离散数学集合论哈工大答案

1教材习题解答 第一章 集合及其运算 8P习题 3. 写出方程2210xx的根所构成的集合。

解：2210xx的根为1x，故所求集合为{1}

4.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集A，A；b)对每个集A，A；

c)对每个集A，{}AA；d)对每个集A，AA； e)对每个集A，AA；f)对每个集A，{}AA； g)对每个集A，2AA；h)对每个集A，2AA；

i)对每个集A，{}2AA；j)对每个集A，{}2AA；

k)对每个集A，2A；l)对每个集A，2A；

m)对每个集A，{}AA；n){}； o){}中没有任何元素；p)若AB，则22AB q)对任何集A，{|}AxxA；r)对任何集A，{|}{|}xxAyyA； s)对任何集A，{|}yAyxxA；t)对任何集A，{|}{|}xxAAAA； 答案：假真真假真假真假真假真真假假假真真真真真 5.设有n个集合12,,,nAAA且121nAAAA，试证：

12nAAA 证明：由1241nAAAAA，可得12AA且21AA，故12AA。

同理可得：134nAAAA

因此123nAAAA

6.设{,{}}S，试求2S？ 2

解：2{,{},{{}},{,{}}}S

7.设S恰有n个元素，证明2S有2n个元素。 证明：（1）当n＝0时，0,2{},212SSS，命题成立。

（2）假设当(0,)nkkkN时命题成立，即22

Sk（Sk时）。那么对

于1S（11Sk），12S中的元素可分为两类，一类为不包含1S中某一元素x的

集合，另一类为包含x的集合。显然，这两类元素个数均为2k。因而1

122Sk，

亦即命题在1nk时也成立。 由（1）、（2），可证得命题在nN时均成立。

16P习题 1.设A、B是集合，证明: (\)()\ABBABBB

证：当B时，显然(\)()\ABBABB，得证。 假设B，则必存在xB，使得(\)xABB但()\xABB，故(\)()\ABBABB与题设矛盾。所以假设不成立，故B。 2.设A、B是集合，试证ABAB 证：显然。 反证法：假设A，则0xA，若0xB，则0x左，但0x右，矛盾。

若0xB，则0x左，但0x右，矛盾。故假设不成立，即A。

3. 设A，B，C是集合，证明： ()()ABCABC

证：()[(\)(\)][()()]CCABCABBACABBAC

[()()\](\(()()))()()((()()))CCCCCCCCCCABBACCABBAABCBACCABBA





()()((()()))CCCCCCABCBACCABAB 3

()()()()CCCCCCABCABCABCABC 由上式可以看出此展开式与A、B、C的运算顺序无关，因此，()()ABCABC

4.设A，B，C为集合，证明\()(\)\ABCABC 证：因为\()()CCCABCABCABC= ()\CABC= (\)\ABC。

5.设A，B，C为集合，证明： ()\(\)(\)ABCACBC

证：()\()()()CCCABCABCACBC＝(\)(\)ACBC。

6.设A，B，C为集合，证明： ()\(\)(\)ABCACBC

证明：()\()CCABCABCABC()()CCACBC

=(\)(\)ACBC 7.设A，B，C都是集合，若ABAC且ABBC，试证B=C。 证：证1： xB，则 若xA，则()xAB。由于ABAC，故()xAC，即xC；

若xA，则()xAB，由于ABAC，故xAC。又xA，只能有xC。因此，xB，总有xC，故BC。 同理可证，CB。 因此BC。 证2： ()()()()BBABBACBABC

()()()()CABCCABCACC 8.设A，B，C为集合，试证： (\)\(\)\(\)ABCABCB

证：证Ⅰ(\)\xABC，有,,xAxBxC，因此，(\)xAB，(\)xCB。故(\)\(\)xABCB，即(\)\ABC(\)\(\)ABCB。 4

反之，(\)\(\)xABCB，有(\)xAB，(\)xCB。因此,,xAxBxC。故(\)\xABC，即(\)\(\)ABCB(\)\ABC。 所以 (\)\ABC＝(\)\(\)ABCB。 证Ⅱ：(\)\(\)()()()()CCCCCABCBABCBABCB

()(\)\CCABCABC

9.设XYZ，证明\(\)(\)ZYXXZY 证：证1：\(\)xZYX)()(XYZXYZCCC，有xZ且xY

或xX。则 若xZ且xY，则\xZY，于是(\)xXZY。

若xZ且xX，则(\)xXZY，从而 \(\)(\)ZYXXZY。 反之，(\)xXZY，则xX或\xZY。 若xX，则由XYZ有,xYxZ，故\xYX，因此\(\)xZYX。 若\xZY，则xZ但xY，故\xYX，因此\(\)xZYX。从而 (\)\(\)XZYZYX。 由集合相等的定义，\(\)(\)ZYXXZY。 证2：\(\)()()()()CCCZYXZYXZYXZYZX，

因为XZ，所以\(\)()(\)CZYXZYXXZY。

10.下列命题是否成立？ (1)(\)\(\)ABCABC；(2)(\)()\ABCABC；

(3)\()()\ABCABB。 解：（1），（2），（3）都不成立。反例如下： （1）BCA},1{,任意，则(\){1};\(\)ABCCABC。

（2）{1},,{1}ABC，则(\){1};()\ABCABC。 5

（3）,{1},{1,2}ABC，则\();()\{2}ABCACB。 11．下列命题哪个为真？ a)对任何集合A,B,C，若ABBC，则A=C。

b)设A,B,C为任何集合，若ABAC，则B=C。 c)对任何集合A,B，222ABAB。

d)对任何集合A,B，222ABAB。

e)对任何集合A,B，\22\2ABAB。 f)对任何集合A,B，222ABAB。 答案：d是真命题。 12．设R,S,T是任何三个集合，试证：

（1）()()STSTST；

（2）()()()RSTRSRT； （3）()()()()()RSRTRSTRSRT； （4）()()()RSTRSRT 证：（1）xST)\()\(STTS，则 若xS，则xT。因而()xST且()xST，故()()xSTST； 若xS，则xT，同理可得()()xSTST。故 ST()()STST。 反之，因为()()STST，故 ()()STST＝()\()STST])(\)([STTS。 ()()xSTST()\()STST，有(),()xSTxST。 若xS，则xT，故xST； 若xS，则xT，故xST。因此

()()STSTST。

所以 ST＝()()STST。 6

（2）证：x()()RSRT，有()xRS且()xRT。则 若xR，则xS且xT，故()xST，x()RST。 若xR，则xS且xT。故()xST，因此x()RST。于是 ()()RSRT()RST。 （3）证：()()xRSRT，有()xRS且()xRT。则 若xR，则,xSxT，故()xST，因此()xRST； 若xR，则,xSxT，故()xST，()xRST。于是 ()()()RSRTRST 反之，()xRST，则 若xR，则()xST，故,xSxT，因而(),()xRSxRT。即 ()()xRSRT； 若xR，则()xST，故xS或xT。因此()xRS或()xRT，从而()()xRSRT。 综上可得：()()()RSTRSRT。于是 ()()()RSRTRST()()RSRT 证：()()xRSRT，则 若()xRS，则()xRT，因而,,xRxTxS。故xST，于是()xRST； 若()xRS，则()yRT，与上同理可得()xRST。 综上可得：()()()RSTRSRT。 14．设A为任一集，{}IB为任一集族（I），证明： ()()IIABAB



