北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景-汽车行驶的路程
n
2
1 1 1 n −1 1 = −0 ⋅ − ⋅ − L − ⋅ +2 n n n n n 1 2 2 2 = − 3 1 + 2 + L + ( n − 1) + 2 n 1 1 1 1 ( n − 1) n ( 2n − 1) + 2 = − 1 − 1 − + 2 =− 3 3 n 2n 6 n 1 1 1 从而得到 S 的近似值 S ≈ Sn = − 1 − 1 − + 2 3 n 2n 9
n
1 1 1 5 = lim − 1 − 1 − + 2 = n →∞ 3 n 2n 3
10
思考： 结合求曲边梯形面积的过程， 思考： 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行 驶 的 路 程 S 与 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
i ⋅ b ( i − 1) b b b − = 把在分段 0 , ， 其长度为 ∆x = n n n n ( n − 1) b b 2b 上所作的功分别记作 分别记作： , b 上所作的功分别记作： n , n ， …， n
∆W1 ， ∆W2 ，…， ∆Wn
12
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所 作的功为 W = F ⋅ x ． 个点， 1．分割 在区间 [ 0 , b ] 上等间隔地插入 n − 1 个点，将 个小区间： 区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间：
北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》 四章《定积分》
法门高中姚连省制作 1
一：教学目标 1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关 、知识与技能目标： 汽车行驶路程问题的过程的共同点； 汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车 、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比， 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人 、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中， 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 二：教学重难点 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（ 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极 难点： 限）难点：过程的理解 教学方法：探析归纳， 三：教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近 分析： 似代替、求和、取极限的方法求解．
（2）近ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ代替
( i − 1) b ( i − 1) b ⋅ b 有条件知： 有条件知 ： ∆Wi ' = F ⋅ ∆x = k ⋅ n n n 14 (i = 1, 2 , L , n)
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（3）求和
Wn = ∑ ∆Wi ' = ∑
i =1 i =1
n
n
( i − 1) b ⋅ b k⋅
n
n
kb 2 = 2 0 + 1 + 2 + L + ( n − 1) n 2 n ( n − 1) kb 2 1 kb = 2 = 1 − n 2 2 n
kb 2 1 从而得到 W 的近似值 W ≈ Wn = 1 − 2 n
( n − 1) b b b 2b , b 0 , n ， n , n ，…， n
( i − 1) b i ⋅ b 记第 i 个区间为 , (i = 1, 2 , L , n) ， n n
13
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时， 组匀速直线运动时， 问题： 经过时间 t 如果汽车作变速直线运动， 所行驶的路程为 S = vt ． 如果汽车作变速直线运动， 单位：km/ ， ，那 在时刻 t 的速度为 v ( t ) = −t 2 + 2 （单位：km/h） 那 1(单位 h) 单位： h)这段时间内行驶的路程 么它在 0≤ t ≤1(单位： 这段时间内行驶的路程 S 单位：km）是多少？ （单位：km）是多少？
i −1 i −1 i −1 点 处的函数值 v = − + 2 ，从物理意义 n n n i −1 i , (i = 1, 2 , L , n) 上的 上看， 上看，即使汽车在时间段 n n i −1 速度变化很小， 速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
结合上述求解过程可知， 结合上述求解过程可知， 汽车行驶的路程 S = lim Sn
n →∞
在 数 据 上 等 于 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积． v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积．
一般地， 如果物体做变速直线运动， 一般地 ， 如果物体做变速直线运动 ， 速度函数为 v = v ( t ) ，那么我们也可以采用分割、近似代替、求 那么我们也可以采用分割、近似代替、 和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及 取极限的方法，利用“以不变代变” 无限逼近的思想， 无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 11 ． S
n
kb 所作的功为： 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： 2
2
作业：课本 作业：课本P80A组2、3 组 、 五、教学后记
16
再见
17
4
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题， 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀 速直线运动的路程问题． 速直线运动的路程问题 ． 把区间 [0,1] 分成 n 个小区 在每个小区间上， 的变化很小， 间，在每个小区间上，由于 v(t ) 的变化很小，可以近 似的看作汽车作于速直线运动， 似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个 小区间上行驶路程的近似值， 单位：km） 小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km） 的近似值， 单位： 的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单位： km）的精确值． 思想：用化归为各个小区间上匀速 km）的精确值． 思想： （ 直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直 线运动的路程） ． 线运动的路程）
15
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（4）取极限
kb 2 1 kb 2 W = lim Wn = lim ∑ ∆Wi ' = lim 1 − = n →∞ n →∞ n →∞ 2 2 n i =1
显然， 显然， S = ∑ ∆Si
i =1 n
6
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 ∆t 很 小 时 ， 在 区 间 i −1 i , 上 ， 可以认为函数 v ( t ) = −t 2 + 2 的值变化很 n n 近似的等于一个常数， 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端
5
解：1．分割 个点， 在时间区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n − 1 个点 ， 将区间 个小区间： [0 ,1] 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n −1 0 , n ， n , n ， … ， n ,1 记 第 i 个 区 间为 i i −1 1 i −1 i n , n (i = 1, 2 , L , n) ，其长度为 ∆t = n − n = n 1 1 2 n −1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，…， n n n n 驶的路程分别记作 分别记作： 驶的路程分别记作： ∆S1 ， ∆S 2 ，…， ∆S n
2
i −1 i −1 v = − + 2 作匀速直线运动 n n
2
7
即使汽车在时间段即在局部小范围内“ 即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” 于是的用小矩形的面积 ∆Si′ 近似的代替 ∆Si ， ， 则有
i − 1 2 1 i −1 ∆Si ≈ ∆Si′ = v ⋅ ∆t = − + 2 ⋅ n n n
2
1 1 1 n −1 1 = −0 ⋅ − ⋅ − L − ⋅ +2 n n n n n 1 2 2 2 = − 3 1 + 2 + L + ( n − 1) + 2 n 1 1 1 1 ( n − 1) n ( 2n − 1) + 2 = − 1 − 1 − + 2 =− 3 3 n 2n 6 n 1 1 1 从而得到 S 的近似值 S ≈ Sn = − 1 − 1 − + 2 3 n 2n 9
n
1 1 1 5 = lim − 1 − 1 − + 2 = n →∞ 3 n 2n 3
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思考： 结合求曲边梯形面积的过程， 思考： 结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行 驶 的 路 程 S 与 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
i ⋅ b ( i − 1) b b b − = 把在分段 0 , ， 其长度为 ∆x = n n n n ( n − 1) b b 2b 上所作的功分别记作 分别记作： , b 上所作的功分别记作： n , n ， …， n
∆W1 ， ∆W2 ，…， ∆Wn
12
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
解： 将物体用常力 F 沿力的方向移动距离 x ，则所 作的功为 W = F ⋅ x ． 个点， 1．分割 在区间 [ 0 , b ] 上等间隔地插入 n − 1 个点，将 个小区间： 区间 [ 0 ,1] 等分成 n 个小区间：
北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》 四章《定积分》
法门高中姚连省制作 1
一：教学目标 1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关 、知识与技能目标： 汽车行驶路程问题的过程的共同点； 汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。 2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车 、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比， 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。 3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人 、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中， 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。 二：教学重难点 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（ 重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极 难点： 限）难点：过程的理解 教学方法：探析归纳， 三：教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近 分析： 似代替、求和、取极限的方法求解．
（2）近ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ代替
( i − 1) b ( i − 1) b ⋅ b 有条件知： 有条件知 ： ∆Wi ' = F ⋅ ∆x = k ⋅ n n n 14 (i = 1, 2 , L , n)
练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（3）求和
Wn = ∑ ∆Wi ' = ∑
i =1 i =1
n
n
( i − 1) b ⋅ b k⋅
n
n
kb 2 = 2 0 + 1 + 2 + L + ( n − 1) n 2 n ( n − 1) kb 2 1 kb = 2 = 1 − n 2 2 n
kb 2 1 从而得到 W 的近似值 W ≈ Wn = 1 − 2 n
( n − 1) b b b 2b , b 0 , n ， n , n ，…， n
( i − 1) b i ⋅ b 记第 i 个区间为 , (i = 1, 2 , L , n) ， n n
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练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
问题： 汽车以速度 v 组匀速直线运动时， 组匀速直线运动时， 问题： 经过时间 t 如果汽车作变速直线运动， 所行驶的路程为 S = vt ． 如果汽车作变速直线运动， 单位：km/ ， ，那 在时刻 t 的速度为 v ( t ) = −t 2 + 2 （单位：km/h） 那 1(单位 h) 单位： h)这段时间内行驶的路程 么它在 0≤ t ≤1(单位： 这段时间内行驶的路程 S 单位：km）是多少？ （单位：km）是多少？
i −1 i −1 i −1 点 处的函数值 v = − + 2 ，从物理意义 n n n i −1 i , (i = 1, 2 , L , n) 上的 上看， 上看，即使汽车在时间段 n n i −1 速度变化很小， 速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻 处的速度 n
结合上述求解过程可知， 结合上述求解过程可知， 汽车行驶的路程 S = lim Sn
n →∞
在 数 据 上 等 于 由 直 线 t = 0 , t =1 ,v = 0 和 曲 线 2 所围成的曲边梯形的面积． v = −t + 2 所围成的曲边梯形的面积．
一般地， 如果物体做变速直线运动， 一般地 ， 如果物体做变速直线运动 ， 速度函数为 v = v ( t ) ，那么我们也可以采用分割、近似代替、求 那么我们也可以采用分割、近似代替、 和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及 取极限的方法，利用“以不变代变” 无限逼近的思想， 无限逼近的思想，求出它在 a≤ t ≤b 内所作的位移 11 ． S
n
kb 所作的功为： 所以得到弹簧从平衡位置拉长 b 所作的功为： 2
2
作业：课本 作业：课本P80A组2、3 组 、 五、教学后记
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再见
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分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变” 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题， 的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀 速直线运动的路程问题． 速直线运动的路程问题 ． 把区间 [0,1] 分成 n 个小区 在每个小区间上， 的变化很小， 间，在每个小区间上，由于 v(t ) 的变化很小，可以近 似的看作汽车作于速直线运动， 似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个 小区间上行驶路程的近似值， 单位：km） 小区间上行驶路程的近似值，在求和得 S （单位：km） 的近似值， 单位： 的近似值，最后让 n 趋紧于无穷大就得到 S （单位： km）的精确值． 思想：用化归为各个小区间上匀速 km）的精确值． 思想： （ 直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直 线运动的路程） ． 线运动的路程）
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练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比， 即力 F ( x ) = kx （ k 为常数， x 是伸长量） 求弹簧从 为常数， 是伸长量） ，求弹簧从 ， 平衡位置拉长 b 所作的功
（4）取极限
kb 2 1 kb 2 W = lim Wn = lim ∑ ∆Wi ' = lim 1 − = n →∞ n →∞ n →∞ 2 2 n i =1
显然， 显然， S = ∑ ∆Si
i =1 n
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（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 ∆t 很 小 时 ， 在 区 间 i −1 i , 上 ， 可以认为函数 v ( t ) = −t 2 + 2 的值变化很 n n 近似的等于一个常数， 小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端
5
解：1．分割 个点， 在时间区间 [ 0 ,1] 上等间隔地插入 n − 1 个点 ， 将区间 个小区间： [0 ,1] 等分成 n 个小区间：
1 1 2 n −1 0 , n ， n , n ， … ， n ,1 记 第 i 个 区 间为 i i −1 1 i −1 i n , n (i = 1, 2 , L , n) ，其长度为 ∆t = n − n = n 1 1 2 n −1 ,1 上行 把汽车在时间段 0 , ， , ，…， n n n n 驶的路程分别记作 分别记作： 驶的路程分别记作： ∆S1 ， ∆S 2 ，…， ∆S n
2
i −1 i −1 v = − + 2 作匀速直线运动 n n
2
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即使汽车在时间段即在局部小范围内“ 即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变 速” 于是的用小矩形的面积 ∆Si′ 近似的代替 ∆Si ， ， 则有
i − 1 2 1 i −1 ∆Si ≈ ∆Si′ = v ⋅ ∆t = − + 2 ⋅ n n n
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北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
0
x
1
2
例3、如图所示，已知曲线 C1
2
x t 0 t 1 与曲线 C1 、 2 C 分别相交于点 D 、B ，连结 OD, DA , AB 。写出曲边四边形 ABOD （阴影部分）的面积 S 与 的函数关 系式 S f t 。
直线 C2 : y x 2ax a 1 交于点 O 、A ，
四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2
（
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
a
奇函数，
a
f x dx
。
（二）、方法点拨： 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题 步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范 围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积 分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分 清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形 面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求 出定积分。
0
2
2
1 3 2 2 S f t t at a t 0 t 1 6
例4、物体A以速度
v 3t 1
2
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同 时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 10t 的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
b
a
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨 公式，F x 是 f x 的 。 b 7、计算定积分 f x dx F b F a a = = 。
8、若 f x 在 a, a上连续，且是偶函数，则有
x
1
2
例3、如图所示，已知曲线 C1
2
x t 0 t 1 与曲线 C1 、 2 C 分别相交于点 D 、B ，连结 OD, DA , AB 。写出曲边四边形 ABOD （阴影部分）的面积 S 与 的函数关 系式 S f t 。
直线 C2 : y x 2ax a 1 交于点 O 、A ，
四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2
（
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
a
奇函数，
a
f x dx
。
（二）、方法点拨： 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题 步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范 围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积 分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分 清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形 面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求 出定积分。
0
2
2
1 3 2 2 S f t t at a t 0 t 1 6
例4、物体A以速度
v 3t 1
2
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同 时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 10t 的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
b
a
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨 公式，F x 是 f x 的 。 b 7、计算定积分 f x dx F b F a a = = 。
8、若 f x 在 a, a上连续，且是偶函数，则有
2021_2022学年高中数学第四章定积分1定积分的概念课件北师大版选修2_2
f(x)dx.
-
0
-
f(x)dx=0.
知识梳理
思考辨析
【做一做 3】 若
f(x)dx=1,
[f(x)+g(x)]dx=
解析:
答案:6
[f(x)+g(x)]dx=
g(x)dx=5,则
.
f(x)dx+
g(x)dx=1+5=6.
知识梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
通过求矩形面积和即可解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将区间[0,2]10等分,如图.设矩形面积的过剩估计值为S,不足估
计值为s,则
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,
s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2
=6.92.
故估计该车在这段时间内行驶的路程介
S=-
f(x)dx.
f(x)dx,而当 f(x)≤0 时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).
解:(1)S=
(2)S=(3)S=
9
4
π
2
0
2 2
dx;
-4 2
1
(- 2 )dx;
cos xdx.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3用定积分的几何意义求定积分.
-
0
-
f(x)dx=0.
知识梳理
思考辨析
【做一做 3】 若
f(x)dx=1,
[f(x)+g(x)]dx=
解析:
答案:6
[f(x)+g(x)]dx=
g(x)dx=5,则
.
f(x)dx+
g(x)dx=1+5=6.
知识梳理
思考辨析
判断以下说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
通过求矩形面积和即可解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将区间[0,2]10等分,如图.设矩形面积的过剩估计值为S,不足估
计值为s,则
S=(-02+5-0.22+5-…-1.82+5)×0.2=7.72,
s=(-0.22+5-0.42+5-…-1.82+5-22+5)×0.2
=6.92.
故估计该车在这段时间内行驶的路程介
S=-
f(x)dx.
f(x)dx,而当 f(x)≤0 时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2用定积分表示如图所示的阴影部分的面积(不要求计算).
解:(1)S=
(2)S=(3)S=
9
4
π
2
0
2 2
dx;
-4 2
1
(- 2 )dx;
cos xdx.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3用定积分的几何意义求定积分.
高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用(2)
4 秒时到达最高为 2021/3/29 80m
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(三)利用定积分求简单几何体的体积 课件
五、教后反思：
2013-4-2
2013-4-2
∴所求“冰激凌”的体积为：
12 1 4 224 2 2 (2 x ) dx ( x 6) dx (cm) 3 4 2 3 0
2013-4-2
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分绕 其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A,A’是双曲 线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个端点，B,B’ 是 下底直径的两个端点，已知 AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
x
2013-4-2
分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将 其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。则 A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB 绕X轴旋转一周形成的。
解：将其轴载面按下图位置放
置，并建立如图的坐标系。则 A(12,0)， (4,4) B
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程． (2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计， 取3.14） 2 2 x y (1) 1 49 98
8 2 8
Ｃ’ Ａ’ Ａ
Ｃ
1 2 ( 2)V x dy ( y 49)dy 12 12 2 Ｂ’ 2013-4-2
Ｂ
S侧 2 f ( x) 1 [ f ' ( x)]2 dx
V f
a
b
2
x dx，即可求旋转体体积的值。
（三）、课堂小结：求体积的过程就是对定 积分概念的进一步理解过程，总结求旋转体 体积公式步骤如下：1．先求出 y f x b 的表达式；2．代入公式 V f 2 x dx a ，即可求旋转体体积的值。 （四）、作业布置：课本P90页练习题中2；习题 4-3中6、7
【数学】4.1.1_定积分的背景__面积和路程问题_课件(北师大版选修2-2)
(4)
o
1
x
如何更精确的算出曲边梯形的面积呢？
倘若把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估计值都趋于曲边梯形面积。
a a
b
b
S1 = y )dx = fg ( x)
b
S2 = g ( x)dx
a
a
b
O
a a
b x
三、定积分的性质
•性质 1 性质 1 •性质 2 性质 2 •性质 3 性质 3 •性质 4 性质 4
a[ f (x) g(x)]dx = a f (x)dx a g(x)dx a kf (x)dx = k a f (x)dx a f (x)dx = a f (x)dx c
y = f ( x)
a
b
x
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx =a
(3)
b
b
b
f (t)dt = f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx = - b f (x)dx
a
(二)、定积分的几何意义：
S2 = (0.12 0.22 12 ) 0.1 = 0.385
不足估计值为
s2 = (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 = 0.285
y
二者的差值为 S 2 s2 = 0.1 ，此时，无 论用 S 2 还是 s 2 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。
o
1
x
如何更精确的算出曲边梯形的面积呢？
倘若把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
区间分的越细，误差越小。当所 分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值 和不足估计值都趋于曲边梯形面积。
a a
b
b
S1 = y )dx = fg ( x)
b
S2 = g ( x)dx
a
a
b
O
a a
b x
三、定积分的性质
•性质 1 性质 1 •性质 2 性质 2 •性质 3 性质 3 •性质 4 性质 4
a[ f (x) g(x)]dx = a f (x)dx a g(x)dx a kf (x)dx = k a f (x)dx a f (x)dx = a f (x)dx c
y = f ( x)
a
b
x
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx =a
(3)
b
b
b
f (t)dt = f(u)du。
a
b
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx = - b f (x)dx
a
(二)、定积分的几何意义：
S2 = (0.12 0.22 12 ) 0.1 = 0.385
不足估计值为
s2 = (02 0.12 0.22 0.92 ) 0.1 = 0.285
y
二者的差值为 S 2 s2 = 0.1 ，此时，无 论用 S 2 还是 s 2 来表示 S ，误差都不超过 0.1 。
北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件
则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景-曲边梯形的面积-课件省名师优质课赛课获奖课件
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
Oa
b
x
用一种矩形旳面积A1近似替代曲边梯形旳面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1 Oa
Байду номын сангаас
A2
b
x
用两个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x) y
怎样求曲边梯 形旳面积
A1
A2
北师大版高中数学选修2-2 第四章《定积分》
一、教学目旳：了解求曲边图形面积 旳过程：分割、以直代曲、逼近，感受在 其过程中渗透旳思想措施。
二、教学重难点：
要点：掌握过程环节：分割、以直代 曲、求和、逼近（取极限）
难点：对过程中所包括旳基本旳微积 分 “以直代曲”旳思想旳了解
三、教学措施：探析归纳，讲练结合
y x2
⑴分割
⑵近似替代
⑶求和 ⑷取极限
第i个小区间 O i - 1 i 1 x
nn
区间长度：△x=
1 n
区间高：h=
f
i
1 n
小矩形面积：△S=
f
i 1 n
1 n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成旳曲边梯形旳面积。
解把底边[0,1]提成n等份,然后在每个分点作底边旳垂线, 这么 曲边三角形被提成n个窄条, 用矩形来近似替代,然后把这些小 矩形旳面积加起来, 得到一种近似值:
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形旳面积 近似替代曲边梯形旳面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
复习课件
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
11
第四章 定 积 分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形 如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】 求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端 点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不 足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽 车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足 估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311
高中数学 第四章 定积分 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修2-2
11
第四章 定 积 分 §1 定积分的概念 1.1 定积分的背景——面积和路程问题
22
33
1.曲边梯形 如图.由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的 图形(图中阴影所示).
1111
(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估 计值. ( ) (3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计 值的极限相等. ( )
1122
提示：(1)×.面积只能大于等于0，为非负值.
(2)√.由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.
(3)√.曲边梯形的面积可求，则S=
l
n
【解析】每个小区间长度为1（1） 2 .
nn
答案：2
n
2299
【加练·固】 求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x3所围成图形的
面积的估计值，并写出估计误差.(将区间5等分)
3300
【解析】把区间[1，2]5等分，以每一个小区间的左端 点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不 足估计值s，s=(13+1.23+1.43+1.63+1.83)×0.2=3.08.
3377
分别用v(0.1)，v(0.2)，v(0.3)，…，v(1)近似替代汽 车在0～0.1 h，0.1～0.2 h，…，0.8～0.9 h，0.9～ 1 h的平均速度，求出汽车在1 h时行驶的路程的不足 估计值S2， S2= [v(0.1)+ v(0.2)+ v(0.3)+…+v(1)] ×0.1 =1.615(km)，
3311
北师版数学选修2-2讲义：第4章 §1 1.1 定积分的背景——面积和路程问题+1.2 定积分
§1定积分的概念1.1定积分的背景——面积和路程问题1.2定积分1．了解定积分的实际背景及定积分的概念．2．理解定积分的几何意义及性质．(难点)3．能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题．(重点)[基础·初探]教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75～P78“练习2”以上部分，完成下列问题．1．曲边梯形的概念由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图4-1-1所示)．图4-1-12．求曲边梯形面积的步骤①分割，②近似替代，③求和，④逼近．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为__________．【解析】 每个小区间长度为1－（－1）n＝2n . 【答案】 2n教材整理2 定积分阅读教材P 78“练习2”以下至P 80“练习”以上部分，完成下列问题．1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b .第i 个小区间为[x i －1，x i ]，设其长度为Δx i ，在这个小区间上取一点ξi ，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋f (ξ2)Δx 2＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋f (ζ2)Δx 2＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，我们就称A 是函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )dx ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝A ．其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b 叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f (x )dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，x 轴和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质(1)⎠⎛ab 1dx ＝b －a ； (2)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛a b f (x )dx (k 为常数)； (3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]dx ＝⎠⎛a b f (x )dx ±⎠⎛a b g (x )dx ； (4)⎠⎛a b f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛c b f (x )dx (其中a <c <b )．。