辽宁省本溪满族自治县高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角学案(无答案)新人教B版
辽宁省本溪满族自治县高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示教案新人教
教材处理
师生活动
（二）自学检测
1.正方体AC1的棱长为1，求平面AD1B1的一个法向量。
2.已知
3.已知四棱锥 的底面 是平行四边形，且 ,
求证： 是矩形。
4.已知四面体 的棱
平面的法向量与平面的向量表示
教学过程设计
教材处理
师生活动
（四）课堂检测：
1、已知A（1，0，3），B（1，2，1），B（0，2，1），则平面ABC的一个单位法向量为_________。
教学过程设计
教材处理
师生活动
（一）知识归纳
1.平面法向量的定义是什么？线面垂直判定定理的关键是平面的法向量？
4.如何借助 平面的法向量判断两平面的平行与垂直 ？
5.平面的向量表示是什么？如何理解？
6.三垂线定理及逆定理的内容是什么？是哪三条线？有没有其他方法来证明例2？
教学
目标
1．理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；
2．了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；
重点
难点
学习重点：平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定
学习难点：对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理 的证明思路及三垂线定理的应用。
教法
尝试 、变式、互动
教具
5 、棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
板书设计：
教学日记：
教学过程设计
教材处理
师生活动
（三） 合作探究
探究一、
已知点A（3，0，0），B（0， 4，0），C（0，0，5），，如图所示，求平面ABC的一个单位法向量。
练习、在空间直角坐标系内，设平面 经过点 ，平面 的法向量为 ， 为平面 内任意一点，求 满足的关系式。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.3 直线与平面的夹
3.2.3 直线与平面的夹角
课前导引
问题导入
如右图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°.
.
求PB与平面ABCD所成角的大小
∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD.
BO为PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角，
由已知△POB为等腰直角三角形，
∴PO=BO=3，∴PB与平面ABCD所成的角为45°.
知识预览
1斜线和_____________________叫做斜线和平面所成的角.
答案：它在平面内的射影的夹角
2斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所在直线所成角中________. 答案：最小角
3斜线和平面所成的角为θ1，射影和平面内直线所成的角为θ2，斜线和平面内直线所成的角为θ,满足_____________________.
答案：cosθ=cosθ1·cosθ2
1。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法(第3课时)空间向量与空间距离选学课件选修2_1
解：建系如图，则 A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)， G(2，1，0)，所以A→G＝(0，1，0)，G→E＝(－2，1，1)， G→F＝(－1，－1，2)． 设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量， 点 A 到平面 EFG 的距离为 d，
第三章 空间向量与立体几何
第 3 课时 空间向量与空间距离(选学)
第三章 空间向量与立体几何
考点 点到直线的 距离 点到平面的 距离
学习目标
核心素养
了解点到直线的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
了解点到平面的距离并会用 直观想象、数学
向量方法求解
运算
空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点间 的距离
设平面 AB1D1 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD11＝＝00，，即xy－－hhzz＝＝00，，取 z＝1，得 n＝(h，h，1)，所
→ 以点 C 到平面 AB1D1 的距离为 d＝|n·|nA|C|＝
hh＋2＋hh＋2＋0 1＝43，
解得 h＝2.
故正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2.
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，
则 d＝|A→B|＝ A→B·A→B＝ ___（__x_2_－__x_1_）__2＋__（__y_2_－__y_1_）__2＋___（__z2_－__z_1_）__2 _____
点到平 面的距离
设平面 α 的法向量为 n，B∉α，A∈α，则 B 点到平 面 α 的距离 d＝|B→A|n·| n|
d＝
|B→C|2－B→C→·A→′C2)＝
4－1164
|A′C|
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向
空间向量与垂直关系
考
纲
定
位
重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
难
突
破
1.能利用平面法向量证明两个平 重点：求直线的方向向量与平 面垂直． 面的法向量．
2.能利用直线的方向向量和平面 难点：利用方向向量与法向量 的法向量判定并证明空间中的 垂直关系. 处理线线、线面、面面间的垂 直关系.
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
A(3,0,0)，
9 E3，3，4，D1(0,0,4)，
→ ∵D1B＝(3,3，－4)，
9 → → AE＝0，3，4，AC＝(－3,3,0)， 9 → → 0，3， ＝0， ∵D1B· AE＝(3,3，－4)· 4
→ →. ∴D B ⊥ AE 1 → →， ∴D B ⊥ AC 1
答案：a或2a
探究一 [典例1]
利用空间向量证明线线垂直
已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底
1 面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1. 4 求证：AB1⊥MN.
[证明]
法一 基向量法
→ ＝a，AC → ＝b，AA → ＝ c， 设AB 1 则由已知条件和正三棱柱的性质，得 |a|＝|b|＝|c|＝1，a· c＝b· c＝ 0， 1 → → 1 → AB1＝a＋c，AM＝ (a＋b)，AN＝b＋ c， 2 4 1 1 1 → → → MN＝AN－AM＝－ a＋ b＋ c， 2 2 4
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，D 2a 2a ， ，3a， 2 2
C(0， 2a,0)． 设E( 2a,0，z)，(0≤z≤3a)， → ＝( 2a，－ 2a，z)， 则CE → B 1E＝( 2a,0，z－3a)． 由题意得2a2＋z2－3az＝0， 解得z＝a或2a. ∴AE＝a或2a.
2021年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角课件4新人教B版选修2_1
1.定义:我们把平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所
成的角. [0 ,90 ]
P
αA B
2.求法：〔1〕定义〔2〕向量
作业：教材108页练习A第2,3 题
自己把自己说服了，是一种理智的胜利；自己把自 己感动了，是一种心灵的升华；自己把自己征服了， 是一种人生的成功。
则 sinθ＝|cos〈A→H，n〉|＝
6 18·
＝ 20
10 10 .
∴AH
与平面
AEFG
的夹角为
arcsin
10 10 .
[说明]
解答本题易出现由
sinθ ＝
10 10
得
θ＝
arcsin 1100或 θ＝π－arcsin 1100的错误，导致此种错误的原
因是忽视了斜线与平面夹角的范围．
1在成．D角在1的C正1大上方小,且体DA1BEC1=D－14 DA11BC11C,试1D求1中直,线F是E1BFC与的平中面点D，1A点C所E1
解：设正方体棱长为 1，以 DA, DC, DD1 为单位正
交基底，建立如图所示坐标系 D－xyz
DB1 为 D1AC 平面的法向量， DB1 (1, 1, 1)
E1 F
(
1 2
,
3 4
,1)
cos DB1 , E1F
87 87
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正
弦值为 sin 8 7
A→G＝(0,0,1)－(0,4,0)＝(0，－4,1)， A→H＝(2,0,0)－(0,4,0)＝(2，－4,0)．
设 n＝(x，y，z)是平面 AFEG 的一个法向量，则
4x＋z＝0 －4y＋z＝0
高中数学第三章空间向量与立体几何321直线的方向向量与直线的向量方程322平面的法向量与平面的向量表
题型三
题型四
题型五
解:∵AD,AB,AS 是三条两两垂直的线段,∴以 A 为原点,以
, , 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系
如图所示,则 A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2).
∴ = (1,0,0)是平面SAB 的法向量.
(1)直线的方向向量.
给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点
作 向量 = a ,这时点P的位置被t的值完全确定.当t在实数集R中
取遍所有值时,点P的轨迹是通过点A且平行于向量a的一条直线l,
向量a称为该直线的方向向量.
名师点拨一条直线有无数个方向向量.
知识梳理
(2)空间直线的向量参数方程.
设平面 SCD 的法向量为 n=(1,y,z),
则 n· = (1, , )·(1,2,0)=1+2y=0,
1
∴y=− .
2
又 n· = (1, , )·(-1,0,2)=-1+2z=0,
1
2
∴z= .
1 1
2 2
∴n= 1,- ,
即为平面SCD 的法向量.
典例透析
题型一
题型二
题型三
向量为(
)
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
答案:A
名师点拨若空间三点 P,A,B 满足 = + , 且m+n=1,
则 P,A,B 三点共线.
知识梳理
2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与
平面平行
(1)直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2或l1与l2重合
辽宁省大连市高中数学第三章空间向量与立体几何3.2直线的方向向量与直线的向量方程教案新人教B版选修2-1
解决学生自主学习中遇到的困惑，加深学生对知识的印象
8
分钟
3.
做
议
讲
评
在四棱锥P-ABCD中，AB垂直AD，CD垂直AD,PA垂直底面ABCD，M为PC的中点，求证：BM平行p平面PAD。
1、巡视学生的完成情况
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3、要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
3、通过探究一，会应用平行与垂直；
4、通过探究二，会证明平行与垂直；
理由：
依据本节课重难点制定
教具
多媒体课件、教材，教辅
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1.
课
前
3
分
钟
一、解读学习目标
二、给出《优化》84页预习测评答案
评价总结预习情况结果
独立完成课前检测
明确本节课学习目标，准备学习。
3
分钟
2.
承
接
结果
探究一：《空间直线的向量参数方程的应用》
已知O为坐标原点，在四面体OABCD中A(0,3,5),B(1,2,0),C(0,5,0)，直线AD平行BC，并且AD交坐标平面xOy于点D，求点D的坐标。
1、评价学生的展示结果
2、巡视学生的完成情况
3、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
1、展示等差数列的定义式
2、组间互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况
6
分钟
6.布置下节课
自主
学习
任务
完成作业卷习题，并标注每道题用到的解题方法
3
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第三章 空间向量与立体
教材处理
师生活动
3、在二面角的一个面内有一点A，它到棱的 距离等于到另一个面的距离的2倍,则二面角的度数是．
4、若P是△ABC所在平面外一点，且△P BC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝ ，那么二面角P—BC—A的大小为________．
5、在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝ ，BC＝6，求二面角A－PC－D的余弦值．
2、二面角的平面角
在二面角α—l—β的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l、OB⊥l，则________叫做二面角α—l—β的平面角．
3、直 二面角
平面角是__ ______的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是的平面．
注 意：二面角的大小可以用它的来度量的 Nhomakorabea切值是.
二面角及其度
方法一：（1）向量法求二面角
分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n1⊥l，n2⊥l，则可用度量这个二面角.
例1、一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为．
（2）法向量法
设m1⊥α，m2⊥β，则〈m1，m2〉与该二面角．
注意：此方法的运用适宜于：
教学
目标
1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．
2．掌握求二面 角的基本方法、步骤．
重点
难点
重点：求二面角的大小。
难点：找二面角的平面角
教法
尝试、变式、互动
教具
教学过程设计
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知识点：
1、二面角的定义
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θ 2θ 1θ C B A α
O 3.2.3直线与平面的夹角
一、学习目标：1.理解掌握直线和平面所成的角定义 2.初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤 二、学习重点：斜线和平面所成的角（或夹角），如何求斜线与平面所成的角。
三、教学难点：斜线和平面所成的角的求解，公式及公式的应用
四、新知探究：
1、直线和平面的位置关系有哪几种？
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行 （3）直线和平面相交
2、平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，与这条斜线和这个平面内其它直线所成的角的关系如何？
3、重要结论：
（1）平面的斜线和它在平面内的 所成的角，是这条斜线和这个平面内任一直线所成的角中 .
（2）一个平面的斜线和它在这个平面内的 的夹角叫做斜线和平面所成的角
（3）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是 .
（4）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是 .
（5）直线和平面所成的角的范围是 .
（6）三余弦公式是 .
五、例题
例1已知∠AOB=90°，C 为空间中一点，且∠AOC=∠BOC=60°，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为
例2在单位正方体1111D C B A ABCD -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成的角。
跟踪训练：
已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值。
例4如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为．
跟踪训练：
在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABC D 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则PC 与面PAB 所成角的余弦值为 ．
当堂检测
1．正三棱柱111C B A ABC 的所有棱长相等，1AC 与面C C BB 11所成角的余弦值为（ ）
A 、45
B 、410
C 、25
D 、2
10 2．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若E 为棱AB 的中点，则直线C 1E 与平面ACC 1A 1所成角的正切值为（ ） A ． B ． C ． D ．
3．正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°，则BD 1和底面ABCD 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．90°
4．设P 是边长为1的正△ABC 所在平面外一点，且
，那么PC 与平面ABC 所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5．如图，直线l 是平面α的斜线，AB ⊥α，B 为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（ ）
A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．15°
6．正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，那么EF与平面BCD所成的角的大小为．7．在正四面体ABCD中，AD=1，求AD与平面BCD所成的角。