数值分析6-用SOR方法求解线性方程组

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数值分析课后习题与解答

课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。

关于逐次超松弛迭代法(SOR方法)的教学

关于“逐次超松弛迭代法（SOR 方法）”的教学一、SOR 迭代公式逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法，简称SOR 方法，它是在GS 法基础上为提高收敛速度，采用加权平均而得到的新算法，设求解线性代数方程组b Ax =的GS 法记为(1)再由与加权平均得这里ω＞0称为松弛参数，将(1)代入则得(2)称为SOR 迭代法，ω＞0称为松弛因子，当ω=1时，(2)即为GS 法，将(2)写成矩阵形式则得即，于是得SOR 迭代的矩阵表示(3)其中(4)亦可作矩阵分解ωωN M A -=，其中有.从而SOR 迭代矩阵 ωωωN M G 1-=. 例1 给定方程组精确解,用SOR法求解，分别取ω=1及ω=125.解用SOR迭代公式(2)可得取，迭代7次后分别为若要精确到小数后7位，对ω=1(即GS法)需迭代34次，而对ω=1.25的SOR法，只需迭代14次.它表明松弛因子ω选择的好坏，对收敛速度影响很大。

二、SOR迭代法收敛性根据迭代法收敛性定理，SOR法收敛的充分必要条件为，收敛的充分条件为，但要计算比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件定理1设，则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0＜ω＜2.证明因为SOR迭代矩阵为，于是另一方面，设的特征值为，由特征根性质，有若SOR法收敛，则，由，则得0＜ω＜2.定理2若对称正定，且0＜ω＜2，则解Ax=b的SOR迭代法(3)对迭代收敛。

证明设的特征值为(可能是复数)，对应特征向量x≠0, 由(4)得因为实对称矩阵，故, 上式两边与x作内积，得(5)因A正定，故D也正定，记.又记，,由内积性质得于是由(5)有由于A正定及0＜ω＜2，故，于是。

注一：当ω=1时SOR法即为GS法，故GS法也收敛，此即为GS法的收敛定理结论。

对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，关于最优松弛因子研究较为复杂，且已有不少理论结果。

数值分析习题集及答案[1](精)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

数值分析实验报告-Sor法分析

数值分析实验报告一、实验目的1、会使用Sor 法求解一个线性方程组2、熟悉matlab 语言并结合原理编程求方程组3、改变ω的值观察实验结果4、会分析实验结果二、实验题目编制Sor 迭代格式程序进行求解一个线性方程组的迭代计算情况，运行中要选用不同的松弛因子ω进行尝试三、实验原理Jacobi 迭代和seidel 迭代对具体的线性方程组来说，逼近*x 的速度是固定不变的，遇到收敛很慢的情况时就显得很不实用。

Sor 法是一seidel 迭代为基础，并在迭代中引入参数ω以增加迭代选择的灵活性，具体为：!用seidel 迭代算出的,)()1()()1(k k J k k Jx x x x x -=∆++相减得到差向量与再用参数ω乘之再加上)1()()()1()1()()()1(++++-=∆+=k Jk k k k k k x x x x x x x x ωωω，即的下一步迭代作为，由seidel 迭代的公式可以得到Sor 法的迭代格式为n i x a x a b a x x k j n i j ij k j i j ij i ii k i k i ,2,1),()1()(1)1(11)()1( =--+-=∑∑+=+-=+ωω式中ω称为松弛因子。

四、实验内容用matlab 编程得到Sor 法求线性方程组的算法为：function [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)if nargin==4eps= ;M = 200;elseif nargin<4errorreturn：elseif nargin ==5M = 200;endif(w<=0 || w>=2)error;return;endD=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵（U=-triu(A,1); %求A的上三角阵B=inv(D-L*w)*((1-w)*D+w*U);f=w*inv((D-L*w))*b;x=B*x0+f;n=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=epsx0=x;x =B*x0+f;n=n+1;if(n>=M)（disp('Warning: 迭代次数太多，可能不收敛！'); return;endend输入数据：>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=1;eps=1e-4;；M=100;>> [x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)x =n =;5error;>> A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5];b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=;eps=1e-4;M=100;[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)/x =n =@21>>A=[20 1 -3 -1;3 18 0 7;-1 2 40 -2;1 0 -1 5]; b=[1;2;10;-1];x0=[0;0;0;0];w=;eps=1e-4;M=100;[x,n]=SOR(A,b,x0,w,eps,M)Error using ==> errorNot enough input arguments.，Error in ==> SOR at 13用实验3中的线性方程组作为例子比较得当ω=时，x = 迭代次数为n=21当ω=1时，x = 迭代次数为n=5当ω=时，出现error五、实验分析由定理，Sor法收敛的必要条件是0<ω<2，因此，当ω=和1时，算法收敛，能够求出根，并且迭代次数根据ω的不同而不同，在求方程组的根时，只要选择恰当的ω，收敛是很快的。

第一次迭代解法之SOR

种相容范数都有 ρ(A)≤||A||
（6.2）
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另一个更深刻的结果,对于任意的ε＞0，必存在一种相
容的矩阵范数，使
|| A ||≤ ρ(A) ＋ε
（6.3）
式（6.2）和（6.3）表明，矩阵A的谱半径是它所有相容范数的下确界。
定义6.4 设有n×n矩阵序列 A(k) (ai(jk) ), k 1, 2, 方阵A＝（aij）, 如果
多大算病态没有标准。如果主元很小或者元素数量级相差大，可能是病态
cond ( A) A A1 AA1 1
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§2 迭代解法与收敛性
一、迭代解法
设有线性方程组
Ax=b
(1)
A∈Rn×n, b∈Rn .
对A 进行分裂， A=A1+A2 , 其中 A1 可逆，
则 (A1+A2)x=b A1x = - A2x+b x = - A1-1 A2 x + A1-1 b
再由 Ax =b，得到 || b||= || Ax || ≤||A || ||x||
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于是，由 || △x ||≤||A-1 || ||△b||
及 ||b || ≤||A || ||x|| 1 A
x
b
得到解的相对误差为
x A
A1
b
x
b
令 Cond(A)=||A || ||A-1 || ,并称其为矩阵A的条件数。
14 20
则它的特征方程为:
I AT A 10 14
2 30 4 0
14
20
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此方程的根为矩阵ATA的特征值，解得

数值分析第三版课本知识题及答案解析

第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f hA f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dxf f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 1xedx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。本题仅解 a)，b）的解法类似。解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散，并求两种方法收敛速度之比。解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190，如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )

10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k

数值计算 SOR方法

一.SOR迭代法流程图：开始设置一维数组首地址设置二维数组首地址设置精度e(precision)设置系数矩阵的阶数N设置增广矩阵的各值设置初始向量设置松弛因子w设置两解向量的差的范数x_0[i]设置最大迭代次数并取到MAX中设置k记录迭代次数初值是0Temp=temp+a[i][j]*x_k[j]Temp=temp+a[i][j]*x_0[j]X_k[i]=(x_k[i]-temp)/a[i][j]X_k[i]=(1-w)*x_0[i]+w*x_k[i]X_0[i]=x_k[i]-x_0[i]YMatrix_category(x_0,n)<precisionNY X_0[i]=x_k[i]I=i+1K=k+1NK<max实验名称：松弛法实验解题小组成员（班级：09医软（1）班）：姚飞：09713047 参与程序的编写闫化晴：09713046 参与搜集资料与编写程序余雷：09713049 参与搜集资料与后期运行调试张珊：09713051 参与程序的编写实验内容：二.SOR 迭代法理论：松弛法是 Gauss －Seidel 迭代迭代法的一种加速方法.若记△X = X (K+1) - X (K) = LX (K+1) + UX (K) + f - X (K)则X (K+1) = X (K) + △X ，这样X (K+1) 可以看作是 X (K)加上修正项 △X 而得到.若在修正项△X 前面添加一个因子ω= 1,就是Gauss －Seidel 迭代.通过选择ω可使迭代法收敛的更快.松弛法简称SOR 方法，它的计算格式为：(1)()()()111122111(1)()(1)()()222211233222(1)()(1)()1111(1)(),(1)(),(1)(),k k k k n n k k k k k n n k k k k n n n n nn n nn x x b a x a x a x x b a x a x a x a x x b a x a x a ωωωωωω+++++--=-+---=-+----=-+---这里ω称为松弛因子.当ω< 1时称为低松弛迭代，当1 < ω <2时称为超松弛迭代.实验素材及结果：三、SOR 迭代法例1、用SOR 迭代法求解线性方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------74.012.018.168.072.012.006.016.012.001.103.014.006.003.088.001.016.014.001.076.04321x x x x取初始点T x )0,0,0,0()0(=，松弛因子05.1=ω，精度要求610-=ε.解：根据上面程序运行结果如下：例2、用SOR迭代法求解方程组：8X1 + X2- 2X3 = 9,3X1 - 10X2 +X3 = 19,5X1 - 2X2 +20X3 = 72,取初始点X(0) = (0,0,0)T，松弛因子ω= 1，精度要求ε= 10-5.解：根据上面程序运行结果如下：。

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程序 clear;clc; A=[4,3,0;3,4,-1;0,-1,4]; b=[24,30,-24]'; N=length(b); %解向量的维数 fprintf('库函数计算结果：'); x=inv(A)*b %库函数计算结果 x=[1;1;1];%迭代初始值 %-----(A=D-E-F)-----D=diag(diag(A)); E=-tril(A,-1);%下三角 F=-triu(A,1);%上三角 w=1.5; %松弛因子，一般 0<w<2 B=inv(D-w*E)*[(1-w)*D+w*F];g=w*inv(D-w*E)*b; eps=1e-8;%相邻解的距离小于该数时，结束迭代 %--------开始迭代------for k=1:100 %最大迭代次数为 100 fprintf('第%d 次迭代：',k); y=B*x+g; if abs(x-y)<eps break; end x=y end x
程序结果
当比较松弛因Biblioteka 取 1.0 时当比较松弛因子取 1.25 时
当比较松弛因子取 1.5 时
作业七：编写用 SOR 方法求解线性方程组 Ax=B 的标准程序，并求下列方程组的解，并比较松弛因子取 1.0、 1.25、 1.5 时所需迭代的次数。可取初始向量 X(0) =（1,1,1）’；迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-8
4 30 ��1 24 3 4 − 1 x2 = 30 0 − 14 x3 −24