2008年高考试题——数学理(浙江卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学（理科）

本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 满分150分，考试时间120分钟．

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．

第Ⅰ卷（共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式2

4πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么

球的体积公式34π3

V R =

()()()P A B P A P B =

其中R 表示球的半径

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：

()(1)

k k n k

n n P k C p p -=-

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，1a i

i

-+是纯虚数，则a =（ ）

A ．1

B ．1-

C

D ．

2．已知U =R ，{}|0A x x =>，{}

|1B x x =-≤，则()()U U

A B B A 痧=（ ）

A ．?

B ．{}

|0x x ≤

C ．{}|1x x >-

D ．{}

|01x x x >-或≤

3．已知a b ，都是实数，那么“22

a b >”是“a b >”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4

x 的项的系数是（ ） A ．15-

B ．85

C ．120-

D ．274

5．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ??

=+ ???

（[02π]x ∈，

）的图象和直线12y =的交点个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．4

6．已知{}n a 是等比数列，22a =，51

4

a =，则12231n n a a a a a a ++++= （ ） A ．16(14)n

--

B ．16(12)n

--

C ．32(14)3n --

D ．32(12)3

n -- 7．若双曲线22

221x y a b

-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是

（ ） A ．3

B ．5

C

D

8

．若cos 2sin αα+=tan α=（ ） A ．

12

B ．2

C ．12

-

D ．2-

9．已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--= a c b c ，则c 的

最大值是（ ） A ．1

B ．2

C

D

10．如图，AB 是平面α的斜线段．．．

，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线

A B P α

（第10题）

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

第Ⅱ卷（共100分）

注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，

则a = ． 12．已知12F F ，为椭圆

22

1259

x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．

13．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，

．若)cos cos c A a C -=，则cos A = ．

14．如图，已知球O 的面上四点A B C D ，，，，

DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥

，DA AB BC ==

则球O 的体积等于 ．

15．已知t 为常数，函数2

2y x x t =--在区间[03]，

上的最大值为2，则t = ． 16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性

不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）

17．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ??

??+?

，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点

()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，

90BCF CEF ∠=∠=

，AD =2EF =．

（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；

（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60

？

A

C

D （第14题）

D

A B

E

F

C

（第18题）

19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是

25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7

9

． （Ⅰ）若袋中共有10个球，

（ⅰ）求白球的个数；

（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7

10

．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

20．（本题15分） 已知曲线C 是到点1328P ??- ???

，和到直线5

8

y =-

距离相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x

⊥轴（如图）．

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2

QB

QA

为常数．

21．（本题15分）已知a

是实数，函数())f x x a =-．

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[02]，

上的最小值． （ⅰ）写出()g a 的表达式；

（ⅱ）求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．

22．（本题14分）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ． 记：12n n S a a a =+++ ，11212111

1(1)(1)(1)(1)(1)

n n T a a a a a a =

+++

++++++ ． 求证：当*

n ∈N 时， （Ⅰ）1n n a a +<； （Ⅱ）2n S n >-； （Ⅲ）3n T <

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11

．1 12．8 13

14． 9π2 15．1 16．40 17．1

三、解答题

18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：

（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，

可得四边形BCGE 为矩形，

又ABCD 为矩形， 所以AD EG

∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．

因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．

所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．

在Rt EFG △

中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=

，1FG =．

又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．

于是sin 2

BH BE BEH =∠= ．

因为tan AB BH AHB =∠ ，

所以当AB 为92

时，二面角A EF C --的大小为60

．

方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，

D

A B

E

F

C

H

G

则(000)C ，，

，)A a ，

，0)B ，

，0)E b ，，(00)F c ，，

． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =- ，，

，0)CB = ，，(00)BE b = ，，， 所以0CB CE = ，0CB BE = ，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥，

所以CB ⊥平面ABE ． 因为CB ⊥平面DCF ，

所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =- ，

，0)CE b =

，， 所以0EF CE = ，||2EF = ，从而

3()02b c b -+-=?=，

， 解得34b c ==，．

所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1

)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE = ，0n EF =

，

解得(1

n =． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =

，，，

所以||1

|cos |2

||||BA n n BA BA n <>===

，， 得到9

2

a =

． 所以当AB 为

92

时，二面角A EF C --的大小为60

． 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的

个数为x ，则2

102107()19

x

C P A C -=-=，

得到5x =．

故白球有5个．

（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是

ξ的数学期望

155130123121212122

E ξ=

?+?+?+?=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得2

5

y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故

112

y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则

23()551y P B n =

+?- 231755210+?=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于

25n ，红球的个数少于5

n ． 故袋中红球个数最少．

20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则

||NP =

N 到直线58y =-的距离为5

8

y +．

58y

=+．

化简，得曲线C 的方程为2

1()2

y x x =+． （Ⅱ）解法一：

设

22x x M x ??+ ??

?，，直线:l y kx k =+，则

()B x kx k +，，从而||1|QB x =+．

在Rt QMA △中，因为

22

2

||(1)14x QM x ??

=++ ??

?，

2

222

(1)2||1x x k MA k ?

?+- ?

??=

+． 所以2

2

2

2

22

(1)||||||(2)4(1)

x QA QM MA kx k +=-=++

. ||QA =

，

22||2(11

2||||QB k x QA k x k ++=+

． 当2k =

时，2

||||

QB QA =

从而所求直线l 方程为220x y -+=．

解法二：设22x x M x ??

+ ??

?，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而

||1|QB x =+．

过Q (1

0)-，垂直于l 的直线11

:(1)l y x k

=-+． 因为||||QA MH =

，所以||QA =

，

2||1

2||QB x QA x k +=+

． 当2k =

时，2

||||

QB QA =

从而所求直线l 方程为220x y -+=．

21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．

（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，

，

()f x '==

（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，

()f x 有单调递增区间[0)+∞，．

若0a >，令()0f x '=，得3

a

x =， 当03

a

x <<时，()0f x '<， 当3

a

x >

时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ??

????，，单调递增区间3a ??+∞ ???，．

（Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，

上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．

若06a <<，()f x 在03a ??

????，上单调递减，在23a ?? ???

，上单调递增，

所以()3a g a f ??

==

?

??

若6a ≥，()f x 在[02]，

上单调递减，

所以()(2))g a f a ==-．

综上所述，00()06)6a g a a a a ??

?=<

，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．

若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥

，解得62a +≤≤ 故a

的取值范围为32a +≤≤

22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时

考查逻辑推理能力．满分14分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当1n =时，因为2a 是方程2

10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，

因为22

1k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-

2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．

即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．

根据①和②，可知1n n a a +<对任何*

n ∈N 都成立．

（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =- ，，，（2n ≥），

得22231()(1)n n a a a a n a ++++--= ． 因为10a =，所以21n n S n a =--．

由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，

所以2n S n >-．

（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得

111

(2313)12k k k

a k n n a a ++=-+ ≤，，，，≥

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++ ≤≥，

于是

2222

232211

(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++ ≤≥，

故当3n ≥时，211

11322

n n T -<++++< ， 又因为123T T T <<， 所以3n T <．