比例线段证明线段相等
比例的性质在证明线段相等中的应用
比例的性质在证明线段相等中的应用作者：张俊忠来源：《中学课程辅导·教师通讯》2019年第22期【内容摘要】证明线段相等是初中几何常见的问题，利用比例的性质是解决此类问题的一种方法。
通过比例的性质证明线段相等常常要利用平行线分线段成比例定理、三角形相似找过渡比，然后证明线段相等。
【关键词】比例的性质平行线的性质相似三角形在初中几何的学习中，涉及到证明线段相等的问题是很多的。
当然证明线段相等有许多方法，本文重点论述怎样利用比例的性质去证明线段相等。
实际上利用比例的性质证明两条线段相等，主要分两种情况。
现在设a、b、c、d表示四条线段：（1）要证明线段a=b，如果ac=bc ，那么就有a=b;（2）要证明线段a=b，如果ac=bd，且c=d，那么就有a=b。
对于第一种情况，关键是要找线段c;对于第二种情况，关键是找相等的线段c和d。
下面举例说明。
例1：如图1，在梯形ABCD中， AB∥CD，对角线AC、BD交于O，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F，求证：OE=OF.分析：要证明OE=OF，怎样找线段c，使得OEc=OFc呢？显然在此题中，c既可以取AB，也可以取CD。
利用平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，就可以解决此问题。
证明：在ΔDAB与ΔCAB中∵EF∥AB∴OEAB=DEDA，OFAB=CFCB∵CD∥AB∥EF;∴DEDA=CFCB∴OEAB=OFAB∴OE=OF此题结论可以推广：如图2，在梯形ABCD中，; AB∥CD，E为AD上一点，过E作EF∥AB; 分别交AC、BD、BC于G、H、F，求证：EG=FH.例2：如图3，在RtΔABC 中，∠C=90°，在BC上任取一点D，连接AD，以BA为边向外作∠BAE=∠CAD，过点B作AB的垂线交AE于点E。
再过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，求证：CD=BF.分析：例1是根据平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，找出了成比例的线段。
比例线段及有关定理
射影定理
总结词
射影定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。
详细描述
射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中斜边与两直角边之间的关系。具体来说 ，在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和减去两直角边的乘积。这个定理在解决实际问 题中具有广泛的应用，如测量、建筑等领域。
03
比例线段的计算方法
利用平行线分线段成比例定理计算平行线分线段成比例定理如果一组平行线被一组横截线所截，那么这些截线段之比是相等的。
应用
通过已知的比例线段，利用平行线分线段成比例定理，可以计算出其他相关的 比例线段长度。
利用相似三角形的性质和判定定理计算
相似三角形的性质
两个三角形对应角相等， 则这两个三角形相似。相 似三角形对应边之比为相 似比。
成比例的线段具有传递性，即如果a:b:c:d且b:c:d:e，则必有 a:b:c:e。
比例线段的性质
01
02
03
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的长度之比 是常数，即|a/b|=|c/d|。
比例线段的性质
如果线段a、b、c、d成比 例，那么它们的面积之比 是常数的平方，即 |a×d/b×c|=1。
判定定理
如果两个三角形两组对应 角相等，则这两个三角形 相似。
应用
通过已知的比例线段，利 用相似三角形的性质和判 定定理，可以计算出其他 相关的比例线段长度。
利用射影定理计算
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高将直角三角形分为两个小三角形，这两个小三角形 是相似的，且它们的边长之比等于原三角形的边长之比。
利用面积关系计算线段长度
通过已知的线段和面积比例关系，可以计算出未知线段的长度。
证明线段积相等的方法
证明线段积相等的方法
证明线段的积相等的常用方法是把等积式化成比例式，然后根据“三点定形”确定它们所在三角形是否相似，若相似，则结论成立；若不相似，再用中间量（线段或比）来“搭桥”.通常可以用这样的顺口溜记忆：遇到等积化比例，横找竖找找相似.图形相似不成立，等线等比寻代替.
一、化等积式为比例式，直接证相似
例1、如图，中，，为的中点，交于点，交的延长线于点，求证：
分析：首先根据比例的基本性质，把等积式变成比例式
,然后把等式左边的两条线段放在一起，组成△MCD,
等式右边两条线段组成, 然后证明∽即可.
证明略.
二、等线段做代替
例2、如图，直角梯形中，∥,,对角线于,,过点作∥交于,求证：
F
分析：把等积式变成比例式：,然后把等式左边的两条
线段放到同一个三角形中去得到，而等式右边的两条
线段组不成三角形.在这种情况下，需要把比例式中的四条线段
中的某一条换成和它相等的另一条线段，以便组成相似的三角形.
据本题中的已知条件，应把换成,于是得到新的比例式：,这时就可以组成相似的和.
证明略
三、中间比做过渡
例3、如图，已知，为延长线一点，分别交于点，试说明:
A
D
C
M
N
分析：首先把等积式化成比例式得：,然后把等式左边的两条线段放在一起，发现它们共线组不成三角形，等式右边的情况亦是如此.这时需要观察图形，可以看出∽,易证得；∽，易证得,这样通过这个中间比就起到了过渡的作用.
证明略.。
图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)
【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设 = = =k，得出 a=2k，b=3k， c=5k，降低计算难度． 举一反三： 【变式】（2020•兰州一模）若 3a=2b，则 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】解：∵3a=2b，
∴=，
设 a=2k，则 b=3k，
则=
=﹣ ．
故选 A． 类型二、相似图形
要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相
是
a:b=m:n
a
，或写成Biblioteka m．bn2．成比例线段：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相 等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若 a:b=c:d ，则 ad=bc；
（2）若 a:b=b:c ，则 b2 =ac（b 称为 a、c 的比例中项）．
最全中学生学习资料整理 图形的相似和比例线段--知识讲解（基础）
【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特 征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否 相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段 a、b 长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比
初中线段相等比例关系的证明方法
初中线段相等比例关系的证明方法线段相等和线段比例关系是几何学中常见的性质，其证明方法也是多种多样的。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.利用等长矩形的性质：如果四边形ABCD是等长矩形，那么AB与CD、BC与DA是相等的线段。
证明方法是利用相等角的性质得出等长矩形的条件，然后判断给定的四边形是否满足这个条件。
2.利用勾股定理：如果三角形ABC是一个直角三角形，且AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，那么AB与BC是相等的线段。
证明方法是利用勾股定理以及角度的对应关系，将已知条件转化为直角三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
3.利用线段的长度性质：当两条线段的长度相等时，它们的线段加法等于它们的线段减法，即AB+CD=BC+AD，其中AB和CD是相等的线段，BC和AD是相等的线段。
证明方法是将给定的线段按照等式两边长度相等的条件分别相加，然后通过观察得出结果是否相等。
1.利用相似三角形的性质：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB与DE、BC与EF、AC与DF的比值相等。
证明方法是利用相似三角形的定义以及角度的对应关系，将已知条件转化为相似三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
2.利用线段分割定理：如果一条直线上的三个点A、B、C满足AB/BC=DE/EF，那么这个点C把线段AB和线段DE、EF按照相等的比例分割。
证明方法是将已知的线段比例转化为直线上点的坐标比例，根据线段分割定理得出结论。
3.利用线段的相似性质：当两个三角形或四边形中的对应边按照相等的比例分割时，它们的对应边的比例也相等。
证明方法是利用对应边的比例分割得出相似性质，然后利用线段的性质判断给定的图形是否满足这个条件。
以上是几种常用的线段相等、比例关系的证明方法，当然还有其他的方法，但这些方法是初中阶段常用且比较简单的方法。
在实际的证明过程中，除了运用这些方法，还需要根据具体问题进行合理的推理和构造，以便得到正确的结论。
如何证明线段相等或成倍数关系
如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。
在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。
下面将详细介绍一些常用的证明方法。
一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。
如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。
2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。
如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。
3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。
4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。
5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。
二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。
如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。
3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。
4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。
在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。
此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。
总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。
只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。
第三讲 相似比例线段的证明方法.尖子班
一三点定型法：三点定型法即通过所证的比例式确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =，则A 、B 、C 三点确定△ABC ，D 、E 、F 三点确定△DEF ，则证明△ABC ∽△DEF二等线段代换法：等线段代换法即通过将已证比例中的线段换成与之相等的线段，再利用其他相似证明方法确定三角形的相似，例如DF AC DE AB =且CD=AB ，则=DF AC DE CD ，再证△ACD 与△DEF 的相似三等比代换法：当没有等量线段的转换时，可以选择用等比例代换找准相似。
例如，，PQMN DF AC PQ MN DE AB ==则DF AC DE AB =。
则证明△ABC ∽△DEF 四等积代换法：用射影定理找中间积，再进行等量代换。
【例1】（1）如图所示，AD 是直角三角形ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 交AB 、AC 于E 、F.求证：.AF BE AD BD知识点睛典型例题模块一比例式的证明方法相似——比例线段的证明方法（2）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E 作EM ⊥AD 于M 。
①求证：AB·DE=BE·AE ；②求BCEM 的值（3）如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 为AC 中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：.AFDF AC AB =（4）如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 且交AC 于F ，过F 作FG ∥AB ，交AE 于G.求证：AG 2=AF FC.【巩固】（1）梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 与BD 相交于O 点，作BE//CD,交CA 的延长线于点E.求证：OC 2=OA.OE（2）已知:如图,CE 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP.求证:CE 2=ED·EP.证明两线段相等的一种方法是构造比例关系：x y a b=，①若x y =，则a b =；②若a b =，则x y =；③若y b =，则x a=【例2】（1）已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G 。
张角定理及应用
张角定理及应用张角定理是指：在三角形ABC中，如果点D是边AB上的一点，且AE是边AC 的平分线（E为BC的中点），则有AD^2 = AE·AB。
这个定理是根据相似三角形来推导的。
我们知道，如果一条直线与另外一条平行直线交截其中一条直线的部分，则交截部分上的两个线段的比例等于这两条直线在另一条直线上对应线段的比例。
在三角形ABC中，如果点D在边AB上，且点E是边AC的中点，则根据张角定理可知，AD^2与AE·AB之间存在某种比例关系。
具体来说，AD^2和AE·AB 之间的比例关系是乘法关系，即AD^2 = AE·AB。
这个定理的应用非常广泛。
以下是几个与张角定理相关的应用：1. 求解三角形内部的线段比例：根据张角定理，我们可以通过已知线段的长度，来推导出未知线段的长度。
例如，如果已知一条边长和此边上的一个点到顶点的距离，我们可以通过张角定理来求解此点到另一顶点的距离。
2. 证明三角形内部的线段相等：如果我们已知两个线段在三角形的一条边上等长，并且这两个线段与此边上的一个顶点分别相交于两个不同的点，那么根据张角定理我们就可以推导出这两个点到另一顶点的距离相等。
3. 探讨几何图形的对称性：通过应用张角定理，我们可以证明某些几何图形具有对称性。
例如，在一个等腰三角形中，如果我们在等腰边上选择两个互为中点的点，然后根据张角定理可以推导出这两个点到另一顶点的距离相等，从而证明此等腰三角形具有轴对称性。
4. 解决面积相关问题：通过张角定理，我们可以推导出两个三角形面积之间的比例关系。
例如，如果我们已知一个三角形和一条平行于其中一边的直线，根据张角定理可以推导出两个三角形的底边相等，进而可以得出两个三角形的面积之间的比例。
综上所述，张角定理是一个基于相似三角形的几何定理，它可以应用于求解三角形内部的线段比例、证明线段相等、探讨几何图形的对称性以及解决面积相关问题。
这个定理对于理解和分析各种几何问题都非常有用。
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证明线段相等的方法很多， 那什么时候选择用比例线段 的方法比较合适呢？
1、题目条件中有平行线； 2、题目条件中有线段； 3、题目条件中能证明三角形相似。
具体情况具体分析，多做题多总结多对比。
学生练习： 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， AB⊥BC，点E在边AB上，CE⊥DE，点F在 AE上，且∠ADF=∠EDC。 求证：AF=BE。
分析：要证ED=DF， 只要构建
ED DF ( a b) a b
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任意一点，过点D作EF∥BC，分别交 AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
证明：∵ED∥BM，∴ BM AM
ED
AD
DF
∵DF∥MC，∴ MC
AD AM
ED DF BM MC
思考：证明两条线段相等有哪些常用方法？
1、证明这两条线段所在三角形全等； 2、证明这两条线段所在三角形为等腰三角形； 3、找中间项等量代换； 4、证明特殊四边形； 5、求长度直接证明； 6、用比例线段证明。
比例线段证明两条线段相等
主讲：范平
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
求证：E为AD的中点
分析：要证明AE=ED， 只需构建
AE ED a a 或 a a AE ED
图形分解
例2：如图，正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE 求证：E为AD的中点
证明：∵EF⊥BE，∴∠BEF=90° ∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=90°，∴∠BEF=∠A ∵∠ABE=∠FBE，∴△ABE∽△EBF ∴
AB BE AE EF AB BE 再由△BAE∽EDF，得出 ED EF AB AB ∴ ∴AE=ED,E即为AD中点 AE ED
AB AE 即 BE EF
例2：已知：在△ABC中，AM是BC边上的中线，D是AM上任 意一点，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F。 求证：ED=DF。
2、如图，已知：M为正方形ABCD 的边AB上一点，BP⊥CM于点P，N 是BC上一点，PD⊥PN. 求证：BM=BN。
3、如图，四边形ABCD，
∠ABD=∠ACD=90°，联结AD、BC， AD⊥BC，垂足为E， 求证：AB=AC谢谢如右图，由DE∥BC，可得
又因为AD=AH，将上面比例式替换得
再由右图中△BAH∽△BCF，可得 等量代换得
DE CF BC BC
所以DE=CF
GB 2 GE GF 例4:如图，已知ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
又∵BM=MC,
∴ED=DF
例3： 如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，CF⊥AB于F，
D是AB上一点，AD=AH,DE∥BC，
求证：DE=CF。
图形分解
要证明DE=CF，只要证明
DE CF ED DF 或 ( a b) a a a b
DE AD BC AB
DE AH BC AB AH CF AB BC
第2问分析：要证BG=DG，因为 ，所以只需证 DG2 GE GF GB 2 GE GF
GB 2 GE GF 例3:如图，已知，ED∥BC， （1）求证：四边形为 ABCD 平行四边形； （2）联结GD，若∠GBC=∠FDG，求证：BG=DG
（2）证明：∵BC∥ED， ∴∠GBC=∠GED ∵∠GBC=∠FDG ∴∠GED=∠FDG 又∵∠EGD=∠EGD ∴△GED∽△GDF ∴FG:DG=DG:EG 2 ∴ DG 2 GE GF 又∵ GB GE GF ∴BG=DG
课堂小结
用比例线段证明线段a和线段b相等的常见方法有三种：
方法一：构建
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
方法二：构建 方法三：构建
c c a b 或 推得a b a b c c
a c , 且b d（或 a c） 推得b d b d
a c a d , 由c 2 ab, d 2 ab, 推得c d c b d b
例1：如图，在正方形ABCD中，EF⊥BE交CD于F,∠ABE=∠FBE