数字信号处理第五章4数字滤波器的格型结构
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第5章数字滤波器的基本结构
1、横截型（卷积型、直接型）
差分方程:
2、级联型
将H(z)分解成实系数二阶因式的乘积形式:
级联型的特点
• 每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的 传输零点
• 系数比直接型多，所需的乘法运算多
3、频率抽样型
N个频率抽样H(k)恢复H(z)的内插公式：
子系统： 是梳状滤波器
在单位圆上有N个等间隔角度的零点：
5.3 FIR数字滤波器的基本结构
• FIR数字滤波器的特点： 系统函数：
有N-1个零点分布于z平面 z=0处 是N-1阶极点
1）系统的单位抽样响应 h(n)有限长，设长度为N
2）系统函数H(z)在
处收敛，有限z平面只
有零点，全部极点在 z = 0 处（因果稳定系统）
3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构
• 原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和 输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。
例：设IIR数字滤波器差分方程为：
试用四种基本结构实现此差分方程。 解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：
得直接Ⅰ型结构：
典范型结构：
将H(z)因式分解： 得级联型结构：
将H(z)部分分式分解： 得并联型结构：
频率响应：
子系统：
单位圆上有一个极点：
与第k个零点相抵消，使该频率 率响应等于H(k)
Hale Waihona Puke 处的频频率抽样型结构的优缺点
• 调整H(k)就可以有效地调整频响特性
• 若h(n)长度相同，则网络结构完全相同，除了 各支路增益H(k)，便于标准化、模块化
• 有限字长效应可能导致零极点不能完全对消， 导致系统不稳定
对其进行傅氏变换得:
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字信号处理数字滤波器的基本结构课件
灵活性高
数字滤波器可以针对不同的应 用需求，选择不同的滤波算法 和参数，具有较强的灵活性。
可同时处理多个信号
数字滤波器可以同时对多个输 入信号进行处理，提高了处理
效率。
数字滤波器的应用
01
02
03
04
音频处理
数字滤波器可以用于音频信号 的降噪、回声消除、均衡等处
理。
图像处理
数字滤波器可以用于图像的增 强、去噪、锐化等处理。
THANK YOU
差分方程
01
02
递归式
非递归式
03
04
直接形式
级联形式
05
06
并联形式
FIR数字滤波器的基本结构
01
直接形式
02
级联形式
03
分布式形式
04
快速卷积形式
03
数字滤波器的基本原 理
离散信号的频谱分析
离散信号的频域表示
将离散信号变换到频域，通过分析频域的特性来分析信号的特性 。
离散信号的频谱
描述信号中不同频率分量的强度和相位关系。
1 2 3
优化算法选择
根据数字滤波器的实际需求，选择适合的优化算 法，如快速傅里叶变换（FFT）算法、最小二乘 法等。
算法参数优化
对算法中的参数进行优化，以降低资源消耗。例 如，通过调整迭代次数、步长等参数，减少计算 量和内存占用。
算法实现优化
采用高效的算法实现方式，如使用循环展开、避 免重复计算等技巧，减少计算时间和内存占用。
数字滤波器的稳定性
数字滤波器的稳定性
01
确保数字滤波器在处理信号时不会产生不稳定或不收敛的情况
。
稳定的频率响应在无穷大频率范围内为零，则该滤
数字信号处理课件(第五章 数字滤波器的基本结构)
和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两 合并得到实系数的二阶网络，则有
F Ai 0i 1i z 1 H ( z) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 (5-8) i 1 i 1 E
M 1
b
M
a
a
N 1
N
图 5-4 直接Ⅰ型结构
y (n N 1) 1 z y (n N )
第5章 数字滤波器的基本结构
5.2.2 直接Ⅱ型
直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。由图5-4，直接Ⅰ型结构
的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入
信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把 y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即
若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构 如图5-5示。
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量
y2 (n) ai y2 (n i ) x(n )
i 1
N
然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)
y (n) bi y2 (n i )
z－1 x(n－N)
z－1 y(n－N)
图 5-4 直接Ⅰ型结构
…
第5章 数字滤波器的基本结构
x(n) a1 a2 z－1 z－1
y2 (n) y2 (n－1) y2 (n－2) z－1 z－1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
b N－1 bN z－1
…
a N－1
…
－1 aN z
图 5-5 直接Ⅰ型的变形结构
对应的差分方程为
F Ai 0i 1i z 1 H ( z) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 (5-8) i 1 i 1 E
M 1
b
M
a
a
N 1
N
图 5-4 直接Ⅰ型结构
y (n N 1) 1 z y (n N )
第5章 数字滤波器的基本结构
5.2.2 直接Ⅱ型
直接Ⅱ型结构又称为典范型结构。由图5-4，直接Ⅰ型结构
的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入
信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再把 y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即
若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其结构 如图5-5示。
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量
y2 (n) ai y2 (n i ) x(n )
i 1
N
然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)
y (n) bi y2 (n i )
z－1 x(n－N)
z－1 y(n－N)
图 5-4 直接Ⅰ型结构
…
第5章 数字滤波器的基本结构
x(n) a1 a2 z－1 z－1
y2 (n) y2 (n－1) y2 (n－2) z－1 z－1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
b N－1 bN z－1
…
a N－1
…
－1 aN z
图 5-5 直接Ⅰ型的变形结构
对应的差分方程为
数字信号处理课件第5章 数字滤波器的基本结构
x(n)
N 1 2
0 j 1 j
(a ) z－ 1 1j
y(n)
x(n)
0 j 1 j
z－ 1 z－ 1 (b)
1j
y(n)
2 j
2j
(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
第5章 数字滤波器的基本结构
22 /94
第5章 数字滤波器的基本结构
(1 pk z )(1 1k z 1 2 k z 2 )
M1
1
M2
将实根因子按两个一对，也合并构成实系数的二阶因 子；如果还剩单个的实根因子，可以将其看成是二次 项系数等于零的二阶因子。这样就可以把H(z)表示成 多个实系数的二阶数字网络Hk(z)的连乘积形式：
第5章 数字滤波器的基本结构
H ( z ) G0
[( N 1) / 2]
k 1
[( N 1) / 2] 0 k 1k z 1 G0 H k ( z ) 1 2 1 1k z 2 k z k 1
当N为奇数时，包含一个一阶节，即
2 k 1k 0
第5章 数字滤波器的基本结构
第5章 数字滤波器的基本结构
8 /94
数字滤波器有无限长单位脉冲响应(IIR)和 有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器两种。 FIR滤波器中一般不存在输出对输入的反馈 支路，因此差分方程用下式描述：
y (n) bk x(n k )
k 0
M
其单位脉冲响应h(n)是有限长的，
bn , 0 n M h( n) 0, n为其它值
a y (n k )
k 1 k
N
可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。
N 1 2
0 j 1 j
(a ) z－ 1 1j
y(n)
x(n)
0 j 1 j
z－ 1 z－ 1 (b)
1j
y(n)
2 j
2j
(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构
第5章 数字滤波器的基本结构
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第5章 数字滤波器的基本结构
(1 pk z )(1 1k z 1 2 k z 2 )
M1
1
M2
将实根因子按两个一对，也合并构成实系数的二阶因 子；如果还剩单个的实根因子，可以将其看成是二次 项系数等于零的二阶因子。这样就可以把H(z)表示成 多个实系数的二阶数字网络Hk(z)的连乘积形式：
第5章 数字滤波器的基本结构
H ( z ) G0
[( N 1) / 2]
k 1
[( N 1) / 2] 0 k 1k z 1 G0 H k ( z ) 1 2 1 1k z 2 k z k 1
当N为奇数时，包含一个一阶节，即
2 k 1k 0
第5章 数字滤波器的基本结构
第5章 数字滤波器的基本结构
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数字滤波器有无限长单位脉冲响应(IIR)和 有限长单位脉冲响应(FIR)数字滤波器两种。 FIR滤波器中一般不存在输出对输入的反馈 支路，因此差分方程用下式描述：
y (n) bk x(n k )
k 0
M
其单位脉冲响应h(n)是有限长的，
bn , 0 n M h( n) 0, n为其它值
a y (n k )
k 1 k
N
可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。
第五章数字滤波器的基本结构yan
三、转置定理 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换其系统函数仍不改变。
x(n)
a1
Z
b1 b
0 1
a2
Z1 b 2
y(n)
b M 1
a Z1
N 1
bM
aN
Z 1
（原网络）
y(n)
b0
a1
b Z 1 1
a2
Z1 b 2
x(n)
b M 1
a N 1
aN
b Z 1 M
单位延时：
Z 1
乘常数：
a
相加：
这种表示法更加简单方便。
几个基本概念：
a）输入节点或源节点，x(n) 所处的节点；
b）输出节点或阱 节点，y(n) 所处的节点；
c）分支节点，一个输入，一个或一个以上输 出的节点；将值分配到每一支路;
d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以 上输入的节点。
支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1； 任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。
表示取（N+1)/2的整数。
4. 并联型
将H（Z）展成部分分式形式:
H (Z ) k N 1 1 1 c A k k Z 1 k N 2 1(1 d B k k Z (1 1 )g 1 k ( Z d 1 k * ) Z 1 ) M k 0 N G k Z k
上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
二、基本结构
1、直接I型
（1）系统函数
M
bkzk
H(z)
Y(z) X (z)
k 0 N
1
akzk
（2）差分方程（N阶）
数字信号处理第五章4数字滤波器的格型结构
由bi m 1
1 1 km2
bim
kmbmmi ，得
b12
1 1 k32
b13
k3b23
1.4886262
b22
2020/6/14
1 1 k32
b23
k3b13
课件
0.7650549
k2
12
得二阶系统： B2 (z) 1 1.4886262z1 0.7650549z2
b11
1 1 k22
z
2
B 2020/6/14 m1 z zBm z z课k件mBm1 z
3
6
Bm
z
Bm1
z
km z
B 1 m1
z
Bm
z
km
Bm1
z
z
B 1 m1
z
Bm1 z zBm z zkmBm1 z
1 2
3
(3)代入(1)得（4）
Bm1
z
1 1 km2
Bm
z
km Bm
z
4
(4)代入(3) 得：
2020/6/14
课件
17
Y z
1
Fm z Am z
Gm z Y z
Am
z
Am z zm Am z1
H
z
Y z X z
Y z Fm z
1
Am z
1
M
1 aiM zi
i 1
格型结构系数 k1，k2，L kM 与 aim，i 1,2,L m；m 1,2,L M
之间递推关系同全零点系数与 bim 的递推关系完全一样。
代入 (1)、(4)
Bm
z
Bm1
数字信号处理：第5章滤波器
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i1
IIR线性滤波器
模拟滤波器的设计
巴特沃斯(Butterworth)滤波器:具有单调下降的幅频特性； 切比雪夫(Chebyshev)滤波器:幅频特性在通带或者阻带有等波
纹特性，可以提高选择性；
振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下 降的切比雪夫Ⅰ型滤波器；
1
0 2 4 2 k 2
NN
N
频率抽样型结构的优缺点:
① 便于控制滤波器频率响应，因为滤波器在 处的频率响应值。
② 需要复数乘法运算; ③ 理论上谐振器的极点正好与零点对消，但 实际上的有限字长效应，使之不能对消，系统将不 稳定。
频率采样型结构图示
理论型 x(n)
1
zN
1 H (0) 1/z
k 1
k 1
A为常数
M M1 2M2
pk 和ck 分别为实数零、极点
N N1 2N2
qk
,
qk*和d
k
,
d
*分别为复共轭零、极点
k
结构：将分解为一阶及二阶系统的串联，每级 子系统都用典范型实现。
H (z) H1(z)H2 (z) ... HM (z)
特点：方便调整极点和零点；但分解不唯一; 实际中需要优化。
N为奇数时
N 1
H (z) h(n)zn
n0
N 11 2
h(n)zn
n0
h
N 1 2
N 1
z2
N 1
h(n)zn
n N 11
2
令n N 1 m
N 11 2
h(n) zn
n0
z ( N 1n)
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(1) kM bM M
(2) 由kM ，b1M ，b2M L bM M ，求 Bm1 z 的系数
b1M 1， b2M 1，L
bM 1 M 1
kM 1
或由(6)得 BM 1
z
，则
kM 1
bM 1 M 1
(3) 重复(2)求出全部 kM，kM 1，L k1，BM 1 z ，L B1 z
四、数字滤波器的格型结构
格型结构的优点：
1）模块化结构便于实现高速并行处理
2）m阶格型滤波器可以产生1阶到m阶的m个横向 滤波器的输出性能
3）对有限字长的舍入误差不灵敏
故广泛应用于现代谱估计、语音信号处理、自适 应滤波等。
2020/5/10
课件
1
1、全零点系统（FIR 系统）的格型结构
一个M 阶的 FIR 滤波器的横向结构的系统函数：
代入 (1)、(4)
Bm
z
Bm1
z
km
z
B 1 m1
z
1
Bm1
z
1 1 km2
Bm
z
km Bm
z
4
得
Bm
z
Bm1
z
km zmBm1
z 1
5
Bm1
z
1 1 km2
Bm
z
km zmBm
z 1
6
2020/5/10
课件
9
2) bim km i 1 : m m 1 : M
B1 z z1B1 z1
B2 z B1 z k2z1B1 z 1 k1z1 k1k2z1 k2z2
B2
z
k2 B1
z
z 1B1
z
k2
k1k2 z1
k2 z 1
z 2
2020/5/10
B2 z z2B2 z1
课件
8
L Bm z zmBm z1
讨论与格型结构 ki 的关系
2020/5/10
课件
14
全极点格型结构基本单元：
fm1 n fm n kmgm1 n 1
gm
n
km
f
m1
n
gm1
n
1
m 1,2,L M
2020/5/10
课件
15
M＝1
f0 n f1 n k1g0 n 1
g1
n
k1
f
0
n
g0
n
1
f0
n
g0
n
y
n
f1
b12
k2b12
0.8433879
k1
得一阶系统：
B1(z) 1 0.8433879z1
2020/5/10
课件
13
2、全极点系统（IIR系统）的格型结构
全极点IIR滤波器的系统函数 H z
H z
1
A z
1
M
1 aiM zi
i1
其中 aiM 表示M 阶全极点系统的第 i 个系数，
2020/5/10
课件
11
例：一个FIR系统的系统函数为：
H (z) 1 1.8313708z1 1.4319595z2 0.448z3 试求其格型结构。
解：这是一个三阶系统
b(3) 1
1.8313708,
b(3) 2
1.4319595,
b(3) 3
0.448
得
k3
b(3) 3
0.448
m
Bm z 1 bimzi i1
代入(5)
m1
Bm1 z 1 bim1zi 代入 (6)
i 1
bmm km bim bim1 kmbmmi 1
i 1: m 1
km bmm
bi
m 1
1 1 km2
bim
kmbmmi
2020/5/10
课件
m 2,L M
10
3) 已知 H z B z BM z，求 k1 ，k2 L kM
n
1
f0 n g0 n x n
fM
n
y
n
2020/5/10
课件
m 1,2,L M
4
定义：Bm z 、Bm z分别是输入端到第m个基
本传输单元上、下端所对应的系统函数：
Bm z
Fm z F0 z
1
m i1
bim z i
Bm
z
Gm G0
z z
m 1,2,L M
2020/5/10
由bi m 1
1 1 km2
bim
kmbmmi ，得
b12
1 1 k32
b13
k3b23
1.4886262
b22
2020/5/10
1 1 k32
b23
k3b13
课件
0.7650549
k2
12
得二阶系统： B2 (z) 1 1.4886262z1 0.7650549z2
b11
1 1 k22
n
x
n
yn xn g1 n k1y
k1y n 1 n yn 1
Y z F1 z
1
1 k1z 1
令
1
A1 z
Gz
Y z
k1
z 1
z 1
1
k1z
z 1A1
z 1
令
＝A1 z
2020/5/10
课件
16
M＝2
f1 n f2 n k2g1 n 1
M
M
H z h i zi 1 biM zi B z
i0
i 1
系统 biM 表示M 阶 FIR 系统的第 i 个系数
2020/5/10
课件
2
M
M
H z h i zi 1 biM zi B z
i0
i 1
横向结构：M个参数 biM ，或 hi i 1 : M
M 次乘法，M 次延迟 格型结构：M 个参数 ki , i 1 : M 称为反射系数
2M 次乘法，M 次延迟
2020/5/10
课件
3
格型结构的系数ki (i 1,2,..., M ) 横向结构的系数bi(m) (i 1,2,...,m ；m 1,2,..., M ) 讨论 ki bim 的递推关系
fm n fm1 n kmgm1 n 1
gm
n
km
f m 1
n
gm1
z
2
B 2020/5/10 m1 z zBm z z课k件mBm1 z
3
6
Bm
z
Bm1
z
km z
B 1 m1
z
Bm
z
km
Bm1
z
z
B 1 m1
z
Bm1 z zBm z zkmBm1 z
1 2
3
(3)代入(1)得（4）
Bm1
z
1 1 km2
Bm
z
km Bm
z
4
(4)代入(3) 得：
课件
5
1) Bm z Bm1 z
对基本单元
fm n fm1 n kmgm1 n 1
gm
n
km
f m 1
n
gm1
n
1
Fm
z
Fm1
z
km
z
G 1 m1
z
Gm
z
km
Fm1
z
z
G 1 m1
z
z 变换，得
/ F0 / G0
Bm
z
Bm1
z
km
z
B 1 m1
z
1
Bm
zLeabharlann kmBm1z
z
B 1 m1
Bm1
z
1 1 km2
zkm Bm
z
zBm
z
2020/5/10
课件
7
B0 z B0 z 1
由(1)、(2)
Bm
z
Bm1
z
km
z
B 1 m1
z
1
Bm
z
km
Bm1
z
z
B 1 m1
z
2
B1 z B0 z k1z1B0 z 1 k1z1
B1
z
k1B0
z 1B0
z
k1
z 1