雅礼高一期末数学试卷(解析版)
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。
湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一上学期期末考试数学试卷(答案解析)
雅礼教育集团2021下学期期末考试试卷1．【答案】A ∵U =R ，集合{}1A x x =>，∴{}1U A x x =≤ð，则(){}11U A B x x ⋂=-<≤ð.2．【答案】B 3．【答案】A 根据题意，因为331log log 210a =<=，ln 2ln e=1b =<且ln 2ln10b =>=，102551c =>=，所以a b c <<.4．【答案】B.因为3cos 5α==，且180βα=+︒，则()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-.5．【答案】C解：sin 20cos10sin10sin 70︒︒+︒︒cos70cos10sin 70sin10=︒︒+︒︒cos(7010)=︒-︒1cos 60.2=︒=6．【答案】D【详解】函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且}0x ≠，关于原点对称，因为()()2211()||||x x x f f x x x =----==-，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项A ，B ，当0x >时，()21f x x x=-，由2y x =在(0,)+∞上单调递增，1y x =在(0,)+∞上单调递减，可得()21f x x x=-在(0,)+∞上单调递增，排除选项C ，7．【答案】C∵1tan 2B =，1tan 3A =，∴()11tan tan 32tan 111tan tan 16A B A B A B +++===--，∴()tan tan 1C A B =-+=-，又()0,C π∈，∴34C π=.8．【答案】C【详解】根据题意可得1202022020ab m a b a b+==++a b =等号成立，266122a b a bm ++==≥，当且仅当a b =等号成立，由题意可得a b ¹，所以1m <2m >21m m >.9．【答案】CD 【解析】因为13x -<≤是3x a -<<的充分不必要条件，所以3a >，所以a 的可取值有4,5，10．【答案】BCD 【详解】由已知得20,0a ax bx c <++=的两根为1-和2，∴121,122b ca a-=-+==-⨯=-，∴,2,b a c a =-=-∴0,0,0,b c a b >>+=∴0a b c c ++=>,故选：BCD.11．【答案】ACD 【详解】对于A 选项，22T ππ==，故A 选项正确.对于B 选项，由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，()75,,12121212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤⊄-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以B 选项错误.对于C 选项，1sin 0063f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以C 选项正确.对于D 选项，0,02,242336x x x πππππ≤≤≤≤-≤-≤，所以，当236x ππ-=时，函数()f x 取得最大值，即()max 1111sin 36326f x π===，所以D 选项正确.12．【答案】ACD 解：定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，故(4)(2)()f x f x f x +=-+=，可得()f x 的最小正周期为4，且函数f (x )的值域为[﹣1，1],作出5log ||y x =的图象，可得共有5个交点，可得方程5()log ||f x x =有5个根，则B 错误；ACD 正确．13．【答案】16.解：设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象经过点1(,4)2，所以2211(4()2()22f x x αα--==⇒=-⇒=，因此212211(((4)41644f ---====14．【答案】2解：21203π︒=，扇形AOB 的面积为43π，所以2241123223r r ππα==⨯，解得2r =．15．【答案】512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭k ∈Z .解：()ππtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ,∴令ππ,2232Z k x k k ππππ-<+<+∈，解得1,35232k x k k Z -+<<+∈,所以函数的单调递增区间为512,233k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .16．【答案】2(,33x ππ∈；37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈．【解答】：由sin 2x >，[0x ∈，2)π，得2(,33x ππ∈，sin cos 0x x +=，令sin cos t x x =+，则212sin cos t x x =+ ，0t ∴=，||0t t +=，t ≤0，可得sin cos )04t x x x π=+=+<≤0，解得37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈，故答案为：2(,)33x ππ∈；37[2,244x k k ππππ∈++，k Z ∈．17．【详解】因为()()()222g x f x x x b x c =+=+++为偶函数，且定义域为R 关于原点对称，所以()()g x g x =-，所以()()()()2222x b x c x b x c +++=-++-+，所以()220b x +=，又因为x 不恒为0，所以20b +=，所以2b =-，所以()22f x x x c =-+，若选①：因为()()211f x x c =-+-，对称轴为1x =，所以()f x 在[)2,1-上递减，在(]1,2上递增，所以()()(){}max max 2,2f x f f =-，又因为()28f c -=+，()2f c =，所以85c +=，所以3c =-，所以()223f x x x =--；若选②：因为220x x c -+=的两根为12,x x ，且221210x x +=，所以12122,x x x x c +==，所以()22122121242102x x x x x x c =+-+=-=，所以3c =-，所以()223f x x x =--.18．【答案】（1）()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）0或3π或π.【详解】（1）因为由图象可知4362T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22T ππω==且0>ω，所以1ω=，所以()()sin f x x ϕ=+，代入点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭且2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）()f x 的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12后得到的函数解析式为：()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为()12g x =，所以1sin 262x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以266x ππ+=或56π或136π，所以0x =或3π或π，所以方程()12g x =在[]0,π的实数解为：0或3π或π.19．【详解】（1）因为sin α，且α为锐角，所以1cos 3α==，所以1sin 22sin cos 2339ααα==⨯⨯=．（2）因为α，β均为锐角，所以()0,παβ+∈，又()1cos 3αβ+=-，所以()sin 3αβ+=，由（1）知sin 3α=，1cos 3α=，所以αβααβααβαβsin )cos(cos )sin())sin((sin +-+=-+==9243223131322=⋅--⋅）（20．【答案】（1）2m − =5；（2）(,-∞.【详解】（1）因为()211cos cos sin 2cos 2222f x x x x m x x m =++=+++，所以()1sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值，所以()min 1132f x m =-++=-，所以52m =-；（2）因为sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin sin 2202a x x π⎛⎫++-< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin cos 220a x x +-<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 12sin 20a x x +--<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 2sin 1a x x <+对()0,x π∀∈恒成立，又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，所以12sin sin a x x<+对()0,x π∀∈恒成立，所以min12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈，又因为12sin sin x x +≥，取等号时12sin sin sin 0x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩，即2sin 2x =，即4x π=或34x π=，所以(,a ∈-∞.21．【答案】（1）y =55196×1.022t （2）（ⅰ）24，（ⅱ）按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克解：（1）由题意可得055196y =，则96720755196r e =，()9ln 67207ln 55196ln 551969re r ==+，所以9ln 67207ln 5519690.02188r =-≈⨯，所以0.02188r =，所以0.021885519655196 1.022t t y e =≈⨯。
2018～2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高一第1学期期末数学试题试题解析
2018～2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高一第一学期期末数学试题一、单选题1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1},则A ∩B ＝( ) A.(﹣1,1] B.(﹣1,2)C.∅D.[﹣1,2]【参考答案】：B【试题解答】：直接利用交集的运算求解即可.解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B .本题考查了交集的运算,属基础题.2.圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为( ) A.πB.3πC.2πD.4π【参考答案】：D【试题解答】：根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D .本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3.若点2)在直线l ：10ax y ++=上,则直线l 的倾斜角为( ) A.30°B.45︒C.60︒D.120︒【参考答案】：C【试题解答】：210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=,据此可得,直线l 的倾斜角为60︒.本题选择C 选项.4.已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩,若f (1)＝f (－1),则实数a =A.1B.2C.3D.4【参考答案】：B【试题解答】：根据题意,由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2,故选:B 5.已知m,n 为不同的直线,α,β为不同的平面,则下列说法正确的是( ) A.m ⊂α,n ∥m ⇒n ∥α B .m ⊂α,n ⊥m ⇒n ⊥α C.m ⊂α,n ⊂β,m ∥n ⇒α∥β D .n ⊂β,n ⊥α⇒α⊥β 【参考答案】：D【试题解答】：在A 选项中,可能有n ⊂α,故A 错误； 在B 选项中,可能有n ⊂α,故B 错误； 在C 选项中,两平面有可能相交,故C 错误；在D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得D 正确. 故选：D.6.已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ,点(),P x y 在直线210x y +-=上,则MP 的最小值是( )D.【参考答案】：B【试题解答】：令直线l 的参数k 的系数等于零,求得定点M 的坐标,利用两点间的距离公式、二次函数的性质,求得MP 的最小值.直线:20l kx y k -+-=,即()120k x y --+=,过定点()1,2M , 点(),P x y 在直线210x y +-=上,12y x ∴=-,MP ∴==故当15x =-时,MP ,故选B.本题主要考查直线经过定点问題,两点间的距离公式的应用,二次函数的性质,属于中档题.7.设2()3xa =,13()2x b -=,23c log x =,若x ＞1,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.c ＜b ＜a【参考答案】：B【试题解答】：根据x ＞1,取x ＝2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可.解:由x ＞1,取x ＝2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B .本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与AC 所成角是( ) A.30°B.45︒C.60︒D.90︒【参考答案】：C【试题解答】：在正方体1111ABCD A B C D -中,11//AC A C , 所以11B AC ∠即为所求(或其补角).连接1B C ,因为1111B C AC A B ==,所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9.设两条直线的方程分别为x ＋y ﹣a ＝0、x ＋y ＋b ＝0,已知a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,则这两条直线之间的距离是( )D.无法确定【参考答案】：C【试题解答】：根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离.解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C .本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10.已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1,3],则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A. B.C. D.【参考答案】：C【试题解答】：∵y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2﹣1,∴可画出图象如图1所示.；由x 2＋2x ＝3,解得x ＝﹣3或x ＝1；又当x ＝﹣1时,(﹣1)2﹣2＝﹣1.①当a ＝﹣3时,b 必须满足﹣1≤b≤1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|＝1﹣(﹣1)＝2；②当﹣3＜a≤﹣1时,b 必须满足b ＝1,可得点(a,b)在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|＝(﹣1)﹣(﹣3)＝2. 如图2所示：图2；故选：C.点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题,值域是确定的,而定义域是变动的,解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到,问题就迎刃而解了. 11.已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠2},且y＝f(x＋2)是偶函数,当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,那么当x＞2时,函数f(x)的递减区间是( )A.(3,5)B.(3,＋∞)C.(2,＋∞)D.(2,4]【参考答案】：D【试题解答】：试题分析：根据函数的奇偶性,推导出函数的对称性,再由题意和对称性求出函数的解析式,根据指数函数的图象画出函数大致的图形,可得到函数的减区间.解：∵y＝f(x＋2)是偶函数,∴f(﹣x＋2)＝f(x＋2),则函数f(x)关于x＝2对称,则f(x)＝f(4﹣x).若x＞2,则4﹣x＜2,∵当x＜2时,f(x)＝|2x﹣1|,∴当x＞2时,f(x)＝f(4﹣x)＝|24﹣x﹣1|,则当x≥4时,4﹣x≤0,24﹣x﹣1≤0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝1﹣24﹣x＝1﹣16×,此时函数递增,当2＜x≤4时,4﹣x＞0,24﹣x﹣1＞0,此时f(x)＝|24﹣x﹣1|＝24﹣x﹣1＝16×﹣1,此时函数递减,所以函数的递减区间为(2,4],故选D.【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质.12.设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩,若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O (原点)五点共线；②共线的这条直线斜率为3-,则a 的取值范围是( )A.)+∞B.(4)-∞，C.(-∞-，D.(4)+∞，【参考答案】：A【试题解答】：由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-,当x 0>时,记()2g ln 2x x x =-,则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增,12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减,与y 3x =-有两个交点C 、D 。
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．2．已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x ＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．3．已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．4．已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．5．为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．6．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．7．在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．8．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．10．已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．11．设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．12．如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则tan2α＝．解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．14．已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．15．甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．16．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g （x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．18．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．19．某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．20．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．21．已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD ＝PA＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【解答】（1）证明：取PB的中点E，PA的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF，因为PD＝PA，F为PA的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面PAB，所以CE⊥平面PAB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣4＜x ＜2}，N ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则M ∩N ＝（ ）A ．{x |﹣4＜x ＜3}B ．{x |﹣4＜x ＜﹣2}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |2＜x ＜3}2．（5分）设复数z 满足（1+2i ）•z ＝5i （i 是虚数单位），则z =（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i3．（5分）在△ABC 中，“A ＜30°”是“sinA ＜12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．235．（5分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）A ．f （x ）＝sin x B ．f （x ）＝2|x |C ．f （x ）＝x 3+xD ．f(x)=12(e ―x―e x )6．（5分）已知平面向量→a =(1，3)，|→b |=2，且|→a ―→b |=10，则(2→a +→b )⋅(→a ―→b )=（ ）A ．1B ．14C ．14D ．107．（5分）若cos(π6―α)=35，则sin(2α+π6)=（ ）A ．-2425B ．-725C ．725D ．24258．（5分）把边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角D ﹣AC ﹣B ，则三棱锥D ﹣ABC 的外接球的球心到平面BCD 的距离为（ ）A ．33B ．22C ．63D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 【答案】B【详解】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 【解析】集合的运算2．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞【答案】A【详解】试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.【解析】不等式性质、充分必要性.3．在ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．2133b c + B ．5233c b -C ．2133b c - D ．1233b c +【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．4． 某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠．某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( ) A ．608元 B ．574.1元 C ．582.6元 D ．456.8元【答案】C【详解】由题意得购物付款432元，实际标价为432×109＝480(元)，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6(元)．选C 5．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若26c b ==，，，120B =,则a 等于（ ） A ．6 B ．2C ．3D ．2【答案】D【详解】试题分析：由余弦定理得,则2240a a +-=，即，解得或（舍）.【解析】余弦定理.6．设123log 2,ln 2,5a b c -===则 A ．a b c << B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C 【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.7．设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，则满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为（ ） A ．5- B ．2-C ．3-D ．8-【答案】A【分析】根据单调函数的性质，结合偶函数的性质进行求解即可；【详解】因为函数()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x >时()f x 是单调函数，所以当0x <时，()f x 是也是单调函数，且函数()f x 的图象关于纵轴对称， 因此由33()044x x f x f x x x --⎛⎫=⇒+= ⎪++⎝⎭或304x x x --=+， 当304x x x -+=+时，可得2530x x +-=，显然4-不是该方程的根， 该方程根的判别式为2541(3)0-⨯⨯->，所以该方程有两个不相等的实根，设为12x x 、，则有125x x +=-， 当304x x x --=+时，可得2330x x ++=，该方程根的判别式为234130-⨯⨯<，故该方程没有实数根，综上所述：满足3()4x f x f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有实数x 之和为5-，故选：A 8．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．1718【答案】C【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋，故17sin 218α=-， 故选：C.【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()ab>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确；若0a >，0b >，1a b +≤21,0()224a b a b ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 10．下列判断正确的是（ ） A ．函数1()f x x=在定义域内是减函数 B ．若函数()y g x =为奇函数，则一定有(0)0g = C ．已知0,0x y >>，且111x y+=，若23x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是(4,1)-D ．已知25(1)()(1)x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上是增函数，则a 的取值范围是[3,2]--【答案】CD【分析】根据函数单调性的性质、奇函数的性质、基本不等式进行判断即可.【详解】A ：因为(1)1,(1)1f f -=-=，显然不符合减函数的性质，所以本判断不正确； B ：设1()g x x=，定义域为非零的实数集，11()()g x g x x x -==-=--，显然()y g x =为奇函数，但是(0)g 的值不存在，故本判断不正确； C ：因为0,0x y >>，所以有11()()224y x x y x y x y ++=++≥+=，当且仅当y xx y=时取等号，即当2x y ==时取等号，要想23x y m m +>+恒成立，只需 23441m m m +<⇒-<<，故本判断正确；D ：当1x ≤时，222()5()524a a f x x ax x =---=-++-.要想该函数在(,)-∞+∞上是增函数，所以有：212032115a a a a a ⎧≤-⎪⎪<⇒-≤≤-⎨⎪--⋅-≤⎪⎩， 故选：CD11．关于函数2()2cos cos 212f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的描述正确的是（ ）A．其图象可由2y x =的图象向右平移8π个单位得到 B ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．()f x 在[0,]π有2个零点 D ．()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值为 【答案】CD【分析】利用诱导公式、二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后根据正弦函数性质判断．【详解】2()2cos cos 21cos 2sin 2224f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由2y x =的图象向右平移8π个单位，得到2284y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以选项A 错误；令222242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得其增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， ()f x 在0,8π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调遒减，所以选项B 错误；令()0f x =，24x k ππ+=，k ∈Z 得：28k x ππ=-，k ∈Z ，又[0,]x π∈，所以x 取38π，78π，所以选项C 正确；当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，即432,44x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦时，sin 21,42x π⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()[f x ∈，所以选项D 正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解．12．给定两个单位向量,OA OB ，且2OA OB ⋅=-，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC xOA yOB =+y -的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．2D ．0【答案】BCD【分析】根据已知建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示，结合辅助角公式和正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】因为给定两个单位向量,OA OB ，且32OA OB ⋅=-，所以建立如下图所示的坐标系， 因为3OA OB ⋅=-，所以有33cos cos OA OB AOB AOB ⋅⋅∠=-⇒∠=-, 50,6AOB AOB ππ≤∠≤∴∠=，所以 ()311,0(,)2A B -、， 设5(cos ,sin )([0,])6C πθθθ∈， 因为OC xOA yOB =+，所以有3131(cos ,sin )(,0)(,)cos ,sin 22x y y x y y θθθθ=+-⇒=-=， 33cos sin 2sin()3x y πθθθ-=+=+，因为5[0,]6πθ∈，所以7[,]336πππθ+∈，因此 12sin()23πθ-≤+≤，即132x y -≤-≤，故选：BCD【点睛】关键点睛：解决本题的关键是建立直角坐标系，运用正弦型函数的性质解题.三、填空题13．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =________. 【答案】5【分析】本题首先求出a ，然后根据52a b +=得出250a b +=，最后由数量积的运算即可得出结果.【详解】因为(2,1)a =，所以25a =，因为52a b +=，所以222250a b a b a b +=++⋅=， 即252050b ++=，5b =. 故答案为：5．【点睛】本题考查向量的模以及向量的运算，考查向量的模的求法，若(,)a x y =，则222x a y =+，考查计算能力，是简单题.14．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________. 【答案】－1 【详解】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒)()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?cos1?0)22︒︒－ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化.15．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________. 【答案】1040V ≤≤【分析】根据题意列出不等式，最后求解不等式即可. 【详解】第一次操作后，利下的纯药液为10V -， 第二次操作后，利下的纯药液为10108V V V---⨯，由题意可知： 21010860%452000540V V V V V V V---⨯≤⋅⇒-+≤⇒≤≤， 因为10V ≥，所以1040V ≤≤， 故答案为：1040V ≤≤四、双空题16．已知函数3()log f x x =的定义域为[,]a b ，值域为[0,]t ，用含t 的表达式表示b a -的最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-. （1）若1t =，则(1)M =___________；（2）当12t ≤≤时，2[()]15()1g t g t ++的取值范围为___________.【答案】83 79[6,]9【分析】（1）根据函数3()log f x x =的单调性，结合定义域与值域进行分类讨论求解即可（2）利用函数的单调性分类讨论，结合指数函数的单调性，运用换元法、构造函数法，再结合对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）当01x <≤时，3313()log log log f x x x x ==-=，所以此时函数单调递减，当1x >时，33()log log f x x x ==，所以此时函数单调递增，且(1)0f =， 当1t =时，函数的定义域为[,]a b ，值域为[0,1]，当31()log 13f x x x ==⇒=或3x =，当103a <<时，显然存在()1f x >，故不符合题意； 当13a =时，要想值域为[0,1]，则有13b ≤≤，此时18(1)333M =-=；当113a <≤时，要想值域为[0,1]，则有3b =，此时18(1)333M =-=； 当1a >时，有()0f x >，所以值域不可能是[0,1]，不符合题意， 故8(1)3M =； （2）当10()3ta <<时，因为12t ≤≤，所以1311()[()]log ()133ttf x f t >==≥，不符合题意；当1()3ta =时，要想值域为[0,]t ，必有13tb ≤≤，11()()()3()[1()]3133t t t t g t M t N t =-=---=-，令()13t m g t =+=，因为12t ≤≤，所以39m ≤≤，22[()]15216162()1g t m m m g t m m +-+==+-+，设16()2,[3,9]h m m m m=+-∈，因为函数()h m 在[3,4]m ∈时单调递减，在[4,9]m ∈时单调递增，min ()(4)6h m h ==，max 197979(3),(9),()399h h h m ==∴=， 此时2[()]15()1g t g t ++的取值范围为79[6,]9；当1()13ta <≤时，要想值域为[0,]t ，必有3tb =，b a -有最大值，没有最小值，故不符合题意；当1a >时，()1f x >，不符合题意，综上所述：2[()]15()1g t g t ++的取值范围为79[6,]9；【点睛】关键点睛：本题的关键是针对a 的不同位置，确定b 的值，进而利用换元法、构造函数法，结合对钩函数的单调性进行解题.五、解答题17．已知函数()f x 是定义域为{0,}x x x ≠∈R ∣的奇函数，且当0x >时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出()f x 的单调区间.【答案】（1）1,0()22,0xx x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩；（2）函数图象见解析，()f x 的单调递减区间为：(,0)-∞，(0,)+∞，无递增区间.【分析】（1）根据奇函数的性质进行求解即可；（2）根据指数函数的性质进行画出图象，根据图象写出()f x 的单调区间即可.【详解】（1）因为函数()f x 是定义域为{0,}xx x ≠∈R ∣的奇函数， 所以当0x <时，1()()22xx f x f x -⎛⎫=--=- ⎪⎝=-⎭，因此函数()f x 的解析式为：1,0()22,0xx x f x x ⎧⎛⎫>⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩；（2）函数()f x 的图象如下图所示：由图象知：()f x 的单调递减区间为：(,0)-∞，(0,)+∞，无递增区间.18．在ABC 中，5,3,sin 2sin BC AC C A ===.（Ⅰ）求AB 的值；（Ⅱ）求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）210. 【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB 的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cos A ，再利用同角三角函数的关系求出sin A ，由二倍角公式求出sin 2A ，cos2A ，根据两角差的正弦公式可求sin 24A π⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 【详解】（Ⅰ）在中，根据正弦定理，sin sin AB BC C A =， 于是sin 225sin BC AB C BC A=== （Ⅱ）在ABC ∆中，根据余弦定理，得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅ 于是25sin 1cos A A =-= 从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55A A A A A A ===-= 2sin 2sin 2cos cos 2sin 44410A A A πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.19．函数()sin()16f x A x πω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， （1）求函数()f x 的解析式；（2）设(0,)2πα∈，则()22f α=，求α的值 【答案】（1）()2sin(2) 1.6f x x π=-+；（2）3π. 【详解】（1）由三角函数性质得,最大值为A+1=3,∴A=2， 周期2222πππωω⨯==⇒=，∴f （x ）=2sin （2x-6π）+1 （2）(0,)2πα∈，f （2α）=2 ∴2sin （22α⨯-6π）+1=2,得sin （α-6π）=12，α=3π 20．已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. （1）当a b ⊥时，求x 的值.（2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.【答案】（1）()4x k k Z ππ=+∈；（2）max 3()2f x =，min ()12f x =-. 【分析】（1）根据平面向量垂直的性质，结合二倍角正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据平面向量加法和数量积的坐标表示公式，结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】（1）因为a b ⊥，所以10sin cos (1)0sin 2122()22a b x x x x k k Z ππ⋅=⇒+⨯-=⇒=⇒=+∈， 即()4x k k Z ππ=+∈；（2）111cos 21()()(sin cos ,)(cos ,1)sin 22222x f x a b b x x x x +=+⋅=+-⋅-=++， 即112()sin 2cos 21sin(2)1224f x x x x π=++=++， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，有32444x ，所以max 223()1222f x =⨯+=，min 22()(1)1122f x =⨯-+=-. 21．某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段，已知跳水板AB 长为2m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ，CE =5m ，CF =6m ，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m （1h ≥）时达到距水面最大高度4m ，规定：以CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系.（1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h 的取值范围.【答案】（1）2(3)4y x =--+；（2）4[1,]3. 【详解】试题分析：（1）由题意可以将抛物线的方程设为顶点式.由顶点（3,4），然后代入点(2,3)A 可将抛物线方程求出；（2）将抛物线的方程设为顶点式，由点(2,3)A 得 21ah =-.将 a 用 h 表示.跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要求，所以方程 2[(2)]40a x h -++=在区间[5,6]内有一解，根据抛物线开口向下，由函数的零点与方程的根的关系，令2221()[(2)]4[(2)]4f x a x h x h h=-++=--++，由 (5)0f ≥，且 (6)0f ≤可得h 的取值范围.试题解析：（1）由题意知最高点为(2,4)h +，1h ≥，设抛物线方程为2[(2)]4y a x h =-++，当1h =时，最高点为（3,4），方程为 2(3)4y a x =-+，将(2,3)A 代入，得 23(23)4a =-+，解得1a =-. ∴当 1h =时，跳水曲线所在的抛物线方程 2(3)4y x =--+.（2）将点(2,3)A 代入 2[(2)]4y a x h =-++得21ah =-，所以 21a h=-. 由题意，方程2[(2)]40a x h -++=在区间[5,6]内有一解. 令2221()[(2)]4[(2)]4f x a x h x h h=-++=--++， 则221(5)(3)40f h h =--+≥，且 221(6)(4)40f h h=--+≤. 解得413h ≤≤. 达到压水花的训练要求时h 的取值范围 4[1,]3. 【解析】1.抛物线的顶点式方程；2.函数的零点与方程的根.22．函数2(),()2f x x ax b g x x a =++=+.对任意的x ∈R ，恒有()()g x f x ≤成立. （1）证明：||b a ≥；（2）若对满足题设条件的任意,a b ，不等式()22()()f b f a M b a-≤-恒成立，求M 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式、基本不等式进行证明即可；（2）根据（1）中的结论，利用换元法、构造函数法、分类讨论思想进行求解即可.【详解】（1）2()()(2)0g x f x x a x b a ≤⇒+-+-≥，要想该不等式恒成立，只需 22(2)4()012142a a a b a b a ∆=---≤⇒≥+≥⋅⋅=，当且仅当12a =时取等号，即2a =±时取等号；（2）由（1）可知：||b a ≥，当||b a >时， 由（1）可知：2114a b ≥+≥， ()222222222()()2()()f b f a b ab b a a b b a f b f a M b a M b a b a b a -++---+-≤-⇒≥==--+， 由11a a b a b a b b >⇒>⇒<⇒<，令,111a t t t b=<⇒-<<， 1221ab a b a b a b++=++，设121()2(11)11t f t t t t +==--<<++，因为012t <+<， 所以函数1()21f t t=-+在11t -<<时，是单调递增函数， 故max 13()(1)2112f t f ==-=+， 要想不等式()22()()f b f a M b a -≤-恒成立，只需max 3()2M f t ≥=； 当||b a =时，22b a ==±、，2()()0f b f a a a a -=-=或8-， 显然不等式()22()()f b f a M b a -≤-恒成立，综上所述：M 的最小值为32.。
湖南省长沙雅礼中学2024届数学高一下期末预测试题含解析
湖南省长沙雅礼中学2024届数学高一下期末预测试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是（ ）A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品2．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．已知实数,x y 满足约束条件12010x x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为( )A ．3-B ．1-C ．1D ．54．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ）A ．-10B ．-9C ．10D ．95．设函数()sin (0)3f x wx w π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．16．过点32M （，）的圆224240x y x y ++-+=的切线方程是（ ） A ．2y =B ．51290x y -+=或125260x y --=C ．125260x y --=或2y =D ．2y =或51290x y -+=7．已知集合，，则中元素的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．直线x+2y ﹣3＝0与直线2x+ay ﹣1＝0垂直，则a 的值为（ ） A ．﹣1B ．4C ．1D ．﹣49．《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容，各多少？”其大致意思是说，若九节竹每节的容量依次成等差数列，下三节容量四升，上四节容量三升，则中间两节的容量各是（ ）A ．6766升、4133升B ．3733升、322升C ．322升、4133升D ．6766升、3733升10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1名男生和至少有1名女生B ．至多有1名男生和都是女生C ．至少有1名男生和都是女生D ．恰有1名男生和恰有2名男生二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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雅礼中学高一年级期末测试
数学试卷
一，选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合{}{}
3213=M m Z m N n Z n =∈-∈-≤≤＜＜，，则=M N ⋂
A. {}0,1 B . {}1,0,1-
C . {}0,1,2
D . {}1,0,1,2-
答案：【B 】 2. 函数()21
log 3y x x
=
++的定义域是 A. R
B .()3,-+∞
C . (),3-∞-
D . ()()
3,00,-⋃+∞
答案：【D 】
3. 设11,1,,32
a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为
A. 1, 3
B. -1, 1
C. -1, 3
D. -1, 1, 3
答案：【A 】
4. 若2
23
2,,log ,3x
a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则1x ＞时，,,a b c 的大小关系是
A. a b c ＜＜ B .c b a ＜＜ C . c a b ＜＜
D . a c b ＜＜
答案：【C 】
5. 一个几何体的三视图如图所示，那该几何体的体积为
A. 16123+π
B .32123
+π
C . 168π+
D . 328π+ 答案：【A 】
6. 若函数()y f x =是函数()01x
y a
a a =≠＞
且的反函数，且()y f x =的图像经过点(
)
,a a ，则()f x =
A. 2log x B .2log x - C .
1
2x
D . 2
x
答案：【B 】
7. 丙申猴年春节马上就要到来，长沙某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商
场规定：
3
2 2
1
1
正视图
3
2 2
1
1
侧视图
俯视图
①如一次性购物不超过200元，不予以折扣；②如一次性购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次性购物超过500元，其中500元予以九折优惠，超过500元的部分予以八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款 A. 608元 B .574.1元 C . 582.6元 D . 456.8元 答案：【C 】 8. 直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是
A. 210x y +-= B .210x y +-=
C . 230x y +-=
D . 230x y +-=
答案：【D 】
9. 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间
A. 11,
84⎛⎫
⎪⎝⎭
B .11,42⎛⎫
⎪⎝⎭ C . 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D . ()
1,2
答案：【C 】
10. 在三棱锥S ABC -中，,AB AC SB SC ==,则直线SA 与BC 所成角的大小为
A. 90 B .60
C . 45
D . 30
答案：【A 】
11. 设()f x 是定义在R 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x ＞时，()f x 是单调函数，
则满足()34x f x f x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的所有实数x 之和为
A. 5- B .2- C . 3-
D . 8-
答案：【A 】
12. 定义在R 上的函数，对于任意实数x ，都有()()33f x f x +≤+，且()()22f x f x +≥+，
且()12f =，则()2016f 的值为 A. 2014 B .2015
C . 2016
D . 2017
答案：【C 】
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且共同顶点上的三条棱的长分别是1,2,3，则
此球的表面积为_________. 答案：【14π】
14. 在矩形ABCD 中，AB 边所在的直线方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在直
线上.则AD 边所在直线方程为__________________.
答案：【320x y ++=】
15. 湖南某县计划十年时间产值翻两番（4倍），则产值平均每年增长的百分率为_________.
（参考数据：0.0602
lg 20.3010,10 1.149,lg11.49 1.0602===）
答案：【14.9%】
16. 已知函数()3log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,t ，用含t 的表达式表示b a -的
最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-. （1） 若t =1,则()1M =________.
（2） 当12t ≤≤时，
()()2
151
g t g t +⎡⎤⎣⎦+的取值范围为___________. 答案：【879;6,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
】 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知函数()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈的奇函数，且当0x ＞时，()12x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（1） 求函数()f x 的解析式/
（2） 画出函数的图象，根据图象写出()f x 的单调区间.
解：（1）由题意得：()00f =；当0x ＜时，0x -＞；()()2x
f x f x =--=-
所以，函数解析式为()f x = ()
()
()2000102=x x
x x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
＜＞
（2）函数图象如下图所示，单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞
18. （本小题满分12分）
已知两直线：()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=
x
y
1
-1
O
（1） 当2a =且直线1l 与直线2l 平行时，求直线1l 与直线2l 的距离. （2） 直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与直线2l 垂直，求a,b 的值. 解：（1）12:240,:0l x by l x y b -+=++=，又12l l ，2b =-
直线1l 与直线2l 的距离22d =
（2）由已知条件得：
(){
340
1a b a a b
-++=-=即2
440,a a -+=求得：2,2a b ==
19. （本小题满分12分）
如图，三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2a 的正三角形. ,SA SC a D ==为AC 的中点.
（1） 求证：AC ⊥平面SBD
（2）若二面角S AC B --的大小为90， 求二面角S BC A --的正切值. 解：（1）SA SC AC SD =∴⊥ ∵底面ABC 是正三角形 ∴BA BC = AC BD ⊥
,SD BD 为面SBD 内两相交线
∴AC ⊥平面SBD
（2） 作DH BC ⊥交BC 于H ，连接SH .
由（1）可知，二面角S AC B --的平面角为90SDB ∠=
SD ∴⊥平面ABC SD BC ⊥ 又BC DH ⊥
BC SDH ∴⊥平面 BC SH ∴⊥
∴二面角S BC A --的平面角为SHD ∠ 可求得：2,22
a
SD SB a =
= 利用三角形面积相等，可得：144
SH a =
∴2623tan /243
SHD ∠=
= A
B
C
D
S
H。