函数解析式的求解方法例题
高中数学破题致胜微方法(求函数解析式)：4.赋值法求函数解析式 含解析
赋值法求函数解析式赋值法是一种很常用的方法，对于涉及任意量词的题目，要特别注意是否可以通过赋特殊的值，求出函数的解析式.要注意如何选择所赋的值，从而成功得到解析式。
先看例题:例:已知函数f（x）满足f(0)=1,对任意实数x，y有()()()-=--+求函数f(x)的解析式。
f x y f x y x y21解：式子中有两个变量,尽量通过赋值让y消失,从而找到解析式方法一：()()()==--+令得x y f f x x x x021,()21=++f x x x方法二：()()()=-=--+令得x f y f y y001,()()2f y y y y y-=--+=-+-+11()1再把-y看作x，得()21=++f x x x提示：函数的对应法则与使用什么变量无关整理：赋值法求函数解析式若函数的性质是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。
抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法.再看一个题目，增加印象练：已知函数f (x ）对任意实数x ，y 有()()222323y x xy f x f x y y y ++-++=，求函数f (x ）的解析式 解：如果令y =1，那么f （xy )就会变为f (x ），所以 1y =令得()()2212133f x f x x x =++-++整理为()22152,f x x =+++()()22152f x f x x =+++要求解析式还差f (1)的值，通过分析题目条件，再一次赋值：()()()11218,18x f f f ==+=-令得所以函数解析式为()2514f x x x =+-变式：已知函数f （x )对任意实数x ，y 有()()222332y x x f x y f y y x y +++++=-，求函数f （x )的解析式 解:()()20203y f x f x x ==++令得()()0020,x f f ==令得()00f =()23,=+f x x x总结：1.在遇到函数的性质是由条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。
高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法及例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
，求f(x)的解，待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x -=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
求函数解析式(知识点+例题+习题)精编word版
求函数的解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x （或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：6解析：设2()(0)f x ax bx c a=++≠，则22(1)()(1)(1)()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++-++=++由题意可知(0)122f caa b==⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得111abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩2()1f x x x∴=-+．答案：21x x=-+7解析：13()5()21f x f xx+=+…………①用1x替换x得123()5()1f f xx x+=+……②35①-②⨯⨯得1016()62f x xx-=--即153()888xf xx=+-．答案：153()888xf xx=+-8解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。
求函数解析式(知识点+例题+习题)精编pdf版
求函数的解析式（1）配凑法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足等量关系间接获得其解析式． (2,)+∞．(2,)+∞，求()f x 的解析式．21)1-，用新的．（2）换元法：已知(())()f h x g x =求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，带入()g x 进行换元，求出()f t 的解析式，再将t 替换为x 即可，注意新元t 的取值范围．（3）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），根据函数类型设出函数解析式，根据题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．（4）解方程组法：已知关于()f x 与1()f x（或()f x -）的表达式，可根据已知条件再构造出另一个方程，构成方程组求出()f x ．练习题：答案解析：6解析：设2()(0)f x ax bx c a=++≠，则22(1)()(1)(1)()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=++++-++=++由题意可知(0)122f caa b==⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得111abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩2()1f x x x∴=-+．答案：21x x=-+7解析：13()5()21f x f xx+=+…………①用1x替换x得123()5()1f f xx x+=+……②35①-②⨯⨯得1016()62f x xx-=--即153()888xf xx=+-．答案：153()888xf xx=+-8解析：()2()31f x f x x--=-…………①用x-替换x得()2()31f x f x x--=--……②两式联立解得()1f x x=+．答案：A数学浪子整理制作，侵权必究。
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
函数解析式的求解策略
微专题08 函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】 函数解析式的求解策略有：（1）直接法：已知()f x 的解析式，求(())f g x 的解析式类型，直接将()g x 整体代入()f x 中的x ； （2）待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式（通常是一次函数和二次函数类型），再根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或方程组）求出待定系数，进而得出函数的解析式；（3）换元法（或者叫配凑法）：已知抽象函数(())f g x 的解析式求()f x 的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令()g x t =，反解出x ，然后代入(())f g x 中得到()f t ，进而得到()f x 的解析式；（4）解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个f 的解析式，最后可以得到()f x 的解析式；（5）赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词（含x ，y ）题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式．【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式 题型二：已知(())f g x 求解析式 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：求解析式中的参数值 题型五：函数方程组法求解析式 【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 是一次函数，2(2)3(1)5f f -=，()()2011f f --=-，则()f x =（ ）A ．32x +B ．32x -C ．23x +D ．23x -【答案】D【解析】依题意，设(),0f x kx b k =+≠，则有2(2)3()52()1k b k b b k b +-+=⎧⎨--+=-⎩，解得2,3k b ==-，所以()23f x x =-. 故选：D例2．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（ ）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+【答案】B【解析】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意； 当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+. 故选：B.例3．（2022·四川省内江市第二中学高一开学考试）如图，一次函数()0y kx b k =+≠的图象与反比例函数23m my x-=(0m ≠且3m ≠)的图象在第一象限交于点A 、B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A 、B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为E 、D ．已知()4,1A ，4CE CD =．(1)求m 的值和反比例函数的解析式；(2)若点M 为一次函数图象上的动点，求OM 长度的最小值． 【解析】（1）由已知点()4,1A 为函数23m my x-=上的点，所以2314m m-=，解得：4m =或1m =-， 所以反比例函数的解析式为4y x=； （2）因为()4,1A ，所以4AE =由已知CDE △与CEA 相似，4CE CD =，所以4EA DB =，所以1DB =，故点B 的横坐标为1， 又点B 在函数4y x=的图象上， 所以B 的坐标为(1,4)，因为点,A B 都在函数y kx b =+的图象上， 所以4k b +=，41k b +=， 所以1k =-，5b =，所以5OF =，5OC =，由COF 为直角三角形， 设点O 到直线CF 的距离为d ， 则5255d ⨯⨯，故522d =， 又当OM CF ⊥时，OM 的长度最小， 所以OM 52例4．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______.(1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-.由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.例5．（2022·全国·高一专题练习）设()f x 是一次函数，且()43f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 【解析】设()()0f x ax b a =+≠，则()()()2=43f f x af x b a ax b b a x ab b x =+=++=+++⎡⎤⎣⎦,所以243a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或23a b =-⎧⎨=-⎩，所以函数()f x 的解析式为()21f x x =+或()23f x x =--.例6．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，求()f x ； （2）已知()f x 是二次函数，且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，求()f x . 【解析】（1）设()(0)f x ax b a =+≠，则2(())()()f f x f ax b a ax b b a x ab b =+=++=++ 因为(())41f f x x =-，所以241a x ab b x ++=-所以241a ab b ⎧=⎨+=-⎩解得213a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21a b =-⎧⎨=⎩ 所以1()23f x x =-或 ()21f x x =-+（2）设2()(0)f x ax bx c a =++≠ 由(0)1f =，得1c = 由(1)()2f x f x x +-=得22(1)(1)112a x b x ax bx x ++++---=整理，得22ax a b x ++=所以220a a b =⎧⎨+=⎩ 所以11a b =⎧⎨=-⎩ 所以2()1f x x x =-+例7．（2022·全国·高一专题练习）若二次函数()f x 满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x . 【解析】因为二次函数()f x 满足(0)1f =；所以设2()1f x ax bx =++， 则：22(1)(1)(1)112f x a x b x ax bx ax a b +=++++=+++++； 因为(1)()2f x f x x +-=，所以221212ax bx ax a b ax bx x +++++---=；∴22ax a b x ++=；∴220a a b =⎧⎨+=⎩；∴1a =，1b =-；∴2()1f x x x =-+. 故答案为：21x x -+ .例8．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知f （x ）是一次函数，且满足f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋3，求f （x ）的解析式．（2）若二次函数g （x ）满足g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，求g （x ）的解析式． 【解析】（1）设f （x ）＝kx ＋b （k ≠0），则f （x ＋1）－2f （x －1）＝kx ＋k ＋b －2kx ＋2k －2b ＝－kx ＋3k －b ， 即－kx ＋3k －b ＝2x ＋3不论x 为何值都成立，∴2,33,k k b =-⎧⎨-=⎩解得2,9,k b =-⎧⎨=-⎩∴f （x ）＝－2x －9.（2） 设g （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），∵g （1）＝1，g （－1）＝5，且图象过原点，∴1,5,0,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得3,2,0,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ∴g （x ）＝3x 2－2x .题型二：已知(())f g x 求解析式例9．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）若函数()221)20(1x f x x x --=≠，则（ ）A ．1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()324f =-C ．()()24101()f x x x =-≠-D ．()2214()1011x f x x x x =-≠≠-⎛⎫⎪⎝⎭且 【答案】AD【解析】令()121x t t -=≠，则12t x -=，所以2221142()1(1)12t f t t t -⎛⎫- ⎪⎝⎭==---⎛⎫⎪⎝⎭，则24()1(1)(1)f x x x =-≠-，故C 错误；1152f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确；()23f =，故B 错误； 22214411(1)11x f x x x ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭（0x ≠且1x ≠），故D 正确． 故选：AD ．例10．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.【答案】()1,+∞ 【解析】令1x t x +=，则111t x=+≠，所以11t x =-， 所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】222121x x x x ⎛⎫-=- ⎝+⎪⎭，因为2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭212x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以()22f x x =+，故答案为：22x + .例12．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()1f x x =- B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥【答案】C【解析】因为()2(1)211f x x x x =+=-令()11t x t =≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()22f x x x =+ B ．()268f x x x =++ C ．()24f x x x =+D ．()286f x x x =++【答案】A【解析】方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++， ∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+， ∴2()2f x x x =+. 故选：A例14．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【答案】B【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±故选；B例15．（2022·全国·高一专题练习）设()23f x x =+，()()21g x f x +=-，则()g x =（ ） A ．21x + B ．23x -C ．21x -D ．23x +【答案】B【解析】因为()23f x x =+，所以()()1=21321f x x x --+=+ 又因为()()21g x f x +=-，所以()221g x x +=+， 令2x t +=，则2x t =-，()()22123g t t t =-+=-，所以()23g x x =-. 故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16．（2022·全国·高一课时练习）已知()01f =，对于任意实数x y ，，等式()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式.【解析】对于任意实数x y 、，等式()()()21f x y f x y x y -=--+恒成立，不妨令0x =，则有 ()()()()201111f y f y y y y y y -=--+=+-=-+ 再令y x -=，得函数解析式为：()2 1.f x x x =++例17．（2022·全国·高一课时练习）定义在实数集上的函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线，x ∀∈R ，()()()3266f x x f x x f x +=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()f x 的最大值为1，最小值为0．(1)求()1f 与()1f -的值； (2)求()f x 的解析式．【解析】（1）令1x =，则()()()321111f f f +=+，得()()()()211111f f f -=-∴()()()()2111100f f f x +-=≥，（） ∴()11f =令1x =-，则()()()321111f f f -+=-+-，同理()11f -=；（2）由()()()2366f x x f x x x f ⎡⎤+=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 得()()2610fx x f x ⎡⎤--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()3310f x x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-+-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这说明x ∀∈R ，()f x 至少与1，3x ，3x -其中之一相等 ∵()f x 的最大值为1，最小值为0∴在区间(],1-∞和[)1,+∞上，一定有()1f x =()0f x =只能在0x =处取得，因此()00f =又∵函数()f x 的图象是一条连绵不断的曲线 ∴()f x 的解析式为()(][)()[)331,,11,,1,0,0,1x f x x x x x ∞∞⎧∈-⋃+⎪=-∈-⎨⎪∈⎩例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =满足：对一切实数a 、b ，均有()()()21f a b f b a a b +-=++成立，且()10f =．(1)求函数()y f x =的表达式； (2)解不等式()34f x -<．【解析】(1)由已知等式()()()21f a b f b a a b +-=++，令1a =，0b =，得()()102f f -=．又()10f =，所以()02f =-．再令0b =，可得()()()01f a f a a -=+，即()()12f a a a =+-． 因此，函数()y f x =的表达式为()()12f x x x =+-． (2)因为()()124f x x x =+-<的解集为()3,2-， 所以令332x -<-<，解得15x <<， 即原不等式的解集为(1,5)．例19．（2022·江西·黎川县第一中学高一阶段练习）已知函数()f x 对一切的实数x ，y ，都满足222()()632f x y f x y x y xy x y +--=++++-，且(0)2f =-.（1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式； （3）求()f x 在[)3,1-上的值域.【解析】（1）令1,x y ==则2(2)(0)11613210,f f -=++++-=(0)2,(2)4;f f =-∴=（2）令0y =则222()()2,()2f x f x x x f x x x -=+-∴=+-； （3）()f x 对称轴为[)11,32x =-∈-， min max 9(),()44f x f x ∴=-=，9(),44f x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦．例20．（2022·上海·高一专题练习）函数()f x 对一切实数,x y 都有()()()21f x y f y x y x +-=++成立，且()10f =.求()f x 的解析式；【解析】令1x =，0y =，则()()()1001011f f +-=++⨯，即()002f -=，()02f ∴=-.令0y =，则()()()201f x f x x x x -=+=+，()22f x x x ∴=+-.例21．（2022·江苏·高一课时练习）已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f -的值为（ ）A ．3B ．1C ．0D ．1-【答案】A【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =-+，则有()21f t t t =-+=，解可得1t =-，则()21f x x =--，故(2)413f -=-=； 故选：A.例22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x ∈R ，都有()34f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则()2f 的值是（ ）A ．2B ．4C ．7D ．10【答案】C 【解析】()f x 在R 上是单调函数，∴可令()3f x x t -=，()3f x x t ∴=+，()44f t t ∴==，解得：1t =，()31f x x ∴=+，()23217f ∴=⨯+=.故选：C.例23．（2022·湖北·高一阶段练习）已知函数()y f x =，x ∈R ，且()02f =，()()0.520f f =，()()120.5f f =，…，()()()0.520.51f n f n =-，*n N ∈，则满足条件的函数()f x 的一个解析式为________. 【答案】()24x f x =⨯ 【解析】由己知得(1)(0.5)(1)4(0)(0)(0.5)f f f f f f =⋅=，2(2)(0.5)(1)(1.5)(2)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅=， 3(3)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)(3)4(0)(0)(0.5)(1)(1.5)(2)(2.5)f f f f f f f f f f f f f f =⋅⋅⋅⋅⋅=， ()4(0)x f x f ∴=，又(0)2f =，()24x f x ∴=⨯ 故答案为：()24x f x =⨯例24．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ，写出一个符合要求的解析式()f x =_________． 【答案】x(答案不唯一)【解析】因为函数()f x 满足,,()()()x y f xy f x f y ∀∈=R ， 所以()f x =x ，故答案为：x ,答案不唯一题型四：求解析式中的参数值例25．（2022·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知函数()q f x px x =+（p ，q 为常数），且满足5(1)2f =，17(2)4f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】(1)()()512{1724f f ==，∴52{17224p q q p +=+=，解得2{12p q ==，∴函数()f x 的解析式为1()2(0)2f x x x x=+≠. (2)0x >，∴由基本不等式可得()11222222f x x x x x=+≥⋅， 当且仅当122x x =，即12x =时取等号， ∴当0x >，函数()212f x x x=+的最小值是2， 要使0x ∀>，关于x 的不等式()3f x m ≥-恒成立，只需()min 3f x m ≥-， 所以23m ≥-，解得m 1≥. ∴实数m 的取值范围是[1,)+∞例26．（2022·江苏省盱眙中学高一阶段练习）已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则（ ） A ．3c ≤ B ．36c <≤C ．69c <≤D ．9c >【答案】C【解析】由已知得(1)(2)(1)(3)f f f f -=-⎧⎨-=-⎩,即184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩，解得611a b =⎧⎨=⎩， 又0(1)63f c <-=-≤，所以69c <≤， 故选：C.例27．（2022·全国·高一）已知()()()222f x x x x ax b =+++，若对一切实数x ，均有()()2f x f x =-，则()3f =___. 【答案】15-【解析】由对一切实数x ，均有()()2f x f x =-可知()()()()0213f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即08(42)(1)15(93)a b a b a b =++⎧⎨--+=++⎩解之得68a b =-⎧⎨=⎩ 则()()()22268f x x x x x =+-+，满足()()2f x f x =-故()()()223323363815f =+⨯-⨯+=-故答案为：15-题型五：函数方程组法求解析式例28．（2022·全国·高一专题练习）若函数f （x ）满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则f （x ）可以是___．（举出一个即可）【答案】()()10f x x =≠【解析】若()()10f x x =≠，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.若()21xf x x =+，满足()12f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故答案为：()()10f x x =≠，答案不唯一.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________. 【答案】21x -+【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=， 将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩. 例31．（2022·重庆市江津中学校高一阶段练习）已知函数()f x 满足()()21f x f x x --=，则()1f =_________【答案】13-【解析】令1x t -=，则1x t =-， 所以()()121f t f t t --=-① 因为()()21f t f t t --=②由①2⨯+②得()32f t t -=-，所以()23tf t -=-，即()23x f x -=-，所以()113f =-故答案为：13-例32．（2022·四川省峨眉第二中学校高一阶段练习）已知函数()f x 对0x ≠的一切实数都有()202132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()2021f =______．【答案】10092-【解析】()()2021322021202132?f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，()202186?2f x x x ∴=-，()320211·44f x x x ∴=-，()100920212f ∴=-， 故答案为：10092-. 例33．（2022·全国·高一课时练习）已知12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.【解析】利用方程组法求解即可：因为12()(0)f x f x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，所以()112(0)f f x x x x ⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭，消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭解得()2133x f x x =-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞ 故答案为：2133x x-，()(),00,x ∈-∞⋃+∞. 例34．（2022·全国·高一专题练习）若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【解析】利用方程组法求解即可； ∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈.故答案为：32x - .【过关测试】一、单选题 1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15 B ．15-C ．9D ．9-【答案】A【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()2156f x x +=-，且()9f t =，则t =（ ） A ．7 B ．5 C ．3 D ．4【答案】A 【解析】()()51721562122f x x x +=-=+-, ()51722f x x ∴=-. ()517922f t t ∴=-=,解得7t =．故选：A.3．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【答案】C【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =，则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】C【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+-⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.5．（2022·吉林油田高级中学高一期中）若(1)1f x x =+，则()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x =B ．2()22(0)f x x x x =-+≥C ．2()22(1)f x x x x =-+≥D ．2()1f x x =+【答案】C1x t =，1t ≥，则2(1)x t =-， 则22()(1)122f t t t t =-+=-+，1t ≥， ∴函数()f x 的解析式为2()22(1)f x x x x =-+≥. 故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 满足()12()3f x f x x +=，则()f x 等于（ ）A ．12x x--B ．12x x-+ C ．12x x +D ．12x x-【答案】D【解析】把()12()3f x f x x +=①中的x 换成1x ，得()132()f f x x x+=②由①2⨯-②得()()31362f x x f x x x x=-⇒=-. 故选：D7．（2022·浙江·高一阶段练习）设()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数，当()0,x ∈+∞时，都有1()2f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则(3)f 的为A ．2B ．3C ．32D ．43【答案】D 【解析】设1()f x t x -=,则()2f t =,1()f x t x=+ ∵()y f x =在定义域(0,)+∞上是单调函数 ∴方程()2f t =只有一解,即t 为定值.又∵()12f t t t =+=∴1t =即()14333f t =+=故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为（ ） A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝213x －4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B【解析】用3x -代替原方程中的x 得：f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴22()2(3)(3)2()69?f x f x x f x f x x x ⎧+-=⎨-+=-+⎩消去(3)f x -得：－3f (x )＝－x 2＋12x －18，21()463f x x x ∴=-+.故选：B 二、多选题9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()123f x x x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【解析】令11t x =≥-1x t =+，则()21x t =+，得)()2125fx f t t t ==+，故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD10．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．若y ＝f (x )是一次函数，则y ＝f (f (x ))为一次函数 B ．若y ＝f (x )是二次函数，则y ＝f (f (x ))为二次函数 C ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 有解，则f (f (x ))＝x 有解 D ．若y ＝f (x )是二次函数，f (x )＝x 无解，则f (f (x ))＝x 无解 【答案】AC【解析】A.因为y ＝f (x )是一次函数，设()(0)f x kx b k =+≠，则()()2(0)f kx b k kx b b k x kb b k +=++=++≠，即y ＝f (f (x ))为一次函数，故正确；B. 因为y ＝f (x )是二次函数，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，则()()()2222f ax bx c a ax bx c b ax bx c c ++=++++++，34222232222222a x ab x abcx ac a bx a cx abx b x bc c =+++++++++，()()342322222222(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a =+++++++++≠所以 y ＝f (f (x ))不是二次函数，故错误；C.因为f (x )＝x 有解，设0x ，则()00f x x =，所以()()()000f f x f x x ==，则f (f (x ))＝x 有解，故正确；D.若f (x )＝x 无解，即()210ax b x c +-+=无解，则()2140b ac ∆=--<，由()()()2222=f ax bx c a ax bx c b ax bx c c x ++=++++++,得()()34232222222210(0)a x a bx ab ab a c x b abc x ac bc c a ++++++-+++=≠，此方程不是一元二次方程，故根据()2140b ac ∆=--<，无法判断方程是否有解，故错误； 故选：AC11．（2022·全国·高一课时练习）一次函数()f x 满足：(())43f f x x =+，则()f x 的解析式可以是（ ） A ．()f x =21x + B ．()f x =12x - C ．()f x =23x - D ．()f x =23x --【答案】AD【解析】设()()0f x kx b k =+≠，则()2(())43f f x k kx b b k x kb b x =++=++=+，所以243k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩或23k b =-⎧⎨=-⎩，即()21f x x =+或()23f x x =--． 故选：AD ．12．（2022·江西·模拟预测）已知一次函数1()(0)3f x x b b =-+≠满足2((0))f f b =，且点()Q m n ,在()f x 的图象上，其中0m >，0n >，则下列各式正确的是（ ）A ．43b =B ．32m n +=C ．13mn ≤D ．1123m n+≥ 【答案】BCD 【解析】21((0))()3f f f b b b b ==-+=，23b ∴=， 即12()33f x x =-+，故A 不正确；由()Q m n ,在函数图象上可得23m n -+=，即32m n +=，故B 正确； 由均值不等式可得323m n mn +=≥13mn ≤，故C 正确；因为111111313(3)(2)2223232323n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝， 所以D 正确. 故选：BCD 三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知()2215f x x x =-++，则()2f x 的值域为______．【答案】(,16]-∞【解析】设2t x =，0t ≥，()()2221511616f t t t t =-++=--+≤，所以值域是(,16]-∞． 故答案为：(,16]-∞.14．（2022·全国·高一）已知函数()213f x x x +=-+，那么()1f x -的表达式是___________.【答案】259x x -+【解析】()213f x x x +=-+，令1x t ，则1x t =-，故()()()222113211335f t t t t t t t t =---+=-+-++=-+，故()235f x x x =-+，()()()222113152133559f x x x x x x x x -=---+=-+-++=-+故答案为：259x x -+15．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【答案】12855x x- 【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 四、解答题16．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为))2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．17．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知)24fx x x =+()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；21（5）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）∵()2f x x =，∴()()222121441f x x x x +=+=++．（2）设2t x =，则2t ≥2x t -，即()22x t =-， ∴()()()222424f t t t t =-+-=-，∴()()242f x x x =-≥． （3）∵()f x 是二次函数，∴设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ， 整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩， ∴()21f x x x =-+．（4）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②2⨯-①，得()233f x x x =+，∴()23x f x x =+． （5）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++．22。
高考求函数解析式方法及例题
函数专题之解析式问题求函数解析式的方法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。
求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方f(x)的解析式。
，∴f(x)=2x+7待定系数法()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：解法一、1222x x a∆-==2248b ac a ∴-=21()212f x x x ∴=++1c =又1,2,12a b c ===解得2()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40a b -=得解法二、(0)1f =41a k ∴+=1222x x-=222k a-∴=1,12a k ∴==-221()(2)121212f x x x x ∴=+-=++()y f x =2x =-得的对称轴为(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k=++设二 【换元法】（注意新元的取值范围）已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
换元法()f x 211(1)(1)1f x x+=-2211(2)()f x x x x+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式22()(1)12f t t t t∴=--=-11tx+=（1）解：令11t x=-1t ≠则且2()2f x x x=-(1)x ≠即换元法2()2f x x ∴=-(2)x ≥凑配法x1x x+用替代式中的12x x+≥又考虑到211()()2f x x x x+=+-（2）解：【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2 解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。
求二次函数的解析式例题
求二次函数关系式求二次函数的关系式，有一定的灵活性和技巧性，一般地，二次函数的关系式有以下三种不同的表达形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：y＝a(x-h)2＋k（a≠0，(h，k)是抛物线的顶点坐标）(3)两点式：y＝a(x-p)(x-q)＋h[a≠0，(p，h)和(q，h)是图象上两个对称点的坐标．特别地，当已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标是(x1，0)和(x2，0)时，可设所求函数式为：y＝a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．例1 已知二次函数的图象过A(-1，-8)、B(4，-3)、C(5，-8)三点，求它的函数式．解法1设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，图象经过(-1，-8)、(4，-3)，(5，-8)三点，得解得 a＝-1，b＝4，c＝-3．所以，所求二次函数式为，y＝-x2＋4x-3．解法2由A、C两点的坐标可知，图象的对称轴是直线x＝2，设所求函数式为y＝a(x-2)2＋k，因为图象过A(-1，-8)和B(4，-3)，所以解得 a＝-1，k＝1．因此，所求函数为y＝-(x-2)2＋1, 即 y＝-x2＋4x-3解法3 由已知可知，点A(-1，-8)与点C(5，-8)互为对称点(对称轴是直线x＝2)，因此，设所求函数式为y＝a(x-5)(x＋1)-8，又点(4，-3)在函数图象上，于是得-3＝a(4-5)(4＋1)-8． a＝-1所以，所求函数为y＝-(x-5)(x＋1)-8, 即 y＝-x2＋4x-3．例2 已知二次函数的图象与x轴的两交点的距离是4，且当x＝1，函数有最小值-4，求这个二次函数的关系式．解法1 由已知，得抛物线的对称轴是x＝1，与x轴两交点的坐标分别是(-1，0)和(3，0)，顶点坐标是(1，-4)，设所求二次函数式为y＝ax2＋bx＋c，则有解得 a＝1，b＝-2，c＝-3．所以所求二次函数关系式为y＝x2-2x-3．解法2 因为抛物线的顶点坐标为(1，-4)，且过(-1，0)，故设二次函数关系式为y＝a(x-1)2-4，并将x＝-1，y＝0代入，得 a＝1，所以所求二次函数关系式为y＝(x-1)2-4，即 y＝x2-2x-3．）和（3,0），顶点坐标是（1，-4)，解法3因为抛物线与x轴的交点坐标分别是（1,0因此，设函数关系式为y＝a(x＋1)(x＋3)，将x＝1，y＝-4代入，得 a＝1，故所求二次函数关系式为y＝(x＋1)(x-3), 即 y＝x2-2x-3解法4 设所求函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线顶点坐标为(1，-4)，且过(-1，0)，于是得解得 a＝1，b＝-2，c＝-3．故所求二次函数关系式为y＝x2-2x-3．。
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函数解析式的求解方法
1.配凑法
例1.已知f （x ＋
x 1）＝2x ＋21x ，求()f x 的解析式
例2.已知3311()f x x x x +=+
，求()f x
例3.已知f(x+1)=x-3, 求()f x
2.换元法（整体思想）
已知形如[()]y f x ϕ=的函数求解()f x 的解析式：令()x t ϕ=，反解()x t φ=，代入[()]y f x ϕ=，即可求解出。
例4.已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f
例5.22)1(2++=+x x x f 求)3()(),3(+x f x f f 及
3.构造方程组法
若式子中，同时含有()f x 与()f x -，或者同时含有()f x 与1()f x ，那么将式子中的x 用x -替换，或是x 用1x
替换，得到另一个方程，通过求解方程组求解()f x
例6.设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f
例7.设)(x f 满足关系式x x
f x f 3)1(2)(=+求函数的解析式
4.特殊值法
当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例8.已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，
求)(x f
例9.已知函数)(x f 对于一切实数 x,y 都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f
1.求)0(f 的值
2.求)(x f 的解析式
5.待定系数法（知道函数类型）
例10已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式。
例11 已知f(x)是二次函数，且442)1()1(2
+-=-++x x x f x f ，求)(x f。