高等钢结构 杆系结构稳定理论
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高等钢结构理论-第二章
（a）压杆控制设计 （b）拉杆控制设计 网架荷载-挠度曲线
第二章 钢结构稳定问题概述
2.2 失稳的类别
第二章 钢结构稳定问题概述 早期钢结构稳定问题的分类
1. 平衡分岔（分支点）失稳（第一类稳定问题）
2.2 失稳的类别
二
对于理想的轴心压杆，在临界状态时，构件（结构）从初始的平衡位形 突变到与其邻近的另一平衡位形，表现出平衡位形的分岔现象。
第二章 钢结构稳定问题概述
2.5 稳定设计的几项原则
二
结构的整体布置须考虑整体和部分的稳定性要求
1
计算假定应与设计对象一致
2
细部构造应与稳定计算相互配合
3
The END
THANKS
二
稳定分岔屈曲
第二章 钢结构稳定问题概述 弹性稳定的分类
2. 不稳定分岔屈曲（有限干扰屈曲）
2.2 失稳的类别
二
超越临界状态后，只能在比临界荷载低的荷载下维持平衡位形。
承受轴向荷载的圆柱壳、承受均匀外压的圆球壳、缀条柱、薄壁型钢 方管等。
不稳定分岔屈曲
第二章 钢结构稳定问题概述 弹性稳定的分类
3. 跃越屈曲
平衡分岔（分支点）失稳
第二章 钢结构稳定问题概述 早期钢结构稳定问题的分类
2. 极值点失稳（第二类稳定问题）ຫໍສະໝຸດ 2.2 失稳的类别二
有缺陷的轴心受压构件和偏心受压构件发生的弹塑性失稳。
极值点失稳
第二章 钢结构稳定问题概述 弹性稳定的分类
1. 稳定分岔屈曲
超越临界状态后，荷载还能进一步增加。
2.2 失稳的类别
增大
临界力增大
第二章 钢结构稳定问题概述
2.4 稳定计算中的整体观点
杆系构件稳定理论
截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α2i M Is
α2i
=
1−
1
∑ N • Δu ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定
* 无支撑的纯框架
采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用；
当M 2
=
M
时
1
,
M
max
=
M1
2 (1 − cos kl )
sin 2 kl
=
M 1 sec
kl 2
=
M eq
sec
ql 2
令M1 ≠ M2时的Mmax = Mmax ,
Meq
2(1− cos kl)
sin2 kl = M1
⎜⎝⎛ M2 M1 ⎟⎠⎞2 − 2⎜⎝⎛ M2 M1 ⎟⎠⎞cos kl +1 sin2 kl
采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0
* 有支撑框架
门槛侧移刚度：
S0 = 3(1.2 ∑ Nbi − ∑ N0i )
∑
N
bi、∑
N
：
0i
分别为用无侧移框架和有侧移框架计算得到的轴压杆稳定承载力之和
Sb>S0时为强支撑框架，计算长度μ 按无侧移框架取用；
Sb<S0时为弱支撑框架，柱子稳定系数插值取用：
Meq = M1
⎛⎜⎝
M
2
M1
⎞⎟⎠2 − 2⎛⎜⎝ M2 M1
2(1− cos kl)
⎞⎟⎠
cos
kl
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α2i M Is
α2i
=
1−
1
∑ N • Δu ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定
* 无支撑的纯框架
采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用；
当M 2
=
M
时
1
,
M
max
=
M1
2 (1 − cos kl )
sin 2 kl
=
M 1 sec
kl 2
=
M eq
sec
ql 2
令M1 ≠ M2时的Mmax = Mmax ,
Meq
2(1− cos kl)
sin2 kl = M1
⎜⎝⎛ M2 M1 ⎟⎠⎞2 − 2⎜⎝⎛ M2 M1 ⎟⎠⎞cos kl +1 sin2 kl
采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0
* 有支撑框架
门槛侧移刚度：
S0 = 3(1.2 ∑ Nbi − ∑ N0i )
∑
N
bi、∑
N
：
0i
分别为用无侧移框架和有侧移框架计算得到的轴压杆稳定承载力之和
Sb>S0时为强支撑框架，计算长度μ 按无侧移框架取用；
Sb<S0时为弱支撑框架，柱子稳定系数插值取用：
Meq = M1
⎛⎜⎝
M
2
M1
⎞⎟⎠2 − 2⎛⎜⎝ M2 M1
2(1− cos kl)
⎞⎟⎠
cos
kl
高等钢结构
d 2 d 2 ＜0
总势能为极大值，平衡 状态是不稳定的；
不稳定平衡
（3）总势能保持不变，则为中性平衡
d 2 d 2 0
还要看总势能的高阶导 数是大于零、小于零还 是等于零才能判断
随遇平衡 (中性平衡）
弹性应变能U是外力作用下储藏在体系内 的能量，意味着外力去除后回复到原来状态的 能力。变形后应变能增加，因而始终为正值；
因此该折线平衡状态不稳定。
屈曲后的荷载--位移曲线：
0, P kl cos ;
, P 0;
2
二、不对称分枝现象（稳定性）
变形时杆上端荷 载点从A移到B， 弹簧压缩了 FB
斜向弹簧支撑刚性杆件
几何关系 :
EB l sin
FB l(sin cos 1) 2 OD l(sin cos ) 2 对O点弯矩平衡： P l sin kl2 (sin cos 1)(sin cos ) 2 0
解为两个：
（1） 0 （2） Pl 4k sin
可由能量和静力两个途径得到，如由静力
弹簧力矩： 2 k
轴力对C点力矩：
Pl 2
sin
平衡方程：
4k Pl sin 0
讨论两种平衡状态稳定性
（1）当 0 ，即杆系处于直线平衡状态时，
d 2
d 2
杆系的总势能为
U V 2k 2 P（l 1-cos）
总势能对角位移的导数为
d 4k Pl sin d
d 2
d 2
4k
Pl
cos
d 3
d 3
Pl
sin
由 d d 0
总势能为极大值，平衡 状态是不稳定的；
不稳定平衡
（3）总势能保持不变，则为中性平衡
d 2 d 2 0
还要看总势能的高阶导 数是大于零、小于零还 是等于零才能判断
随遇平衡 (中性平衡）
弹性应变能U是外力作用下储藏在体系内 的能量，意味着外力去除后回复到原来状态的 能力。变形后应变能增加，因而始终为正值；
因此该折线平衡状态不稳定。
屈曲后的荷载--位移曲线：
0, P kl cos ;
, P 0;
2
二、不对称分枝现象（稳定性）
变形时杆上端荷 载点从A移到B， 弹簧压缩了 FB
斜向弹簧支撑刚性杆件
几何关系 :
EB l sin
FB l(sin cos 1) 2 OD l(sin cos ) 2 对O点弯矩平衡： P l sin kl2 (sin cos 1)(sin cos ) 2 0
解为两个：
（1） 0 （2） Pl 4k sin
可由能量和静力两个途径得到，如由静力
弹簧力矩： 2 k
轴力对C点力矩：
Pl 2
sin
平衡方程：
4k Pl sin 0
讨论两种平衡状态稳定性
（1）当 0 ，即杆系处于直线平衡状态时，
d 2
d 2
杆系的总势能为
U V 2k 2 P（l 1-cos）
总势能对角位移的导数为
d 4k Pl sin d
d 2
d 2
4k
Pl
cos
d 3
d 3
Pl
sin
由 d d 0
钢结构设计中的稳定问题教材
3、对称失稳——不稳定的后屈曲性能
理想 p'2
路径：
Pl
2
1
c
2
，写为
P Pcr
1 k2w2
考虑初始挠度w ，得初始缺陷对后屈曲性能的影响关系为： o
P
Pcr
1 k2w2
1
wo w
1
wo w
k2 wo w
k2w2
有极值点, Pmax 低于1.0 ， Pcr
对于 P 的表达式右端对w求导 Pcr
NV
N
l cos 2l
N
cos 2 1 sin
p1 0:
2P 2lCP lC
1.0时，稳定 1.0时，不稳定，施加微小干扰结构溃塌或跳到p2
p2
0:
2P lC
2 cos
1 sin 1 1 sin sin 11s
in
2 cot1
1
1 sin
0时，不稳定 0时，稳定
（２）忽略高阶项不会影响结构最初的后屈曲性能，只要计入第一个非零的 项，就可研究结构的初始后屈曲性能。
（二）结构的初始缺陷敏感性
１、基本概念
对称分枝型失稳——稳定的初始后屈曲性能
理想结构
——不稳定的初始后屈曲性能
不对称分枝型失稳——稳定和不稳定的初始后屈曲性能
实际结构
初始缺陷：初偏心、初挠度、残余应力。
1 3
0.423
f
Pmax
0.385C
f3 l2
无所谓初始缺陷，只能视为缺陷增加敏感性
（四）判断后曲屈性能的实用方法
1.对称分枝型失稳
后曲屈稳定 ： l sin C 0
外弯矩 内弯矩增大
内弯矩 外弯剧增大
钢结构稳定-理论与设计教学设计
钢结构稳定-理论与设计教学设计一、教学目标本教学设计旨在通过理论讲解和实践操作，让学生掌握钢结构稳定的相关理论知识和设计方法，能够独立完成简单的钢结构稳定计算和设计。
具体目标如下：1.掌握钢结构稳定的理论知识，包括稳定性基本概念、稳定失效形式、稳定分析方法等；2.掌握钢结构稳定设计的基本方法和相关规范，包括LRFD规范、ASD规范、中国国家标准等；3.能够独立完成钢结构稳定的计算和设计，包括稳定性分析、引伸性稳定、弯曲扭曲耦合稳定、局部稳定等。
二、教学内容1.钢结构稳定的基本概念和稳定失效形式稳定性定义和基本原理压杆稳定、压弯稳定、剪切稳定、扭转稳定等失效形式2.钢结构稳定的分析方法直接稳定分析方法引伸性稳定分析方法弯曲扭曲耦合稳定分析方法局部稳定分析方法3.钢结构稳定设计方法和规范 LRFD规范和ASD规范的基本概念和应用中国国家标准的应用钢结构稳定设计的实际应用案例三、教学方法1.案例研究法，通过案例分析练习，让学生了解稳定性分析和设计的具体应用。
2.现场实践教学法，通过参观工程现场和实地勘察，让学生了解结构实际施工的情况，更好地掌握设计方法和规范。
3.理论教学与实践操作相结合，通过讲解理论知识和操作实践，让学生深入理解稳定性分析和设计。
四、教学资源1.课件，包括对应章节的知识点总结、案例分析和练习题等。
2.相关规范和标准，包括LRFD规范、ASD规范、中国国家标准等。
3.案例分析中所涉及到的工程设计图纸和相关数据。
五、教学评估1.期中测试，测试平时所学的理论知识和实际应用方法。
2.稳定性分析与设计实验，让学生在指导下独立完成稳定性分析和设计工作，并据此评估学生的操作能力和技术水平。
3.总结性论文，让学生自己确定一个稳定性问题进行研究，并写一篇有一定深度的论文加以分析。
六、教学时长本教学设计涵盖了钢结构稳定的基本理论知识和设计方法，预计总时长为30学时，其中实践操作时间不少于1/3。
七、教学团队1.主讲人：一名具有丰富工程实际经验的教授或高级工程师，主要负责讲授理论知识和设计方法，指导学生完成实践操作和论文写作等。
钢结构稳定的概念设计
首先，我们来了解一下钢结构稳定设计的基本概念。钢结构稳定设计主要是 研究结构在受到外力作用下的稳定性，防止结构发生失稳或屈曲的现象。失稳是 指结构在受到外力作用后，没有发生整体变形，而是出现了局部弯曲或扭曲的现 象。屈曲则是指结构在受到外力作用后，发生了整体变形，并且这种变形是不可 恢复的。因此，钢结构稳定设计的主要目标是防止这两种现象的发生。
2、稳定安全系数：稳定安全系数是指在荷载作用下，结构所能承受的最大 应力与极限应力的比值。在钢结构稳定设计中，需要综合考虑各种因素的影响， 确定合理的稳定安全系数。
五、实际工程中的钢结构稳定设 计案例及设计原则解释
以某桥梁工程为例，该桥梁为钢箱梁结构形式，跨度为30米。在桥梁设计中， 需要考虑到车辆通行、风载、地震等多种荷载因素的影响。为保证桥梁的稳定性， 设计时采用了以下措施：
1、杆件强度：选用高强度钢材作为桥梁的主要构件材料，以提高其承载能 力和稳定性。
2、支座形式：采用四氟板式橡胶支座作为桥梁的支撑形式，以减小支座对 结构稳定性的影响。
3、荷载分布：通过对桥面进行合理的配重和分布设计，使桥梁在不同荷载 作用下的稳定性得到保证。
4、长细比控制：在设计中严格控制桥梁的截面尺寸和长细比，使其符合规 范要求，以保证结构的稳定性。
二、钢结构稳定的定义及相关概 念
在钢结构稳定分析中，通常需要考虑两种类型的稳定问题：平面稳定和空间 稳定。平面稳定是指结构在某一平面内的稳定性，而空间稳定则是指结构在三个 维度上的稳定性。
1、简支梁：简支梁是一种常见的简单结构形式，其稳定性是钢结构稳定分 析中的重要内容之一。简支梁的稳定性主要受到荷载作用位置和支撑条件的影响。
2、固支梁：固支梁是一种两端固定支撑的结构形式。在固支梁的稳定性分 析中，需要考虑支撑条件和荷载作用位置的影响。
钢结构稳定理论-2
弯矩与曲率的关系 M EIy
则有二阶常系数微分方程：
y EIy Py Qx M A
其中：Q M A M B l
则方程的通解为： y Asin kx B cos kx Cx D
其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。其中k P
对通解求导，可得其各阶导数：
EI
y' y Ak cos kx Bk sin kx C
钢结构稳定理论
l
❖ 参数kn或Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值 (eigenvalue)。
❖ 在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解
特征值问题。
轴向压力
P3
9 2EI
l2
y Asin nx
l
P2
4 2EI
l2
PE
P1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2EI
l2
P1
2 EI l2
最低的临界力即为欧拉临界力
横向挠度
钢结构稳定理论
取最小值得：
kl 1.43 4.4934
2
Pcr
4.46342 EI (l / 2)2
结合上述两个方程的解， 取小值，得两端嵌固杆的 临界力为：
Pcr
4 2EI
l2
❖ 工况二：一端铰接、一端嵌固的轴心压杆
y x0 0, y' x0 0, y xl 0, y' xl 0
有：
第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲
(flexural buckling of axial compressed members)
§2-1 轴压杆的荷载位移曲线
1-小挠度理论欧拉临 界力(弹性)
2-大挠度理论屈曲后 性能(弹性)
钢结构设计中稳定性研究
钢结构设计中稳定性研究钢结构设计中，稳定性是一个非常重要的问题。
稳定性问题不仅会影响到钢结构本身的安全性能，也会影响到钢结构的设计、制造和施工等方面。
因此，在进行钢结构设计时，必须充分考虑稳定性问题。
稳定性是指在外力的作用下，物体或结构的形状、大小、位置等不发生明显的变化。
在钢结构设计中，稳定性问题通常包括两个方面。
一方面是结构的整体稳定性，另一方面是结构中不同部位的局部稳定性。
结构的整体稳定性主要考虑结构的屈曲能力。
屈曲是指在受到一定外力的作用下，杆件在全截面的弯曲破坏。
在计算结构的屈曲能力时，需要考虑到结构的几何形状、材料的弹性模量、截面的惯性矩等因素。
在实际工程中，常采用弹性分析和弹塑性分析等方法来计算结构的屈曲能力。
局部稳定性是指在结构的某些部位，由于受到集中力的作用而发生局部破坏的情况。
常见的局部稳定性问题包括柱件的稳定性和连接件的稳定性。
在设计中，需要采用合适的截面形状和尺寸，以及分析结构的受力情况，来保证结构的局部稳定性。
为了增强结构的稳定性，设计中常采用以下的措施：1.加强截面和支承。
增加截面的面积和惯性矩，或者加强支承的刚度和稳定性，可以有效提高结构的屈曲能力和局部稳定性。
2.选择高强度材料。
采用高强度的材料可以提高结构的整体强度和刚度，从而增强结构的稳定性。
但是需要注意，高强度材料可能会导致结构的塑性变形能力变差，从而导致结构的抗震性能变差。
3.加强连接件的刚度和稳定性。
连接件是结构中非常重要的组成部分，它们的刚度和稳定性将直接影响到整个结构的稳定性。
因此，在设计和制造连接件时，需采用合适的材料、加工工艺和检验方法，来确保连接件的质量和性能。
总之，在进行钢结构设计时，需要充分考虑稳定性问题，从而保证结构的安全性能和使用寿命。
同时，还应加强对于材料、构造和施工等方面的研究和监督，以便提高结构的质量和可靠性。
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2
通解
y c = A sin kx + B cos kx
⎛ ⎜ 1 ≈ yo ⎜ ⎜1− P ⎜ PE ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎤
y = yc + yp
记 5 ql 4 yo = 384 EI
2
,
y max
2x
⎡ ⎥ ql ql ⎢ 5 Pl 2 1 = + Py max = 1 + ⎢ ⎥ ≈ Mo 8 8 ⎢ ⎞ 1− P 48 EI ⎛ ⎜1 − P P ⎟ ⎥ PE ⎢ E ⎠⎥ ⎝ ⎣ ⎦ 1 + 0.234 P PE kl 1 M eq = M o = βmM o, = M eq sec = M eq , 2 1− P 1 + 0.234 P PE PE
无支撑的纯框架——有侧移框架
无支撑 有侧移 反对称 强支撑 无侧移 对称
有支撑框架
强支撑框架 S b ≥ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) —无侧移框架 弱支撑框架 Sb ≺ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) 介于无侧移和有侧移框架之间
弱支撑 不对称
∑N 、 ∑N
bi
0i
分别为按无侧移框架和有侧移框架计算长度计算得到的轴压承载力。
无侧移多层刚架（强支撑）
节点A、B的平衡方程：
MAB + MAG + MAC + MAD = 0⎫ * * ⎧θA⎫ ⎧0⎫ ⎬→ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ MBA + MBH + MBE + MBF = 0⎭ * * ⎩θB ⎭ ⎩0⎭
0 .6 4 k 1 k 2 + 1 .4 ( k 1 + k 2 ) + 3 , k1 = μ = 1 .2 8 k 1 k 2 + 2 ( k 1 + k 2 ) + 3
μ1 = ∞ μ2 = π
3
P cr = 2.884
EI h2
P cr = 2.719
μ1 = 4.138 μ2 = 2.069
EI h2
μ1 = μ2 =
π
1.166
= 2.694
无侧移情况：
P cr = 6.91
EI h2
Pcr = 9.87
EI h2
μ1 = 0.7 μ2 =∞
μ1 = ∞ μ 2 = 1.0
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α 2i M Is
α 2i =
1 ∑ N • Δu 1− ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定 * 无支撑的纯框架 采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用； 采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0 * 有支撑框架 门槛侧移刚度：
M eq =
PE M o = βm M o , 1 + 0.234 P PE
β m ≈ 1 − 0.2 P P
E
多个集中荷载时，取 β m ＝1.0
(四) GB50017关于框架计算的若干规定
1. 框架结构的内力分析
∑ H ⋅h 0.1 的框架宜采用二阶弹性分析，在每层柱顶附加假想水平力H ni
* 一阶弹性分析； * 对 ∑ N ⋅ Δu
2
M eq = M1
⎛ M 2 ⎞ − 2 ⎛ M 2 ⎞ cos kl + 1 ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ = βm M1 2 (1 − cos kl )
P = α PE
3.
Q = 0, q ≠ 0 时的构件最大弯矩
qx ( x − l ) y ''+ k y = , 2 EI 特解 y p = c1 x 2 + c2 x + c3
计算得到e*，回代入式进行整理后可得：
σ=
⎛ N ⎞ W ⎜1 − φ ⎟ N e ⎠ ⎝
≤ f
当柱子采用两个以上单元进行计算，并考虑Hni或杆身缺陷，可直接 按二阶最大内力验算强度（+挠度验算）来完成其稳定性计算。
（三）等效弯矩概念 1. 压弯构件的转角位移方程
记：k 2 =
MA + MB M P 2 x− A ， 平衡方程：y ''+ k y = EI EIl EI
（一）屈曲现象及分析理论 （二）计算长度概念 （三）等效弯矩概念 （四）GB50017关于框架计算的若干规定
（一）屈曲现象及分析理论
强支撑 对称失稳
无支撑 反对称失稳 一阶线性分析
弱支撑 不对称失稳
分枝型屈曲分析Æ弹性稳定问题 二阶弹性分析Æ弹性稳定问题
二阶弹塑性分析Æ弹塑性稳定问题
设计目的：外荷载≤PU。 设计方法： ①对各荷载组合进行二阶弹塑性分析,根据可靠度理论考虑抗 力分项系数。 ＃计算复杂，耗时，难以应用。 ＃抗力分项系数难以确定。 ②框架计算Æ一般构件计算Æ理想构件（理想内力+理想边界） ＃杆端内力 ⇐ 一阶线性分析＋等效弯矩系数 ＃构件长度 ⇐ 分枝型屈曲分析得出计算长度 理想构件＝等效弯矩＋计算长度 ＃计算设计简单易行 ＃通过考虑构件的抗力分项系数回避了结构整体的 抗力分项系数。
4. 结论和问题 第二类稳定问题必须采用二阶分析方法。 引入初始缺陷（规范通过假想力Hni考虑） + 二阶内力分析 + 验算截面强度（+挠度验算）。 现行规范方法通过计算长度系数概念避免了结构的二阶分析， 通过计算长度 + 一阶内力来进行框架柱和框架的稳定设计， 对无支撑框架也允许按计算长度系数为1 + 二阶内力进行稳 定设计。原因？——PΔ效应和Pδ效应。 当柱子仅采用一个单元进行计算 时，相当于未考虑Pδ效应及柱身缺 陷，所以应按Perry公式计算截面强 度，相当于取μ=1计算ϕ后进行构件 验算。
P cr =12.34
μ1 = 2.0 μ2 =1.0
EI h2
EI h2 μ1 = μ2 =1.0 P cr =19.74
＃与荷载分布有关； # 首先失稳柱子的计算长度取值合理。 其他不失稳柱子为该柱提供了0Æ∞的有利边界约束， 但其计算长度取值不合理（例如：P = 0,时μ＝∞ ）。
有侧移
无侧移
H ni =
a y Qi 250
0.2 +
1 ns
∑N ：所计算楼层轴力设计值之和 ∑H ：所计算楼层及以上各层水平力之和
Qi ：第i楼层总重力荷载设计值；ns：框架总层数，根号内数大于1时取1；αy：钢材强度影响系数。
——框架较柔，宜计算非线性效应，采用H考虑各类初始缺陷的影响 楼层处的侧向刚度：截面刚度+应力刚度 截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
2
当 M 2 = M 1时 , M max = M 1
2 (1 − cos kl ) kl ql = M sec = M sec 1 eq sin 2 kl 2 2
令M1 ≠ M 2时的M max = M max , 2 (1 − cos kl ) = M1 2 sin kl
2
M eq
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ sin 2 kl
＃有侧移: m1=2, m2=∞, (m1=2～∞, m2=1.814～2.694～∞) ＃无侧移: m1=0.7, m2=1.0,(m1=0.7～∞, m2=1～∞)
K=ib/ic 0.01
P2/P1 0.2 0.6 1.0
μ1
1.973
μ2
10.138
μ1’
2.300 3.078 3.739
μ2’
A
= M
m ax
0 ≤ kx ≤ π
2
时 , s i n k x为 正 ， c o s k x为 负 ⎞ cos kl + 1 ⎟ ⎠
M
M
B
m ax
B
⎞ + 2⎛M A ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ s in 2 k l
B
令 MB＝－M1，MA＝M2 MMAX 相等
M max = M 1
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ 2 sin kl
π 2 EI ⇒P , μ= cr = 2 ( μl )
Ib Ic lb lc
π
P ×l EI
=
π
kl
∑
A
∑
A
, k2 =
∑
B
Ib Ic
lb lc
∑
B
有侧移多层框架（无支撑）
节点A、B弯矩和AB柱水平剪力平衡：
7.5k1k2 + 4 ( k1 + k2 ) + 1.52 μ= 7.5k1k2 + k1 + k2
M max
y max ≈ y o
1 1− P
PE
Mo
1 = Ql 4
1 − 0.2 P
⎛ 1 − 0.2 P PE 1 = Pymax + Ql = M o ⎜ ⎜ 4 ⎜ 1− P P ⎝ E
⎞ 1 + 0.234 P PE kl ⎟ = M sec = M eq eq ⎟ 2 1− P ⎟ PE ⎠
（二）计算长度概念 1、基本概念
lo = μ l Pcr =
π 2 EI
lo2
π 2 EI = 2 (μl )
原则：实际构件和理想构件(计算长度+理想边界)的屈曲荷载相等。
lo =
π
2
EI
Pc r
2、存在问题 有侧移情况：
Pcr = 3
P cr = 2.47
EI h2
EI h2 = 1.814
通解
y c = A sin kx + B cos kx
⎛ ⎜ 1 ≈ yo ⎜ ⎜1− P ⎜ PE ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎤
y = yc + yp
记 5 ql 4 yo = 384 EI
2
,
y max
2x
⎡ ⎥ ql ql ⎢ 5 Pl 2 1 = + Py max = 1 + ⎢ ⎥ ≈ Mo 8 8 ⎢ ⎞ 1− P 48 EI ⎛ ⎜1 − P P ⎟ ⎥ PE ⎢ E ⎠⎥ ⎝ ⎣ ⎦ 1 + 0.234 P PE kl 1 M eq = M o = βmM o, = M eq sec = M eq , 2 1− P 1 + 0.234 P PE PE
无支撑的纯框架——有侧移框架
无支撑 有侧移 反对称 强支撑 无侧移 对称
有支撑框架
强支撑框架 S b ≥ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) —无侧移框架 弱支撑框架 Sb ≺ 3(1.2∑ N bi − ∑ N 0i ) 介于无侧移和有侧移框架之间
弱支撑 不对称
∑N 、 ∑N
bi
0i
分别为按无侧移框架和有侧移框架计算长度计算得到的轴压承载力。
无侧移多层刚架（强支撑）
节点A、B的平衡方程：
MAB + MAG + MAC + MAD = 0⎫ * * ⎧θA⎫ ⎧0⎫ ⎬→ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ MBA + MBH + MBE + MBF = 0⎭ * * ⎩θB ⎭ ⎩0⎭
0 .6 4 k 1 k 2 + 1 .4 ( k 1 + k 2 ) + 3 , k1 = μ = 1 .2 8 k 1 k 2 + 2 ( k 1 + k 2 ) + 3
μ1 = ∞ μ2 = π
3
P cr = 2.884
EI h2
P cr = 2.719
μ1 = 4.138 μ2 = 2.069
EI h2
μ1 = μ2 =
π
1.166
= 2.694
无侧移情况：
P cr = 6.91
EI h2
Pcr = 9.87
EI h2
μ1 = 0.7 μ2 =∞
μ1 = ∞ μ 2 = 1.0
* 无支撑的纯框架可采用近似方法计算二阶弹性杆端弯矩
M II = M Ib + α 2i M Is
α 2i =
1 ∑ N • Δu 1− ∑H •h
一阶分析得到MIb
一阶分析得到MIs
2. 柱子稳定设计规定 * 无支撑的纯框架 采用一阶内力分析时，计算长度 μ 按有侧移框架取用； 采用二阶内力分析时，计算长度 μ 取1.0 * 有支撑框架 门槛侧移刚度：
M eq =
PE M o = βm M o , 1 + 0.234 P PE
β m ≈ 1 − 0.2 P P
E
多个集中荷载时，取 β m ＝1.0
(四) GB50017关于框架计算的若干规定
1. 框架结构的内力分析
∑ H ⋅h 0.1 的框架宜采用二阶弹性分析，在每层柱顶附加假想水平力H ni
* 一阶弹性分析； * 对 ∑ N ⋅ Δu
2
M eq = M1
⎛ M 2 ⎞ − 2 ⎛ M 2 ⎞ cos kl + 1 ⎜ M ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ = βm M1 2 (1 − cos kl )
P = α PE
3.
Q = 0, q ≠ 0 时的构件最大弯矩
qx ( x − l ) y ''+ k y = , 2 EI 特解 y p = c1 x 2 + c2 x + c3
计算得到e*，回代入式进行整理后可得：
σ=
⎛ N ⎞ W ⎜1 − φ ⎟ N e ⎠ ⎝
≤ f
当柱子采用两个以上单元进行计算，并考虑Hni或杆身缺陷，可直接 按二阶最大内力验算强度（+挠度验算）来完成其稳定性计算。
（三）等效弯矩概念 1. 压弯构件的转角位移方程
记：k 2 =
MA + MB M P 2 x− A ， 平衡方程：y ''+ k y = EI EIl EI
（一）屈曲现象及分析理论 （二）计算长度概念 （三）等效弯矩概念 （四）GB50017关于框架计算的若干规定
（一）屈曲现象及分析理论
强支撑 对称失稳
无支撑 反对称失稳 一阶线性分析
弱支撑 不对称失稳
分枝型屈曲分析Æ弹性稳定问题 二阶弹性分析Æ弹性稳定问题
二阶弹塑性分析Æ弹塑性稳定问题
设计目的：外荷载≤PU。 设计方法： ①对各荷载组合进行二阶弹塑性分析,根据可靠度理论考虑抗 力分项系数。 ＃计算复杂，耗时，难以应用。 ＃抗力分项系数难以确定。 ②框架计算Æ一般构件计算Æ理想构件（理想内力+理想边界） ＃杆端内力 ⇐ 一阶线性分析＋等效弯矩系数 ＃构件长度 ⇐ 分枝型屈曲分析得出计算长度 理想构件＝等效弯矩＋计算长度 ＃计算设计简单易行 ＃通过考虑构件的抗力分项系数回避了结构整体的 抗力分项系数。
4. 结论和问题 第二类稳定问题必须采用二阶分析方法。 引入初始缺陷（规范通过假想力Hni考虑） + 二阶内力分析 + 验算截面强度（+挠度验算）。 现行规范方法通过计算长度系数概念避免了结构的二阶分析， 通过计算长度 + 一阶内力来进行框架柱和框架的稳定设计， 对无支撑框架也允许按计算长度系数为1 + 二阶内力进行稳 定设计。原因？——PΔ效应和Pδ效应。 当柱子仅采用一个单元进行计算 时，相当于未考虑Pδ效应及柱身缺 陷，所以应按Perry公式计算截面强 度，相当于取μ=1计算ϕ后进行构件 验算。
P cr =12.34
μ1 = 2.0 μ2 =1.0
EI h2
EI h2 μ1 = μ2 =1.0 P cr =19.74
＃与荷载分布有关； # 首先失稳柱子的计算长度取值合理。 其他不失稳柱子为该柱提供了0Æ∞的有利边界约束， 但其计算长度取值不合理（例如：P = 0,时μ＝∞ ）。
有侧移
无侧移
H ni =
a y Qi 250
0.2 +
1 ns
∑N ：所计算楼层轴力设计值之和 ∑H ：所计算楼层及以上各层水平力之和
Qi ：第i楼层总重力荷载设计值；ns：框架总层数，根号内数大于1时取1；αy：钢材强度影响系数。
——框架较柔，宜计算非线性效应，采用H考虑各类初始缺陷的影响 楼层处的侧向刚度：截面刚度+应力刚度 截面刚度：∑ H / Δu 应力刚度：∑ N / h （负值）
2
当 M 2 = M 1时 , M max = M 1
2 (1 − cos kl ) kl ql = M sec = M sec 1 eq sin 2 kl 2 2
令M1 ≠ M 2时的M max = M max , 2 (1 − cos kl ) = M1 2 sin kl
2
M eq
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ sin 2 kl
＃有侧移: m1=2, m2=∞, (m1=2～∞, m2=1.814～2.694～∞) ＃无侧移: m1=0.7, m2=1.0,(m1=0.7～∞, m2=1～∞)
K=ib/ic 0.01
P2/P1 0.2 0.6 1.0
μ1
1.973
μ2
10.138
μ1’
2.300 3.078 3.739
μ2’
A
= M
m ax
0 ≤ kx ≤ π
2
时 , s i n k x为 正 ， c o s k x为 负 ⎞ cos kl + 1 ⎟ ⎠
M
M
B
m ax
B
⎞ + 2⎛M A ⎟ ⎜ M ⎠ ⎝ s in 2 k l
B
令 MB＝－M1，MA＝M2 MMAX 相等
M max = M 1
⎛M ⎞ ⎛M ⎞ ⎜ 2 M ⎟ − 2 ⎜ 2 M ⎟ cos kl + 1 ⎝ ⎝ 1⎠ 1⎠ 2 sin kl
π 2 EI ⇒P , μ= cr = 2 ( μl )
Ib Ic lb lc
π
P ×l EI
=
π
kl
∑
A
∑
A
, k2 =
∑
B
Ib Ic
lb lc
∑
B
有侧移多层框架（无支撑）
节点A、B弯矩和AB柱水平剪力平衡：
7.5k1k2 + 4 ( k1 + k2 ) + 1.52 μ= 7.5k1k2 + k1 + k2
M max
y max ≈ y o
1 1− P
PE
Mo
1 = Ql 4
1 − 0.2 P
⎛ 1 − 0.2 P PE 1 = Pymax + Ql = M o ⎜ ⎜ 4 ⎜ 1− P P ⎝ E
⎞ 1 + 0.234 P PE kl ⎟ = M sec = M eq eq ⎟ 2 1− P ⎟ PE ⎠
（二）计算长度概念 1、基本概念
lo = μ l Pcr =
π 2 EI
lo2
π 2 EI = 2 (μl )
原则：实际构件和理想构件(计算长度+理想边界)的屈曲荷载相等。
lo =
π
2
EI
Pc r
2、存在问题 有侧移情况：
Pcr = 3
P cr = 2.47
EI h2
EI h2 = 1.814