八年级上《勾股定理》期末复习试卷.doc
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (26)
一、选择题1.如图，把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，其中∠B=90∘，AB=2，△ABD的周长为8，则四边形ABDE的面积是( )A．83B．133C．6D．72.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点Cʹ处连接ACʹ，则ACʹ长度的最小值是( )A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤134.已知a，b，c是三角形的三边，满足(a−3)2+√b−4+∣c−5∣=0，则三角形的形状是( )A．腰和底不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形5.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2019的值为( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20186. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A ． 1，2，3B ． 2，3，4C ． 3，4，5D ． 4，5，67. 如图，已知 ∠ABC =90∘，AB =6，BC =8，AD =CD =7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 ( )A ． 0B ． 2C ． 3D ． 48. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )A ． 2 米B ． 2.2 米C ． 2.5 米D ． 2.7 米9. 如图，将一根长 27 厘米的筷子，置于高为 11 厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为 (27−√157) 厘米，则底面半径为 ( ) 厘米．A ． 6B ． 3C ． 2D ． 1210. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( ) cm ．A．15B．√97C．12D．18二、填空题11.如图，在高2米，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．12.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC=8，则△ABC的面积是．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．14.等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则其底边BC的长为．15.如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．16.如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．17. 小明用三角板测得一个圆锥形漏斗尺寸如下图所示，那么漏斗斜壁 AB 的长度 cm ．三、解答题18. 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB =90∘，AB =15，BC =9，AD =5，DC =13．试判断△ACD 的形状，并说明理由．19. 已知 AB =2，AC =4√12，BC =25√125，在图所示的网格内画 △ABC ，使它的顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长都为 1．(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求点 A 到 BC 边的距离．20. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，且 AD =BD ，在 AD 上截取 DE =DC ，延长 BE 交 AC于点 F ，连接 CE ．(1) 证明：△BDE≌△ADC．(2) ∠ABF和∠ACE相等吗？说明理由．(3) 若BD=12 cm，CD=5 cm，求线段BF的长度．21.如图，每个小正方形的边长为1．(1) 求四边形ABCD的周长；(2) 求证：∠BCD=90∘．22.回答下列各题：(1) 特例研究：如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高．(2) 经验提升：如图②，在△ABC中，AB=AC≠BC，点P为线段BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．x+3，l2:y=−3x+3，若线(3) 综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=34段BC上有一点M到l1的距离是1，请运用(2)中的结论求出点M的坐标．23.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．24.为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m．(1) 求出空地ABCD的面积．(2) 若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？25.请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示．设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示．设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12−l22=25+25π2−225=25π2−200=25(π2−8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，∴选择路线2较短．(1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=；路线2：l22=(AB+BC)2=．∵l12l22，∴l1l2（填“>”或“<”），∴应选择路线（填1或2）较短．(2) 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为ℎ时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，∴AD=CD，∠AED=∠CED=90∘，AE=CE，∵△ABD的周长为8，∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=8，∴BC=6，∵AD2=AB2+BD2，∴CD2=4+(6−CD)2，∴CD=103，∴BD=83，∴S△ABD=12×2×83=83，S△ACD=12×2×103=103，∵AE=EC，∴S△AED=53，∴四边形ABDE的面积=133，故选：B．【知识点】勾股定理之折叠问题2. 【答案】C【解析】当Cʹ落在AB上，ACʹ长度的值最小，∵∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BCʹ=BC=3cm，∴ACʹ=AB−BCʹ=2cm．【知识点】勾股定理之折叠问题、折叠问题3. 【答案】A【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：√52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】D【解析】因为a，b，c为三角形三边，则a，b，c均大于0，又因为满足 (a −3)2+√b −4+∣c −5∣=0， 又因为 (a −3)2≥0，√b −4≥0，∣c −5∣≥0， 所以 (a −3)2=0，√b −4=0，∣c −5∣=0， 所以 a =3，b =4，c =5， 因为 a 2+b 2=32+42=52=c 2， 所以，三角形为直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律6. 【答案】C【解析】A ．因为 12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B ．因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C ．因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； D ．因为 42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】如图，过点 B ，D 分别作 BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100， 所以 AC =10．再由 12AB ⋅BC =12AC ⋅BE ，可得 BE =4.8．由AD=CD=7且DF⊥AC，得AF=12AC=5，由勾股定理，得DF2=72−52=24，故DF<5．又因为BE<5，所以到直线AC的距离为5的两条平行线与四边形ABCD的边没有交点．故选A．【知识点】勾股定理8. 【答案】A【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA=∠BFO=90∘，因为∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，所以∠AOE=∠OBF．在△AOE和△OBF中，{∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF, OA=OB,所以△AOE≌△OBF(AAS)，所以OE=BF，AE=OF，所以OE+OF=AE+BF=CD=17（米），因为EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7（米），因为OE+OF=2EO+EF=17米，所以2OE=17−7=10（米），所以BF=OE=5米，OF=12米，所以CM=CD−DM=CD−BF=17−5=12（米），OM=OF+FM=12+3=15（米），由勾股定理得：ON=OA=√AE2+OE2=√122+52=13（米），所以MN=OM−OF=15−13=2（米）．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】27−(27−√157)=√157（厘米），筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，√(√157)2−112=6（厘米），6÷2=3（厘米）．故底面半径为3厘米．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】A【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点Aʹ，连接AʹC交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=AʹE，AʹP=AP，∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC，×18cm=9cm，AʹQ=12cm−4cm+4cm=12cm，∵CQ=12在Rt△AʹQC中，由勾股定理得：AʹC=√122+92=15cm．【知识点】平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】(2+2√3)【知识点】勾股定理的实际应用12. 【答案】16【知识点】三角形的面积、勾股定理13. 【答案】2或4017【知识点】勾股定理之折叠问题14. 【答案】6【解析】设底边长为2x．=8−x．∴腰长为16−2x2利用勾股定理：(8−x)2=x2+42，∴x=3，∴其底边BC的长为6，故答案为：6．【知识点】一元二次方程的应用、勾股定理15. 【答案】等于【知识点】勾股定理的实际应用16. 【答案】25cm【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，则AʹB即为最短距离，AʹB=√AʹD2+BD2=√202+152=25(cm)．【知识点】平面展开-最短路径问题17. 【答案】√34【解析】√32+52=√34．【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题18. 【答案】∵AB=15，BC=9，∠ACB=90∘，∴AC=√152−92=12，∵52+122=132，∴AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90∘，∴△ACD是直角三角形．【知识点】勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) ∵AC=4√12=4×√24=2√2，BC=25√125=25×√25×5=25×5√5=2√5，AB=2，∴△ABC如图所示（长度正确，顶点在格点上即可，画法不唯一）．过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=2，∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2×2=2．(2) 过点A作AE⊥BC于点E，则S△ABC=12BC⋅AE．∵S△ABC=2，BC=2√5．∴AE=2S△ABCBC =2√5=√5=√5√5×√5=25√5，即点A到BC边的距离为25√5．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理20. 【答案】(1) 在△BDE和△ADC中，∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90∘，在△BDE和△ADC中，{AD=BD,∠BDE=∠ADC, DE=DC,∴△BDE≌△ADC．(2) ∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD，在Rt△ADB中，AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45∘，同理∠DEC=∠DCE=45∘，∵∠ABF=45∘−∠EBD，∠ACE=45∘−∠CAD，∴∠ABF=∠ACE．(3) ∵∠EBD=∠CAD，∠BED=∠AEF，∠EBD+∠BED=90∘，∴∠CAD+∠AEF=90∘，∴BF⊥AC，∵BD=12 cm，∴AD=12 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=13 cm，S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BF，∴12×(12+5)×12=12×13×BF，解得BF=20413cm．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理、边角边、等腰三角形的性质、全等形的概念及性质21. 【答案】(1) 根据勾股定理可知AB=3√2，BC=√34，CD=√34，AD=5√2，∴四边形ABCD的周长为8√2+2√34．(2) 连接BD．∵BC=√34，CD=√34，DB=√68，∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90∘．【知识点】勾股逆定理、勾股定理22. 【答案】(1) 如图①，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴BG=12BC=4，在Rt△ABG中，AB=8，∴AG=√AB2−BG2=4√3，则等边△ABC的高为4√3．(2) ①当点P在边BC上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD+PE=CF．②当点P在BC的延长线上时，PD−PE=CF，理由：如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF∵S△ABP−S△ACP=S△ABC∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD−PE=CF．(3) 如图④，由题意可求得A(−4,0)，B(0,3)，C(1,0)，∴AB=5，AC=5，BC=√12+32=√10，OB=3，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P，Q．∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ=1．由图②的结论得：MP+MQ=3，∴MP=2，∴M点的纵坐标为2，又∵M在直线y=−3x+3，∴当y=2时，x=13∴M坐标为(13,2)．【知识点】一般三角形面积公式、一次函数与三角形的综合、勾股定理23. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边24. 【答案】(1) 如图所示，连接AC，由题意可知∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，所以AC=√AD2+CD2=√82+62=10m，又因为AB=26m，BC=24m，且102+242=262，所以△ACB为直角三角形，则空地ABCD面积即为△ACB的面积：12⋅AC⋅BC=12×10×24=120m2．答：空地ABCD的面积为120m2．(2) 由题意得：200×120=24000（元），答：共需投入24000元．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】(1) AB2+BC2=52+π2=25+π2；(5+2)2=49；<；<；1(2) l12=AC2=AB2+BC2=ℎ2+(πr)2，l22=(AB+BC)2=(ℎ+2r)2，∴l12−l22=ℎ2+(πr)2−(ℎ+2r)2=r(π2r−4r−4ℎ)=r[(π2−4)r−4ℎ],时，l12=l22；∴当r=4ℎπ2−4时，l12>l22；当r>4ℎπ2−4当r<4ℎ时，l12<l22．π2−4【知识点】勾股定理的实际应用。
滕州市2019-2020年八年级上《勾股定理》期末复习试卷含解析
滕州市2019-2020年八年级上《勾股定理》期末复习试卷含解析一、选择题1．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（）cm2．A．54 B．108 C．216 D．2702．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，33．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm24．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13C．a2=b2﹣c2D．∠A=∠C﹣∠B5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．256．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或77．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定8．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（）A．4.8 B．5 C．4 D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（）A．4 B．9 C．18 D．3610．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A．16 B．32 C．34 D．6411．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30 B．50 C．60 D．8012．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题13．已知|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，则以x、y、z为三边的三角形是______三角形．14．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=______．15．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为______．16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为______．17．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为______．18．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：______．三、解答题19．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．20．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．21．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？24．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？25．如图，学校为美化校园，将形状是直角三角形的﹣园地△ABC，分别以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，开辟为三个花坛甲、乙、丙，现分给201班同学种花．班长准备让人数相等的两个小组同学负责．为了公平分配任务，她安排一个小组负责花坛甲，另一个小组负责花坛乙和丙．你认为班长的安排合理吗？请说明理由．-学年八年级（上）期末数学复习试卷（勾股定理）参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积S为（）cm2．A．54 B．108 C．216 D．270【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225，∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，AC2+BC2=152+362=1521，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．答：这块地的面积是216平方米．2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，3【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选B．3．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2【考点】勾股定理；完全平方公式．【分析】要求Rt△ABC的面积，只需求出两条直角边的乘积．根据勾股定理，得a2+b2=c2=100．根据勾股定理就可以求出ab的值，进而得到三角形的面积．【解答】解：∵a+b=14∴（a+b）2=196∴2ab=196﹣（a2+b2）=96∴ab=24．故选A．4．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C=3：4：5 B．a：b：c=5：12：13C．a2=b2﹣c2D．∠A=∠C﹣∠B【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C≠90°，故△ABC不是直角三角形；B、不妨设a=5，b=12，c=13，此时a2+b2=132=c2，即a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形；C、由条件可得到a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；D、由条件∠A=∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC是直角三角形；故选A．5．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A．5 B．6 C．7 D．25【考点】勾股定理．【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【解答】解：如图所示：AB==5．故选：A．6．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或7【考点】勾股定理．【分析】分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．【解答】解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D．7．如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．8．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5，BC=6，则BP的最小值为（）A．4.8 B．5 C．4 D．【考点】勾股定理；垂线段最短；等腰三角形的性质．【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD===4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，若以AB边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC．若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2，则S1+S2=（）A．4 B．9 C．18 D．36【考点】勾股定理；等腰直角三角形．【分析】解：由勾股定理求出BC2+AC2=AB2=36，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出BE=CE=BC，AF=FC=AC，得出S1+S2=BE2+AF2=（BC2+AC2），即可得出结果．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=6，∴BC2+AC2=AB2=62=36，∵△BEC和△AFC是等腰直角三角形，∴BE=CE=BC，AF=FC=AC，∴S1+S2=BE2+AF2=×（BC）2+×（AC）2=（BC2+AC2）=×36=9；故选：B．10．如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A．16 B．32 C．34 D．64【考点】勾股定理．【分析】根据已知两正方形的面积分别得出直角三角形两直角边长的平方，利用勾股定理求出斜边长的平方，即可求出正方形A的面积．【解答】解：如图所示：根据题意得：EF2=25，FG2=9，∠EFG=90°，根据勾股定理得：EG2=25+9=34，∴以斜边为边长的正方形A的面积为34．故选：C．11．如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30 B．50 C．60 D．80【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．【解答】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，∴∠BAG=∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，（AAS）同理△BCG≌△CDH，∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，∵梯形DEFH的面积=（EF+DH）•FH=80，S△AEF=S△ABG=AF•AE=9，S△BCG=S△CDH=CH•DH=6，∴图中实线所围成的图形的面积S=80﹣2×9﹣2×6=50，故选 B．12．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【考点】勾股定理的应用．【分析】仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．【解答】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h尺，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，解得：h=4.5．故选：C．二、填空题13．已知|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，则以x、y、z为三边的三角形是直角三角形．【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出x、y、z的值，再根据勾股定理的逆定理进行解答即可．【解答】解：以x，y，z为三边的三角形是直角三角形．∵|x﹣12|+|z﹣13|+y2﹣10y+25=0，∴|x﹣12|+|z﹣13|+（y﹣5）2=0，∴x﹣12=0，z﹣13=0，y﹣5=0，∴x=12，y=5，z=13，∵122+52=132，∴以x，y，z为三边的三角形是直角三角形．故答案为直角．14．在Rt△ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=8．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理即可求得该代数式的值．【解答】解：∵AB2=BC2+AC2，AB=2，∴AB2+BC2+AC2=8．故答案为：8．15．已知直角三角形三边的平方和是32cm2，则其斜边上的中线长为2cm．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】由勾股定理和已知条件得出得出AB2=16cm2，得出AB=4cm，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，∵直角三角形三边的平方和是32cm2，∴AB2=16cm2，∴AB=4cm，∴斜边AB上的中线长=AB=2cm，故答案为：2cm16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 4.8．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质．【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，在△ODP和△OEG中，，∴△ODP≌△OEG（ASA），∴OP=OG，PD=GE，∴DG=EP，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，即62+（8﹣x）2=（x+2）2，解得：x=4.8，∴AP=4.8；故答案为：4.8．17．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为1或4．【考点】勾股定理的证明．【分析】分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理求出另一直角边长为4，小正方形的边长=4﹣3=1，即可得出小正方形的面积；②3和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长=2，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．【解答】解：分两种情况：①5为斜边时，由勾股定理得：另一直角边长==4，∴小正方形的边长=4﹣3=1，∴小正方形的面积=12=1；②3和5为两条直角边长时，小正方形的边长=5﹣3=2，∴小正方形的面积22=4；综上所述：小正方形的面积为1或4；故答案为：1或4．18．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：13、84、85．【考点】勾股数．【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．【解答】解：从上边可以发现第一个数是奇数，且逐步递增2，故第5组第一个数是11，第6组第一个数是13，又发现第二、第三个数相差为一，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：132+x2=（x+1）2，解得x=84．则得第6组数是：13、84、85．故答案为：13、84、85．三、解答题19．如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC，如图所示：∵∠B=90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AB=3，BC=4，∴根据勾股定理得：AC==5，又∵CD=12，AD=13，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，=S△ABC+S△ACD=AB•BC+AC•CD=×3×4+×5×12=36．则S四边形ABCD故四边形ABCD的面积是36．20．如图，梯子AB斜靠在一竖直的墙上，梯子的底端A到墙根O的距离AO为2米，梯子的顶端B到地面的距离BO为6米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离A′O等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′．求梯子顶端下滑的距离BB′．【考点】勾股定理的应用．【分析】在△RtAOB中依据勾股定理可知AB2=40，在Rt△A′OB′中依据勾股定理可求得OB′的长，从而可求得BB′的长．【解答】解：在△RtAOB中，由勾股定理可知AB2=AO2+OB2=40，在Rt△A′OB′中由勾股定理可知A′B′2=A′O2+OB′2．∵AB=A′B′，∴A′O2+OB′2=40．∴OB′==．∴BB′=6﹣．21．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？【考点】勾股定理的应用．【分析】设BE=x米，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=52+x2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=32+（8﹣x）2，根据AE=CE∴52+x2=32+（8﹣x）2求得BE的长即可．【解答】解：设BE=x米，在Rt△ABE中，AE2=52+x2在Rt△CDE中，CE2=32+（8﹣x）2，∵AE=CE，∴52+x2=32+（8﹣x）2，解得x=3，答：点E应该选在距B点3米处．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为AC上一点，且AE=BC，过点A作AD⊥CA，垂足为A，且AD=AC，AB、DE交于点F（1）判断线段AB与DE的数量关系和位置关系，并说明理由（2）连接BD、BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，请利用四边形ADBE的面积证明勾股定理．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的证明．【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，可得∠1与∠3的关系，AB与DE的关系，根据余角的性质，可得∠2与∠3的关系；（2）根据面积的不同求法，可得答案．【解答】解：（1）AB=DE，AB⊥DE，如图2，∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°．在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA （SAS），AB=DE，∠3=∠1．∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE；=S△ADE+S△BDE=DE•AF+DE•BF=DE•AB=c2，（2）S四边形ADBE=S△ABE+S△ADE=a2+b2，S四边形ADBE∴a2+b2=c2，∴a2+b2=c2．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了3秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶40×20×60=48000（米），进而得出答案．【解答】解：根据题意，得AC=30m，AB=50m，∠C=90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2=AB2﹣AC2=502﹣302=402，所以BC=40，小汽车3秒行驶40米，则1小时行驶40×20×60=48000（米），即小汽车行驶速度为48千米/时，因为 48＜70，所以小汽车没有超速行驶．24．如图将一根15cm长的细木棒放入长宽分别为4cm，3cm和12cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是多少？【考点】勾股定理的应用．【分析】长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可．【解答】解：由题意知：盒子底面对角长为=5cm，盒子的对角线长： =13cm，细木棒长15cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：15﹣13=2cm．所以细木棒露在外面的最短长度是2厘米．25．如图，学校为美化校园，将形状是直角三角形的﹣园地△ABC，分别以三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，开辟为三个花坛甲、乙、丙，现分给201班同学种花．班长准备让人数相等的两个小组同学负责．为了公平分配任务，她安排一个小组负责花坛甲，另一个小组负责花坛乙和丙．你认为班长的安排合理吗？请说明理由．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据△ABC 是直角三角形，可得出S 甲=S 乙+S 丙，故班长的安排是合理的．【解答】解：班长的安排合理．理由如下：∵S 甲=π×（）2S 乙=π×（）2S 丙=π×（）2又△ABC 是直角三角形∴=+∴S 甲=S 乙+S 丙答：因为班长分配给两个小组的花坛面积相等，所以她的安排是合理的．年9月20日。
2013学年八年级上《勾股定理》期末复习试卷
勾股定理复习题班级________姓名________一、方程思想1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为.(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= .(4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．(5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为.(6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.二、分类讨论思想x1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．三、类比思想1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你、S2、S3之间的关系并加以证明．确定S四、整体思想在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．五、数形结合思想1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？*2．如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.六、转化思想有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 的正上方B 点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐的底面圆的周长是12m ，高AB 是5m ）七、其它1．如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 2．如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c3．如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）A 、3个B 、2个C 、1个D 以上都不对4．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其 中能构成直角三角形的有____________．(填序号)5．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 6．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______， AB 边上的高CD ＝______． 7．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．8. 如图4，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5所示的“数学风车”，则这个风车的外 围周长是__________；9. 如图6，已知正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；正方形A 1B 1C 1D 1各边长按原法延长一倍 得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图7）；以此下去...，则正方形A 4B 4C 4D 4 的面积为 ，正方形A n B n C n D n 的面积为 .图5ABC图4B CPMBCA10. 如图14，在中，D 是BC 边上的点，已知，，，，求DC 的长.11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．12、 如图15，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．13. 如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：222BC AP BP +=．AB DC 图3CBA DEF14、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)
一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2， 解得 x =4．故线段 BN 的长为 4． 【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。
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《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (39)
一、选择题1.△ABC中，已知AB=1，AC=2．要使∠B是直角，BC的长度是( )A．√3B．√5C．3D．√3或√52.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了_____米的草坪，只为少走_____米路( )A．20，50B．50，20C．20，30D．30，203.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米4.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．5√21B．25C．10√5+5D．355.某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是( )（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）A．1B．2C．3D．46.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )A．5，4，3B．√2，√3，√5C．6，8，10D．8，15，197.如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为( )米．A．1+√5B．1+√3C．2√5−1D．38.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为( )（杯壁厚度不计）A．2√26cm B．√149cm C．2√41cm D．4√29cm9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A．3B．4C．5D．610.在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=1，AC=2，则AB的长是( )A．1B．√3C．2D．√5二、填空题11.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=45∘，AC=4, 则AB的长是．12.在△ABC中，∠C=90∘，若AB=6，BC=2√5，则AB边上的高是．13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，AD=CD，AB+BC=8，则四边形ABCD的面积是．14.如图所示，∠ABC=∠BAD=90∘，AC=13，BC=5，AD=16，则BD的长为．15.如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为．16.在三角形ABC中，∠C=90∘，AB=7，BC=5，则AC的长为．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，AB=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，MN的长为半径作弧，两弧交分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于12于点P，作射线AP交BC于点D，则CD的长是．三、解答题18.在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=∠ADC=45∘，BD=6，DC=4(1) 当D，B在AC同侧时，求AD的长；(2) 当D，B在AC两侧时，求AD的长．19.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90∘，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积．20.在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的面积．21.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，D为AB上一点，CD=8，BD=6．(1) 求证：∠CDB=90∘；(2) 求AC的长．22.如图，在△ABC中，∠C=90∘，M为BC的中点，MN⊥AB，N是垂足．求证：AN2−BN2=AC2．23.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．24.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．25.小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁BC竖直放置吸管，露在外面部分BD=2厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底部是直径(AC)为8厘米的圆，请你求出吸管的长度．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC=√AC2−AB2=√4−1=√3．【知识点】勾股定理2. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC2=302+402=2500，∴AC=50米，30+40−50=20（米），∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路．【知识点】勾股定理的实际应用3. 【答案】D【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】将长方体展开，连接A，B，根据两点之间线段最短．（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=√AD2+BD2=√152+202=√625=25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√52+302=√925=5√37．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29．由于25<5√29<5√37，故最短距离为25．【知识点】勾股定理的实际应用、勾股定理5. 【答案】B【解析】∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD=√OC2−OD2=√22−12=√3≈1.73（米），CH=CD+DH=1.73+1.6=3.33，∴两辆卡车都能通过此门．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用6. 【答案】D【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】由勾股定理可知，BC=√AC2+AB2=√12+22=√5，∴AC+BC=1+√5．【知识点】勾股定理的实际应用8. 【答案】C【解析】圆柱展开如图所示，由题意可知蚂蚁从A点爬到ME上某点再爬到B点最短路径，作A关于ME对称点Aʹ连接AʹB，AʹB即作求最短路径，过B作BO⊥MN与O，则四边形OBFN为矩形，∴OB=NF，ON=BF，∵MQ=NP=20，MN=EF=7，BF=2，MA=3，E，F分别MQ，NP中点，NP=10=OB，ON=BF=2，∴NF=12MO=MN−ON=5，∵A，Aʹ关于MN对称，∴AʹM=AM=3，∴AʹO=AʹM+MO=8，∴AʹO=√AʹO2+OB2=√82+102=2√21，∴最短路径为2√21．【知识点】轴对称之最短路径、勾股定理的实际应用9. 【答案】C【解析】如图所示：∵(a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21−13=8，∴小正方形的面积为13−8=5．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】4√2【解析】如图，∵∠C=90∘，∠A=45∘，∴∠B=90∘−45∘=45∘，∴∠A=∠B，∴AC=CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√42+42=4√2．【知识点】勾股定理12. 【答案】4√53【知识点】勾股定理13. 【答案】16【解析】如图，连接AC．∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC=12BC ⋅AB +12CD ×AD =12BC ⋅AB +12AD 2=12BC ⋅AB +12CD 2,∵AB +BC =8，∴BC 2+AB 2+2BC ×AB =64， ∴4S △ABC +4S △ACD =64，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =16．【知识点】勾股定理14. 【答案】 20【解析】 ∵∠ABC =90∘，AC =13，BC =5， ∴AB =√AC 2−BC 2=12， 又 ∵∠BAD =90∘，AD =16， ∴BD =√AB 2+AD 2=20． 【知识点】勾股定理15. 【答案】 10【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】 2√6【解析】 ∵∠C =90∘，AB =7，BC =5， ∴AC =√AB 2−BC 2=√72−52=2√6．【知识点】勾股定理17. 【答案】 1.5【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ． ∵DA 平分 ∠BAC ， ∴∠DAH =∠DAC ，∵∠AHD=∠C=90∘，AD=AD，∴△ADH≌△ADC(AAS)，∴DH=DC，AC=AH=3，在Rt△ABC中，∵AB=5，AC=3，∴BC=√52−32=4，设DC=DH=m，在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，∴(4−m)2=m2+22，∴m=32，∴CD=32．【知识点】角角边、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) 如图1，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于E，∵∠ADC=45∘，∴△ADE为等腰直角三角形，∵AB=AC，∠ABC=45∘，∴△ABC为等腰直角三角形，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=6，DE=10，∴AD=√22DE=5√2．(2) 如图2，过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC=6，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90∘，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=2√5，∴AD=√22DE=√10．【知识点】边角边、勾股定理、等腰直角三角形19. 【答案】如图所示，连接AC．∵∠D=90∘，∴AC2=AD2+CD2，∵AD=8，CD=6，∴AC=10．又AC2+BC2=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S四边形ABCD =S△ABC−S△ACD=12(24×10−6×8)=96．∴这块地的面积为96m2．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】48．【知识点】勾股定理21. 【答案】(1) 略(2) 253．【知识点】勾股定理、勾股逆定理22. 【答案】连接AM，AN2−BN2=(AM2−MN2)−(BM2−MN2)=AM2−BM2=AM2−MC2=AC2．【知识点】勾股定理23. 【答案】设旗杆长为x米，则绳长为(x+1)米，则由勾股定理可得：52+x2=(x+1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12米．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】设AC=x．∵AC+AB=10，∴AB=10−x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10−x)2．解得：x=4.55，即AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】根据勾股定理得，AB2=BC2+AC2，所以AB2=(AB−2)2+82，解得：AB=17，答：吸管的长度17cm．【知识点】勾股定理的实际应用。
2024八年级数学上册期末复习1勾股定理3常考题型专练习题课件新版北师大版
DN . 求证： AB2＝2( CM ＋ CN )2.
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证明：如图，连接 CD ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E ，则
∠ DEC ＝∠ DEB ＝90°.
因为 DM ⊥ DN ，
所以∠ MDC ＋∠ CDN ＝90°.
3. 如图，在△ ABC 中， D 为 BC 的中点， AB ＝5， AD ＝
6， AC ＝13.求证： AB ⊥ AD .
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证明：如图，延长 AD 至点 E ，使 DE ＝ AD ，连接 BE .
因为 D 为 BC 的中点， 所以 CD ＝ BD .
又因为 AD ＝ ED ，∠ ADC ＝∠ EDB ，
所以△ ADC ≌△ EDB (SAS).所以 BE ＝ CA ＝13.
在△ ABE 中， AE ＝2 AD ＝12， AB ＝5，
所以 AE2＋ AB2＝122＋52＝169.
又因为 BE2＝132＝169，所以 AE2＋ AB2＝ BE2.
所以△ ABE 是直角三角形，且∠ BAE ＝90°，即 AB ⊥ AD .
设正方形的边长为 a ，则 AD ＝ DC ＝ BC ＝ AB ＝ a ，
BF ＝ a ， AF ＝ a ， BE ＝ EC ＝ a .
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在Rt△ DAF 中， DF ＝ AD ＋ AF ＝ a .
在Rt△ CDE 中， DE2＝ CD2＋ CE2＝ a2.
在Rt△ EFB 中， EF2＝ FB2＋ BE2＝ a2.
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (21)
一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
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勾股定理复习题
班级________姓名________
一、方程思想
1. (1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= .
(2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，b=24，a：c=15：17，则Rt△ABC面积为.
(3) 在Rt△ABC中，∠C=90°，c-a=4，b=16，则a= ，c= .
(4) 已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
(5) 一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为.
(6) 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为.
二、分类讨论思想x
1．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．
2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积．
三、类比思想
1．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你
、S2、S3之间的关系并加以证明．
确定S
四、整体思想
在直线l上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_____．
五、数形结合思想
1．如图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，A1B1=8km．现要在高速公路上A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，则这个最短距
离是多少千米？
*2．如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.
已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x .(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(422+-++x x 的最小值.
六、转化思想
有一圆柱形油罐，如图所示，要从A 点环绕油罐建梯子，正好到A 的正上方B 点，问梯子最短需要多少米？（已知：油罐的底面圆的周长是12m ，高AB 是5m ）
七、其它
1．如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 2．如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A 、a ＜b ＜c
B 、c ＜a ＜b
C 、c ＜b ＜a
D 、b ＜a ＜c
3．如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC 、△A ’B ’C ’、△A ’’B ’’C ’’三个三角形中，直角三角形有（ ）
A 、3个
B 、2个
C 、1个
D 以上都不对
4．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其 中能构成直角三角形的有____________．(填序号)
5．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝20，BC ＝24，则BC 边上的高AD ＝______，AC 边上的高BE ＝______． 6．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______， AB 边上的高CD ＝______． 7．在△ABC 中，若AB ＝BC ＝CA ＝a ，则△ABC 的面积为______．
8. 如图4，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图5所示的“数学风车”，则这个风车的外 围周长是__________；
9. 如图6，已知正方形ABCD 的面积为1，把它的各边延长一倍 得到新正方形A 1B 1C 1D 1；正方形A 1B 1C 1D 1各边长按原法延长一倍 得到正方形A 2B 2C 2D 2（如图7）；以此下去...，则正方形A 4B 4C 4D 4 的面积为 ，正方形A n B n C n D n 的面积为 .
图
5
A
B
C
图4
B C
P
M
B
C
A
10. 如图14，
D 是BC 边上的点，
DC 的长.
11、已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．
12、 如图15，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠A ＝45°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．
13. 如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证：
2
22BC AP BP +=．
A
B D
C 图3
C
B
A D
E
F
14、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°， 求四边形ABCD 的面积。
15、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC •为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•
16、在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?
17. 如图所示，公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇，点A 处有一所中学，AP =160m ，点A 到公路MN 的距离为80m ．假设拖拉机行驶时，周围100m 以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方 向行驶时，学校是否会受到影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影 响的时间为多少秒?
A B
C
D。