高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.4.2
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.4
2.1.4函数的奇偶性学习目标 1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．知识点一函数奇偶性的定义奇、偶函数的概念知识点二奇(偶)函数的定义域特征在奇函数和偶函数的定义中，都要求x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于原点对称，因而判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称．知识点三函数奇偶性的几何特征思考下列函数图象中，关于y轴对称的有哪些？关于原点对称的呢？答案①②关于y轴对称，③④关于原点对称．梳理奇、偶函数的图象特征(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．1．关于y 轴对称的图形都是偶函数的图象．( × )2．存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个．( √ ) 3．有些函数既非奇函数，又非偶函数．( √ )4．奇函数f (x )＝1x ，当x >0时的解析式与x <0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．( × )类型一 判断函数的奇偶性命题角度1 已知函数解析式，证明奇偶性例1 (1)证明f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数；(2)证明f (x )＝(x ＋1)(x －1)是偶函数；(3)证明f (x )＝1－x 2＋x 2－1既是奇函数又是偶函数．证明 (1)因为它的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，所以对于定义域内的－1，其相反数1不在定义域内，故f (x )＝x 3－x 2x －1既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为函数f (x )＝(x ＋1)(x －1)＝x 2－1，又因为f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝f (x )，所以函数为偶函数．(3)定义域为{－1,1}，因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为偶函数．又f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1为奇函数．即该函数既是奇函数又是偶函数．反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时，首先应看函数定义域是否关于原点对称，即对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定属于定义域．其次，依据定义域，对函数f (x )的解析式能化简的先化简，再判断f (－x )与f (x )解析式的关系，从而确定出函数f (x )的奇偶性． 跟踪训练1 (1)证明f (x )＝(x －2) 2＋x2－x既不是奇函数也不是偶函数； (2)证明f (x )＝x |x |是奇函数．证明 (1)由2＋x 2－x ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以函数为奇函数． 命题角度2 证明分段函数的奇偶性例2 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)的奇偶性． 解 由题意可知f (x )的定义域为(－6，－1]∪[1,6)， 关于原点对称，当x ∈(－6，－1]时，－x ∈[1,6)，所以f (－x )＝(－x －5)2－4＝(x ＋5)2－4＝f (x )； 当x ∈[1,6)时，－x ∈(－6，－1]，所以f (－x )＝(－x ＋5)2－4＝(x －5)2－4＝f (x )． 综上可知对于任意的x ∈(－6，－1]∪[1,6)， 都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋5)2－4，x ∈(－6，－1]，(x －5)2－4，x ∈[1，6)是偶函数．反思与感悟 分段函数也是函数，证明奇偶性也是抓住两点：(1)定义域是否关于原点对称；(2)对于定义域内的任意x ，是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))，只不过对于不同的x ，f (x )有不同的表达式，要逐段验证是否都有f (－x )＝f (x )(或－f (x ))．跟踪训练2 证明f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x >0是奇函数．证明 定义域为{x |x ≠0}． 若x <0，则－x >0，∴f(－x)＝x2，f(x)＝－x2，∴f(－x)＝－f(x)；若x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2＝－x2，f(x)＝x2，∴f(－x)＝－f(x)；即对任意x≠0，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，试判断y＝f(x)＋g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝f[g(x)]的奇偶性．解∵f(x)，g(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)－g(x)＝－[f(x)＋g(x)]，y＝f(x)＋g(x)是奇函数．f(－x)g(－x)＝[－f(x)][－g(x)]＝f(x)g(x)，y＝f(x)g(x)是偶函数．f[g(－x)]＝f[－g(x)]＝－f[g(x)]，y＝f[g(x)]是奇函数．反思与感悟利用基本的奇(偶)函数，通过加减乘除、复合，可以得到新的函数，判断这些新函数的奇偶性，主要是代入－x看结果．跟踪训练3设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数答案 C解析A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．类型二奇偶性的应用命题角度1奇(偶)函数图象的对称性的应用例4定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．引申探究把例4中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思与感悟鉴于奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称，可以用这一特性去画图，求值，求解析式，研究单调性．跟踪训练4已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O′，A′，B′，C′，D′，再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x∈(－2,0)∪(2,5)时，f(x)<0.∴使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．命题角度2利用函数的奇偶性求解析式例5函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1.∴当x<0时，f(x)＝－x－1.反思与感悟求某个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练5已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－x2.求y＝f(x)的解析式．解设x<0，则－x>0，因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[2(－x)－(－x)2]＝2x＋x2.因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －x 2，x >0.1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x答案 D解析 D 中，∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．2．函数f (x )＝x (－1<x ≤1)的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 答案 C3．已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－5 D ．5答案 D解析 ∵函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴x ＝±2时函数值相等． ∴f (－2)－2＝f (2)＋2， ∴f (－2)＝5，故选D.4．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B5．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.答案－x＋1解析设x＞0，则－x＜0，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1.1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．3．证明一个函数是奇(偶)函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(x))．而证明一个函数不是奇(偶)函数，只要能举出一个反例就可以了.一、选择题1．已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于()A．－1 B．1 C．0 D．2答案 A解析因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故选A.2．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3答案 A解析∵f(x)是奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.3．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数，∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12 D ．－12答案 B解析 依题意得b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13.5．函数f (x )＝|x ＋1|－|x －1|为( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 答案 A解析 f (x )的定义域为R ，对于任意x ∈R ，f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．又f (－1)＝－2，f (1)＝2，f (－1)≠f (1)， ∴f (x )不是偶函数．6．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (3)＝0，则不等式f (x )－f (－x )2>0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，f (3)＝0， ∴f (－3)＝0.又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0)上也为增函数， 又∵f (x )－f (－x )2＝f (x )>0，①当x >0时，则f (x )>f (3)＝0，∴x >3； ②当x <0时，则f (x )>f (－3)＝0，∴－3<x <0， 综上可得，原不等式的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)． 二、填空题7．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 答案 0解析 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此，四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.8．若函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． 答案 a >1 解析 ∵函数f (x )＝x 2－1＋a －x 2为偶函数且非奇函数，∴f (－x )＝f (x )且f (－x )≠－f (x )．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，a －x 2≥0，∴a ≥1.当a ＝1时，函数f (x )＝x 2－1＋1－x 2为偶函数且为奇函数，不符合题意．故a >1.9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.答案 43解析 根据题意，得f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43. 10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x <0，x (1＋x )，x >0为________．(填“奇函数”或“偶函数”) 答案 奇函数解析 定义域关于原点对称，且f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x (1＋x )，－x <0，－x (1－x )，－x >0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (1＋x )，x >0，－x (1－x )，x <0 ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．三、解答题11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R .∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．12．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求实数a 的取值范围．解 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增，可知f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78>0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，即3a －2>0，解得a >23. ∴实数a 的取值范围是a ＞23.四、探究与拓展13．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．答案 [－6，－3)∪(0,3)解析 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．14．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25，求函数f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，即b 1＋02＝0，∴b ＝0. 又∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12a 1＋14＝25， ∴a ＝1，∴f (x )＝x 1＋x 2.。
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零
2.4.1 函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解.轴有两个交点，所以函数有两个零点．－2＝0的判别式Δ＝有两个不相等的实根．所以函数－2＝0可化为(2x＋所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12.所以函数f(x)＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f(x)＝2x 2－3x －2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f(0)＝－2＜0，所以函数f(x)＝2x 2－3x －2有两个零点．如下图.思路2例 若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围． 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径． ③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0.解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0， 由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18，所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－2(0,1)(舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，f 0>0，f 1>0，0<14a <1，f 14a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，f 0<0，f 1<0，0<14a <1，f 14a >0，容易解得实数a 不存在． 变式训练若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，x ＝0满足题意．(2)当a≠0时，设f(x)＝ax 2＋3x ＋4a.方法一：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－16a 2≥0，－32a<1，af 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－34≤a≤34，a>0或a<－1.5，a>0或a<－0.6.∴0＜a≤34.综上(1)(2)，得0≤a≤34.方法二：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－16a 2≥0，x1＋x 2<2，(x 1－1)(x 2－1)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－16a 2≥0，x 1＋x 2<2，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－16a 2≥0，－3a<2，4＋3a ＋1>0，解得0＜a≤34.综上(1)(2)，得0≤a≤34.点评：方法一结合函数图象利用函数符号列不等式组．方法二代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点． 解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有 f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8. 由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的图象与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3. 拓展提升问题：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析： ①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数， (1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙．(3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲乙。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1(1)
2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型](1)函数y ＝1＋x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12(1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二 令f (x )＝0，即x 2－1x＝0.∵x ≠0，∴x 3－1＝0.∴(x －1)(x 2＋x ＋1)＝0. ∴x ＝1或x 2＋x ＋1＝0.∵方程x 2＋x ＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x 2＋x ＋1＝0无实数根．∴函数f (x )只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n 次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决． 2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决． 4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y ＝x 3－3x 2－2x ＋6的零点个数． 【解】 y ＝x 3－3x 2－2x ＋6 ＝x 2(x －3)－2(x －3) ＝(x 2－2)(x －3)，令y ＝0，则x ＝±2或x ＝3， 显然有三个零点．[探究共研型]探究1 设F (g (x )有何关系？ 【提示】 F (x )的零点是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象的交点的横坐标． 探究2 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则实数a 的取值范围是什么？【提示】 若函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有零点，则方程x 2－2x ＋a ＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a ≥0，故a ≤1.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 【精彩点拨】 把问题转化为方程|2x －2|＝b 有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x－2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f ，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －a ＋＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －a ＋＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数2.2.1 Word版含答案
§2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题．知识点一一次函数的概念思考1那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答案函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.思考2一次函数的图象是什么？表达式中的k，b的几何意义又是什么？答案一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．知识点二一次函数的性质思考一次函数图象的斜率、截距对图象有什么影响？答案斜率影响直线的倾斜程度、截距影响直线的位置．梳理一次函数的性质特别提醒：注意k ≠0这一条件，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，其函数图象是平行x 轴或与x 轴重合的一条直线．1．函数y ＝kx ＋b 叫做一次函数．( × ) 2．一次函数y ＝mx －m 过定点(1,0)．( √ )类型一 一次函数的概念例1 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，则2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R .(3)据题意，得2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2，(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.反思与感悟 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解． 跟踪训练1 设函数y ＝(m －3)xm 2－6m ＋9＋m －2： (1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解 (1)由一次函数的表达式知，⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m 2－6m ＋9＝1.解得m ＝2或m ＝4.(2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0， 所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函数． 类型二 求一次函数的解析式及参数范围例2 (1)若直线y ＝3x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜13B.13＜k ＜1 C ．k ＞1D ．k ＞1或k ＜13(2)已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在x ＝1时，y ＝5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是6，则这个一次函数的解析式为________． 答案 (1)B (2)y ＝－x ＋6解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝x －k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－k2，y ＝1－3k 2，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2，1－3k 2. 又∵交点在第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k2＞0，1－3k 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1，k ＞13，∴13＜k ＜1.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝k ＋b ，0＝6k ＋b ，∴k ＝－1，b ＝6.反思与感悟 求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，其中k ≠0.(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k 与b 满足的方程组． (3)求出k 与b 的值，代入y ＝kx ＋b 即可．跟踪训练2 已知一次函数的图象经过y ＝x ＋1与y ＝2x －3的交点A ，并且与x 轴交于点B (－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，即A (4,5)．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， 因为函数图象过A (4,5)与B (－1,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5＝4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以一次函数解析式为y ＝x ＋1，其图象如图．类型三 一次函数中的恒成立问题例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立，求m 的取值范围． 解 ∵当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立， ∴x (m －1)－(2m －1)＞0恒成立． 令f (x )＝x (m －1)－(2m －1)，则当x ∈[0,1]时，f (x )的图象恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－(2m －1)＞0，－m ＞0，∴m ＜0，即m 的取值范围为(－∞，0)． 引申探究若条件改为：存在x ∈[0,1]，使不等式2m －1＞x (m －1)成立，求m 的取值范围．解 若在[0,1]上存在x 使2m －1＞x (m －1)成立，则等价于f (x )＝(m －1)x －2m ＋1在[0,1]上存在x 使函数值为负值，即x ∈[0,1]时，f (x )min ＜0. 当m ＝1时，f (x )＝－1＜0恒成立； 当m ＜1时，m －1＜0，由f (x )min ＝f (1)＝－m ＜0得m ＞0， 故0＜m ＜1.当m ＞1时，m －1＞0，由f (x )min ＝f (0)＝－2m ＋1＜0得m ＞12，故m ＞1.综上所述，m 的取值范围是(0，＋∞)．反思与感悟 (1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为正⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＞0.(2)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为负⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (n )＜0.跟踪训练3 已知f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，＋∞ 解析 ∵f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＞0，f (3)＞0， 解之得a ＞－23.类型四 一次函数的图象及应用例4 画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围．解 因为函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴交于点A (0,1)，与x 轴相交于点B ⎝⎛⎭⎫－12，0，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象．如图所示．(1)直线AB 与x 轴的交点为B ⎝⎛⎭⎫－12，0，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12. (2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－12. (3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.反思与感悟 直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集．跟踪训练4 已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围．解 由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2答案 C解析 ∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.2．一次函数y ＝kx (k ≠0)的图象上有一点坐标为(m ，n )，当m ＞0，n ＜0时，则直线经过( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第一、四象限答案 A解析 ∵点(m ，n )的坐标中m ＞0，n ＜0， ∴点一定在第四象限， ∴直线过第二、四象限．3．已知一次函数y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2，它的图象在y 轴上的截距为－4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．1 D ．2或1 答案 C解析 ∵y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2为一次函数， ∴m －2≠0即m ≠2.又截距m 2－3m －2＝－4即m 2－3m ＋2＝0， ∴m ＝1.4．当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数．答案 ±1解析 由题意可知m ＋1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＋4≠0，2m －1＝1，∴m ＝－1或m ＝1.5．若函数y ＝(2m －9)xm 2－9m ＋15是正比例函数，且图象经过第二、四象限，则m ＝________. 答案 2解析 ∵m 2－9m ＋15＝1， ∴m ＝2或m ＝7.①当m ＝2时，y ＝－5x ，符合要求； ②当m ＝7时，y ＝5x ，不符合要求． 故m ＝2.1．一次函数图象与性质的理解(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x ＝1的图象是一条直线，但x ＝1不是一次函数． (2)一次函数图象过定点⎝⎛⎭⎫－bk ，0，(0，b )． (3)一次函数的单调性与其一次项系数k 与0的大小关系． 当k >0时，函数单调递增， 当k <0时，函数单调递减． 2．一次函数与正比例函数(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)中，若b ＝0，则一次函数就变为正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b ).一、选择题1．已知函数y ＝kx ＋k 2－k 过点(0,2)且是减函数，则k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－1,2 D ．1，－2答案 B解析 将点的坐标代入函数关系式，得k 2－k ＝2，即k 2－k －2＝0，所以k ＝－1或k ＝2，由于一次函数为减函数，即k <0，所以k ＝－1，故选B.2．两条直线y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )答案 A解析 假设B 项中直线y ＝ax ＋b 正确，则a ＞0，b ＞0，所以y ＝bx ＋a 的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B 错．同理C ，D 错．故A 正确． 3．当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5＜0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，5] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，5) D ．(－∞，－5]答案 A解析 令f (x )＝－ax ＋a －5＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，－5≤0，∴a ≤5. 4．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( ) A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20) 答案 B解析 由题意，得0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.只有B 选项适合．5．若函数y ＝(2m －3)x ＋3n ＋1的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值范围是( ) A ．m >32，n >－13B ．m >3，n >－3C ．m <32，n <－13D ．m >32，n <13答案 A解析 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当k >0，b >0时，其图象经过第一、二、三象限，所以m >32，n >－13.6．若一次函数y ＝(3a －8)x ＋a －2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B.⎝⎛⎭⎫2，83 C.⎝⎛⎭⎫83，3 D ．(1,3) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －8<0，a －2>0，解得2<a <83.二、填空题7．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，73 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，3a －7＜0，∴2＜a ＜73.8．若f (x )是一次函数，g (x )＝2x ＋1，f (g (x ))＝5x －3，则f (x )＝________. 答案 52x －112解析 设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0， 则f (g (x ))＝k (2x ＋1)＋b ＝2kx ＋k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝5，k ＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧k ＝52，b ＝－k －3＝－112，∴f (x )＝52x －112.9．已知函数y ＝2x ＋b 在区间[－1,3]上的最大值是7，则b ＝________. 答案 1解析 ∵函数y ＝2x ＋b 在[－1,3]上单调递增， ∴最大值为2×3＋b ＝7，∴b ＝1.10．直线y ＝－3x ＋1和直线y ＝2x ＋6以及x 轴围成的三角形的面积为________． 答案203解析 如图A ⎝⎛⎭⎫13，0，B (－3,0)，C (－1,4)．在△ABC 中，|AB |＝103，h ＝4， ∴S △ABC ＝12×103×4＝203. 三、解答题11．解答下列各题：(1)求函数y ＝3x －2(－1≤x ≤2)的值域；(2)若函数y ＝(3a ＋2)x ＋b 是减函数，求a 的取值范围；(3)若直线y ＝(m －2)x ＋1－2m 的图象不经过第二象限，求实数m 的取值范围．解 (1)∵y ＝3x －2在[－1,2]上为增函数，∴y ∈[－5,4]，其值域为[－5,4]．(2)∵3a ＋2＜0，∴a ＜－23. (3)①当m －2＝0，即m ＝2时，y ＝－3符合题意；②当m －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，1－2m ≤0，∴m ＞2，∴m 的取值范围为m ≥2.12．对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式px ＋3>3px 恒成立，试求x 的取值范围． 解 不等式px ＋3>3px 可化为：2px －3<0，即2xp －3<0，令f (p )＝2xp －3，当p ＝0时，f (p )＝－3<0，满足题意．函数f (p )的图象是一条线段，要使当0≤p ≤4时，f (p )<0恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝－3<0，f (4)＝8x －3<0，即x <38. ∴满足题意的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，38. 13．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求出f (x )的最小值．解 在同一坐标系内作出y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A ，B ，C .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋5，y ＝－2x ＋8，得C ⎝⎛⎭⎫35，345. 过C 点作y 轴的平行线x ＝35，由图可知，在直线x ＝35左边，y ＝－2x ＋8的图象在最上面，即当x ≤35时，f (x )＝－2x ＋8；在直线x ＝35右边，y ＝3x ＋5的图象在最上面，即当x >35时，f (x )＝3x ＋5，因此，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋8，x ≤35，3x ＋5，x >35.观察f (x )的图象可知，f (x )min ＝345. 四、探究与拓展 14．已知函数f (x )＝(a ＋2b )x ＋2a －b (a ≥0)，且当x ∈[0,1]时恒有f (x )≤1，则f (－1)的最大值为________．答案 3解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2a －b ≤1，f (1)＝3a ＋b ≤1，两式相加可得5a ≤2，∴0≤a ≤0.4.∵f (－1)＝a －3b ＝3(2a －b )－5a ，且0≤a≤0.4,2a－b≤1，∴－2≤－5a≤0,3(2a－b)≤3，∴3(2a－b)－5a≤3，当a＝0，b＝－1时，f(－1)取最大值3.15．若函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间[－1,2]上恒有f(x)＞0，求实数k的取值范围．解(1)当k＝1时，f(x)＝2＞0恒成立；(2)当k＞1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为增函数，所以只要f(x)min＞0，即f(－1)＝－(k－1)＋2＞0，解得k＜3，所以实数k的取值范围为(1,3)；(3)当k＜1时，函数f(x)＝(k－1)x＋2在区间(－1,2)上为减函数，所以只要f(x)min＞0，即f(2)＝2k－2＋2＞0，解得k＞0，则实数k的取值范围为(0,1)．综上，实数k的取值范围为(0,3)．。
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第2章 函数 2.1.1 第1课时
②是函数关系，定义域为R.
③是函数关系，定义域为R.
解答
类型二 已知函数的解析式，求其定义域
例2 求下列函数的定义域. (1)y＝3－12x； 解 函数 y＝3－12x 的定义域为 R.
(2)y＝2 x－ 1－7x； 解 由x1≥－07，x≥0， 得 0≤x≤17， 所以函数 y＝2 x－ 1－7x的定义域为0，17.
解答
(3)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x.
2x＋3≥0， 解 要使函数有意义，需2－x>0，
x≠0，
解得－32≤x＜2，且 x≠0，
所以函数 y＝
2x＋3－
21－x＋1x的定义域为x－32≤x＜2，且x≠0
.解答ຫໍສະໝຸດ 反思与感悟求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零. (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零. (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合. (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.
第二章 2.1.1 函 数
第1课时 变量与函数的概念
学习目标
1.理解函数的概念. 2.理解函数相等的概念，了解构成函数的三要素. 3.能正确使用函数、区间符号.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 函数的概念
1.函数的定义 设集合A是一个非空 的数集，对A中的任意数x ，按照确定的法则f，都有 唯一确定 的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数， 记作 y＝f(x)，x∈A . 2.函数的定义域与值域 在函数y＝f(x)，x∈A中， x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这 个函数的定义域.如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处 的函数值，记作 y＝f(a)或.所y|x有＝a函数值构成的集合_______{_y_|y_＝__f(_x_)_，x∈A} 叫做这个函数的值域.
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1(1)(2021年最新整理)
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2．4.1 函数的零点1．理解函数零点的概念．(重点）2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点）3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．（重点、难点)［基础·初探］教材整理1 函数的零点阅读教材P70～P71“例”以上部分内容，完成下列问题．1．定义如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．性质(1）当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．（2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断（正确的打“√”，错误的打“×"）(1)所有的函数都有零点．( )(2）若方程f（x）＝0有两个不等实根x1,x2，则函数y＝f(x）的零点为（x1,0)，（x2，0）．（）（3)f（x)＝x－错误!只有一个零点．（）【答案】(1）×（2）×(3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程实根个数的关系阅读教材P70“倒数第2行”～P71“例”以上的内容，完成下列问题．判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1,x2有一个二重零点x1＝x2没有零点已知函数f(x)＝x2－2x＋a的图象全部在x轴的上方，则实数a的取值范围是________。
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程课堂探究 新人教B版必修1
2.4 函数与方程课堂探究探究一求函数的零点1．函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数解就是f(x)的零点．解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解．2．对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点．【典型例题1】求下列函数的零点：(1)f(x)＝－x2－2x＋3；(2)f(x)＝x4－1.思路分析：解对应的方程的根，即为函数的零点．解：(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，所以方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3,1.故函数的零点是－3,1.(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，所以方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.探究二判断函数的零点个数1．对于函数零点的个数的判断通常的做法有：①直接求出零点；②结合函数图象分析；③对函数解析式确定的二次函数，用判别式Δ即可，若Δ表达式中含有字母，需对字母进行讨论．2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数⇔抛物线f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的个数．【典型例题2】 (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足ac＜0，则函数的零点个数为( )A.0 B．1 C．2 D．不确定(2)判断下列函数的零点个数：①f(x)＝x2－7x＋12；②f(x)＝x2－1x.(1)解析：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点即方程ax2＋bx＋c＝0的根，因为Δ＝b2－4ac＞0(因ac＜0)，所以函数有2个零点．答案：C(2)解：①因为由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1＞0，所以方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.所以函数f(x)有两个零点．②方法一：由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x.在同一直角坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，由图可知两个图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．方法二：令f(x)＝0，即x2－1x＝0，因为x≠0，所以x3－1＝0.所以(x－1)(x2＋x＋1)＝0.所以x＝1或x2＋x＋1＝0.因为方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3＜0，所以方程x2＋x＋1＝0无实数根．所以函数f(x)只有1个零点．探究三零点性质的应用解决根的分布问题的一般步骤为：1．首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．2．结合草图考虑三个方面：(1)Δ与零的大小关系；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系．3．写出由题意得到的不等式(组)．4．由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意．这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在写不等式(组)时，要注意条件的完备性．【典型例题3】当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内？思路分析：对a分a＝0，a＞0，a＜0三种情况讨论，并利用零点的特征性质来解决．解：当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．当a ＞0时，设f (x )＝ax 2－2x ＋1，∵方程ax 2－2x ＋1＝0的根，即函数f (x )的零点分别在区间(0,1)，(1,2)内，∴()()()001020f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，，，即102104410.a a >⎧⎪<⎨⎪>⎩，－＋，－＋ 解得34＜a ＜1. 当a ＜0时，设方程ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝1a＜0，即x 1，x 2一正一负，不符合题意． 综上，a 的取值范围为3,14⎛⎫⎪⎝⎭. 点评对于根的分布问题常常借助函数零点的有关性质进行讨论．在解本题时，易出现()()()()010120f f f f ⋅<⎧⎪⎨⋅<⎪⎩，的情况，导致此种错误的原因是没有对a 进行分类讨论． 探究四 利用二分法求函数零点的近似值1．二分法求函数零点近似值的一般步骤2．二分法应用时的注意事项(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．(2)在求解过程中，可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度．(3)根据给定的精确度，及时检验所取区间长度是否达到要求，以及时终止计算．【典型例题4】 借助计算器，用二分法求函数f (x )＝2x 2－3x －1的一个正零点(精确到0.1)．思路分析：本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成．解：令2x 2－3x －1＝0，得x.其中1＜34+＜2，由于f (1)＝－2＜0，f (2)＝1＞0， 可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：零点近似值．探究五 易错辨析易错点 忽视函数有零点的条件而致误【典型例题5】 若α，β是函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5的两个零点，试求α2＋β2的最大值．错解：根据题意，可得α，β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根．由根与系数的关系，得α＋β＝k －2，α·β＝k 2＋3k ＋5，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(k －2)2－2(k 2＋3k ＋5)＝－k 2－10k －6＝－(k ＋5)2＋19，所以α2＋β2的最大值为19.错因分析：没有考虑函数有零点这一前提条件，从而导致错解．正解：因为函数f (x )＝x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5有两个零点，所以Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0，即3k 2＋16k ＋16≤0.所以(k ＋4)(3k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤－43. 由错解知α2＋β2＝－(k ＋5)2＋19，所以当k ＝－4时，α2＋β2取最大值，最大值为18.点评 涉及二次函数最值求解问题，大家一定要注意自变量的取值范围，再者对于二次函数有零点，就意味着Δ≥0，不要忽略Δ的情况而直接讨论其他问题，这样很容易出现错误．。
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一第二章《函数》学案2
2.1.1函数2014-9文登一中林银玲【学习目标】：（1）通过同一过程的变量的关系理解函数的概念，会用集合的语言来刻画函数；（2）掌握函数三要素；（3）熟练掌握用区间表示不等式；（4）会求基本函数定义域【知识重难点】：重点：函数的概念；难点：对函数符号()x f y =的理解【自学指导】：自学课本P29-P32，填充以下空格：1. 函数的定义：（1）变量的观点：在一个变化过程中，有两个变量 ，如果给定 ，相应的就 的一个 ，那么我们称 ，其中 是自变量， 是因变量。
（2）集合的观点：设集合A 是___________ ，对于A 中___________ ，按照确定的法则f ，都有______________ 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作___________ _其中x 叫做______________,，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的_____________。
2.函数值：如果___________ ，则由 称为___________ 的函数值，记作_________或___________所有函数值的集合}),(/{A x x f y y ∈=叫做这个函数的_________，函数)(x f y =也经常写为_________________3.要检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，只要检验：①______________________ ②4.（1）函数的三要素 因为函数的值域被______________完全确定，所以确定一个函数只需要______________ 两个要素。
（2）相同函数 ；（3）符号()x f 的意义是 ， ()x f 与()a f 的区别是5设a,b 是两个实数，且b a <（1） 满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫作闭区间，记作__________（2） 满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫作开区间，记作_____________（3） 满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫作半开半闭区间，分别表示为_______________________________，其中实数a,b 表示区间的两端点。
高中数学 第二章 函数 2.4.1 函数的零点学案 新人教B版必修1
2.4.1 函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系.[知识链接]考查下列一元二次方程与对应的二次函数： (1)方程x 2－2x －3＝0与函数y ＝x 2－2x －3； (2)方程x 2－2x ＋1＝0与函数y ＝x 2－2x ＋1； (3)方程x 2－2x ＋3＝0与函数y ＝x 2－2x ＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x 轴交点的坐标. 答案[1.函数的零点(1)定义：一般地，如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点. (2)性质①当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号.②两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号. 2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系要点一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点： (1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1.解 (1)∵f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， ∴方程－x 2－2x ＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.(2)∵f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1. 规律方法 函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1 求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 解 (1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得，x ＝1a或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：(1)当a ＝0或－12时，零点为－2；(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.要点二 函数零点个数的判断例2 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点.规律方法 判断或求形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点时，首先对a 分a ≠0和a ＝0两种情况讨论，然后对a ≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2 判断下列函数的零点个数： (1)f (x )＝x 2－7x ＋12； (2)f (x )＝x 2－1x.解 (1)由f (x )＝0即x 2－7x ＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f (x )有两个零点.(2)方法一 由x 2－1x ＝0得x 2＝1x，令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x，在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.方法二 令f (x )＝0得x 2－1x＝0即x 3－1＝0(x ≠0)， ∴x ＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点.要点三 函数零点性质的应用例3 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.解 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，f ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，4a －a ＋＋a －1＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －a ＋＋a －1＞0，解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5).规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f＝2m ＋1＜0，f －＝2＞0，f ＝4m ＋2＜0，f＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12).1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( )A.(0，±2)；±2B.(±2,0)；±2C.(0，－2)；－2D.(－2,0)；2答案 B解析 令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f (x )在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值( ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.无法判断答案 B解析 由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f (4)＜0. 3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是( ) A.(－2,6) B.[－2,6]C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)D.{－2,6} 答案 C解析 由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，∴m ＞6或m ＜－2. 4.函数f (x )＝x －4x的零点个数为( )A.0B.1C.2D.无数个 答案 C解析 f (x )＝x 2－4x，得x 1＝2，x 2＝－2，即函数有2个零点.5.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案 2 －8解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x 轴无交点，如函数y ＝1或y ＝x 2＋1就没有零点. 2.判断函数的零点，可利用的结论：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解.。
高中数学 第二章 函数 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零
2.4.1 函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：三次：(1)开场；(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段；(3)由落后到领先必经过“平分”时段．点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑥函数的零点是一个实数．⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x－3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．点评：本题主要考查函数的零点．讨论函数的零点通常转化为方程的解.轴有两个交点，所以函数有两个零点．－2＝0的判别式Δ＝有两个不相等的实根．所以函数－2＝0可化为(2x＋思路2例 若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围． 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径． ③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0.解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0， 由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞ 1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18，所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，，，0<14a <1，14a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，，，0<14a <1，14a ，容易解得实数a 不存在．⎩⎪⎨－32a<1，，∴⎩⎪⎨a>0或a<－1.5，∴0＜a≤4.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2. 分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点． 解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有 f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8.当a∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8. 由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的图象与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧．只需f(2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3. 拓展提升问题：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析： ①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数， (1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙．(3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结本节学习了：①零点的概念；②零点的判断方法；③利用函数的单调性证明零点的个数；④零点的应用．学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B 1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲乙。