雅礼高一期末数学试卷(解析版)

雅礼中学高一年级期末测试
数学试卷
一，选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）
 设集合{}{}
3213=M m Z m N n Z n =∈-∈-≤≤＜＜，，则=M N ⋂
✌ {}0,1 {}1,0,1-
{}
0,1,2
{}1,0,1,2-
答案：【 】
 函数()21
log 3y x x
=
++的定义域是 ✌ R ()3,-+∞
()
,3-∞-
()()3,00,-⋃+∞
答案：【 】

设11,1,,32
a ⎧
⎫∈-⎨⎬⎩
⎭
，则使函数a y x =的定义域为 且为奇函数的所有♋值为
✌     
        答案：【✌】

若2
23
2,,log ,3x
a b x c x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则1x ＞时，,,a b c 的大小关系是
✌ a b c ＜＜ c b a ＜＜
c a b ＜＜
a c
b ＜＜ 答案：【 】

✌
16123
+π
32123
+π
168π+
328π+
答案：
【✌】

若函数()y f x =是函数()01x
y a
a a =≠＞
且的反函数，且()y f x =的图像经过点
)
a ，则()f x =
✌ 2log x 2log x -
1
2x
2
x 答案：【 】 
丙申猴年春节马上就要到来，长沙某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优
惠，商场规定：
①如一次性购物不超过 元，不予以折扣；②如一次性购物超过 元，但不超过 元，按标价予以九折优惠；③如一次性购物超过 元，其中 元予以九折优惠，超过 元的部分予以八五折优惠；某人两次去购物，分别付款 元和
正视图
侧视图
俯视图
元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款
✌ 608元 574.1元
582.6元
456.8元 答案：【 】

直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是
✌ 210x y +-= 210x y +-=
230x y +-= 230x y +-=
答案：【 】

函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间
✌ 11,84⎛⎫
⎪⎝⎭ 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
()1,2
答案：【 】
 在三棱锥S ABC -中，,AB AC SB SC == 则直线SA 与BC 所成角的大小为
✌ 90 60
45
30 答案：【✌】

设()f x 是定义在 上且图象为连续不断的偶函数，且当0x ＞时，()f x 是单
调函数，则满足()34x f x f x -⎛⎫
=
⎪+⎝⎭
的所有实数⌧之和为
✌ 5- 2- 3-
8- 答案：【✌】
 定义在 上的函数，对于任意实数⌧，都有()()33f x f x +≤+，且
()()22f x f x +≥+，且()12f =，则()2016f 的值为
✌ 2014 2015
2016
2017 答案：【 】
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且共同顶点上的三条棱的长分别是
，则此球的表面积为♉♉♉♉♉♉♉♉♉ 答案：【 π】
 在矩形✌中，✌边所在的直线方程为360x y --=，点()1,1T -在✌边所在
直线上 则✌边所在直线方程为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉ 答案：【320x y ++=】
 湖南某县计划十年时间产值翻两番（ 倍），则产值平均每年增长的百分率为
♉♉♉♉♉♉♉♉♉ （参考数据：0.0602
lg 20.3010,10 1.149,lg11.49 1.0602===）
答案：【14.9%】
 已知函数()3log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,t ，用含♦的表达式表示
b a -的最大值记为()M t ，最小值记为()N t ，设()()()g t M t N t =-
（ ） 若♦ 则()1M ♉♉♉♉♉♉♉♉
（ ） 当12t ≤≤时，()()2
151
g t g t +⎡⎤⎣⎦+的取值范围为♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉♉
答案：【879;6,39⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
】 三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤 ）
 （本小题满分 分）
已知函数()f x 的定义域为{}0,x x x R ≠∈的奇函数，且当0x ＞时，()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ） 求函数()f x 的解析式
（ ） 画出函数的图象，根据图象写出()f x 的单调区间
解：（ ）由题意得：()00f =；当0x ＜时，0x -＞；()()2x
f x f x =--=-
所以，函数解析式为()f x = ()
()
()2000102=x x
x x x -⎛⎫
⎪⎝⎭
＜＞
（ ）函数图象如下图所示，单调递减区间为()(),0,0,-∞+∞
 （本小题满分 分）
已知两直线：()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=
（ ） 当2a =且直线1l 与直线2l 平行时，求直线1l 与直线2l 的距离 （ ） 直线1l 过点()3,1--，并且直线1l 与直线2l 垂直，求♋♌的值 解：（ ）12:240,:0l x by l x y b -+=++=，又12l l ，2b =-
直线1l 与直线2l 的距离d =（ ）由已知条件得：(){
340
1a b a a b
-++=-=即2
440,a a -+=求得：2,2a b ==
 （本小题满分 分）
如图，三棱锥S ABC -中，底面✌的正三角形 ,SA SC a D ==为
✌的中点
（ ） 求证：✌⊥平面 
（ ）若二面角S AC B --的大小为90，
求二面角S BC A --的正切值
解：（ ）
SA SC AC SD =∴⊥
✌
☟
∵底面✌是正三角形 ∴BA BC = AC BD ⊥
,SD BD 为面 内两相交线
∴✌⊥平面 
（ ） 作DH BC ⊥交 于☟，连接 ☟
由（ ）可知，二面角S AC B --的平面角为90SDB ∠=
SD ∴⊥平面ABC SD BC ⊥
又BC DH ⊥
BC SDH ∴⊥平面 BC SH ∴⊥
∴二面角S BC A --的平面角为SHD ∠
可求得：SD SB =
=
利用三角形面积相等，可得：4
SH a =
∴tan /243
SHD ∠=
=。