2019-2020学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题含解析
2024届湖南省长沙市雅礼教育集团数学高一下期末经典试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．方程tan 2x =的解集为（ ） A ．{}|2πarctan 2,x x k k =+∈Z B ．{}|2πarctan 2,x x k k =±∈Z C ．{}|πarctan 2,x x k k =+∈Z D ．(){}|π1arctan 2,kx x k k =+-∈Z2．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．133．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA +=C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++= 4．已知集合A ＝｛x ｜0≤x≤3｝，B ＝｛x R ｜－2＜x ＜2｝则A ∩B =( ) A ．{0,1}B ．{1}C ．[0,1]D ．[0,2)5．在ABC ∆中，三个内角成等差数列是60B ∠=︒的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．17．从甲、乙、丙三人中，任选两名代表，甲被选中的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若::4:3:2a b c =，则2sin sin sin 2A BC-=（ ）A ．37B ．57C ．97D ．1079．半径为1cm ，中心角为150的弧长为（ ） A ．23cm B ．23cm π C ．56cmD ．56cm π 10．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一下学期期末考试数学试卷【含答案】
雅礼教育集团2022年高一下学期期末试卷数学分值：150一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ={1，2，3，4}，集合A ={1，2}，B ={2，3}，则（ ）()U A B = A ．{1，3，4}B ．{3，4}C ．{3}D ．{4}2．设，为z 的共轭复数，则（）()i 2i z =+z z =A ．B ．C ．D ．12i+12i--12i-12i -+3．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则（）1122AC BD +=A ．B ．C ．D ．ABCD AD CB4．设m 、n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ αβ）A ．若m ∥，n ∥，则m //nB ．若m ∥，∥，则m ∥ααααββC ．若m ∥，，则D ．若m //n ，，则ααβ⊥m β⊥m α⊥n α⊥5．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：5，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．1006．已知，，，则（ ）0.21.5a =0.8log 1.2b =0.20.8c =A ．B ．C ．D ．a c b >>c b a >>a b c >>c a b >>7．如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且AA 1=2，则AC 1的长为（ ）A B ．C D 8．在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数3x ≤3x ≤3s ≤，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数3x ≤2m ≤4m ≤为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【试卷】2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣43．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．104．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．510．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．2020-2021学年湖南省长沙市雅礼中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|﹣2≤x＜2}，B＝{0，1}，则下列判断正确的是（）A．B∈A B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A【分析】利用集合之间的包含关系判断集合的关系．【解答】解：∵A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B集合的元素都在集合A中，∴B⊆A．故选：D．【点评】本题考查的集合的子集概念，是基础题．2．（5分）已知x＞0，则对于2﹣3x﹣，说法正确的是（）A．有最小值2+4B．有最小值2﹣4C．有最大值2+4D．有最大值2﹣4【分析】直接利用基本不等式求解即可判断选项．【解答】解：2﹣3x﹣＝2﹣（3x+），x＞0，3x+≥＝4．当且仅当3x2＝4，即x＝是取等号．∴2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）≤2﹣4．故选：D．【点评】本题考查基本不等式在最值中的应用，注意表达式的变形是解题的关键．3．（5分）已知＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A．B．C．D．10【分析】根据，即可求出x，y的值，然后即可求出的坐标，进而得出的值．【解答】解：∵，∴，解得x＝2，∵，∴﹣4﹣2y＝0，解得y＝﹣2，∴，，∴．故选：A．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）已知a＝log0.33，b＝log0.34，c＝30.3，那么（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】可得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log0.34＜log0.33＜log0.31＝0，30.3＞0，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的单调性，指数函数的值域，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）为了得到函数y＝cos，x∈R的图象，只需把余弦函数的图象y＝cos x，x∈R上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【解答】解：将函数y＝cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+∅）的图象变换规律，属于基础题．6．（5分）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（）A．这9年我国快递业务量有增有减B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件【分析】分别观察这9年我国快递业务量和各年我国快递业务量同比增速，对选项一一分析，可得结论．【解答】解：由条形图可得，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第五个数48.0%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%﹣25.3%＝36.3%＞36%，故C错误；由条形图可得，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：D．【点评】本题考查条形图、曲线图的应用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．7．（5分）在空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，则对角线AC与BD的位置关系为（）A．相交但不垂直B．垂直但不相交C．不相交也不垂直D．无法判断【分析】作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接OA，OB，OC，由线面垂直的判定和性质，以及三角形的垂心的定义，可得结论．【解答】解：如图，作AO⊥平面BCD，垂足为O，可得AO⊥CD，又AB⊥CD，则CD⊥平面ABO，所以BO⊥CD，同理可证DO⊥BC，所以O为△BCD的垂心，所以OC⊥BD，又OA⊥BD，OA∩OC＝O，所以BD⊥平面ACO，故BD⊥AC．故选：B．【点评】本题考查空间中线线、线面的位置关系，考查推理能力，属于中档题．8．（5分）若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα＝k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k＝＝1+m2，又由m∈R，则k＝1+m2≥1，则有tanα＝k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．【点评】本题考查直线的斜率、倾斜角的计算，关键是求出斜率的范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，则a的取值可以是（）A．﹣1B．1C．2D．5【分析】由题意可得，三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点，由此求得a的范围．【解答】解：∵三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3构成三角形，故三条直线中任意两条不平行，且三条直线不共点．而直线x+y＝0和x﹣y＝0交于原点，无论a为何值，直线x+ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay＝3与另两条直线不平行，所以，a≠±1，故选：CD．【点评】本题主要考查三条直线能构成三角形的条件，两条直线不平行的条件，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）在R上为增函数C．函数f（x）的值域为（﹣3，+∞）D．函数f（x）只有一个零点【分析】利用分段函数的性质对应各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A：由已知可得函数定义域为R，故A正确；选项B：当x＜1时，函数f（x）为增函数，当x≥1时，函数为增函数，且41﹣3＝1＞ln1＝0，所以函数在R上不单调，故B错误；选项C：当x＜1时，﹣3＜f（x）＜1，当x≥1时，f（x）≥0，所以函数的值域为（﹣3，+∞），故C正确；选项D：当x＜1时，令4x﹣3＝0，解得x＝log43，当x≥1时，令lnx＝0，解得x＝1，故函数有两个零点，故D错误，故选：AC．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了学生对分段函数的理解能力，属于中档题．11．（5分）设z为复数，在复平面内z、对应的点分别为P、Q，坐标原点为O，则下列命题中正确的有（）A．当z为纯虚数时，P，O，Q三点共线B．当z＝1+i时，△POQ为等腰直角三角形C．对任意复数z，D．当z为实数时，【分析】当z为纯虚数时，可得P、O、Q都在虚轴上，判断A正确；由|OP|＝|OQ|且判断B；举例说明C错误；当z为实数时，由判断D．【解答】解：对于A，当z为纯虚数时，设z＝bi（b∈R且b≠0），则P（0，b），O（0，0），Q（0，﹣b），三点共线，故A正确；对于B，当z＝1+i时，，则P（1，1），Q（1，﹣1），|OP|＝|OQ|，且，则△POQ为等腰直角三角形，故B正确；对于C，取z＝1，则，有，故C错误；对于D，当z为实数时，，则，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，下列命题中真命题是（）A．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交B．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直C．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交D．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，D正确．【解答】解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN＝AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，直线HM必与AB直线相交于某点O．所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故A正确．过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故B正确．过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故C不正确．过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，则tan2α＝．【分析】由已知求得cosα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切求解．【解答】解：∵，，∴cosα＝﹣，∴tanα＝．则tan2α＝＝．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．14．（5分）已知两点A（1，﹣2），B（5，0），则线段AB的垂直平分线方程为2x+y﹣5＝0．【分析】求出线段AB的中点和斜率，可得AB中垂线的斜率，再利用点斜式求出线段AB的垂直平分线方程．【解答】解：经过两点A（1，﹣2），B（5，0）的直线的斜率为＝，中点为（3，﹣1），则线段AB的垂直平分线的斜率为﹣2，故线段AB的垂直平分线方程为y+1＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣5＝0，故答案为：2x+y﹣5＝0．【点评】本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15．（5分）甲、乙两位同学进行羽毛球赛，采取三局两胜制．设甲每一局获胜的概率为，乙每一局获胜的概率为，且甲已获得第一局胜利．求甲获得最终比赛胜利的概率为．【分析】直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况，甲胜第二局概率为，乙胜第二局甲胜第三局概率为＝，由此能求出甲获胜概率．间接法：先求出乙获胜概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲获胜概率．【解答】解：直接法：分成甲胜第二局直接取胜和乙胜第二局甲胜第三局两种情况．甲胜第二局概率为：，乙胜第二局甲胜第三局概率为：＝，∴甲获胜概率为：＝．间接法：乙获胜概率为＝，所以甲获胜概率为：1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，△SAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，则该三棱锥外接球的表面积为．【分析】由题意画出图形，可得等边三角形ABC外接圆的圆心为三棱锥S﹣ABC的外接球的其球心，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：如图，取AB中点G，则G为三角形SAB的外心，取等边三角形ABC的外心O，则OG⊥平面SAB，又二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，即平面SAB⊥平面ABC，且平面SAB∩平面ABC＝AB，∴OG⊥平面SAB，则OC＝OA＝OB＝OS，故O为三棱锥S﹣ABC的外接球的球心，则外接球的半径R＝OC＝，则该三棱锥外接球的表面积为4π×＝．故答案为：．【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查数形结合思想，是中档题．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）直接由已知结合利润＝总收益﹣总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．【解答】解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．【点评】本题考查函数模型的选择及其应用，训练了分段函数最值的求法，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，f（A）＝，a＝，b＝2c，求c．【分析】（I）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质可求；（II）由已知可先求A，然后结合余弦定理可求．【解答】解：（I）f（x）＝，＝﹣cos x，＝sin（x﹣），故函数的最大值为1；（II）由f（A）＝sin（A﹣）＝且A为三角形内角，则A＝，因为a＝，b＝2c，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，即3＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝1．【点评】本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．19．（12分）某中学为了解学生参加学校暑期开设的网课学习情况，从网站注册的学生中随机选取了100位，统计某周每位学生的学习时长，绘制成如图所示的频率分布直方图，并从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查．（1）求图中a的值并估算这100位学生学习的平均时长；（2）若从上述8位学生中随机抽取2位家访，求这2位学生来自不同组别的概率．【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出a，由此能估算这100位学生学习的平均时长．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，在[6，11）的学生中抽取5位，在[21，26）的学生中抽取3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．由此能求出这2位学生来自不同组别的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（0.020+0.050+0.070+a+a）×5＝1，解得a＝0.03．∴估算这100位学生学习的平均时长为：3.5×0.020×5+8.5×0.050×5+13.5×0.070×5+18.5×0.030×5+23.5×0.030×5＝13.5（小时）．（2）从学习时长落在[6，11），[21，26]两组内的学生中，按分层抽样方法抽取了8位学生进行跟踪调查，学习时长在[6，11）的学生中抽取：8×＝5位，学习时长在[21，26）的学生中抽取：8×＝3位，从这8位学生中随机抽取2位家访，基本事件总数n＝＝28，这2位学生来自不同组别包含的基本事件个数m＝＝15．∴这2位学生来自不同组别的概率P＝＝．【点评】本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．20．（12分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°．求：（1）AC1的长；（2）直线BD1与AC所成角的余弦值．【分析】（1）由，两边平方，代入数量积运算即可求解；（2）分别求出、及，再由数量积求夹角公式可得直线BD1与AC 所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos120°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝2，∴；（2）∵，∴＝12+12+0＝2，∴，∵，∴＝+＝22+12+12+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos120°+2×1×1×cos90°＝6，∴，∴＝﹣2．∴＝．∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查异面直线所成角的求法，考查空间向量的应用，是中档题．21．（12分）已知直线l：（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．【分析】（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；（2）把直线转化为y＝x﹣，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，（3）由题意可得a的范围，分别令x＝0，y＝0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．【解答】解：（1）直线l方程可整理为：a（3x﹣y）+（﹣x+2y﹣1）＝0，联立，解得，∴直线恒过定点（，）；（2）∵（a﹣2）y＝（3a﹣1）x﹣1，当a＝2时，x＝，满足题意，当a≠2时，∴y＝x﹣，∵直线不经过第二象限，∴，解得a＞2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）；（3）由题意可知直线的斜率k＝＜0，解得＜a＜2，令y＝0可得x＝，令x＝0可得y＝．∴S△＝•|•|＝||，对于函数y＝3a2﹣7a+2其对称轴为a＝，当a＝时，此时函数y取最小值，且为负数，为﹣所以函数y＝|3a2﹣7a+2|的范围为（0，]，∴S的面积有最小值，当a＝时取最小值．此时l的方程为：5y+15x﹣6＝0．【点评】本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝P A＝AD＝AB＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面P AB；（2）求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．【分析】（1）取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，先证明四边形EFDC 为平行四边形，可得CE∥DF，由面面垂直的性质定理证明AB⊥平面P AD，从而证明AB⊥DF，CE⊥AP，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面PCB和平面PCD的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可．【解答】（1）证明：取PB的中点E，P A的中点F，连接DF，EF，EC，所以EF∥AB，AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，则EF∥CD，且EF＝CD，故四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为平面PDA⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，又因为AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面P AD，又DF⊂平面P AD，所以AB⊥DF，因为PD＝P A，F为P A的中点，所以DF⊥AP，因为CE∥DF，所以CE⊥AB，CE⊥AP，又AP∩AB＝A，AB⊂平面P AB，所以CE⊥平面P AB，又因为CE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面P AB．（2）解：取AD的中点O，取BC的中点G，以点O为坐标原地，建立如空间直角坐标系图所示，则O（0，0，0），，所以，，设平面PCB的法向量为，则，即，令，则x＝1，y＝﹣1，故，设平面PCD的法向量为，则，即，令，则x＝3，故，设二面角D﹣PC﹣B的大小为θ，所以|cosθ|＝＝，则，故二面角D﹣PC﹣B的正弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (19)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (19)一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 若集合A ={x |−5<x <2},B ={x |−3<x <3}，则A ∩B =( )A. {x |−3<x <2}B. {x |−5<x <2}C. {x |−3<x <3}D. {x |−5<x <3}2. 在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y 轴对称的点的坐标是( )A. (0,2，3)B. (0,2，−3)C. (0,−2,3)D. (0,−2,−3)3. 已知直线l 上两点A(−4,1)与B(x,−3)，且直线l 的倾斜角为135°，则x 的值是( )A. −8B. −4C. 0D. 84. 若函数f (x )=(x +1)(x −a )为偶函数，则a =( )A. −2B. −1C. 1D. 25. 下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A. ①②B. ②③④C. ①②④D. ①②③6. 已知奇函数f(x)={3x −a, x ≥0g (x ), x <0，则f(−3)的值为( ) A. 27 B. −26 C. −27 D. 267. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A. π6B. π4C. π3D. π28. 直线y =x +4与圆(x −a)2+(y −3)2=8相切，则a 的值为( )A. 3B. 2√2C. 3或−5D. −3或59. 设a =ln 12，b =log 1312，则( ) A. a +b <ab <0 B. ab <a +b <0 C. a +b <0<ab D. ab <0<a +b10. 已知圆C 的圆心为y =14x 2的焦点，且与直线4x +3y +2=0相切，则圆C 的方程为( ) A. (x −1)2+y 2=3625B. x 2+(y −1)2=3625 C. (x −1)2+y 2=1 D. x 2+(y −1)2=111. 点A(1,3)关于直线3x +y +4=0的对称点坐标为( )A. (−1,−3)B. (−5,3)C. (−5,1)D. (−1,1)12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若a >0，a 23=49，则log 23a = ______ ． 14. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．15. 若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是______ ．16. 若函数f(x)=2x −1，则f(3)=______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−x <0}，B ={x|x 2−2x −m <0}．(Ⅰ)求∁R A ；(Ⅱ)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．18. 已知圆C ：x 2+y 2=4，直线l ：ax +y +2a =0，当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√2时，求直线l 的方程．19. 在四棱锥P −ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB//CD ，AB =12DC ，E 为PD 中点．(1)求证：AE//平面PBC；(2)求证：AE⊥平面PDC．20.某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示．问怎样分配投资额，才能使投资获得最大利润？21.已知Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=1，BC=2，D为BC的中点，将△ADB沿AD折起，使点B在面ADC所在平面的射影E在AC上．(Ⅰ)求证：CD⊥平面BDE(Ⅱ)求折起后三棱锥B―ACD的体积；22.已知函数f(x)=−3x+a3x+1+b(1)当a=b=1时，求满足f(x)≥3x的x的取值范围；(2)若y=f(x)是定义域为R的奇函数，求y=f(x)的解析式；(3)若y=f(x)的定义域为R，判断其在R上的单调性并加以证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．直接根据集合交集的定义求解即可．【解答】解：根据题意得，A∩B={x|−3<x<2}，故选A．2.答案：D解析：【分析】本题考查了空间直角坐标系中，某一点关于y轴对称点的坐标问题，是基础题目．【解答】解：在空间直角坐标系中，点P(0,−2,3)关于y轴对称的点的坐标是(0,−2,−3)．故选D.3.答案：C解析：【分析】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系的应用，考查计算能力．由直线的倾斜角可得直线的斜率为−1，再由直线的斜率公式求出x的值即可．【解答】解：由题意得，，解得x=0．故选C．4.答案：C解析：f(x)=x2+(1−a)x−a,f(x)为偶函数，∴1−a=0,a=1，故选C．5.答案：D解析：解：在①中，如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内，故①错误；在②中，如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故②错误；在③中，如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线与平面相交、平行或在这个平面内，故③错误；④如果一条直线和一个平面垂直，那么由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线，故④正确．故选：D．在①中，该直线与这个平面相交、平行或该直线在该平面内；在②中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；在③中，该直线与平面相交、平行或在这个平面内；④由线面垂直的性质定理得该直线垂直于平面内的任何直线．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，与分段函数．【解答】解：因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=1−a=0，解得a=1，所以f(−3)=−f(3)=−(33−1)=−26，故选B．7.答案：D解析：【分析】本题目主要考查异面直线所成角，属于一般题．解析：解：如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK//DN.所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角或其补角．连接A1C1，AM.正方体棱长为1，则A1K=√(√2)2+√622=√7，MK=12DN=12√12+122=√52，A1M=√12+12+122=32，∴A1M2+MK2=A1K2，∴∠A1MK=90°．故选择D．8.答案：C解析：解：∵直线y=x+4与圆(x−a)2+(y−3)2=8相切，∴圆心(a,3)到直线x−y+4=0的距离等于半径√8=2√2，即d=√2=√2=2√2，即|a +1|=2√2×√2=4，解得a =3或a =−5，故选：C ．根据直线和圆相切的等价条件转化为圆心到直线的距离等于半径即可得到结论．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据相切的等价条件是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：∵a =ln 12<ln 1e =−1，0<b =log 1312<log 1313=1， ∴ab <a +b <0．故选：B ．利用对数函数的性质、运算法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查对数函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10.答案：D解析：解：y =14x 2的焦点为(0,1)，所以圆C 为x 2+(y −1)2=r 2, r =√32+42=1，所以x 2+(y −1)2=1，故选：D ．求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C 的方程．本题考查圆C 的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．11.答案：C解析：【分析】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标．设出点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即可求得结论．解析：解：设点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(x,y)，则:{y−3x−1=133×x+12+y+32+4=0，解得{x =−5y =1， ∴点A(1,3)关于直线l 的对称点的坐标为(−5,1)．故选C .12.答案：B解析：【分析】本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．【解答】解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，令f(x)=t ，则方程t 2+t +m =0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t 2+t +m ，则g(1)≤0，即2+m ≤0，得m ≤−2．故选：B ．13.答案：3解析：解：由a 23=49得a =(49)32=(23)3，所以log 23a =log 23(23)3=3 故答案为：3先解出a 的值，然后代入即可．本题主要考查求对数值的问题，属基础题．14.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2，故答案为−(x −14)2．15.答案：1：2解析：解：设该圆锥体的底面半径为r ，母线长为l ，根据题意得；2πr =πl ，∴l =2r ；所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是πr 2：12πl 2=r 2：12(2r)2=1：2．故答案为1：2．根据圆锥体的侧面展开图是半圆，球场底面半径r 与母线长l 的关系，再求它的底面面积与侧面积的比．本题考查了圆锥体的侧面积与底面积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．16.答案：5解析：解：∵函数f(x)=2x−1，∴f(3)=2×3−1=5．故答案为：5．利用函数性质求解．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.答案：解：(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，故A=(0,1)，所以∁R A=(−∞,0]∪[1,+∞)．(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀．综上所述，实数m的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查补集、交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(Ⅰ)由x2−x<0得，0<x<1，求出A=(0,1)，由此能求出∁R A.(Ⅱ)若B=⌀，则(−2)2+4m≤0，故m≤−1；若B≠⌀，则不满足A∩B=⌀.由此能求出实数m的取值范围．18.答案：解：圆C：x2+y2=4，圆心为(0,0)，半径为2，∵|AB|=2√2，∴圆心到直线的距离为√4−2=√2，=√2∴√a2+1解得a=1或a=−1．故所求直线方程为x+y+2=0或x−y+2=0．解析：求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．DC，19.答案：证明：(1)取PC的中点M，连接EM，则EM//CD，EM=12所以有EM//AB且EM=AB，则四边形ABME是平行四边形．所以AE//BM，因为AE不在平面PBC内，所以AE//平面PBC．(2)因为AB⊥平面PBC，AB//CD，所以CD⊥平面PBC，CD⊥BM．由(1)得BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，又AE//BM，所以AE⊥平面PDC．解析：本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理的应用，考查空间想象能力．(1)取PC的中点M，连接EM，BM，证明EM//AB，EM=AB，推出AE//BM.然后证明AE//平面PBC.(2)证明CD ⊥平面PBC ，推出CD ⊥BM.，结合BM ⊥PC 可证BM ⊥平面PDC ，又AE//BM ，所以AE ⊥平面PDC..20.答案：解：由图可得y 1=54√x ，(x ≥0)，y 2=14x ，(x ≥0)，设用x 万元投资甲商品，那么投资乙商品为(10−x)万元，总利润为y 万元．y =54√x +14(10−x)=−14x +54√x +104=−14(√x −52)2+6516，(0≤x ≤10) 当且仅当√x =52即x =254=6.25时，y max =6516答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．(也可把投资乙商品设成x 万元，把投资甲商品设成(10−x)万元)解析：根据函数的模型求出两个函数解析式．将企业获利表示成对产品乙投资x 的函数，再利用配方法，求出对称轴，即可求出函数的最值．本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查二次函数的最值，属于中档题． 21.答案：(Ⅰ)证明：在对折图中作BO ⊥AD 于O ，连结OE ，由条件及三垂线定理知OE ⊥AD ， 对照原图知点B 、O 、E 共线，∵BA =BD ，∴BE 是AD 中垂线，∴∠BDE =∠BAE =90°，∴CD ⊥DE ，又∵BE ⊥平面ACD ，∴CD ⊥BE ，又DE ∩BE =E∴CD ⊥平面BDE ；( Ⅱ)解：∵AB ⊥面BCD ，CD ⊂面BCD ，∴AB ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂面ABD ，∴CD ⊥面ABD ，而BD ⊂面ABD ，∴CD ⊥BD ，∵CD =√6,∴AC =√2CD =2√3，∴BC =ACsin60°=2√3×√32=3，∴BD =√BC 2−CD 2=√3，在直角△ABC 中，DH =BD·CD BC =√2，∴DH ⊥面ABC,AE =12AC =√3,AB =ACcos60°=√3，第11页，共11页 三棱锥B −ACD 的体积为√64．解析：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理，得到CD ⊥平面BDE ；(Ⅱ)利用锥体体积公式求出三棱锥B −ACD 的体积．22.答案：解：(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；化简得，3(3x )2+2·3x −1≤0，解得，−1≤3x ≤13 ．故x ≤−1．(2)由题意，f(0)=−1+a 3+b =0，故a =1．再由f(1)+f(−1)=0得，b =3；经验证f(x)=1−3x 3(3x +1)是奇函数．(3)证明：∵y =f(x)的定义域为R ，∴b ≥0．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(3a +b)3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)，∵x 1<x 2，∴3x 2−3x 1(3x 1+1+b)(3x 2+1+b)>0．故当3a +b >0时，f(x)在R 上单调递减，当3a +b <0时，f(x)在R 上单调递增，当3a +b =0时，f(x)在R 上不具有单调性．解析：本题考查了函数的性质应用及证明，属于基础题．(1)由题意知，−3x +13x+1+1≥3x ；从而解不等式；(2)由题意知f(0)=−1+a 3+b =0，再由f(1)+f(−1)=0解出a.b ；从而验证即可；(3)由单调性的定义去证明．。
湖南四大名校内部资料试卷-雅礼教育集团2019-2020-1高一数学期末
雅礼教育集团2019年高一下学期数学期终考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( )A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x <2.已知集合{}220A x x x =-->，则R C A =( )A.{}12x x -<<B.{}12x x -≤≤ C.{}{}12x x x x <->UD.{}{}12x x x x ≤-≥U3.若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,25.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125B.125-C.512D.512-6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则( )A.1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB.1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC.4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD.4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r8.要得到函数5cos 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位9.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A.[]2,2-B.[]1,1-C.[]0,4D.[]1,310.设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为2π-B.()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C.()f x π+的一个零点为6x π=D.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减11.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.2B.2C.112D.13212.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <函时，都有()()12f x f x ≤数，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-.则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于( ) A.23B.34C.1D.45二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________. 14.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为__________. 15.某公司一年购买某种化物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________.16.化简2cos 70sin 40sin 50+o oo的结果为__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知全集U R =，{}39A x x =≤≤，{}4,1xB y y x ==≥，13log ,C y y x x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}20D x x ax b =++≤.(1)求()U C A B ⋂； (2)若C D =，求a b -的值.18.(本小题满分12分)已知函数()()2210f x ax x a =-+≠.(1)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且当6x π=时，()f x 取得最大值2(1)求()f x 的解析式；(2)用五点法作出()f x 在[]0,π上的图象21.(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=(1)求cos2a 的值； (2)求()tan αβ-的值.22.(本小题满分12分) 已知()221f x x x kx =-++(1)若2k =，(],1x ∈-∞-，求方程()0f x =的解； (2)若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两解1x ，2x ， ①求k 的取值范围；②证明：12`114x x +<.。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (48)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (48)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 在△ABC 中，已知a =2，b =√6，A =45°，则满足条件的三角形有( )A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定2. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为( )A. 4B. 3√3C. 4√3D. 6√33. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6=9，则log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a 10=( )A. 12B. 2+log 35C. 8D. 104. S n 是等差数列{a n }的前n 项和，如果S 10=120，那么a 1+a 10的值是( )A. 12B. 36C. 24D. 485. 不等式16−x 2≥0的解集是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4)6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若a =12b ，A =2B ，则cos B 等于( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知函数f (x )={2x ,(x ≥2)f (x +2),(x <2)，则f(log 45)等于( ) A. 2√5B. 4√5C. 3√5D. √5 8. 在等比数列{a n }中，若a 1=−8，前3项和S 3=−6，则a 5=( )A. 1B. −lC. 12D. −12 9. 对任意的实数x ，不等式mx 2−mx −1<0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. [−4,0]D. [−4,0)10. 数列{a n }满足a n+1={2a n , 0≤a n <1a n −1, 1≤a n <2，若a 1=43，则a 2018的值是 ( ) A. 83 B. 43 C. 23 D. 13 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. △ABC 中，A =π3,S △ABC =15√34,5sinB =3sinC ，则△ABC 的周长为______． 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，，则△ABC 的形状为______ ．13. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 3= ______ ．14. 在数列{a n }中，a 1=−1，a 2=0，且a n+2−a n =0(n ∈N ∗)，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2015= ______ ．15. 已知：f(x)=x 2+2x −1，g(x)=kx +b(k ≠0)，且f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，则实数k = ________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知实数x 1，x 2，…，x n (n ∈N ∗且n ≥2)满足|x i |≤1(i =1,2，…，n)，记S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j ．)及S(1,1，−1，−1)的值；(Ⅰ)求S(−1,1,−23(Ⅱ)当n=3时，求S(x1,x2,x3)的最小值；(Ⅲ)当n为奇数时，求S(x1,x2,…,x n)的最小值．x j表示x1，x2，…，x n中任意两个数x i，x j(1≤i<j≤n)的乘积之和．注：∑x i1≤i<j≤n17.在△ABC中，已知，其中角A,B,C所对的边分别为a,b,c.求：(1)求角A的大小；(2)若a=√6，△ABC的面积为√3，求sinB+sinC的值．218.设数列{a n}的前n项和为S n，满足tS n=na n，且a3<a2，求常数t的值．19.已知等差数列{a n}中，若S2=16，S4=24，求数列{|a n|}的前n项和T n．20.等差数列{a n}为递减数列，且a2+a4=16，a1a5=28，求数列{an}的通项公式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，属于基础题．根据正弦定理求出sin B，然后进行判断即可．【解答】解：∵a=2，b=√6，A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=bsinAa =√6×√222=√32，∵b>a，∴B=60°或120°，即满足条件的三角形个数为2个．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先利用余弦定理求出B的值，进一步判定三角形为等腰三角形，进一步利用面积公式的应用求出结果．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a+b)2=c2+ab，整理得a2+b2−c2=−ab，所以cosC=a2+b2−c22ab =−12，由于0<C<π，故C=2π3．由于B=30°，a=4，则△ABC为等腰三角形，所以b=4，所以S△ABC=12⋅4⋅4⋅√32=4√3．故选：C．3.答案：D解析：解：根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，∴log3a1+log3a2+⋯+log3a10=log3(a1a2⋅…⋅a10)=log3(a5a6)5=log3310=10，故选：D．根据等比数列的性质：a1a10=a2a9=⋯=a5a6=9，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：等差数列{a n}中，∵S10=120，∴102(a1+a10)=120，∴a1+a10=24．故选：C．等差数列{a n}中，由S10=120，知102(a1+a10)=120，由此能求出a1+a10．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5.答案：C解析：【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．将二次项系数化正，然后分解因式，小于零取两边．【解答】解：由16−x2≥0得x2−16≤0，即(x+4)(x−4)≤0，解得−4≤x≤4．故选C．6.答案：B解析：解：∵a=12b，A=2B，∴由正弦定理asinA =bsinB得：12b sin2B =12b2sinBcosB=bsinB，∴14cosB=1，∴cosB=14，故选：B．根据正弦定理和余弦的倍角公式，直接代入即可求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，要求熟练掌握正弦定理的公式和应用以及余弦的倍角公式．7.答案：B解析：解：∵1<log45<2∴2+log45>2∴f(log45)=f(2+log45)=22+log45=22⋅2log45=4√5故选B由题意可得，1<log45<2，代入f(log45)=f(2+log45)=22+log45可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是熟练应用指数及对数的运算性质． 8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和公式，熟练掌握等比数的通项及求和是解本题的关键，属于基础题．利用等比数列的求和公式求出公比q 的值，再利用等比数列的通项公式求解即可．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1=−8，前3项和S 3=−6，则q ≠1，所以S 3=a 1(1−q 3)1−q=−8(1−q 3)1−q =−6， 解得q =−12则a 5=a 1q 4=(−8)×(−12)4=−12． 故选D ．9.答案：B解析：【分析】本题考查不等式恒成立问题，利用一元二次函数图象求解．【解答】解：当m >0时，由函数f(x)=mx 2−mx −1的图象开口向上可知，f(x)=mx 2−mx −1<0不可能恒成立，当m =0时，−1<0恒成立，当m <0时，要f(x)=mx 2−mx −1<0恒成立，则△=m 2+4m <0，解得−4<m <0， 综合得−4<m ≤0，故选B ．10.答案：D解析：【分析】本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，解题的关键是求出数列的周期．根据首项的值和递推公式依次求出a 2、a 3、a 4的值，可求出数列的周期．【解答】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n (0≤a n <1)a n −1(1≤a n <2)，a 1=43， ∴a 2=a 1−1=13，a3=2a2=23，a4=2a3=43，…，∴a n+3=a n，则a2018=a672×3+2=a2=13．故选D.11.答案：8+√19解析：解：在△ABC中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，∴由正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，可得bc=15，∴解得：b=3，c=5．又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA=19，解得：a=√19．∴三角形的周长a+b+c=8+√19．故答案为：8+√19．由条件利用正弦定理可得5b=3c，再由S△ABC=15√34=12bc⋅sinA，求得bc，从而求得b和c的值．再由余弦定理求得a，从而得到三角形的周长．本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．12.答案：直角三角形解析：解：，，∴c(1+b2+c2−a22bc)=b+c，化为b2+a2=c2．∴C=90°．∴△ABC的形状为直角三角形．由，利用倍角公式可得，再利用余弦定理即可得出．本题考查了倍角公式、余弦定理，属于基础题．13.答案：8解析：解：∵S n=2(a n−1)，∴当n=1时，S1=2(a1−1)=a1，解得a1=2，当n≥2时，S n=2(a n−1)，①S n+1=2(a n+1−1)，②，两者相减得2(a n+1−a n)=S n+1−S n=a n+1，即a n+1=2a n，∴a2=2a1=2×2=4，∴a3=2a2=2×4=8，故答案为：8根据数列的递推关系，依次进行递推即可得到结论．本题主要考查数列的递推数列的应用，根据a n与S n的关系是解决本题的关键．14.答案：−1008解析：解：∵a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，∴a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，∴a1+a2+a3+⋯+a2015=(a1+a3+⋯+a2015)+(a2+a4+⋯+a2014)=−1008+0=−1008．故答案为：−1008．由a n+2−a n=0(n∈N∗)，a1=−1，a2=0，可得a1=a3=a5=⋯=−1，a2=a4=a6=⋯=0，即可得出．本题考查了数列的周期性、分组求和方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：2解析：【分析】本题考查了函数解析式的应用，以及函数值的求法，根据题意得f(0)=−1,g(0)=b，分别代入f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，即可得到结果．【解答】解：∵f(x)=x2+2x−1，g(x)=kx+b(k≠0)，∴f(0)=−1,g(0)=b，∵f(g(0))=−1，g(f(0))=−2，∴f(g(0))=f(b)=b2+2b−1=−1，g(f(0))=g(−1)=−k+b=−2，∴{b2+2b−1=−1，−k+b=−2∴k=2或k=0(舍),∴k=2．故答案为2．16.答案：解：(Ⅰ)由已知得S(−1,1,−23)=−1+23−23=−1．S(1,1，−1，−1)=1−1−1−1−1+1=−2. …(3分)(Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3．固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}．同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}．S(−1,x 2,x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，x 3所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}．当x k =±1(k =1,2，3)时，S =12[(x 1+x 2+x 3)2−(x 12+x 22+x 32)]=12(x 1+x 2+x 3)2−32． 因为|x 1+x 2+x 3|≥1，所以S ≥12−32=−1，且当x 1=x 2=1，x 3=−1，时S =−1，因此S min =−1. …(7分)(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n ． 固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3,…,x n )，S(−1,x 2,x 3,…,x n )}．同理S(1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(1,1，x 3，…，x n )，S(1,−1,x 3,…,x n )}．S(−1,x 2,x 3,…,x n )≥min{S(−1,1，x 3，…，x n )，S(−1,−1,x 3,…,x n )}．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可以被某一组取值±1的x 1，x 2，…，x n 所达到， 于是S ≥min{S(x 1,x 2,x 3,…,x n )}．当x k =±1(k =1,2，…，n)时，S =12[(x 1+x 2+⋯+x n )2−(x 12+x 22+⋯+x n 2)]=12(x 1+x 2+⋯+x n )2−n 2． 当n 为奇数时，因为|x 1+x 2+⋯+x n |≥1，所以S ≥−12(n −1)，另一方面，若取x 1=x 2=⋯=x n−12=1，x n−12+1=x n−12+2=⋯=x n =−1， 那么S =−12(n −1)，因此S min =−12(n −1).…(13分)解析：(Ⅰ)根据已知中S(x 1,x 2,…,x n )的计算方法可得得S(−1,1,−23)及S(1,1，−1，−1)的值． (Ⅱ)n =3时，S =S(x 1,x 2,x 3)=∑x i 1≤i<j≤3x j =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3.再固定x 2，x 3，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，因此S ≥min{S(1,x 2,x 3)，S(−1,x 2,x 3)}.同理S(1,x 2,x 3)≥min{S(1,1，x 3)，S(1,−1,x 3)}.S(−1，x 2，x 3)≥min{S(−1,1，x 3)，S(−1,−1,x 3)}.以此类推，我们可以看出S ≥min{S(x 1,x 2,x 3)}.从而求得S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．(Ⅲ)S =S(x 1,x 2,…,x n )=∑x i 1≤i<j≤n x j =x 1x 2+x 1x 3+⋯+x 1x n +x 2x 3+⋯+x 2x n +⋯+x n−1x n .固定x 2，x 3，…，x n ，仅让x 1变动，那么S 是x 1的一次函数或常函数，类似于(II)中的方法得出S(x 1,x 2,…,x n )的最小值．本题主要考查函数与方程的综合运用、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查逻辑推理能力．属于难题．17.答案：【解答】解：(1)由正弦定理得，，即sin(A−π6)=1，而A∈(0,π)，∴A−π6=π2，则A=2π3；(2)由得bc=2，由a=√6及余弦定理得(√6)2=b2+c2−2bccosA=b2+c2+bc=(b+c)2−bc，即b+c=2√2，所以．解析：【分析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)已知等式利用正弦定理，二倍角的余弦函数公式及辅助角公式化简，整理，即可确定出A的度数；(2)利用三角形面积公式列出关系式，代入整理表示出bc，再利用余弦定理化简求出b+c的值，由正弦定理确定出sinB+sinC的值即可．18.答案：解：由tS n=na n，得ta1=a1，∴t=1或a1=0．若t=1，则S n=na n，有a1+a2=2a2，得a1=a2．a1+a2+a3=3a3，得a2=a3，与a3<a2矛盾，∴a1=0，当n=2时，有t(a1+a2)=2a2，即ta2=2a2，∴t=2或a2=0．若t=2，则由2S3=2(a2+a3)=3a3，得a3=2a2，当a2>0时不成立．若a2=0，由t(a1+a2+a3)=ta3=3a3，∵a3<a2≠0，∴t=3．解析：通过已知条件，令n=1，可得t≠1，a1=0，再令n=2，可得t≠2，a2=0，再由tS3=3a3，且a3<a2求得t=3．本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查运算能力，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.答案：解：设等差数列{a n}的公差为d，由S2=16，S4=24，第11页，共11页 得{2a 1+2×12d =164a 1+4×32d =24, 即{2a 1+d =162a 1+3d =12, 解得{a 1=9d =−2, ∴等差数列{a n }的通项公式为a n =11−2n(n ≥1,n ∈N ∗).(1)当n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n =S n =−n 2+10n ；(2)当n ≥6时，T n =|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 5−a 6−a 7−⋯−a n=2S 5−S n=2×(−52+10×5)−(−n 2+10n)=n 2−10n +50；故T n ={−n 2+10n(n ≤5)n 2−10n +50(n ≥6)．解析：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题． 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可求得d 与a 1，从而可得a n =11−2n ，对n 分n ≤5与n ≥6讨论，即可求得数列{|a n |}的前n 项和T n ．20.答案：解：a 2+a 4=a 1+a 5=16，所以{a 1+a 5=16a 1a 5=28，又数列单调递减， 解得a 1=14，a 5=2，d =−3，故a n =14−3(n −1)=17−3n ．即通项公式为a n =17−3n ．解析：本题考查等差数列的通项公式和性质，由性质得a 2+a 4=a 1+a 5=16，联立方程组解得a 1=14，a 5=2，进而可得公差，可得通项公式．属基础题．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.若sin(α+π)=34，则cos(α+π2)=()A. 34B. −34C. √74D. −√742.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·=0，·=0，·=0，则△BCD的形状是()A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定3.设是两个非零向量，下列选项正确的是()A. 若，则B. 若，则C. 若，则存在实数，使得D. 若存在实数，使得，则4.已知平面向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(x,3)，且a⃗⊥b⃗ ，则实数x的值为()A. 9B. 1C. −1D. −95.已知α是第一象限角，其终边与单位圆交点P的横坐标为13，绕坐标原点O将射线OP按逆时针方向旋转π3，所得射线与单位圆交于点Q，则点Q的纵坐标为()A. 2√3−16B. 2√2−36C. 2√6+16D. 2√2+√366.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)+12(ω>0)，且f(α)=−12，f(β)=12，若|α−β|的最小值为3π4，则ω的值为()A. 1B. 13C. 23D. 27.设sin()=，sin2=()A. B. C. D.8.已知函数f(x)=sinx+sin(x+π3)，x∈[0,π]，则f(x)的值域为()A. [−√3,√3]B. [−√32,√3] C. [√32,√3] D. [−2,2]9. 已知空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ .点M 在OA 上，且OM =2MA ，点N 为△ABC 重心，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 16OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2>AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( ) A. 不等边三角形 B. 三条边不全等的三角形 C. 锐角三角形D. 钝角三角形11. 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么+|等于A.B.C.D. 412. 如图是函数y =sin(ωx +φ)的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 12π B. 19π2+1 C. 19π2−1 D. 13π2−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,2)且k a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −3b ⃗ 垂直，则k 的值为______ ． 14. 已知钝角α满足cosα=−35，则tan(α+π4)的值为______． 15. 计算cos210°=______．16. 已知平面内M ，N ，P ，Q 四点，其中N ，P ，Q 三点共线，且MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 函数f(x)=Asin(ωx −π6)+1(A >0,ω,0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0,π2)，则f(α2)=2，求α的值．18.在平面直角坐标系中，已知向量，，．(1)若，求tan x的值；(2)若与的夹角为，求的值．19.已知函数f(x)=(cosx+√3sinx)⋅sin(π2−x)+12．(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．20.(1)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,−4a)，其中a≠0，求2sinα+cosα．(2)已知sinθ+cosθ=1，θ∈(0,π)，求sinθ−cosθ的值．521.(10分)设向量，函数．(Ⅰ)求函数的最大值与最小正周期；(Ⅱ)求使不等式成立的的取值范围．22.设函数f(x)=x2+|x−a|，g(x)=a．x(1)当a=0时，解关于x的不等式f(x)>2；(2)求函数f(x)的最小值；(3)若∀t∈(0,2)，∃x∈R使f(x)=g(t)成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：若sin(α+π)=34=−sinα，则cos(α+π2)=−sinα=34，故选：A．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简式子，属于基础题．2.答案：C解析：【思路点拨】通过·，·，·的符号判断△BCD各内角的大小，进而确定出三角形的形状．解：·=(−)·(−)=·−·−·+=>0，同理·>0，·>0.故△BCD为锐角三角形．3.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于是两个非零向量对于A.若，则，可知不垂直，对于B.若，则，两边平方不成立，对于C.若，则存在实数，使得成立，对于D.若存在实数，使得，则，只有方向相反的时候成立故答案为C。
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2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。