湖北大学量子力学考研参考试题及解
量子力学真题和答案解析
量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。
具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。
为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。
首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。
描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。
量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。
在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。
通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。
这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。
解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。
首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。
然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。
最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。
在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。
首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。
我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。
其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。
在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。
最后，量子纠缠是中的一个重要现象。
它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。
总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。
我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。
我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。
通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。
量子力学试题定态与叠加态的计算与解释
量子力学试题定态与叠加态的计算与解释量子力学试题：定态与叠加态的计算与解释量子力学是描述微观世界中物质与能量相互作用的理论框架。
在量子力学中，我们遇到的一个重要概念是量子态。
量子态描述了一个粒子或者系统的状态，可以通过数学形式来表示。
在本篇文章中，我们将讨论定态和叠加态的计算与解释。
一、定态的计算和解释定态是指一个量子系统在某一给定时间的特定状态。
在量子力学中，确定一个定态需要求解薛定谔方程，然后根据波函数计算相关物理量。
考虑一个简单的例子，一个自由粒子在一维空间中运动。
我们假设它的波函数为Ψ(x,t)，其中x表示位置，t表示时间。
薛定谔方程可以写作：iħ∂Ψ(x,t)/∂t = -ħ²/2m ∂²Ψ(x,t)/∂x²这个方程描述了波函数随时间变化的规律。
通过解这个方程，我们可以得到自由粒子的定态。
当薛定谔方程被解析求解后，我们可以计算定态下的一些物理量。
例如，粒子的位置、动量、能量等。
这些物理量由波函数的模方来表示，即|Ψ(x,t)|²。
通过积分计算波函数的模方，我们可以得到粒子在一维空间中的概率分布。
二、叠加态的计算和解释叠加态是指一个量子系统处于多个定态的叠加状态。
在量子力学中，叠加态可以用线性组合的方式来表示。
考虑一个简单的例子，一个自旋为1/2的粒子在一个以 z-轴为参考轴的测量中。
自旋可以取两个可能的态：向上|↑⟩或者向下|↓⟩。
那么，我们可以构造一个叠加态：|ψ⟩= α|↑⟩+ β|↓⟩其中，α和β为复数，且满足归一化条件：|α|² + |β|² = 1。
这样的叠加态表示了粒子既可能处于向上自旋态，也可能处于向下自旋态。
对于叠加态，我们可以计算某个物理量的期望值。
以自旋为例，我们可以计算自旋在 z-轴上的期望值⟨S_z⟩ = ⟨ψ|S_z|ψ⟩，其中 S_z 是自旋在 z-轴上的算符。
另外，量子力学中，测量完一个叠加态后，系统会塌缩到一个定态。
量子力学经典练习题及答案解析
1.设氢原子处于基态030,1),,(0a e a r a r -=πϕθψ为Bohr 半径，求电子径向概率密度最大的位置（最概然半径）。
解 22)()(r r R r w nl nl ⋅= 23010021)(r e a r w a r ⋅=-π ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅-=--0202221203010a r a r re r e a a dr dw π 011203002=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-r a re a a r π 由此得0=r ， ∞→r ， 0a r =2. 验证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并指出相应的本征值。
( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L )解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=22222sin 1)(sin sin 1ˆϕθθθθθ L 将2ˆL作用于所给函数上，得 ϕθϕθθθθθ332222sin )(sin 1)(sin sin 1i e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=ϕϕθθθθθθ332332sin )(sin 9cos sin )(sin 3i i e r f e r f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ϕϕθθθθθθ33222232sin )(sin 9)sin cos sin 3()(sin 3i i e r f e r f []ϕϕθθθ332232sin )(3sin )1(cos )(9i i e r f e r f +⋅--=ϕϕθθ332332sin )(3sin )(9i i e r f e r f +=ϕθ332sin )(12i e r f =上式满足本征方程ψψ22ˆL L =，可见θϕθψ3sin )(),,(r f r =ϕ3i e 是2ˆL的本征函数，本征值为212 。
又ϕ∂∂=i L z ˆ，将z L ˆ作用于所给函数上，得 ϕϕθθϕ33333sin )(sin )(i i ie r f ie rf i ⋅=∂∂ ϕθ33sin )(3i e r f ⋅=可见满足本征方程ψψz L L =2ˆ，故ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =是zL ˆ的本征函数，本征值为 3。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。
答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。
答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
量子力学试题A
课程名称：量子力学
考试方式：（闭卷）
院：物理与电子科学学院
专业年级：18级电科、电产、微电、微产
二三四
湖北大学2019—2020学年度第2学期课程考试A 试题纸
第2页共2页二、简答题（每小题10分，共20分）
1、简述什么是态叠加原理。
2、写出含时薛定谔方程和定态薛定谔方程。
三、计算题（每小题20分，共20分）
1、线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：
)()(2
1)(51)(5520x C x x x ψψψψ++=，05>C ，式中)(x n ψ表示谐振子第n 个定态波函数，对应频率为ω。
（1）求系数5C ；（5分）
（2）若0=t 时测量谐振子能量，可能的值及其相应几率分别是多少？求其平均值。
（10分）
（3）写出任意t 时刻的波函数；（5分）
四、证明题（每小题20分，共40分）
1、证明：厄米算符的本征值均为实数（10分）；同一个厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交（10分）。
2、证明：ϕθϕθψim e r f r 3sin )(),,(=（3±=m 时）是2
ˆL 和x L ˆ的共同的本征函数，并求相应的本征值（20分）。
提示：]sin 1)(sin sin 1[ˆ2
2222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂-= L ，ϕ
∂∂-= i L z ˆ。
得
分得
分得
分。
武汉大学研究生入学考试量子力学考研真题
武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。
一．计算题（20分×4题）1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势⎩⎨⎧><-=0,00,)(0x x U x U 入射，求透射系数。
讨论如下三种情况： （1）－U0<E<0；（2）E>0；（3）E>0,但由右向左入射。
解： ⑴ －U0<E<0写出分区薛定谔方程为：令：201)(2U E k +=μ，222E k μ-=可将上述方程简化为：一般解可写为： 由 )(2∞ψ有限，得B ＝0由波函数连接条件，有：解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--='-+='A k ik k i B A k ik k ik A 21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数 满足R+D ＝1可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x<0的区域找到电子的几率不为零。
类似于光的“全内反射”。
⑵ E>0写出分区薛定谔方程为：令：201)(2U E k +=μ，222Ek μ=可将上述方程简化为：一般解可写为：考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有：解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数 满足R+D ＝1可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。
⑶E>0,粒子从右向左入射仿⑵，有 但B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0.由波函数的标准条件，有 解得：据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数 满足R+D ＝1可见，仍有粒子被反射。
2.一维谐振子在t ＝0时处于归一化波函数)()(51)(21)0,(420x C x x x φφφψ++=所描述的态中，式中)(),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（1）待定系数C ； （2） t ＝0时，体系能量的可能取值及相应的几率； （3） t>0时，体系的状态波函数),(t x ψ。
历年量子力学考研真题试卷
历年量子力学考研真题试卷历年量子力学考研真题试卷量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。
历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。
本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。
首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。
题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。
已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。
这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。
解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。
首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。
题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。
已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。
求粒子在势阱内的能级。
这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。
解答这道题目需要运用定态薛定谔方程和边界条件来分析。
首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。
其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。
因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。
然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。
通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为：E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。
量子力学典型例题分析解答(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3 分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5) [证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率, 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
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量子力学考研参考试题（一）一. （见1997年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符J ˆ 的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；（2） 在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为零，且当JM 时，测量x J ˆ与y J ˆ的不确定性为最小。
证明：（1） 设算符Fˆ与角动量算符x J ˆ及y J ˆ皆对易，即ˆ,ˆˆ,ˆ yxJ F J F则0ˆˆ,ˆi 1ˆˆ,ˆi 1ˆ,ˆ,ˆi 1ˆ,ˆ x y y x y x z J J F J J F J J F J F同理可知，若算符F ˆ与角动量算符x J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与y J ˆ对易；若算符Fˆ与角动量算符yJ ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与x J ˆ对易，于是，问题得证。
（2）在2ˆJ 与z J ˆ的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为JM J J JM JM J JM x ˆˆ21ˆ由升降算符的修正可知1)1()1(ˆJM M M J J JM J于是有0ˆ JM J JM x同理可证，算符yJ ˆ在JM下的平均值也未零。
在JM态上，22222)1(21ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ41ˆMJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMx同理可得222)1(21ˆMJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然，当JM 时，上式取最小值2min2JJJyx二. （见2001年第二题）粒子作一维运动，当总能量算符为x VpH2ˆˆ2时，能级是nE，如果总能量算符变成pHHˆˆˆ（为实参数），求粒子能级的严格解nE。
解：视为参变量，则有pHˆˆ利用费曼-海尔曼定理可知n pn n H n E n ˆ1ˆ又知p p p x H x t x ˆ1ˆ2ˆ,i 1ˆ,i 1d d 2在任何束缚态n下，均有0ˆˆi 1ˆ,i 1d d n x H H x n n H x n n t x n所以，n pn ˆ进而得到能量本征值满足的微分方程n E对上式作积分，得到cE n 22利用0 时，0ˆˆH H ，定出积分常数0n E c最后，得到Hˆ的本征值为22nn E E三. 一维谐振子的哈密顿算符为222212ˆˆx m m p H引入无量纲算符，x m Qˆ；p m Pˆ1ˆ；P Qaˆi ˆ21ˆ ；P Qaˆi ˆ21ˆ（1） 计算P Qˆ,ˆ，a a ˆ,ˆ， a a a ˆˆ,ˆ，a aa ˆˆ,ˆ；（2） 将H ˆ用a ˆ与 a ˆ表示，并求出全部能级。
解：（1）计算对易关系i ˆ,1ˆ1,ˆ,ˆ p x pm x m P Q1ˆ,ˆi 21ˆi ,ˆ21ˆi ˆ21,ˆi ˆ21ˆ,ˆQ P P Q P Q P Q a aa a a a a a a a a a ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆa a a a a a a a a a ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ（2）改写哈密顿算符22222ˆˆ21212ˆˆQ P x m m p H而1ˆˆ21ˆ,ˆ2i ˆˆ21ˆi ˆ21ˆi ˆ21ˆˆ2222P Q P Q P Q P Q P Q a a所以，有21ˆˆˆa aH 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。
对任何态矢，均有ˆˆ2a a a因此，21ˆ H若是哈密顿算符的本征态E，则E H E E ˆ，即21E上式说明能量的下限为21。
用aH ˆˆ作用H ˆ的任意一个本征态'E上，利用a a a a Ha ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ可知'''ˆˆ ˆˆˆˆ'E E E aE a H a a H若0ˆ' E a，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为 E。
重复这个推理的过程，得到,2,,'''E E E 都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于21，此数列必须终止于某个最小值0E ，即 0E 不再是能量本征值，其条件为0ˆ0 E a因此，0002121ˆˆˆE E E a aH于是可知E相应当能量本征值210 E类似前面的做法，利用H a a Hˆˆˆˆ可知''ˆˆˆ'E E a E a H说明'ˆE a也是能量的本征态，相应的能量本征值为 'E ，重复此过程可知，,2,,''' E E E 都是能量本征值。
最后，得到能量本征值的表达式为21n E n四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场B 的作用，磁场B指向x 轴电正方向，磁作用为x x c eB s c eB H ˆ 2ˆ ˆ 。
设0 t 时，电子的自旋向上，即2z s ，求0 t 时s ˆ 的平均值。
解：哈密顿算符可以改写为0110ˆ 2ˆ x c eB H其中，c eB2在泡利表象中，设0 t 时体系的波函数为t b t a t b t a t 则其应满足010ˆd d i t H t t于是有t a t b t b t a t d d i 此即，t a t t b t b t t a i d d i d d上式可以化为t b t a t t b t a t b t a t t b t a i d d i d d解之得到t d t b t a t c t b t a i exp i exp利用初始条件10 a ； 00 b可知1 d c于是，t t b t t a sin i cos0 t 时的波函数为t t t isin cos 而t t t s t t t s t t s z z y y x x 2cos 2ˆ2 2sin 2ˆ20ˆ2五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量W H H ˆˆˆ0 描述，其中，0ˆ,ˆi ˆH A W 可视为微扰，B A ˆ,ˆ是厄米特算符，且有A B C ˆ,ˆi ˆ 。
（1）若算符C B Aˆ,ˆ,ˆ在0ˆH 的非简并基态上的平均值已知，且分别记为000,,C B A ，求B ˆ在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到 量级。
（2） 将上述结果用在如下三维问题上，312220212ˆˆi i i x m m p H3ˆx W 计算在微扰后非简并基态上i x 3,2,1 i 的平均值，准确到 量级。
解：（1）设0ˆH 满足n E n H n00ˆ则哈密顿算符W H H ˆˆˆ0 的基态波函数的一级近似为0ˆi 00ˆ00i 0ˆi 00ˆi 00ˆˆˆi 00ˆ00000000001A A A A n n A n n E E A H H A n n E E Wn n nn n nn n利用归一化条件2022110ˆ0100A A若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。
在微扰后的基态的一级近似之下计算Bˆ的平均值，得到202000110ˆˆˆˆ0i 0ˆˆ00ˆˆ0i 0ˆ0 O B A A BB O B A A A A B B B再利用A B C ˆ,ˆi ˆ ，并略去 的二次项，0110ˆ0C B B（2）取23ˆˆ m p A使得323223021,ˆi ˆ,ˆi ˆx x m m p H A W当1ˆx B 时，0ˆ,i ˆ,ˆi ˆ231 m p x A B C000001111 x x同理可知，00002121 x x当取3ˆx B 时，22331ˆ,i ˆ,ˆi ˆ m m p x A B C2213100000m C x x。