复变函数与积分变换期末复习题

《复变函数与积分变换A 》总复习
复习要点：
(1) 复数的运算和复函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数）值的计算；
(2) 判别复函数的连续性、可导性和解析性（包括Cauchy －Riemann 方程）；
(3) 求复积分（包括利用Cauchy －Goursat 基本定理和留数定理）；
(4) 求共轭调和函数；
(5) 求复函数的 Taylor 级数和 Laurent 级数；
(6) 求留数及其在积分中的应用；
(7) Fourier 正逆变换公式以及七条常用性质（线性、位移、微分、积分、卷积、乘积、相似性质）；
(8) Laplace 正逆变换公式以及七条常用性质（线性、微分、积分、位移、延迟、卷积、相似性质）；
(9) 利用Laplace 变换求解线性微分方程（组）；
(10) coskt sinkt, (t), ,e u(t), t,,1 t δβ- 的Fourier 变换公式和Laplace 变换公式．
Fourier 变换公式：
)(21ωπδ↔； )( 2ωδπ'↔j t ； )(1
)(ωπδω+↔j t u ； )(2 t βωπδβj e -↔-；
1)(↔t δ； )]()([ sin k k j kt --+↔ωδωδπ； )]()([ cos k k kt -++↔ωδωδπ．
Laplace 变换公式：
s 11↔； 21s t ↔； s t u 1
)(↔； ββ+↔-s e 1
t ； 1)(↔t δ；
22sin k s k
kt +↔； 22c o s k s s
kt +↔．
计算题．
例1．计算 i i i i Ln --+ )sin( ),1(，． 解：)42(2ln 21
)1(1ln )1(π
π++=+++=+k i i iArg i i Ln ；
i e e e e i e e i i i i i z i z i )(21
][ 21)( 21
)sin(1i)( )( i z -=-=-=------=-； Z)(k ,22] ln [ ∈===++---π
πk i iArg i i i iLn i e e e i ．
（大写L ） （大写Z ）
例2．问函数 22)(ix y z f += 在何处连续？何处可导？何处解析？)(iy x z +=．
解：22x v ,==y u ． y) v(x ,,y) ,(x u 在实平面处处连续，∴)(z f 在复平面处处连续．
0 2200=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-=====y x x
v y u v u x y y x ， ∴)(z f 仅在直线 0=+y x 上可导； 但直线不含邻域，)(z f 无处解析．
例3．计算 ⎰+-=C i z i z dz I 3) 3()(， 其中曲线Ｃ为： (a) 圆周 2
1=z 的正向； (b) 圆周 2=z 的正向． 解： 记 ) 3()(1
)(3i z i z z f +-=．
(a) )(z f 在曲线Ｃ内部解析，根据Cauchy －Goursat 基本定理，0=I ．
(b) )(z f 有奇点：i z =1，三级极点．利用留数定理，
32)3()(i)(z lim ! 21
2]i ),([Re 233i z π
ππ-="⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--==→i z i z i z f s i I ．
例4．103P ．30(2), (3)．（共轭调和函数）
例5．143P ．11(4)，12(3), 16(3), (5)．
例6．183P ．1(2), (7), 8(3), 9(5), 13(3), (6) (广义积分)．
例7．《积分变换》 29P ．3(1), 16．
例8．51P ．3, 5(3), (6)．
5(3) 据12P 例1，0)( ,1
)]([ >+=⋅-βωββj t u e F t
， 利用线性性质和象函数位移性质得：
)()(21 )](cos [ 0 00⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⋅---t u e e e F t u t e F t t j t j t βωωβω
)]}([{21
)]}([{21 00t u e e F t u e e F t t j t t j βωβω---+=
象函数位移性质 2
2 )( 121 12100ωωβω
βωβωβωωωωωω+++=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++=-=j j j j ．
5(6) 0 0 0 u(t)]jt jF[[ )]([ )]( [ω
ωωωωωω-=-=⋅-⋅⋅微分性质位移性质象函数象函数t u t F t u t e F t j
)( )
(1 )( 1)(10 20 2 0 0 ωωδπωωωδπωωπδωωωωωωω-'+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+-='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=-=-=j j j j ． 例9．92P ．1(2), (3), (8), 3(1) (利用性质计算)．
例10．100P ．3(3), (7),
105P ．1(10)．
例11．135P
．1(6), 4(2)．
诚实考试吾心不虚，公平竞争方显实力，考试失败尚有机会，考试舞弊前功尽弃．
2009/2010学年 第一学期 《复变函数与积分变换A 》课程考核试卷 A √、 B □
课程代码： 22000141 学分/学时数 3 / 48 任课教师 课程性质： 必修□、限选□、任选□ 考试形式： 开卷□、 闭卷 √
适用年级/专业 _全校工科类各专业_ 考试时间 _ 100 分钟
……………………………………………………………………………………………………………………………………… 学号 ___ 姓名 ___ ___ __ 得分 注意：务请考生保持卷面整洁、少涂改，以方便阅卷人．
一．填空题：(每小题5分，共20分．可以增补一个中间式）：
１．复数 i
i z +-=1 的三角表示式为 ________________________________________________________________ ___． ２．计算=-) 5(i Ln _________________________________________________________________________ _______．
３. 2)1sin()(+=z z f 在10-=z 处的Taylor 级数为 ____________________________ _________________________
____________________________________________________________；收敛半径为 ____________ ____________． ４．按照积分变换第一章，计算=*-3t
3)(t δ____________________________________________________________． 二．（11分）试问函数 3 3)(y i x z f +=（其中 y i x z +=）在何处连续？何处可导？何处解析？为什么？
三．（9分）试将函数) 2(1)(2i z z z f +=
在区域 2 0<<z 内展开成Laurent 级数．
四．（13分）计算积分 ⎰-=C
dz z z
I 2)(sin π， 其中曲线C 为：
(a) 圆周 1 =z 的正向；
(b) 圆周 8 =z 的正向．
五．（5分）计算广义积分 ⎰∞-+=0 4164
dx x I ．
六．（每小题7分，共14分） (1) 试求 ⎪⎩⎪⎨⎧≤=他其
,0 1
t ,)( 2
t e t f 的频谱函数 )]([t f F ．
(2) 求 t)sin(u(t)f(t)0ω⋅= 的Fourier 变换．
七．（每小题8分，共16分）(1) 求 t e t t t f )2()(+-=δ 的Laplace 变换．
(2) 计算 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--341 L 21s s ．
八．（12分）试用Laplace 变换法求解微分方程初值问题：
⎩⎨⎧='=='-''3 (0)x ,1)0(0
3x x x （其中)(t x x = 为未知函数）．。