暨南大学电气信息学院概率统计自测题(3)解答

3 概率统计自测题解答一、选择填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 对事件,,A B 下列命题中正确的是( C ).（A ）如果,A B 互不相容, 则,A B 也互不相容. （B ）如果,A B 相容, 则,A B 也相容.（C ）如果,A B 相互独立, 则,A B 也相互独立.（D ）如果,A B 互不相容, 且{}{}0,P A P B > 则,A B 相互独立.2. 已知12~(,),~(,)X B n p Y B n p , 且,X Y 相互独立，则~X Y +( A ).（A ）()12,B n n p +. （B ）2(,)B n p . （C ）1(,)B n p . （D ）()12,2B n n p +.3. 设,X Y 是任意两个随机变量，则()()()E XY E X E Y =是,X Y 独立的( B ).（A ）充分条件. （B ）必要条件.（C ）充要条件. （D ）既非充分条件也非必要条件.4. 随机变量U (0,2)ξ，则()()D E ξξ=( B ).（A ）0. （B ）31. （C ）41. （D ）1.5. 设随机变量ξ的数学期望E ()ξμ=，方差D 2(),0ξσσ=≠，用切比雪夫不等式估计概率P {||3}ξμσ-<为( D ).（A ）19≤. （B ）8≤. （C ）8081≤. （D ）89≥.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 已知(),()(),P A p P AB P A B ==则()P B =1.p -2. 已知~()X πλ, 且{}10,3P X ==则{1}P X >=2ln 3.3- 3. 若,X Y 相互独立, ()4,()3,D X D Y == 则(23)D X Y -= 43.4. 二维随机变量,X Y 的联合分布律为22{,}(1),1,2,;1,2,,n P X m Y n p pm n m m -===-==++则关于X 的边缘分布律为{}P X m ==()11,1,2,m p p m --=5. 已知212~(,),,,,n X N X X X μσ是取自总体X 的一组样本，则当μ未知时， 2σ的置信度为1α-的置信区间为()()()()2222/21/211,.11n s n s n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭三、计算题（共4小题，每小题10分，共40分）1. 设连续型随机变量X 的分布函数为22,0,()0,0.x A Be x F x x -⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩求1) 常数,A B . 2) X 的密度函数()f x . 3) {(1,2)}P X ∈-.解 1）由分布函数性质()()222201lim (),00lim (),x x x x F A Be A F A Be A B +-→+∞-→⎧⎪=+∞=+=⎪⎨⎪==+=+⎪⎩解该方程组得1, 1.A B ==- ┈┈┈┈┈┈┈4分2）()()22,0,0,0.x Y xe x f x F x x -⎧⎪>'==⎨⎪≤⎩┈┈┈┈┈┈┈ 7分3）{}()()212211.P X F F e --<<=--=- ┈┈┈┈┈┈┈ 10分2. 二维连续型随机变量(,)X Y 的密度函数22221,,(,)0,x y R f x y R π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他. 求：1),X Y 的边缘密度函数. 2) X 与Y 是否相互独立为什么3){}P Y X >. 4)()E X Y +.解 1）()(),,,0,,X R x R f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他,0,R x R R -≤≤=⎪⎩其他. 同理，(),0,Y R y R f y R -≤≤==⎪⎩其他. ┈┈┈┈┈┈┈ 4分2） 因为()()()222,,,X Y f x y f x f y x y R ≠+≤，所以,X Y 不相互独立. ┈┈┈┈┈┈┈ 6分3）由题意，(,)X Y 服从(){}222,x y xy R +≤上的均匀分布，故{}221144R P Y X Rππ>== ┈┈┈┈┈┈┈ 8分4）()()(),E X Y x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞+=+⎰⎰22220x y R x ydxdy Rπ+≤+==⎰⎰┈┈┈┈┈┈┈ 10分3. 随机变量X 的密度函数为,0,()0,0.x e x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩求Y =.解 Y的分布函数(){}}Y F y P Y y P y =≤=≤. 若0,y ≤ 显然()0Y F y =. ┈┈┈┈┈┈┈ 4分若220,(){}y xY y F y P X y e dx ->=≤=⎰， ┈┈┈┈┈┈┈ 8分即()20,0,0,0,y x Y e dx y F y y -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩⎰从而所求密度函数()()22,0,0,0.y Y Yye y f y F y y -⎧⎪>'==⎨≤⎪⎩ ┈┈┈┈┈┈┈ 10分4．已知二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2221(,)x y f xy e+-=. 1) 求Z X Y =+的分布密度()Z f z . 2)用()x Φ表示{P X Y <+<解 1) 由已知()2222,()(),x y X Y f x y f x f y --==⋅所以, ,X Y 相互独立, 且~(0,1),~(0,1),X N Y N 故~(0,2),XY N + 分布密度()24.zf z -=┈┈┈┈┈┈┈ 5分2)所求概率{P X Y <+<()21 1.⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ=Φ- ┈┈┈┈┈┈┈ 10分四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）95%的把握将患某种疾病的人鉴定出来（即化验结果为阳性）. 但是，如果一个健康人接受这次化验，则化验结果为阳性的概率为. 如果这种疾病的患者占人口的%. 1）问某人接受化验结果为阳性的概率为多少2）若某人接受化验为阳性，问此人确实患这种疾病的概率为多少解：令B 表示化验结果为阳性，令A 表示接受化验的人患该种疾病。

则1）{}()()()()P B P A P B A P A P B A =+0.0050.950.9950.010.0147=⋅+⋅=. ┈┈┈┈┈┈ 4分2）()()(){}()()P A P B A P AB P A B P B P B == 0.0050.950.3230.0147⋅==. ┈┈┈┈┈┈ 8分2. 设总体X 的密度函数为1,0,(,)0,0,x x e x f x x ααλλαλ--⎧⎪>=⎨≤⎪⎩其中λ为未知参数，α为已知的正数，12,,,n X X X 是取自总体X 的样本，12,,,n x x x 为样本观测值，求λ的最大似然估计.解 似然函数111111()(,),ni i i n nnx x n n i ii i i i L f x x eex ααλλααλλλαλα=----===∑===∏∏∏对数似然函数()111ln ln ln ln ,n ni i i i L n n x x ααλλαλ-===+-+∑∑ ┈┈┈┈ 4分令1ln ()0,n i i d L n x d αλλλ==-=∑ 解得1,ni i nx αλ==∑所以λ的最大似然估计为1.ni i nX αλ==∑ ┈┈┈┈ 8分3. 已知某种钢丝的抗拉强度2~(,)X N μσ，且2σ未知. 现随机抽取9根钢丝，测得其抗拉强度如下：，，，，，，，，. 问该钢丝的抗拉强度均值7.2μ=是否成立取显著性水平0.05.α= 0.05((9) 1.8331,t =0.050.0250.0250.050.025(8) 1.8595,(9) 2.2622,(8) 2.3060, 1.645 1.96)t t t z z =====解 原假设0:7.2,H μ= 备择假设17.2.H ≠检验统计量X t =拒绝域()()0.025218 2.3060,t t n t α=>-== ┈┈┈┈┈ 4分由样本观测值可得7.9,0.587, 3.58 2.3060,x s t ===>故拒绝0:7.2,H μ= 即认为该种钢丝的抗拉强度不是. ┈┈┈┈┈ 8分五、证明题（共1小题，6分）设12,X X 和12,Y Y 是分别来自总体2(,2)X N μ和2(,3)Y N μ的两个样本, X 与Y 相互独立，令1212()()Z a X X b Y Y =+++ (其中,a b 为常数). 证明:(1) 当(12)2b a =-时, Z 是μ的无偏估计.(2) 在μ的具有形式1212()()Z a X X b Y Y =+++的所有无偏估计中, 取常数926,213a b ==时的Z 最有效.证 由于12,X X 和12,Y Y 分别来自总体2(,2)XN μ和2(,3)YN μ, 故1212(1)()()()()()2(),E Z a EX EX b EY EY a b a b μμμμμ=+++=+++=+当122ab -=时, (),E Z μ= 从而Z 是μ的无偏估计. ┈┈┈┈ 3分 2212122222(2)()(()())(()())818192618,(or 2682)2D Z a D X D X b D Y D Y a b a a b b =+++=+=-+-+令(())52180,D Z 'a =-= 可得92,2613a b ==时D (Z )最小, 从而结论成立. ┈┈┈┈ 6分。