高中数学课下能力提升二十六两角和与差的正切函数北师大版必修01

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《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学反思

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对这些公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的基本概念。这些公式描述了两个角度相加或相减时，其三角函数值的变化规律。它们在三角函数的计算、化简和应用中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算sin(π/3 + π/4)的值，展示两角和公式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
二、核心素养目标
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。通过本章节的学习，使学生能够理解并抽象出两角和与差公式的数学本质，运用逻辑推理能力探索公式之间的内在联系，进一步构建完整的三角函数知识体系。同时，学生能运用所学的公式进行数学建模，解决实际问题，增强数学在实际生活中的应用意识。此外，注重培养学生的数据分析能力，让学生在解决三角函数问题时，能够熟练运用公式，准确进行数据处理和分析，从而提高学生的综合解题能力和数学素养。这一目标与新教材强调的学科核心素养培养要求相契合。
举例：化简sin(π/3 + π/4)等表达式，并求出其数值。
（3）运用公式解决实际问题：将两角和与差的三角函数公式应用于解决几何、物理等实际问题。
举例：在给定角度和边长的情况下，求解三角形的高、面积等问题。

高中数学必修一课件：两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)

两角和与差的正弦、余弦公式的特征是什么？
答：两角和(差)的余弦：余余、正正、符号异(即公式右端分别是α与β的余
弦之积，以及正弦之积，中间的符号与左边相反)；两角和(差)的正弦：正余、余正、符号同．
课时学案
题型一正弦、余弦公式的基本应用
例 1 (1)求 cos 165°＋sin 255°的值．
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时) 两角和与差的正弦、余弦公式
要点 1 两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
要点 2 两角和与差的正弦公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
π 12－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3 sin
π 12－sin
π 3 cos
π 12
＝－2sinπ3 －π 12
π ＝－2sin 4 ＝－ 2.
(3)cos 15°＋sin 15°
＝ 2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝ 2cos(45°－15°)
＝
2×
23＝
(2)化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A．2 2cosπ6 －x
B．2 2cosπ3 －x
C．2 2cosπ6 ＋x
D．2 2cosπ3 ＋x
【解析】
原式＝2
212cos
x－
3 2 sin
x
＝2 2cos－π3 cos x＋sin－π3 sin x

1.7.3正切函数的图象与性质课件高一下学期数学北师大版(1)

π
π
kπ-3<x≤kπ+4,k∈Z
π
π
(2)由正切函数的图象,可知-4+kπ≤2x+4
<
π
π
π
π
π
+kπ,k∈Z,解得- + ≤x< + ,k
2
4
2
8
2
∈Z,
所以原不等式的解集为 x
.
π
π
π
π
- + ≤x< + ,k∈Z
4
2
8
2
.
探究点三
正切函数的单调性问题
角度1.求正切函数的单调区间
【例 3】求函数 y=tan
π
4
=tan
π
4×4
3.关于函数 y=tan
π
2- 3
,下列说法正确的是( C )
A.是奇函数
B.在区间
C.
π
,0
6
π
0, 3
上单调递减
为其图象的一个对称中心
D.最小正周期为 π
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
解析当 x=0
π
时,y=tan(- )≠0,则函数
3
π
y=tan(2x- )为非奇非偶函数,故
必备知识基础练
1.sin 2·cos 3·tan 4的值为( A )
A.负数
B.正数
C.0
解析
D.不存在
π
因为2<2<π,所以
π
sin 2>0.因为2<3<π,所以
tan 4>0.所以 sin 2·cos 3·tan 4<0.

高一数学北师大版必修4课件3.2.3 两角和与差的正切函数

=
3 . 22
探究一
探究二
探究三
探究四
规律总结公式 Tα+β,Tα-β 有较多变形的公式,公式中有 tan
αtan β,tan α+tan β(或 tan α-tan β),tan(α+β)(或 tan(α-β))时,三者中知道任意两个就可表示或求出第三个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三两角和与差的正切公式的应用
��α +��β ; 1-��α��β
��α-��β . 1+��α��β
探究一
探究二
探究三

探究四
(2)
3-tan 15° 1+ 3tan 15°
=
�� 60°-�� 15° 1+�� 60°�� 15°
=tan(60° -15 ° )=tan 45 ° = 1. (3)tan α +
公式 Tα+β 与一元二次方程的联系 :在两角和的正切公式 Tα+β 中,有 tan α+tan β,tan αtan β 这两项,对比一元二次方程中的根与系数的关系,为我们解决问题找到了很好的结合点.因此 tan α,tan β 可以看作一元二次方程的根,这样 tan α+tan β,tan αtan β,tan α-tan β 就可以互相表示,进而可以利用它们求 tan(α± β).

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

高中数学新北师大版必修第二册第四章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课件(26张)

= .
cos17 °
2
tan12 °+tan33 °
(2)因为1-tan12 °tan33 °=tan(12°+33°)=tan 45°=1,
所以 tan 12°+tan 33°=1-tan 12°tan 33°,
所以 tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1.
sin(α-β)=cos
=cos

2

-(α-β) =cos
2
-α cos β-sin

2

2
-α +β
-α sin β=sin αcos β-cos αsin β.
所以 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β(Sα-β).
名师点析1.两角和的正弦为异名积之和,两角差的正弦为异名积之
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
一、两角和与差的正弦公式
sin(α+β)=cos
=cos

2

2

-(α+β) =cos
-α cos β+sin

2
2
-α -β
-α sin β
=sin αcos β+cos αsin β.
所以 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β(Sα+β).

提示不是,α,β,α±β≠kπ+2 ,k∈Z.
微练习 1
π
1
若 tan α=2,则 tan α+4 =
π
答案 3 tan + 4 =

高一下学期数学北师大版必修第二册4.2两角和与差的三角函数公式(复习课)课件

+ = −sin[(π+α+β)]
3
4
+ + cos
×
5
13
=
63
65

4
+

,
4

3

解析(1)因为 < < ,所以
4
4
2
3
3
所以 < + < , 因此 sin
4
4

3
= −sin
+ +
+
4
4
= − sin
sin
−

4
+ cos
3
+ ]=
4
4
12
× −
3.若α，β为锐角，则sin(α+β)<sinα+sinβ.()
4. tan

2
+

4
可以根据公式Tα+β,直接展开（）.
5. sin + cos = 2 + 2 sin(+ )(a，b不同时为0)中的
φ是唯一的()
6. sin4 + 3cos4 = 2cos 4 −

6
.()
∈
2
判断××√××
√
− ≠ +
题型分类
深度剖析
第1 利用公式解决给角求值问题
第2 利用公式解决给值求值问题
第3 利用公式解决给值求角问题
第3 利用三角函数的叠加研究函数性质
利用公式解决给角求值问题
讲解
利用公式解决给角求值问题的关键是通过公式的合理

1.7.1正切函数的定义1.7.2正切函数的诱导公式课件高一下学期数学北师大版(1)

3π
tan -
=
5
2
.
2
解析由题意知 tan α=-2,则 tan
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π
+2
1
1
+
=-tan-tan
3π
tan -
2
1
5
α=2+2=2.
6.已知角 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α==43来自tan,tan
3π
2
.
解析 α 的终边经过点 P(4,-3),则 sin α=
tan
π
+α
2
π
1
=;tan 2 -α
tan
1
=
.
tan
名师点睛
1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即
“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、
余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由
规律方法
求正切函数值的流程图:
任意角的正切函数值→0~2π的角的正切函数值→锐角的正切函数值
用正切函数的诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
变式训练 3 化简:
sin (π+)·cos (π-)·tan (-)
.
sin (5π-)·tan (8π-)·cos (-3π)
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.( × )
(2)若sin xtan x>0,则x为第一象限角.( × )

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课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数
一、选择题
1.tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°
等于( ) A ．tan 42° B.33 C. 3 D ．－ 3
2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则∠C 等于( ) A.π3 B.2π3
C.π6
D.π4
3．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，则tan 2α＝( )
A ．－47 B.47
C.18 D ．－18
4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322
C.322
D.16
二、填空题
5.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°
＝________． 6.1－3tan 75°3＋tan 75°
＝________． 7．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．
8．已知tan θ和tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 满足关系式为________．三、解答题
9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单
位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255
.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
10．是否存在锐角α和β，使得下列两式：
(1)α＋2β＝23π； (2)tan α2
tan β＝2－3同时成立．答案
1.解析：选C 原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝ 3.
2．解析：选A 已知条件可化为tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)．
∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－ 3. ∴tan C ＝3，即C ＝π3
. 3．解析：选A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β）
＝5＋31－5×3＝－47. 4．解析：选C ∵α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π4， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4
＝tan （α＋β）－tan （β－π4）1＋tan （α＋β）tan （β－π4）＝322. 5.解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°
＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°
＝1tan （50°－20°）
＝1tan 30°＝ 3. 答案： 3
6.解析：法一：原式＝33－tan 75°1＋33
tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1.
法二：原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°
＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°
＝－1. 答案：－1
7．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＋1＝2.
答案：2
8．解析：由题意知，
tan θ＋tan(π4
－θ)＝－p ， tan θtan(π4
－θ)＝q .
又∵θ＋π4－θ＝π4
， ∴tan(θ＋π4
－θ) ＝tan θ＋tan （π4－θ）1－tan θtan （π4
－θ）＝－p 1－q ＝1. ∴p －q ＋1＝0.
答案：p －q ＋1＝0
9. 解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知
cos α＝210，cos β＝255
，因α为锐角，故sin α＞0.
从而sin α＝1－cos 2α＝
7210. 同理可得sin β＝55
. 因此tan α＝7，tan β＝12
. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋1
21－7×12
＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12
＝－1. 又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2
. 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4
.
10．解：假设存在符合题意的锐角α和β，
由(1)知α2＋β＝π3
， ∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.
由(2)知tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2
，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.
∵0<α<π2，则0<tan α2<1， ∴tan α2≠1，即tan α2
＝2－3，tan β＝1. 又∵0<β<π2，则β＝π4，代入(1)，得α＝π6
， ∴存在锐角α＝π6，β＝π4使(1)(2)同时成立．。