轴两个交点的横坐标为于方程的两个根，C 2690x x -+=，2(6)4190∆=--⨯⨯= ∴方程有两个相等的实数根，2690x x -+=对应地，与x 轴只有一个交点，即与x 轴相切．C C （4）如图，由勾股定理得，，222a AM m =+222()BM c b m +--＝222)(a AB c b -+=，在中，，Rt ABM 222AM BM AB +＝所以，222222(())m c b m c a b a +++=---+化简得：，20m bm ac ++=同理可得：．20bn c n a ++=所以m 、n 为方程的两个实数根．20x bx ac ++=故答案为：．20x bx ac ++=【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想．。
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建邺区2014－2015学年度第一学期期中调研测试卷
九年级数学
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．一组数据5，1，3，2的极差是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个黄球，若从中随机摸出一个，则摸到黄球的概率是
A ．35
B ．38
C ．58
D ．53
3．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2－7x ＋5＝0的两根，则x 1＋x 2的值是
A ．－7
B ．52
C ．7
2
D ．7
4．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA － ⌒AB －BO 的路径匀速运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是
5．右图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A ．16、10.5；
B ．8、9；
C ．16、8.5；
D ．8、8.5；
A ． ⌒BC
B ． ⌒CD
C ． ⌒DA
D ． ⌒AB
A l
A ．
B ．
C ．
D ．
（第4题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上）
13．为筹备班级元旦晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果．他最应该关注的是调查数据中的 ▲ ．（填平均数或中位数或众数）
14．四边形ABCD 内接于⊙O ，CB ＝CD ，∠A ＝100°，点E 在⌒AD 上，则∠E 的度数为 ▲ ． 15．如图，P 是直线y ＝－x ＋4上的一点，以点P 为圆心，1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与x 轴相切，点P 的坐标为 ▲ ．
16．小尧和小淇手上分别有一个箱子，每个箱子里面各有两个球，小尧的箱子放入一黑一白，小淇的箱子放入两颗白球．由小尧的箱子任取一球放到小淇的箱子，再由小淇的箱子任取一球放回小尧的箱子，这样的流程称为“一轮”，一轮后拿到黑球者赢，则一轮过后小尧赢的概率是 ▲ ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
商品售价50元时，每周可销售500件，经调查发现，售价每提高1 元，每周销售量就减少10件，每件衬衫的售价为多少元时，商场获得的周销售利润为8000元？
22．（9分）我们定义：两条平行线中，一条直线上的任意一个点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离．直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2的距离为6，把一个量角器（半圆O ）如图放置，直径AB 的两个端点分别落在l
与l 上，且量角器所在的圆与l 相切于C ，与直线 23．（9分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，△ABC 的外角平分线BD 交⊙O 于D ，DE ∥AC 交CB 的延长线于E ． （1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若∠A ＝30°，BD ＝2cm ，求 ⌒BD
的长．
24．（9分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现
对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下： 甲：8，7，10，7，8； 乙：9，5，10，9，7； （1）将下表填写完整：
（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？
（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 ▲ ．（填变大或变小或不变）
E C
B （第23题）
25．（5分）一个等边三角形的每一个顶点处有一只蚂蚁，每只蚂蚁同时出发朝着另一只蚂蚁（目标随机选择）沿三角形的三边依次爬行，速度相同．求蚂蚁不相撞的概率．
26．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，点P从点A开始沿AC 向点C以2厘米/秒的速度运动；与此同时，点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动；如果P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）经过几秒，△CPQ的面积等于3cm2?
（2）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．
C
Q
P
B
（第26题）
27．（12分）问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，若三角形三边长分别记为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，内切圆半径记为r ，现有小尧和小淇对半径进行计算．
下面方框中是两位同学简要的解答过程：
A ．两人都正确
B ．两人都错误
C ．小尧正确，小淇错误
D ．小尧错误，小淇正确
（2）方法延伸：
如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝Rt ∠，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，⊙O 与AB 相切于点D ，且AD ＝7，BD ＝3，求△ABC 的面积．
（3）应用拓展：
如图3，△ABC 中，A 、B 、C 三点的坐标分别为A (0，8)，
B (－6，0)，
C (15，0)．若△ABC 内心为
D ，则点D 的坐标
为 ．（直接写出结果）
E
C
B A
（图2）
说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．40π； 8．79； 9．9； 10．54； 11．65； 12．60（1－x ）2＝48.6； 13．众数； 14．50； 15．（3，1）或（5，－1）； 16．2
3．
三、解答题（本大题共10小题，共68分．） 17．略． 18．略 19．解：BE ＝CF ．
理由如下：∵∠A ＝70°，∠B ＝55°，∴∠C ＝55°．……………………………2分
∴∠B ＝∠C ．∴ ⌒CE
＝ ⌒BF ．………………………………………………4分 ∴ ⌒CF
＝ ⌒BE ．∴BE ＝CF ．…………………………………………………6分 20．解：设每件衬衫的售价为x 元时，商场获得的周销售利润为8000元．……………1分 （x －40）[500－10(x －50)]＝8000…………………………………………………………5分 解得x 1＝60，x 2＝80，………………………………………………………………………8分 答：每件衬衫的售价为60元或者80元时，商场获得的周销售利润为8000元．……9分
24．解：（1）8，5 ………………………………………………………………2分 （2）选择甲参加射击比赛．………………………………………………………………4分 理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同都是8环，但甲射击成绩的方差、极差小于乙，
因此甲的射击成绩更稳定，所以，选择甲参加射击比赛． ……………………7分 （其它答案只要说理完整、准确给分）
（3）变小．……………………………………………9分
（2）解：设存在某一时刻t ，使PQ 恰好平分△ABC 的面积．则
(3)(1，7
2
)………………12分。