证明比例线段练习题
浙教新版九年级上册《4.1 比例线段》2024年同步练习卷(6)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.1比例线段》2024年同步练习卷（6）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果线段a：：2，且线段b是线段a、c的比例中项，那么c：b等于()A.4：3B.3：2C.2：3D.3：42.已知P是线段AB的黄金分割点，且，那么的值为()A. B. C. D.3.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中，则a约为()A.B.C.D.4.已知如图，线段，，，，请问在D，E，F，三点中，哪一点最接近线段AB的黄金分割点()A.D点B.E点C.F点D.D点或F点5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金比例，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
6.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值即黄金分割值时，身体感到特别舒适，这个温度大致是______用整数填写7.如图，在五角星中，，且C、D两点都是AB的黄金分割点，，则BC的长是______.8.如图，点C在线段AB上，且，则的数值为______；如果AB的长度与舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在点______的位置最好.三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题8分已知线段，延长AB到C，使，M为AC的中点，判断线段AB是不是线段BM和BC的比例中项，并说明理由.10.本小题8分如图，已知线段AB，按照如下方法作图：经过点B作，使；连接AD，在DA上截取；在AB上截取，则点C为线段AB的黄金分割点.11.本小题8分已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.12.本小题8分下面我们做一次折叠活动：第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图中所示的AD处，折痕为根据以上的操作过程，完成下列问题：求CD的长；求证：四边形ABQD是菱形．答案和解析1.【答案】C【解析】解：线段b是a、c的比例中项，，：：c，：：2，：：2，：：故选：根据线段比例中项的概念，a：：c，再根据a：：2可得b：：2，即可求出答案．此题考查了比例线段，关键是根据比例中项的概念列出算式．注意线段不能是负数．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：是线段AB的黄金分割点，且，，，，故选：3.【答案】D【解析】解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，，为3米，约为米．故选：根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，因为图中b为2米，即可求出a的值．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．4.【答案】C【解析】解：线段，，，，，，，：：，AF：：，点F最接近线段AB的黄金分割点．故选：先计算出，，，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．5.【答案】B【解析】【分析】依据黄金分割和题意可得某人的咽喉至肚脐的长度，再根据黄金分割和题意，可得某人的肚脐至足底的长度，最后身高=头顶至咽喉的长度+咽喉至肚脐的长度+肚脐至足底的长度.本题主要考查了黄金分割，利用黄金比例进行计算是解决问题的关键．【解答】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm，则，解得，设某人的肚脐至足底的长度为ycm，则，解得，其身高可能是，故选：6.【答案】22【解析】解：根据黄金比的值得：故本题答案为：根据黄金比的值知，身体感到特别舒适的温度应为36度的倍．本题要熟记黄金比的值为7.【答案】【解析】解：、D两点都是AB的黄金分割点，，，，故答案为：利用黄金分割的定义得到，即可求解．本题考查了黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．8.【答案】C【解析】解：设，则，：：x，解得：，的数值为，点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；假设主持人应站在点C位置最好，即C点为黄金分割点，根据黄金分割的意义，根据AB，AC，BC的关系列出方程求得用AB表示AC即可．本题考查了相似三角形的应用，比例线段，黄金分割，正确的理解黄金分割是解题的关键．9.【答案】解：线段AB是线段BM和BC的比例中项，理由：，，，，为AC的中点，，，，，，，线段AB是线段BM和BC的比例中项．【解析】根据已知条件求得，，由M为AC的中点，得到，进一步得到，由于，，于是得到，即可得到结论．本题考查了线段上两点间距离，比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．10.【答案】解：如图所示：点C即为线段AB的黄金分割点．【解析】根据题意先作出AB的垂直平分线与AB的交点F，经过点B作，使，再连接AD，以D为圆心，DB长为半径，交DA于E，再以A为圆心，AE长为半径，交AB于C，则点C 为线段AB的黄金分割点．本题考查了作图-基本作图，黄金分割点的作法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本作图，逐步操作．11.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在中，依题意，得，，由勾股定理知，，；，，，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解析】根据黄金分割点的定义，只需证明即可．本题考查黄金分割的概念，勾股定理，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．12.【答案】解：，四边形MNCB是矩形，，矩形MNCB是正方形，，由折叠得：，中，由勾股定理得：，，；由折叠得：，，，，，，，，四边形ABQD是平行四边形，，平行四边形ABQD是菱形．【解析】先证明四边形MNCB为正方形，再利用折叠得：，，所以，可得结论；根据平行线的性质和折叠得：，由等角对等边得：，由一组对边平行且相等可得：四边形ABQD是平行四边形，再由，可得四边形ABQD是菱形．本题是四边形的综合题，难度适中，考查了菱形、正方形、平行四边形、矩形的判定和性质以及折叠的性质，并利用数形结合的思想解决问题．。
九年级上专题复习一：线段比例关系的证明和应用(含答案)
专题复习一 线段比例关系的证明和应用证明线段成比例，一般先根据比例式确定相似三角形，然后用相似三角形的性质得出线段成比例.若根据比例式不能确定相似三角形，则利用等量代换进行条件转化．1.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE∥BC，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论中，一定正确的是(A ).（第1题）（第2题）（第3题） （第4题）2.如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB∥DE，CF 为中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF 的长为(B ).3.如图所示，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，则下列结论中不一定成立的是(B ). A.PD PA =PB PC B.PA·PD=PB·PC C. PD PB =PAPCD.PA·PB=PC·PD 4.如图所示，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连结DF 并延长交AC 于点E.若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为(B ). A.2 B.3 C.4 D.55.如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=DC ，P 是AD 边上一点，连结PB ，PC ，且AB 2=AP·PD，则图中有 3 对相似三角形．（第5题）（第6题） （第7题）6.如图所示，在△ABC 中，AD 是角平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .7.如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 上一点，作D E⊥BC 于点E ，连结AE ，若BE=AC ，BD=25，DE+BC=10，则线段AE 的长为 42 ．8.如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AC AD =CGDF.（第8题）（1）求证：△ADF ∽△ACG. （2）若AC AD =21，求FGAF的值. 【答案】(1)∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C.又∵AC AD =CGDF，∴△ADF ∽△ACG. (2)∵△ADF ∽△ACG ，∴9.如图所示，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，D 是 的中点，BD 交AC 于点E ，连结AD ，CD ．（第9题）（1）求证：AD 2=DE·DB． （2）若BC=25，CD=25，求DE 的长． 【答案】(1)∵D 是AC 的中点，∴.∴∠ABD=∠DAC.又∠ADB=∠EDA，∴△ABD ∽△EAD.∴DE AD =ADDB .∴AD 2=DE·DB.(2)∵D 是的中点，∴AD=DC.∴DC 2=DE·DB.∵CB 是直径，∴△BCD 是直角三角形.∴BD=.∵DC 2=DE·DB，∴(25)2=5DE ，解得DE=45.10.如图所示，在Rt△ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式为(A ).A.b=a+cB.b=acC.b 2=a 2+c 2D.b=2a=2c（第10题） （第11题） （第12题）（第13题）11.如图所示，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC ，BD 交于点E ，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为(A ).12.如图所示，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA ，点A 在反比例函数y=2x 的图象上.若点B 在反比例函数y=xk的图象上，则k 的值为(D ). A.4 B.-4 C.8 D.-813.在四边形ADBC 中，∠ADB=∠ACB，CD 平分∠ACB 交AB 于点E ，且BE=CE.若BC=6，AC=4，则BD= 26 ．14.如图所示，已知CE 是Rt△ABC 斜边AB 上的高线，在EC 的延长线上任取一点P ，连结AP ，BG⊥AP 于点G ，交CE 于点D.求证：CE 2=PE·DE．（第14题） 【答案】∵∠ACB=90°，CE⊥AB ，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°.∴∠CAE=∠BCE.∴Rt△ACE ∽Rt△CBE.∴BE CE =CEAE .∴CE 2=AE·BE. ∵BG⊥AP，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°.∵∠GDP=∠EDB，∴∠P=∠DBE. ∴△AEP ∽△DEB.∴BE PE =DEAE .∴PE·DE=AE·BE.∴CE 2=PE·DE. 15.如图所示，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE=∠BAC. （1）求证：CD·AE=DE·BC.（2）以点A 为圆心、AB 长为半径画弧交边BC 于点F ，连结AF.求证：AF 2=CE·CA.（第15题）【答案】(1)∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACB.又∵∠ADE=∠BAC，∴△ADE ∽△CAB.∴ABDE=BCAE.∴AB·AE=DE·BC.∵AB=CD，∴CD·AE=DE·BC. (2)∵AD∥BC ，AB=CD ，∴∠ADC=∠DAB.∵∠ADE=∠BAC ，又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE ，∠DAB=∠BAC+∠CAD，∴∠CDE=∠CAD.又∠DCE=∠ACD,∴△CDE ∽△CAD.∴CA CD =CDCE.∴CD 2=CE·CA.由题意得AB=AF ，AB=CD ，∴AF=CD.∴AF 2=CE·CA.16.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE ，AD 交于点P.求证：（第16题）（1）D 是BC 的中点． （2）△BEC ∽△ADC ．（3）AB·CE=2DP·AD．【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴D 是BC 的中点. (2)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°.∴∠CEB=∠CDA=90°.∵∠C=∠C，∴△BEC ∽△ADC.(3)∵AB=AC，BD=CD ，∴∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBE,∴∠BAD=∠CBE.∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD ∽△BCE.∴.∵BC=2BD,∴AD AB =BEBD2.∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD ∽△BCE.∴.∴AB·CE=2DP·AD.17.如图1所示，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点D ，O 是AC 边上一点，连结BO 交AD 于点F ，OE⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ．（2）如图2所示，当O 为AC 的中点，AB AC =2时，求OEOF的值． （3）当O 为AC 的中点，AB AC =n 时，请直接写出OEOF的值．（第17题） （第17题答图）【答案】(1)∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°.∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠BAF=90°.∴∠BAF=∠C. ∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°.∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE.∴△ABF ∽△COE.(2)如答图所示，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH∥AB.∵△ABF ∽△COE,∴∠AFB=∠OEC. ∴∠AFO=∠HEO.∵∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO.∴△OEH ∽△OFA.∴OF ∶OE=OA ∶OH.∵O 为AC 的中点，OH∥AB，∴OH 为△ABC 的中位线.∴OH=21AB ，OA=OC=21AC.∵ABAC =2，∴OA ∶OH=2∶1.∴OF ∶OE=2∶1，即OEOF=2. (3)OEOF=n.（第18题）18.【株洲】如图所示，若△ABC 内一点P 满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P 为△ABC 的布洛卡点.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现的，但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF=90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ 等于(D ).A.5B.4C.3+2D.2+219.【鞍山】如图所示，△ACE ，△ACD 均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE 与CD 相交于点P ，以CD 为直径的⊙O 恰好经过点E ，并与AC ，AE 分别交于点B 和点F. （1）求证：∠ADF=∠EAC. （2）若PC=32PA ，PF=1，求AF 的长.（第19题） （第19题答图）【答案】(1)∵∠ADC=90°，∠ACE=90°，∴∠ADF+∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°. ∵∠FDC=∠CEF，∴∠ADF=∠EAC.(2)如答图所示，连结FC.∵CD 是圆O 的直径，∴∠DFC=90°.∴∠FDC+∠FCD=90°.∵∠ADF+∠FDC=90°，∠ADF=∠EAC ，∴∠FCD=∠EAC ，即∠FCP=∠CAP.又∠FPC=∠CPA，∴△FPC∽△CPA.∴20.（1）如图1所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，B D⊥AC 于点D.求证：AB 2=AD·AC． （2）如图2所示，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为BC 边上的点，BE⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，BC AB =DC BD =1，求DCBD的值． （3）在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），直线BE⊥AD 于点E ，交直线AC 于点F.若BC AB =DC BD =n ，请探究并直接写出DCBD的所有可能的值（用含n 的代数式表示），不必证明．（第20题） （第20题答图）【答案】(1)∵BD⊥AC ，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.∵∠A=∠A ，∴△ADB ∽△ABC.∴AC AB =ABAD .∴AB 2=AD·AC. (2)如答图所示，过C 作CG⊥AD 交AD 的延长线于点G.∵BE⊥AD，∴∠CGD=∠BED=90°，CG∥BF. ∵BC AB =DCBD=1，∴AB=BC=2BD=2DC，BD=DC.∵∠BDE=∠CDG，∴△BDE ≌△CDG.∴ED=GD=12EG. 由(1)可得：AB 2=AE·AD,BD 2=DE·AD，∴=4.∴AE=4DE.∴EG AE =DEDE24=2.∵CG∥BF，∴FC AF =EGAE=2. (3)D 为直线BC 上的动点（不与点B ，C 重合），有三种情况：①当点D 在线段BC 上时，FCAF =n 2+n. ②当点D 在线段BC 的延长线上时，FC AF =n 2-n.③当点D 在线段CB 的延长线上时，FCAF =n-n 2.。
比例线段证明线段相等
证明线段相等的方法很多， 那什么时候选择用比例线段 的方法比较合适呢？
1、题目条件中有平行线； 2、题目条件中有线段； 3、题目条件中能证明三角形相似。
具体情况具体分析，多做题多总结多对比。
学生练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，点E在边AB上，CE⊥DE，点F在 AE上，且∠ADF=∠EDC。 求证：AF=BE。
分析：要证ED=DF， 只要构建
ED DF ( a b) a b
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任意一点，过点D作EF∥BC，分别交 AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
证明：∵ED∥BM，∴ BM AM
ED
AD
DF
∵DF∥MC，∴ MC
AD AM
ED DF BM MC
思考：证明两条线段相等有哪些常用方法？
1、证明这两条线段所在三角形全等； 2、证明这两条线段所在三角形为等腰三角形； 3、找中间项等量代换； 4、证明特殊四边形； 5、求长度直接证明； 6、用比例线段证明。
比例线段证明两条线段相等
主讲：范平
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
求证：E为AD的中点
分析：要证明AE=ED， 只需构建
AE ED a a 或 a a AE ED
图形分解
例2：如图，正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE 求证：E为AD的中点
证明：∵EF⊥BE，∴∠BEF=90° ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠BEF=∠A ∵∠ABE=∠FBE，∴△ABE∽△EBF ∴
AB BE AE EF AB BE 再由△BAE∽EDF，得出 ED EF AB AB ∴ ∴AE=ED,E即为AD中点 AE ED
（完整版）平行线分线段成比例经典例题与变式练习（含标准答案..
1 / 14平行线分线段成比例知识梳理1. 1. 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD E EDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+.FEDCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111ABCDEF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论F EDCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例4】 （2007年北师大附中期末试卷）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EFAFFC FD + 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDCBA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试卷）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； E AO（2）当11A 34AE C=、时，求AO AD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AO AD 的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
求线段比的多种方法(含答案解析)
求线段的比的方法一、利用相似三角形求线段比例题1、 如图，在正三角形ABC 的边BC 、CA 上分别有点E 、F ，且满足BE=CF=a ,)(b a b FA EC >==,当BF 平分AE 时，则ba 的值为（225)(215)(225)(215)(++--D C B A在题目现有的条件中，很难找到等量关系.于是由线段比我们联想到相似三角形的相似比，能否构造相似三角形，利用相似比建立等量关系.那么让我们来添加辅助线.容易知道，题目中的点D 是线段AE 的中点.结合相似三角形的一些基本图形、基本知识，由中点自然想到三角形的中位线.于是过点D 作EC 的平行线交AC 于点M,此时DM 是AEC ∆的中位线.这时图中有两对相似三角形：FBC FDM AEC ADM ∆∆∆∆∽,∽，利用前一对相似三角形很容易得到b a b a a MC FC FM b EC DM 2121)(21,2121-=+-=-===,而在第二对相似三角形中，FCFMBC DM =，代入相关数据整理得到022=--b ab a ，解得215+=b a . 类似地，以AC 为第三边构造相似三角形的中位线：过D 作AC 的平行线交EC 于点M,同样出现两对相似三角形，思路同上.另一方面，也可以构造以线段DF 为中位线的三角形.方法：过点E 作EM//DF 交AC 于点M.这三种添加辅助线的方法共同点是：过某个点作某个线段的平行线，从而出现两对相似三角形，并且在某个三角形中含有中位线，具备特殊的数量关系.猜想：是不是只要过某个顶点作某条线段的平行线，都可以解决这个问题？ 考虑到做平行线后要出现两对相似三角形（全等是特殊的相似），而且能够充分利用题目条件表达出等量关系解决问题，经过筛选，最后得到如下作辅助线的方法（都是平行线）.方法说明：相对于前七种方法，方法八、九做起来更容易.因为通过构造全等三角形实现了已知长度的线段（ＡＦ或ＢＥ）的转移，而这条线段正好出现在相似三角形中，这就为表示相似比提供了方便.总结：这九种方法实质上是体现了下面的基本图形、基本数量关系.如图１，三角形ABC，点D是射线BA上的一个动点，过点D作DE//BC交射线CA于点E,则有：（1）,∽ABCADE∆∆即BCEDACAEABAD==；（2）特殊地，若点D是AB的中点，则点E是AC的中点，即DE是三角形ABC 的中位线，此时有AD=DB,AE=EC,BC=2DE.（3）若点D在线段BA的延长线上，并且有DA=AB,此时ADEABC∆≅∆.基本图1二、面积法解：（面积法）如图，连接CD.EBDABDSSDEAD∆∆=∴=,abSSSSabFCAFCDFADFBCFABF==∴=∆∆∆∆,由等比性质可得a b S S S S CDF BCF ADF ABF =--∆∆∆∆， 即abS S BCD ABD =∆∆ （1）又b a a S S BCD BDE +=∆∆即.ba a S S BCD ABD +=∆∆ （2） 由（1）（2）可得：整理得：022=--b ab a 结合b a > 解得215+=b a 总结：这种面积法所包含的基本图形、基本数量如下.如图基本图2，三角形ABC ，点D 是BC 边上的一个动点，设BD=b,CD=c.基本图2 则（1）cbS S ACD ABD =∆∆ （2）特殊地，当点D 是BC 的中点时，有ACD ABD S S ∆∆=.练习题：一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则为（ ）A ． 1：5B ． 1：4C ． 1：3D ． 1：22．如图，已知△ABC ，，，AD 、BE 交于F ，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．ba aa b +=AB3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=_________．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于_________．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=_________；若，则=_________．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为_________．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是_________，的值是_________，从而确定的值是_________．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是_________．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是_________．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=_________时，O为AF中点．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=_________；若DC=nDF，则=_________（用含n的式子表示）．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：_________；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．20．2012.惠安县如图，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q，（1）若，求的值．（2）若P为BC边上的任意一点，求证：．21．（2013•浦东新区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G，如果．求的值．22．如图，矩形ABCD中，AD=nAB，E是AB的中点，BF⊥EC于F，连接FD，FG⊥FD 交直线BC于点G．（1）求证：△FBG∽△FCD；（2）当n=1时，求CG：BC的值；（3）当CG：BC=7：8时，求n的值．23．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F（1）求证：．（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．24．（2010•武昌区模拟）已知如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC边上一点，DE⊥AC于E，连BE交AD与F．（1）如果，求的值；（2）如果，求的值；（3）如果，直接写出的值．25．△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的动点，BD=mCD，AE=nEC，AD与BE相交于点O．（1）如图1，当m=2，n=1时，=_________，=_________；（2）当m=1.5时，求证：；（3）如图2，若CO的延长线交AGB于点F，当m、n之间满足关系式_________时，AF=2BF．（直接填写结果，不要求证明）26．如图1，D是△ABC的边BC上一点，AH⊥BC于H，S△ABD=BD•AH，S△ADC=DC•AH，则，因此，利用三角形的面积比可以来表示两条线段的比，甚至用三角形面积的比来证明与线段比有关的命题．请解决下列问题：已知：如图2，直线l与△ABC的边AB、AC交于D、F，与BC的延长线交于E，连接BF、AE．（1）求证：；（2）求证：••=1．27．已知，如图1，直角梯形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=nAD，AE⊥BD于点E，过E作CE的垂线交直线AB于点F．（1）当n=4时，则=_________，=_________；（2）当n=2时，求证：BF=AF；（3）如图2，F点在AB的延长线上，当n=_________时，B为AF的中点；如图3，将图形1中的线段AD沿AB翻折，其它条件不变，此时F点在AB的反向延长线上，当n= _________时，A为BF的中点．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上一动点，BD=nCD，CE⊥AD 于F，交AB于E．（1）若n=1，则=_________．=_________．（2）若n=2，求的值．（3）当n=_________时，=．29．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE=CA，连接AE，过点C 作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．（1）求证：△FBC≌△FAD；（2）连接BD，若，且AC=10，求FC的值．30．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠BCD=60°，AD=CD．（1）如图1，连接AC，求证：AC是∠BCD的角平分线；（2）线段BC上一点E，将△ABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与线段CD交于点M．①如图2，当点M与点D重合时，求证：FM=AB；②如图3，当点M不与点D重合时，求证：FM﹣DM=AB．参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．2．如图，已知△ABC，，，AD、BE交于F，则的值是（）A．B．C．D．考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．分析：先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AC交BE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出和的值，相乘即可．解答：解：作EG∥BC交AD于G，∵，，∴=，∴=，∴=，∴=．作DH∥AC交BE于H，则DH=CE=AE，∴==，∴=×=．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，解题时要注意比例式的变形．3．如图，△ABC中，E、D是BC边上的三等分点，F是AC的中点，BF交AD、AE于G、F，则BG：GH：HF等于（）A．1：2：3 B．3：5：2 C．5：3：2 D．5：3：1考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理．分析：作FM∥BC交AE于点M，则根据△BEH∽△FMH，利用BF表示出HF的长度，作DN∥AC交BF于点N，则△BDN∽△BCF且△DNG∽△AFG，依据△BDN∽△BCF 可以用BF表示出BN的长，然后依据△DNG∽△AFG表示出NG的长，则BG，GM，HF都可以利用BF表示出来，则比值即可求解．解答：解：设BC=6a，则BD=DE=EC=2a，作FM∥BC交AE于点M，∵F是AC的中点，∴MF=EC=a，∵FM∥BC，∴△BEH∽△FMH，∴===，则HF=BF，作DN∥AC交BF于点N，设AC=2b，则AF=CF=b，∴△BDN∽△BCF，∴====，∴DN=CF=b，BN=BF，∵DN∥AC，∴△DNG∽△AFG，∴===，∴NG=GF，即NG=NF=（BF﹣BN）=（BF﹣BF）=BF，∴BG=GF+GF=BF，∴GM=BF﹣BG﹣HF=BF﹣BF﹣BF=BF，∴BG：GH：HF=BF：BF：BF=5：3：2．故选C．点评：本题考查了三角形的形似的判定与性质，正确利用相似三角形的性质，利用BF把BG，GM，HF表示出来是关键．二．填空题（共4小题）4．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，连结BE并延长，与边AC相交于点F，且，则=．考点：平行线分线段成比例．分析：先过D作DG∥AC，根据已知得出=，再设EG=x，则EF=2x，GF=3x，再根据=，求出BG和BE的值，即可得出的值．解答：解：过D作DG∥AC交BF于G，∵，∴=，设EG=x，则EF=2x，GF=3x，∵=，∴=，∴BG=1.5x，∴BE=2.5x，∴==；故答案为：．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出辅助线，表示出BE，EF的长．5．已知点D，E，F分别在△ABC的三边BC，CA，AB上，G为BE与CF的交点，并且BD=DC=CA=AF，AE=EC=BF，那么的值等于．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：过E作AB的平行线交CF于M点，则EM是△AFC的中位线，M是中点，利用AAS 求证△BFG≌△EMG然后得EM=BF，所以BG=GE，G是BE的中点，而D是BC 的中点，所以DG是△BEC的中位线，然后即可得出答案．解答：解：过E作AB的平行线交CF于M点，∴EM是△AFC的中位线，M是中点，∴EM=AF=BF，∴△BFG≌△ENG，∴BG=GE，即G是BE的中点，又∵BD=DC，∴DG是△BEC的中位线，∴DG=CE=BD=BC．故答案为：点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质的理解和掌握，解得此题的关键是作“过E作AB的平行线交CF于M点”这一辅助线，然后求证出DG是△BEC的中位线，这是此题的突破点．6．如图，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若，则=1：6；若，则=1：2n．考点：平行线分线段成比例．专题：应用题．分析：可过点D作GD∥EC交AB于G，由中位线定理可得BG=GE，进而可得AE与BE 的比值，当其比值为时，亦可得出结论．解答：解：过点D作GD∥EC交AB于G，∵点D是BC的中点，∴==1，即BG=GE，又∵GD∥EC，∴==，∴=．同理，当，则=．故答案为：，．点评：本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题．7．（2011•浙江模拟）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使B与D重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为4：3．考点：直角梯形；旋转的性质．专题：证明题．分析：由旋转的性质易得△BEC≌△DFC，可得∠EBC=∠FDC，CE=CF=3，在直角三角形BEC中即可求得BE=4；已知∠BCD=90°，由∠EBC+∠ECB=90°，且∠BCE+∠ECM=90°，即可得∠EBC=∠ECM，则∠ECM=∠FDC；则可证得△CME∽△DMF即可得DM：MC=DF：CE即可得解．解答：解：连接DF，∵△BEC绕C点旋转90°使B与DC重合，得到△DCF，∴△BEC≌△DFC，∴∠EBC=∠FDC①，BE=DF，CE=CF=3，在直角三角形BEC中，BE==4；已知∠BCD=90°，∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∠BCE+∠ECM=90°，∴∠EBC=∠ECM②，∴由①②得∠ECM=∠FDC；又∵∠CME=∠DMF，∴△CME∽△DMF，∴DM：MC=DF：CE=4：3．故答案为：4：3．点评：本题考查了旋转的性质，直角梯形的性质，相似三角形的判定及性质等知识点，是一道综合性的中档题．三．解答题（共23小题）8．（2009•沈阳模拟）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F．（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论（不需证明）；（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）作辅助线：连接AD，利用等腰三角形中的三线合一，即可证得AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，又由同角的余角相等，证得∠5=∠4，则可得△BDE≌△ADF，则AF=BE；（2）由（1）可得AF=BE，AE=CF，又由勾股定理，易得EF2=BE2+FC2；（3）可证得有两角对应相等，所以可得△BDE∽△ADF，利用三角函数即可求得比值．解答：（1）结论：AF=BE．证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴AD=BD=DC=BC，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠B=∠C=∠1=∠2=45°．∴∠3+∠5=90°．∵∠3+∠4=90°，∴∠5=∠4，∵BD=AD，∴△BDE≌△ADF．∴BE=AF．（2）根据（1）可得BE=AF，所以AB﹣BE=AC﹣AF，即AE=FC，∵∠BAC=90°，∴EF2=AF2+AE2，∴EF2=BE2+FC2．（3）（1）中的结论BE=AF不成立∵∠B=30°，AD⊥BC于点D，∠BAC=90°，∴∠3+∠5=90°，∠B+∠1=90°．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°∴∠B=∠2，∠5=∠4．∴△BDE∽△ADF．∴．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．此题图形变化很多，而且图形复杂，属于中等难度的题目，解题时要注意数形结合思想的应用．9．（2013•阜宁县一模）在数学学习和研究中经常需要总结运用数学思想方法．如类比、转化、从特殊到一般等思想方法，如下是一个案例，请补充完整．题目：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探究在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求的值是3，的值是2，从而确定的值是．（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若（m＞0），则的值是．（用含m的代数式表示），写出解答过程．（3）拓展迁移如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于F，若，（a＞0，b＞0），则的值是ab．（用含a、b的代数式表示）写出解答过程．考点：相似形综合题．分析：（1）过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）先作EH∥AB交BG于点H，得出△EFH∽△AFB，即可得出==m，再根据AB=CD，表示出CD，根据平行线的性质得出△BEH∽△BCG，即可表示出=，从而得出的值；（3）先过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，得出EH∥AB∥CD，根据EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根据，得出AB=aCD=abEH，再进一步证出△ABF∽△EHF，从而得出的值．解答：解：（1）过点E作EH∥AB交BG于点H，则有△ABF∽△HEF，∴=，∴AB=3EH．∵平行四边形ABCD中，EH∥AB，∴EH∥CD，又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH，∴===．故答案为：3，2，．（2）作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB，∴==m，∴AB=mEH．∵AB=CD，∴CD=mEH．∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．∴==2，∴CG=2EH．∴==．故答案为：．（3）过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD，∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，∴==b，∴CD=bEH．又=a，∴AB=aCD=abEH．∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，∴===ab；故答案为：ab．点评：此题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似形的判定与性质、平行四边形的性质、中位线的性质，解题的关键是根据题意画出图形，再根据有关性质和定理求出各线段的比值．10．（2011•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：（1）的值；（2）的值．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）根据平行线分线段成比例即可求出的值；（2）根据平行线分线段成比例求出AF=3cm，从而求出的值．解答：解：（1）∵DE∥BC，∴=，∵AD=2cm，AB=8cm，∴=；（2）∵EF∥DC，∴==，解得AF=3cm，∴=．点评：考查了平行线分线段成比例，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．（1）求证：；（2）若，求的值．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；（2）根据已知和三角形面积公式得出，，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出，即可求出．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC，∴=．（2）解：∵，∴，∴，∵△FBD∽△FDC，∴，∴=．点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，注意：相似数据线的面积比等于相似比的平方，题目比较好，有一定的难度．12．已知△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且，CD交BE于O，连AO 并延长交BC于F．（1）当时，求的值；（2）当n=1时，求证：BF=CF；（3）当n=时，O为AF中点．考点：平行线分线段成比例．分析：（1）连接DE交AF于K，根据平行线分线段成比例定理，即可证得DE∥BC，继而可得，，根据比例的性质，即可求得的值；（2）由n=1时，AD=BD，AE=CE，可得O是△ABC的重心，继而可得BF=CF；（3）根据（1）的证明方法，即可求得答案．解答：解：（1）连接DE交AF于K，∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1；（2）∵n=1时，AD=BD，AE=CE，∴O是△ABC的重心，∴AF是△ABC的中线，∴BF=CF；（3）∵，∴DE∥BC，∴，，∴设OK=a，则OF=3a，∴KF=4a，∴AK=2a，∴OA=AK+OK=3a，∴=1，∴当n=时，O为AF中点．故答案为：．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用与辅助线的作法．13．（2011•门头沟区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点F．若DC=2DF，则=；若DC=nDF，则=（用含n的式子表示）．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：综合题；探究型．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF 即可；可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到的值；（2）方法同（1）．解答：解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=2DF，∴CF=x，DC=AB=BG=2x，∴BF=BG+GF=3x；在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2∴y=2 x，∴；（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y∵DC=n•DF，∴BF=BG+GF=（n+1）x在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n﹣1）x]2=[（n+1）x]2∴y=2x，∴．故答案为：；．点评：此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．14．在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且，过E作EF∥AB交AC的延长线于F．（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF=AB；（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：AF+EF=2AB；（3）如图3，当时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系（含k），并证明你的结论．考点：相似形综合题．分析：（1）延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD，再根据∠BDA=∠EDG，BD=ED，证出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因为∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，即可证出AF+EF=AB；（2）当k=2时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；（3）当时，同（1）可得△ABD∽△GED，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．解答：（1）证明：如图1，延长AD、EF交于点G，当k=1时，DE=BD∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，在△ABD与△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB=GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=AB；（2）解：如图2，延长AD、EF交于点G，当k=2时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==2，即GE=2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=2AB；（3）猜想：AE+EF=kAB．证明：如图3，延长AD、EF交于点G，当=k时，∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，又∵∠BDA=∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴==k，即GE=kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠FGD=∠DAC，∴AF=GF，∴AF+EF=kAB．点评：本题考查的是相似三角形综合题，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形，再根据相似三角形的性质求解是解答此题的关键．15．（1）如图1，ABCD是一个正方形花园，要在边AD、DC的E、H处开两个门，且DE=CH，要修建两条小路BE、AF．那么这两条小路长度和位置各有什么关系？并证明你的结论；（2）如图2，在（1）的图形中，如果要在正方形四边E、H、F、G处各开一个门，并用小路EF、HG连接起来，如果EF⊥GH，求的值；（3）把（2）中的正方形改为矩形，如图3，AB=a，AD=b，其它条件不变，求的值．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）关键正方形的性质就可以求出AE=DH，进而可以得出△ABE≌△DAH，再由全等三角形的性质就可以得出结论；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN≌△GHM，就可以得出EF=GH，从而得出结论；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，根据正方形的性质得出△EFN∽△GHM，就可以得出，从而得出结论；解答：解：（1）BE=AH，BE⊥AH理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠D=90°．∵DE=CH，∴AD﹣DE=CD﹣CH，即AE=DH．∵在△ABE和△DAH中，∴△ABE≌△DAH（SAS），∴∠AEB=∠AHD．BE=AH，∵∠DAH+∠AHD=90°，∴∠DAH+∠AEB=90°．∴∠AFE=90°∴AH⊥BE．∴BE、AH这两条小路长度和位置分别是BE=AH，BE⊥AH；（2）如图2，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∴GM=EN．在△ENF和△GMH中，，∴△ENF≌△GMH，∴EF=GH，∴=1；（3）如图3，作EN⊥BC于N，交GH于点Q，GM⊥CD于M，∴∠GMH=∠ENF=90°，AD=GM，EN=CD∴∠EFN+∠NEF=90°，∠MHG+∠HGM=90°．∵EF⊥GH，∴∠EQH=90°．∴∠EPQ+∠PEQ=90°，∠MGQ+∠EPG=90°，∴∠PEQ=∠MGQ．∴△ENF∽△GMH，∴．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵EN⊥BC，GM⊥CD，∴EN=AB=a，GM=AD=b，∴．点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，本题是一道由特殊到一般的试题，利用相似三角形的性质是关键．16．如图，▱ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取2AF=FD，EF交AC于G，求的值．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：延长FE交CB的延长线于H，如图所示，则再由线段成比例即可证明结论．解答：解：如图所示，延长FE交CB的延长线于H，在△AEF和△BEH中∴△AEF≌△BEH（ASA），∴AF=BH，∵AD∥BC，∴=，又∵2AF=FD，∴=，∴==．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及线段的比例问题，应能够熟练掌握．17．如图，F是平行四边形ABCD的边AD上一点，CF交BA的延长线于点E，若，AB=4，求AE的长．考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．专题：几何综合题．分析：根据已知条件，要求AE的长，结合平行四边形的性质，只需求得AE：CD的值，根据平行线分线段成比例定理，可得AE：CD=AF：DF，从而进行计算．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD∴又∵，AB=4∴∴．点评：此题综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．18．如图，正方形ABCD，P为BC边上一点，以AP为斜边在正方形ABCD内作等腰Rt△APQ，连接AC交PQ于点E，连接DQ．（1）求证：△ACP∽△ADQ；（2）当P为BC的中点时，求的值；（3）在（2）的条件下，求证：EQ=DQ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：证明题．分析：（1）根据正方形的性质得∠DAQ+∠QAE=45°，=；根据等腰直角三角形的性质得∠PAC+∠QAE=45°，=，所以∠PAC=∠QAD，=，于是可判断△ACP∽△ADQ；（2）设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，AP=a，AC=2a，由∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP得到△APE∽△ACP，利用相似比可计算出=；（3）由（2）的结论得PE=a，而PQ=AP=a，则EQ=PQ﹣PE=a，再利用（1）的结论得到=，可计算得到DQ=a，然后求EQ与DQ的比值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠DAC=45°，即∠DAQ+∠QAE=45°，=，∵△APQ为等腰直角三角形，∴∠QAP=45°，即∠PAC+∠QAE=45°，=，∴∠PAC=∠QAD，=，∴△ACP∽△ADQ；（2）解：设正方形ABCD的边长为2a，则PB=PC=a，∴AP===a，AC=2a，∵∠APE=∠ACP=45°，∠PAE=∠CAP，∴△APE∽△ACP，∴===；（3）证明：∵PC=a，=，∴PE=a，∵PQ=AP=a，∴EQ=PQ﹣PE=a，又∵△ACP∽△ADQ，∴=，即=，∴DQ=a，∴==，∴EQ=DQ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．19．如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．（1）求证：△ABP∽△PCF；（2）当的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；（2）当=，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=，FC=，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=x，PG=x+x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，∴∠PAB+∠APB=90°．∵∠APE=90°，∴∠EPC+∠APB=90°．∴∠PAB=∠EPC．∴△ABP∽△PCF．（2）。
成比例线段练习题及答案
成比例线段练习题及答案一、选择题1. 若线段AB与线段CD成比例，且AB=10cm，CD=8cm，则线段AB与线段CD的比例系数为：A. 0.8B. 1.25C. 1.5D. 2.52. 在比例线段中，若a:b = c:d，且a=6cm，b=3cm，c=4cm，则d的值是：A. 2cmB. 6cmC. 8cmD. 12cm3. 若线段EF与线段GH成比例，且EF=15cm，GH=20cm，求EF:GH的比例系数：A. 0.75B. 3/4C. 4/5D. 5/4二、填空题4. 若线段XY与线段PQ的比例系数为2，且XY=4cm，则PQ的长度是______。
5. 在比例线段中，若x:y = 3:5，且x=9cm，则y的长度是______。
6. 若线段MN与线段RS的比例系数为4/3，且RS=12cm，则MN的长度是______。
三、解答题7. 已知线段AB与线段CD的比例系数为3/2，求证线段AB与线段CD的乘积等于线段AB的平方。
8. 若线段EF与线段GH的比值为4:7，线段EF的长度为16cm，求线段GH的长度。
9. 线段IJ与线段KL成比例，比例系数为5/6，若线段IJ的长度为20cm，求线段KL的长度。
四、证明题10. 已知线段MN与线段OP成比例，比例系数为k，求证线段MN与线段OP的长度之和等于线段MN的长度加上k倍的线段OP的长度。
五、应用题11. 在一个矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，若将矩形ABCD按比例放大，使得AB变为12cm，求放大后的矩形的对角线AC的长度。
12. 某工厂生产零件，原设计零件长度为10cm，现需按比例缩小至5cm，求缩小后零件的面积与原零件面积的比例。
六、综合题13. 在三角形ABC中，AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，若三角形DEF与三角形ABC相似，且DE=10cm，求三角形DEF的边长DF和EF。
14. 已知线段GH与线段IJ的比例系数为3，若线段GH的长度为9cm，求线段IJ的长度，并计算线段GH与线段IJ的面积比。
比例线段黄金分割习题
⽐例线段黄⾦分割习题例1．下列各组中的四条线段成⽐例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满⾜ab =cd ，把它改写成⽐例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四⽐例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式⼀定成⽴的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.c d b a =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式⼦中正确的是（） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例7.在⽐例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______ 例8.在⼀张地图上，甲、⼄两地的图上距离是3 cm,⽽两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的⽐例尺为________.例9．（1）已知ba ab b a x +=+=+=222，求x 的值（2）已知524232xz z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值例10.已知点M 将线段AB 黄⾦分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄⾦分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ?=2，A CDB求：ACCD的值【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列⽐例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b =2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-yx x D 、5=-x y y3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:8 4．若3:2:1::=c b a ，则cb a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-35．已知875cb a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11 B 、12 C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A 、5B 、-5C 、20D 、-20 7．若43xx =，则x 等于（） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32± 8．已知AB=1，)15(2 1-=AC ，且BC AB AC ?=2，则BC 的长为（） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄⾦分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A 、2B 、15+C 、2或15+D 、以上都不对 10．已知572zy x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的⼤⼩顺序为（） A 、A>B>C B 、AA>B D 、A35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填⼀个数，可写成⼀个⽐例式，这个数是 16．把长为5的线段进⾏黄⾦分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c . 19. 若54,23,43===d c c b b a ，则22db ac+等于多少？20. 已知xbc a x a c b x c b a =+=+=+,,，求x 的值1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的⽐例中项x=___________。
七年级数学上成比例线段练习题
七年级数学上成比例线段练习题
题目1
已知线段AB = 3cm，CD = 4cm，且AB与CD成比例，求线段AB的比例系数。
解题思路1
由题可知，线段AB与CD成比例，设比例系数为k，则有AB = k * CD，代入AB和CD的长度，得到3 = k * 4，解得k = 0.75，所以线段AB的比例系数为0.75。
题目2
在平面直角坐标系中，已知A(-3,4)、B(x,2)，若线段AB与x 轴正半轴成比例，求x的值。
解题思路2
由题可知，线段AB与x轴正半轴成比例，所以线段AB的比例系数等于x轴正半轴上的点到点B的距离与点A到点B的距离之比。
设线段AB的比例系数为k，则有AB = kx，AE = kx，DE = 2 - kx，由勾股定理可得：$AB^2$ = $AE^2$ + $DE^2$，即
($kx$)$^2$ = ($kx$)$^2$ + (2 - $kx$)$^2$，简化得到3$kx^2$ - 4kx + 4 = 0，解得x = 2/3或2，由于点B在第二象限，所以x = 2/3。
题目3
已知线段AB = 6cm，DE = 15cm，且线段AB与DE成比例，求线段DE的长度。
解题思路3
由题可知，线段AB与DE成比例，设比例系数为k，则有AB = k * DE，代入AB和DE的长度，得到6 = k * 15，解得k = 0.4，所以线段DE的长度为15 * 0.4 = 6cm。
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如图，在□ABCD中，过B做直线交AC于F，交DC于G，交AD的延长线于E.试说明：BF2＝FE•FG.
如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.
如图，点C、D在线段AB上，且ΔPCD是等边三角形.
(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，ΔACP∽ΔPCB；
(2)当ΔPCB∽ΔACP时，试求∠APB的度数.
如下图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线，交BC延长线于E.求证：DE2=BE·CE.
已知:如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.
求证:AB·BC=AC·CD.
F G
E
D
C
B
A
如图，点C 、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时，△ACP ∽△PDB ．
（2）当△PDB ∽△ACP 时，试求∠APB 的度数．
如图，已知在△ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BE BD BC BA ⋅=⋅．
（1）求证：△ABD ∽△EBC ； （2）求证：DE BD AD ⋅=2．
如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D
是AB 上
一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
E
D
A
B
F
B
A
C D B
A
C
D (备用图)。