如何证明比例线段
平行线分线段成比例证明方法
平行线分线段成比例证明方法平行线分线段成比例是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一种基于平行线分线段成比例的证明方法。
一、问题描述假设有一条直线上的线段AB，平行于这条直线的另外两条直线分别与线段AB相交于点C和D。
我们需要证明线段AC与线段CB的比例等于线段AD与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。
二、证明思路我们可以通过构造相似三角形来证明平行线分线段成比例的性质。
具体的证明方法如下：1. 过点C和D分别作线段AB的平行线，与直线上的另一条线段分别相交于点E和F。
2. 连接线段AE、AF、CF和CE，得到四边形AECF。
3. 由于平行线的性质，可以得知∠ACF = ∠CED，∠ACB = ∠CED。
4. 根据四边形内角和定理，四边形AECF的内角和为360度，因此∠ACF + ∠AFC + ∠CAF + ∠ACB = 360度。
5. 由于∠ACF = ∠ACB，可得∠AFC + ∠CAF = 180度。
6. 根据内角和为180度的三角形性质，可知三角形AFC和三角形CAF之间存在相似关系。
7. 由于相似三角形的对应边成比例，可以得知线段AC与线段CF 的比例等于线段AF与线段CA的比例，即AC/CF = AF/CA。
8. 同理，可以得知线段CB与线段CF的比例等于线段CE与线段CA的比例，即CB/CF = CE/CA。
9. 将上述两个等式相除，可得(AC/CF)/(CB/CF) = (AF/CA)/(CE/CA)，化简后得 AC/CB = AF/CE。
10. 由于线段AF与线段CE分别与线段AD和线段DB相等，可得AF/CE = AD/DB。
11. 综上所述，我们证明了线段AC与线段CB的比例等于线段AD 与线段DB的比例，即AC/CB = AD/DB。
三、实际应用平行线分线段成比例的性质在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，如果我们需要在一条直线上平分一段线段，可以通过构造平行线来实现这个目标。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
线段的分点公式与比例定理
线段的分点公式与比例定理线段是几何学中的基本概念之一，它在我们的日常生活中无处不在。
线段的长度可以通过测量得到，但是在某些情况下，我们需要知道线段上某个点的具体位置。
这就引出了线段的分点公式和比例定理。
一、线段的分点公式线段的分点公式是指在已知线段的两个端点的情况下，如何确定线段上任意一点的坐标。
设线段的两个端点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，现在我们要确定线段上一点P的坐标。
根据线段的定义，点P在线段AB上，那么点P的坐标可以表示为P(x, y)。
根据点的坐标计算公式，我们可以得到以下关系式：(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁)这就是线段的分点公式。
通过这个公式，我们可以根据已知的线段端点坐标，求出线段上任意一点的坐标。
二、比例定理比例定理是指在线段上的两个点与线段的两个端点之间的比例关系。
设线段的两个端点分别为A和B，线段上有两个点P和Q。
根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = AQ / QB这个关系式告诉我们，如果我们知道线段上两个点与线段的两个端点之间的比例关系，那么我们可以通过已知的线段端点长度计算出线段上任意两点之间的距离。
比例定理在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以用比例定理来解决三角形的相似性问题，或者用它来证明平行线间的性质。
三、应用举例为了更好地理解线段的分点公式和比例定理的应用，我们来看一个具体的例子。
假设有一条线段AB，已知A(2, 3)和B(6, 9)是线段的两个端点。
现在我们要求线段上一点P，使得AP : PB = 2 : 3。
根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = 2 / 3根据线段的分点公式，我们可以将点P的坐标表示为P(x, y)。
将已知的线段端点坐标代入线段的分点公式，我们可以得到以下方程组：(x - 2) / (6 - 2) = 2 / 3(y - 3) / (9 - 3) = 2 / 3通过求解这个方程组，我们可以得到点P的坐标为P(3, 5)。
4.1成比例线段
得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求 的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
比例线段的技巧
比例线段的技巧
1. 保持比例：在画比例线段时，需要按照相应的比例来划分线段长度，保持比例的准确性。
2. 等分法：将线段分成若干等分，可以较为精确地画出比例线段，特别是当比例为分数时，这一方法尤为有用。
3. 平行法：对于长度已知的线段，可以通过平移或镜像的方式来画出比例线段，这一方法尤其适用于比例为整数的情况，且易于精确计算。
4. 相似三角形法：在相似三角形中，相对边长的比例相等，可以通过构造相似三角形来画出比例线段。
5. 利用垂线：将线段延长，再画一条垂线将其分成两个线段，可得到两个相似三角形，从而得出比例线段。
6. 利用等角：在两条相交的直线上，如果两个角度相等，则两个相交线段的比例相等，可以利用这一特性来画出比例线段。
24.1比例线段及比例的基本性质
两条线段的比是它们的长度的比， 也就是两个数的比. 关于成比例的数具有下面的性质.
比例式是等式， 因而具有等式的各个性质， 此外还有一些特殊性质：
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比因为例a的：内b=c项：d乘，积即等于ab =外dc项， 乘积.
两边同乘以 bd，得 ad=bc； 上述性质反过来也对，就是
BE CF EA = FA
，
E
F
那么
AE AB =
AF AC
，
B
C
理由：
BE CF
EA = FA
AE+BE AE
=
AF+CF AF
AB AC AE = AF
AE AF AB = AC .
练习3—5：
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
理由：
B
A F C
BE CF
=
a b
.
练习3—5：
A
如图，已知
BE AB
=
CF AC
，
那么
AE AB =
AF AC
，
E
F
理由：
B
C
BE CF
AB = AC
AC CF AB = BE
AC AB
=
–CF –BE
AB–BE≠0
AC–CF AB–BE
=
AC AB
AF AC AE = AB
AF AE AC = AB
AC BC =
DF EF
，
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
初中数学重点梳理：比例线段
比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。
在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。
知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。
相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。
1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。
2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。
3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。
例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。
若MN=1，求11AB CD+的值。
G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。
比例线段知识要点
比例线段知识要点比例线段及平行截相似定理：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
三③平行的判定定理：如果一条直线截角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 平行截相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
基本图形有：ABCDEEDC B A“A ”型和“X ”型1、 比例线段：例1如图，一个矩形ABCD 截去一个边长与宽CD 相等的正方形后，所得矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比是（ ） A ．√5+1 B. √5−1 C. √5+12 D. √5−12例2 已知c a+b=b a+c=ab+c=k,且（a +b ）（b +c ）（a +c ）≠0，则k 的值是（ ）A.12B. 2C. -1或12 D. -1或2例3 已知a 、b 、c 满足a 3=b 4=c5≠0 .⑴求2a+b−cc的值； ⑵若a+3b-2c=10，求a 、b 、c 的值。
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如何证比例线段
在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少
了。
而如何证明比例线段是几何中的重要成分。
1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。
例如
如图所示,AB∥CD,证明∶。
证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴
2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比
是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，……
例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所
示，求证:。
证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点
∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线
∴,即
又∵H是BC的中点
∴DE＝HC ∴
3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这
点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。
4.利用面积比来证明比例线段∶
如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？
解:∵ S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶4
5. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,
那么,,。
6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。
7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC
的平分线，那么。
8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT ²＝PA·PB=PD·PC,即,,。
这就是切割线定理。
9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。
10. 利用线段的合比来证明比例线段∶如图所示，
,。
11. 利用计算来证明比例线段∶可以利用正弦定理或余弦定理或其它有关计算公式，分别计算两端的比，从而断定它们是否相等。
12. 利用梅涅劳斯（Menelaus）定理证比例线段∶
例：已知，直线l分别交△ABC的三边BC、CA和AB（或其延长线）
于点D、点E和点F，如图所示，求证。
证法一：∵EF∥CG ∴
又∵FD∥CG
∴△FBD∽△GBC
∴
故
∴
证法二：利用三角形面积
③
∴
13. 利用西瓦（Gera）准则证比例线段∶
如图所示，在△ABC中，设X、Y、Z依次在三边BC、CA、AB或其延长线上，则AX、BY和CZ共点或平行的充要条件是。
如何证线段比例有很多方法，我们应该根据实际问题来灵活运用。