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初三数学竞赛专题--求根公式
初三数学竞赛专题——求根公式一、选择题1．设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0 (全国初中数学联赛题) 答案：A2．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x (2002年重庆市竞赛题)答案：D3．对于方程m x x =+-222，如果方程实根的个数恰为3个，则m 值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2．5 (北京市竞赛题) 答案：B4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A ．b a =B ．0=+b aC ．1=+b aD ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题)答案：D5．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A 6．自然数n 满足16162472)22()22(2-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是( )A ．2B ．1C ．3D ．4 (第十五届江苏省竞赛题) 答案：C7．已知a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么a b 的值是( ) A ．215+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 答案：C二、填空题8．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ． (2001年北京市海淀区中考题) 答案：51±9．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．答案：310．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
则代数式a 200012000120003+++的值为 ．(2003年河北省竞赛题) 答案：288935+ 11．满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．(2002年全国初中数学竞赛题)答案：4312．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．(2001年四川省中考题)答案：213．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)答案：7-或6三、解答题14．在一个面积为l 的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n 等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n 的值．答案：4115．已知方程0132=+-x x 的两根α、β也是方程024=+-q px x 的根，求p 、q 的值． (四川省选拔赛题)答案：7=p ，1=q16．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ；(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．答案：（1）当1=m 时，2=x ；当1≠m 且1211>m 时，)1(21112212,1--±-=m m m x ；当1≠m 且1211=m 时，521==x x ；当1≠m 且1211<m 时，方程无实数根（2）2512,1+±=x （3）121-==x x ，5234,3±-=x 17．设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．(2000年重庆市竞赛题) 答案：62-18．解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．答案：6（1）当1=a 时，方程的根为21=x ；当0>a 且1≠a 时，方程有两个不相等的实数根11-+=a a a x ，12--=a a a x ；当0=a ，方程有两个相等的实数根021==x x ；当0<a 时，方程没有实数根19．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值．(2003年全国初中数学联赛题)答案：由已知有：a x b -=1，12---=ax x a x c ，代入x d c =+1得0112=+---d ax x a x ，即01)2()1(23=++--+-ad x a d x ad dx ，又由x a d =+1得ax ad =+1，代入上面的方程得0)2)((3=--x x a d ，由已知0≠-a d ，故023=-x x ，若0=x ，则c a =矛盾，故有22=x ，即2±=x20．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ．答案：6 21．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．答案：2=m ，公共根α=122．如图，锐角△ABC 中，PQRS 是△ABC 的内接矩形，且S △ABC =n S 矩形PQRS ，其中n 为不小于3的自然数．求证：ABBS 为无理数．(上海市竞赛题)答案：如图，设BC=a ，边上的高AD=h ，PS=x ，RS=y ，由△ASR ∽△ABC ，得ay h x h =-，∴a h x h y ⋅-=，∵PQRS ABC nS S 矩形=∆，∴a h x h nx nxy ah ⋅-⋅==21，整理得02222=+-h nxh nx ，∴n n n h x 221212-±=，显然22)1(2-<-n n n ，又3≥n ，∴22)2(2->-n n n ，故n n 22-不是完全平方数，从而n x 为无理数，于是hx BA BS =为无理数23．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题) 答案：124．已知m 、n 是一元二次方程0720012=++x x 的两个根，求)82002)(62000(22++++n m m m 的值． 答案：199325．已知3819-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值． 答案：5。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。
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最新整理初三数学教案2.4一元二次方程根与系数的关系教案新版湘教版2.4一元二次方程根与系数的关系课题*2.4一元二次方程根与系数的关系授课人教学目标知识技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．数学思考通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．问题解决根据根与系数的关系确定两根之和与两根之积，并能根据这一关系解决简单的数学问题．情感态度通过情景教学过程，激发学生的求知欲，培养学生积极学习数学的态度，体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感．教学重点根与系数的关系及其推导过程.教学难点根与系数的关系的推导过程及其应用．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾提出问题：(多媒体展示问题)1．一元二次方程的一般形式是什么？2．一元二次方程有实数根的条件是什么？3．当Δ》0，Δ＝0，Δ《0时，一元二次方程的根的情况如何？4．一元二次方程的求根公式是什么？通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为后面的学习做铺垫.活动一：创设情境导入新课课堂引入(多媒体展示)问题：解下表中的方程，并完成填空：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x－3＝0x2－3x＋2＝0x2＋5x＋6＝0师生活动：学生自主选择适当的方法解方程，并完成填空，然后交流答案.问题：观察、思考方程的两根之和与两根之积与系数有何关系？你能从中发现什么规律？学生通过计算、观察、分析，发现方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程.活动二：实践探究交流新知1.填写上表后思考：(1)两根之和、两根之积与系数有何关系？(2)你能运用发现的规律解答下列问题吗？已知方程2x2－3x－2＝0的两根是x1和x2，则x1＋x2＝________，x1·x2＝________.(3)如何证明以上发现的规律呢？2.教师与学生共同整理证明过程.证明：当Δ》0时，由求根公式得x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a，所以x1＋x2＝－b＋b2－4ac2a＋－b－b2－4ac2a＝－2b2a＝－ba；x1x2＝－b＋b2－4ac2a×－b－b2－4ac2a＝4ac4a2＝ca.当Δ＝0时，x1＝x2＝－b2a，所以x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.归纳：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1和x2，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.1.进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性认识到理性认识打好基础.2.通过设置问题(2)使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.3.探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度.活动三：开放训练体现应用应用举例例1(多媒体展示)根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两个根x1和x2的和与积．(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.师生活动：学生自主进行解答，教师做好评价和总结．注意：把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，然后利用根与系数的关系代入求值．变式一[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于()A．－4B．－1C．1D．4变式二若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，求x1＋x2－x1x2的值.设置问题，针对本课时的重点所学进行及时巩固，培养学生的计算能力和记忆公式的能力．拓展提升例2解答下列问题：(1)已知方程x2－3x＋c＝0的一个根为2，求另一个根和c的值．(2)关于x的方程2x2＋5x＋m－1＝0的两根互为倒数，求m的值．例3若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，求1x1＋1x2的值．师生活动：教师引导学生进行交流、讨论，确定解决问题的方法，并适时点拨，提示能否用多种方法进行解答．拓展提升是根与系数关系的综合应用，利于提高学生思考的广度和深度，能够给予学生必要的知识补充.活动四：课堂总结反思达标测评1．两根均为负数的一元二次方程是()A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝02．已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别为2和3，则a＝________，b＝________．3．已知方程x2－2x－c＝0的一个根是3，求方程的另一根及c的值．4．已知方程2x2－4x－5＝0的两个根分别为x1和x2，求下列式子的值．(1)(x1＋2)(x2＋2)；(2)x21x2＋x1x22.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．通过设置达标测评，进一步巩固所学新知识，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.当堂训练1．(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！2．布置作业：教材P48习题2.4中的T1，T2，T3.指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果.知识网络提纲挈领，重点突出.教学反思①[授课流程反思]在新知探究环节中，关于两根之和与两根之积的计算看似复杂，教师进行板演后，能够使学生清晰认识到结论的来由，能够顺利地进行应用．课堂训练中，学生运用新知识解答问题不甚灵活，教师的必要引导起了关键作用．②[讲授效果反思]重点应用过程中，注意到：(1)运用根与系数的关系前首先要保证方程有实数根；(2)运用根与系数的关系解答问题能方便运算．③[师生互动反思]从教学过程来看，学生能够在教师的引导下进行探索和交流，并能够运用知识解答问题，应增加其兴趣和思维敏捷性的训练．④[习题反思]好题题号_______________________________________错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.。
第一-五讲 走进追问求根公式
第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．求根公式aac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+1111， 试求x 的值． 学历训练1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ． 3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ．4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( )A ．b a =B ．0=+b aC ．1=+b aD ．1-=+b a5．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( ) A ．1-<x B ．4>x C ．41<<-x D ．1-≠x 且4≠x6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．解下列关于x 的方程：(1)； (2) 012=--x x ； (3)0763*******=-+-+-n n x nx x ．8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．10．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ． 11．已知m 、是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。
九年级根与系数的关系教案
九年级根与系数的关系教案一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数之间的联系。
2. 培养学生运用根与系数的关系解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解并掌握根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 教学难点：根与系数的关系在实际问题中的应用。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探索、发现、总结根与系数的关系。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际问题理解并掌握根与系数的关系。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数的关系。
四、教学准备1. 教师准备相关案例和问题，以便在教学中引导学生进行探索和分析。
2. 准备多媒体教学设备，以便进行数形结合的教学。
五、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考根与系数的关系。
2. 探索与发现：让学生通过分组讨论、探索，发现根与系数之间的关系。
3. 总结与讲解：引导学生总结根与系数的关系，并进行讲解。
4. 案例分析：分析实际问题，运用根与系数的关系解决问题。
5. 练习与巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 总结反馈：对学生的学习情况进行总结反馈，查漏补缺。
六、教学内容与要求1. 教学内容：了解一元二次方程的根与系数之间的关系，掌握根的判别式，理解根与系数在解方程中的应用。
2. 教学要求：学生能够运用根的判别式判断方程的根的情况，能够将实际问题转化为方程求解，并运用根与系数的关系进行分析。
七、教学步骤1. 回顾与导入：复习一元二次方程的基本概念，引入根与系数的关系。
2. 探索与发现：引导学生通过具体的一元二次方程，探究根与系数之间的关系。
3. 讲解与总结：讲解根的判别式，总结根与系数之间的关系，并进行例题解析。
4. 应用与拓展：提供几个实际问题，让学生运用根与系数的关系进行求解。
5. 巩固与练习：布置相关的练习题，让学生进行巩固练习。
初三奥数辅导 追问求根公式
一、追问求根公式类型综述1．指数函数方程类：()1)()(=xQ x P的形式其（整数）解情况有三大类：注：有值肯定有意义！横线的地方表示多数情况下此类题考的方向，也有例外．2．含绝对值方程类：)()(xPxQ=或表示成0)()(=±xQxP的形式其解有两类：即分别讨论)(xQ＞0与)(xQ＜0的情况．这里有技巧：①次数（P（x））＜次数（Q（x））时先讨论)(xP＞O，x的取值范围，然后放在)(xQ里进行分析，去绝对值符号；②次数（P（x））＞次数（Q（x））时分Q（x）＞0与Q（x）＜0两种情况进行讨论解题：3．含有公因式的方程类：)()()()(xLxPxQxP⋅=⋅的形式其解有两类：在保证各函数有意义前提下，①0)(=xP时的解；②0)(≠xP时新方程)()(xLxQ=的解．注：切忌眼高手低．【例4】解方程1)1(+=+⋅ttt解之得：11-=或t4．次数待定的关于x的方程类：mx2 +=)(xP0 的形式其解有两类：即分析方程最高次项系数为0；与不为0的情况，【例5】解关于x的方程xa)1(-202=+-aax解：)i当,01=-a即1=a时，原方程即为2112=⇒=+-xx)ii当,01≠-a即1≠a时，=∆)2(a2aa⋅--)1(4a4=①0≥∆时，方程有解．即4a0≥⇒0≥a 时，方程有解121-±=a aa x 、 ②∆＜0时，即a ＜0时，方程无解． 5． 两个函数公共根类型：),1(0)( =x F a 与)2(0)( =x F b 有公共根，求),(b a G 的值． 这里有两类：①有且只有一个公共根；②有一个公共根．解题方法是：)i 设出公共根，用的式子、含b a 将此公共根表示出来，联立（1）与（2），求解．)ii 利用因式分解，各自求出方程根的表达式，再联立考虑． 【例6】是否存在某个实数m ，使得方程 x 202=++mx 和 x 202=++m x 有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个公共根，并求出实数m 的值；如果不存在，请说明理由．解：假设存在此实数根，不妨设为x 0 ，则2)2(02020020020-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++m x m m x x mx x （*） 由于只有一个公共根，则显然,2≠m 若不然，（*）式就有无数个解，且2=m 代入∀已知方程均无解，故此唯一实数根x 0,1= 且.2=m【例7】设关于x 的二次方程x a )1(-2a (-2a x ()2++2)1(0)2 =+a 及x b )1(- 2 b (-2b x ()2++2)2(0)2 =+b （其中a 、b 皆为正整数，且)b a ≠有一公共根，求abab b a b a --++的值．解：因为已知二次方程，且a 、b 皆为正整数所以a ＞1b Λ＞1 ；进而由（1）得：[]0)()2()1(=-⋅+--a x a x aa x =⇒1 ，122-+=a a x 由（2）得：[]0)()2()1(=-⋅+--b x b x bb x =⇒3 ，124-+=b b x ,b a ≠ （已知）∴1212-+=-+=a a b b b a 或 均31102=-⋅-=---⇒）（），即（b a b a ab 由整数因数法得 ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=-=-244211313111b a b a b a b a 或或 ．．．．．．．．（*） 而目标代数式a b abb a b a --++a b a b a b ab a b a b b a b a ba b a b a b a =++=++=11将（*）式值代入得：2564224=⨯6． 一元二次方程根与系数关系：已知,0)(=x P 求)(x Q 的值．类型 课本P1，例2．及P3，2小题 7． 二元二次函数类型：已知.0),(,0),(21==y x y x F F求),(y x G 值．课本P3，3小题．8． 一元二次函数根与图象类型：数形结合，表格法记ax x f =)(2c bx ++，假设0)(=x f 有解，可能有唯一解、两个解．那么)(x f 的图像为：x 3．23 3．243．25 3．26 ax 2c bx ++06.0- 02.0-0．030．07判断方程ax 2c bx ++0=)0(≠a 一个解x 的范围是（ ）9． 一元多次方程类型：实数范围内可以因式分解的类型，引入)(x f 符号有四类：①公式法：例如)(x f =0；其中)(x f 可以写成完全平方、平方差、立方差、等等形式的．②双十字相乘法：③求根法：④待定系数法．（ 详见：初二数学 因式分解 拔高）二、判别式注意几个地方：1． 已知关于x 的方程，还是关于x 的一元几次方程．6P ，例1、（1）；8P ，4题．（若变关于x 的一元二次方程为关于x 的方程有实数根呢？）,9P 11题，13题，14题；10P ，18题．2． 取完全正确限制条件．6P ，例1、（1）．8P ，2题．5题（角大写字母对应小写字母边）． 3． 降主为宾，提宾为主．6P ，例1、（2）． 4． 数形结合，考虑周全． 7P ，例2，例5．5． 欲擒故纵法． ,9P 14题．（涉及到补集问题） 6． 判别式与概率,9P 10题三、充满活力的韦达定理前提：取完全正确限制条件．1．韦达定理内容及延伸11P ，右侧．；14P ，13题．； 2．运用韦达定理求参数的值或范围．11P ，例1，（1）．；12P ，例4．；13P ，1题．2题．4题．5题．6题．； 14P ，10题．15题．16题；24P ，1题，2题．3．运用韦达定理求代数式的值或范围．11P ，例1，（2）．；12P ，例4．；13P ，7题．；14P ，10题．16题．； 4．根与三角形．13P ，3题．5题．；14P ，11题．14题．； 5．数轴标根法这属于不等式的问题，在次数稍高判别式中用处比较大． 例如，0)2)(1)(3)(2)(1(≥++---x x x x x 怎么解呢？ 6．引入函数名)(x f 结合图像解题法 12P ，例5．；14P ，15题．； 7．奇质数、偶质数12P ，例2．；14P ，12题．； 8．整数因数法浅谈（涉及因式分解）．14P ，9题．； 四、一元二次方程的应用注意：1．若已知t ＞0，t -12＞0；又已知t 2=（t -12）2则直接⇒t =t -12⇒t =6．2．归纳推理 （1）、平面中任意n 条直线相交，则所得交点个数最多 个，最少 个。
人教版九年级数学上册21.2.1《用配方法推导一元二次方程的求根公式》优秀教学案例
（一）知识与技能
1.学生能够理解配方法的含义，并能够运用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式。
2.学生能够掌握一元二次方程的求根公式，并能够熟练运用求根公式求解一元二次方程。
3.学生能够理解一元二次方程求根公式的推导过程，并能够运用求根公式进行相关计算。
（二）过程与方法
1.学生通过自主探究、合作交流的方式，经历一元二次方程求根公式的发现和推导过程。
2.学生通过总结归纳，形成对一元二次方程求根公式的系统认识和理解。
（五）作业小结
1.教师布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.学生在完成作业的过程中，总结自己在学习中的优点和不足，明确改进方向。
3.教师对学生的作业进行评价和反馈，肯定学生的努力和进步，指出存在的问题，鼓励学生继续努力。
3.教师通过讲解一元二次方程求根公式的应用，让学生学会如何运用求根公式解一元二次方程。
（三）学生小组讨论
1.教师布置一道有一定难度的题目，让学生分组进行讨论和解答。
2.学生在小组内分享自己的思路和解题方法，互相学习和借鉴。
3.各小组向全班展示自己的解题过程和成果，互相评价和交流。
（四）总结归纳
1.教师引导学生总结一元二次方程求根公式的推导过程和应用方法，帮助学生巩固所学知识。
2.学生在教师的引导下，运用逻辑推理、数学思维等方法，总结一元二次方程求根公式的推导规律。
3.学生通过巩固练习，内化新知，形成运用求根公式解一元二次方程的方法和技巧。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂活动，主动探究新知，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
2.学生在克服困难、解决问题的过程中，增强自信心，培养坚持不懈、勇于探索的品质。
九年级数学上册《公式法》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结公式法的基本概念、原理、步骤及应用。
2.学生分享自己在学习公式法过程中的收获和感悟，提出改进意见和建议。
3.教师对学生的总结进行补充和归纳，强调公式法在数学学习和实际应用中的重要性，鼓励学生在课后继续探索和巩固所学知识。
2.学生在小组内展开讨论，分享各自的想法，共同探讨解决问题的方法。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论进度，适时给予提示和引导，帮助学生找到解决问题的思路。
（四）课堂练习
1.教师设计具有针对性的练习题，涵盖本节课所学知识点，让学生独立完成。
2.学生在练习过程中，尝试运用公式法解决实际问题，提高解题能力。
（二）讲授新知
1.教师讲解公式法的基本概念、原理和步骤，如平方差公式、完全平方公式的推导和应用。
2.教师通过具体的例子，演示如何运用公式法解决实际问题，强调公式法在简化计算过程和提高解题效率方面的优势。
3.学生跟随教师的讲解，认真听讲、思考，积极参与课堂互动，提出自己的疑问。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组选择一个具有挑战性的问题进行讨论，如“如何用公式法求解两个连续自然数的平方和？”
4.通过对公式法的学习，使学生具备一定的数学建模能力，能够将现实生活中的问题转化为数学问题，并运用公式法进行求解。
（二）过程与方法
在本章节的教学过程中，教师应注重以下过程与方法：
1.采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、总结等环节，自主发现公式法的规律和特点。
2.创设生活情境，让学生在实际问题中感受公式法的价值和作用，培养学生的数学应用意识。
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根公式讲座
形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．
例题求解
例1满足的整数n有个．
思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．
例2设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）
A．一4B．8C．6D．0
思路点拨求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，．
例3解关于的方程．
思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论．
例4设方程，求满足该方程的所有根之和．
思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．
例5已知实数、、、互不相等，且，试求的值．
思路点拨运用连等式，通过迭代把、、用的代数式表示，由解方程求得的值．注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程（）直接作零值多项式代换；
(2)把方程（）变形为，代换后降次；
(3)把方程（）变形为或，代换后使之转化关系或整体地消去．
解合字母系数方程时，在未指明方程类型时，应分及两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如．
学历训练
1．已知、是实数，且，那么关于的方程的根为．
2．已知，那么代数式的值是．
3．若，，则的值为．
4．若两个方程和只有一个公共根，则()
A．B．C．D．
5．当分式有意义时，的取值范围是()
A．B．C．D．且
6．方程的实根的个数是()
A．0B．1C．2D．3
7．解下列关于的方程：
(1)；
(2)；(3)．
8．已知，求代数式的值．
9．是否存在某个实数m，使得方程和有且只有一个公共的实根?如果存在，
求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．
10．若，则＝．
11．已知、是有理数，方程有一个根是，则的值为．
12．已知是方程的一个正根。
则代数式的值为．
13．对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A．1n．2C．D．2．5
14．自然数满足，这样的的个数是()
A．2B．1C．3D．4
15．已知、都是负实数，且，那么的值是()
A．B．C．D．
16．已知，求的值．
20．如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中为不小于3的自然数．求证：需为无理数．
参考答案。