人教2011课标版 初中数学九年级上册第二十二章22.1.1 二次函数导学案(无答案)
上述 6 个式子中是二次函数的是____________________
2. y (m 1)xm2m 3x 1是二次函数，m 的值是多少？
3. 若 物 体 运 动 的 路 段 s （ 米 ） 与 时 间 t （ 秒 ） 之 间 的 关 系 为
s 5t2 2t ，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为____________. 4.二次函数 y x2 bx 3 ，当 x=2 时，y=3。这个函数的解析式为_______________
(1) y x 2
(2)
y
1 x2
(3) y 2x 2 x 1
(4) y x(1 x) (5) y (x 1)2 (x 1)( x 1)
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人教 2011 课标版 初中数学九年级上册第二十二章 22.1.1 二次函数导学案（无答案）
2.分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
要求：1、独立完成 2、师友讨论，列出方程，化简整理方程 1. 正方体的六个面是全等的正方形，设正方形的棱长为 x，表面积为 y，关系式可以表示为
________________________________________ 2. 某种产品现在的年产量是 20t，计划今后两年增加产量，如果平均每年的增长率为 x，那么两年后这种
人教 2011 课标版 初中数学九年级上册第二十二章 22.1.1 二次函数导学案（无答案）
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课题
22.1.1 二次函数——概念
1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验
学习目标
如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系.
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们把形如 y=ax²+bx+c (a,b,c 是常数, a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)
称 a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项.
三【分层提高】 要求：1、独立完成下列各题 2、师友针对以下小题，反复重复定义及注意事项。 1.下列函数中，哪些是二次函数？
教学重、难点
重点：二次函数的概念和解析式. 难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.
一【交流预习】 知识回顾 要求：1、独立完成 2、学师检查学友 函数的概念：在一个变化过程中，______个变量，对于 x 的每一个确定的值，y 都有____确定的值与其 对应，y 是 x 的函数. 一次函数：我们把形如_____________的函数叫做一次函数.其中 k___. 情景创设
（1） y x 2 1（2） y 3x2 7x 12 （3） y 2x(1 x)
3.若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，则 m 的值是多少
四【总结归纳】 1.二次函数的一般形式： 注意事项： 五【巩固反馈】
1.① y 6x2 ② y 3x2 5 ③ y 200x2 400x 200 ④ y x3 2x ⑤ y x2 1 3⑥ y (x 1)2 x2
产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
________________________________________ 整理后________________________________________
思考：观察上述两个式子，有什么共同点？
二【互助探究】 要求：1、独立阅读、理解定义、圈出定义中的关键点；
人教版-数学-九年级上册 22.1.1 二次函数的定义导学案
22.1.1 二次函数的定义【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】一、知识链接：1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x的 ，x 叫做 。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。
二、自主学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。
5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是___________．三、合作交流：（1）二次项系数a 为什么不等于0？答： 。
（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： .四、跟踪练习1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。
（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．。
人教版九年级数学上册第22章22.1.1二次函数《二次函数》导学案
第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.知道二次函数的概念,明确二次函数的特征.2.能够表示简单的变量间的二次函数关系.3.重点:二次函数的概念.知识点二次函数的概念阅读教材本课时内容,回答下列问题.1.正方体有6个面,若其棱长为x,则一个面的面积为x2,正方体的表面积y=)x的函数,理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.6x2,y 是(填“是”或“不是”2.在“问题1”中,用参赛队数n表示比赛场次数m的关系式是m=n2-n,m 是(填)n的函数,理由:对于n的每一个值,m都有一个对应值.“是”或“不是”)x的函数,3.在“问题2”中,y与x的关系式是y=20x2+40x+20,y 是(填“是”或“不是”理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.4.以上三个函数关系式的共同点:等式右边是关于自变量的整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.【归纳总结】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【讨论】二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗?当a=0时,没有二次项了,不是二次函数,b,c可以是0.【预习自测】下列函数中,哪些是二次函数?①y=5x+1;②y=4x2-1;③y=2x3-3x2;④y=-;⑤y=-(x-1)2;⑥y=2x2-x+;⑦y=x(1-x);⑧y=2x2+x(1-2x).②④⑤⑦．互动探究1:在学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数;小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数;小华:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)是一个二次函数;小佳:y=+x-1是一个二次函数;小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数.。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质(1)教案
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质（1）教案《22.1二次函数（1）》教学设计【教学目标】1．理解二次函数的概念，会用描点法画形如y=ax2的二次函数的图象，了解抛物线的有关概念．2．类比一次函数的研究方法，探究二次函数y=ax2的图象与性质，感知式、数、形之间内在联系，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法以及数形结合的思想．【教学重点】二次函数y=ax2的图象和性质．【教学难点】二次函数y=ax2的图象和性质的发现过程．【教学过程】一、创设情境，生成概念1．用一根长为30cm的绳子围成一个矩形．如果改变矩形的一边AB的长x（cm），那么矩形的哪x些量随x的值的变化而变化？（1）把邻边的长记作y，表示出y与x的关系？y是x的函数吗？为什么？（当矩形的一边长x取定一个值时，它的邻边长y有唯一确定的值与其对应，因此我们说x是自变量，y是x的函数。
）这是什么函数？（一次函数）什么是一次函数？（定义，强调k≠0），指出一次项系数和常数项．利用一次函数的图象和性质求解，得实际问题的答案．2．一次函数的图象和性质又是如何研究的？ 1）通过列表、描点、连线画函数图象，观察图象特征得倒一次函数的性质； 2）经历了从特殊到一般的探究过程，先研究了特殊的一次函数——正比例函数y =kx （k ≠0）的图象和性质，再研究了一般的一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象和性质；（3）分k ＞0，k ＜0,两种情况讨论，由k 取具体的数值入手，最后归纳出一般的情况．三、绘制图象，探究性质1．类比一次函数的研究内容和方法，画最特殊的二次函数y =x ²的图象，并观察图象说出图象特征和性质．（1）“由数画图”：列表：从解析式分析自变量的取值范围，在此基础上合理的选取x 的值，计算y 的值．描点、连线：学生自己动手实践，对称描点，从左至右用平滑的曲线顺次连接，并用几何画板演示．（2）“由形得数”：实际二次定图性利用二实际问题 目观察图象，列表概括二次函数y =x ²的图象特征和性质．（板书）（3）“用数释形”：结合解析式的特点和表格中数据的特点，从数的角度解释为什么图象会具有这样的特点：过原点（0,0），其余各点均在x 轴的上方；无最高点，原点为最低点；图象关于y 轴对称等．（如：图象有最高点和最低点，因为函数有最大值或最小值等）2．在同一坐标系中画二次函数212y x =，22y x =的图象，与函数y =x ²的图象比，有什么共同点和不同点？归纳：当a >0时，抛物线y =ax ²的开口向上；对称轴是y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x >0 时， y 随 x 的增大而增大． a 越小，抛物线的开口越大．3．画出函数y =－x 2、y =－2x 2、y =－12x 2的图象．观察这些抛物线有何共同点和不同点．它们之间是否有着某些联系？在画图之前预测图象的特征，然后动手画图验证．归纳：当a＜0时，抛物线y=ax²的开口向下；对称轴是y轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；当x＜0 时，y随x的增大而增大；当x>0 时，y 随x 的增大而减小．|a|越小，抛物线开口越大．4．归纳梳理二次函数y=ax²的图象和性质．（1）二次函数y = ax2(a≠0)的图象特征与函数性质：（2）函数y=ax2(a≠0)中，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大。
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质(教案)
5.实际问题中的应用，利用二次函数解决简单实际问题。
二、核心素养目标
1.掌握二次函数的定义与一般形式，培养数学抽象和逻辑推理能力；
2.通过绘制二次函数图象，培养学生几何直观和空间想象能力；
3.理解二次函数的性质，提高学生的数学建模和数据分析能力；
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质（教案）
一、教学内容
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数的图象和性质。本节课将涵盖以下内容：
1.二次函数的定义与一般形式；
2.二次函数图象的绘制，包括顶点式、交点式和标准式；
3.二次函数的性质，如开口方向、顶点、对称轴、最值等；
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象绘制和性质这两个重点。对于难点部分，如顶点、对称轴的确定，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用抛物线模型来预测物体落地位置等，演示二次函数的基本原理。
4.掌握二次函数图象与系数的关系，锻炼学生的数学运算和问题解决能力；
人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考中的热点之一。
本章内容主要包括二次函数的定义、图象与性质，以及二次函数的应用。
在学习本章之前，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，为本章的学习打下了基础。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于二次函数这一复杂的概念，仍需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
在学习过程中，学生可能对二次函数的图象与性质产生困惑，需要教师进行引导和解释。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般形式；2.掌握二次函数的图象与性质，并能运用其解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数的图象与性质；3.二次函数的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的知识；2.使用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象与性质；3.学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.教学PPT；3.练习题和测试题；4.教学课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。
引导学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的一般形式和图象，解释二次函数的定义和性质。
同时，教师可以通过举例来说明二次函数的应用，如：抛物线、顶点坐标的计算等。
操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生动手计算和绘制二次函数的图象。
教师可以学生进行小组讨论，共同解决问题。
巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用二次函数的知识来解决问题。
教师可以引导学生进行思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师可以引导学生思考：二次函数的图象和性质与其他函数有什么不同？如何判断一个函数是否为二次函数？教师可以学生进行小组讨论，引导学生进行拓展思考。
人教版数学九年级上册学案22.1 二次函数导学案
第二十二章 二次函数第1课时 22.1二次函数一、阅读教科书二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题；3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2（4）y ＝3x 3＋2x 2（5）y ＝x ＋1x五、课堂训练1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ）A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ）A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．六、目标检测1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ）A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－1 2．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x －1C ．y ＝8xD ．y ＝8x2 3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．。
人教版九年级上数学第22章《二次函数》第1课时《二次函数的概念》导学案
第二十二章《二次函数》第1课时 22.1.1 二次函数的概念【学习目标】：1.探素并归纳二次函数的定义;2.能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习过程】：一、一元二次方程定义：1、什么叫函数?2、正比例函数的一般形式： ；一次函数的一般形式： 。
3、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与 x 之间的关系：(1)圆的面积 y (cm)与圆的半径 x(cm)： ；(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x ，3月份的利润为y ： ；（3）某工厂一种产品现在的产量是20件，计划今后两年增加产量。
如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定： ；(4)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y(m 2)： 。
4、形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数，a 为二次项系数，ax 2叫做 ，b 为 ，bx 叫做一次项。
c 为常数项。
例如： 。
二、典例精析：【例1】.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数。
（1）写出正方体的表面积S （cm ²）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm ²）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm ²）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系。
【例2】、把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数,一次项系数,常数项。
（1）23(1)1y x =-+； （2）232s t =-。
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项：（1） y=-x 2+58x-112； （2）y=πx 22、指出下列函数y=ax ²+bx+c 中的a 、b 、c（1） y=-3x 2-x-1 （2） y=5x 2-6 （3） y=x(1+x)四、典例精析：【例3】、m 取何值时，函数221(1)(3)mm y m x m x m --=++-+是二次函数？【例4】、函数27(3)my m x -=+，（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m 取什么值时，此函数是二次函数？五、达标测试：1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式 .2. n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系式 .3、下列函数中，（x 是自变量），是二次函数的有 。
人教版九年级数学上册导学案：22.1.1_二次函数1【精品】
3.用一根长为40 的铁丝围成一个半径为 的扇形，求扇形的面ห้องสมุดไป่ตู้ 与它的半径 之间的函数关系式是。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：一般地，形如，（ ）的函数为二次函数。其中 是自变量， 是_______，b是_______，c是________．
三、扣标展示：
（1）二次项系数 为什么不等于0？
答：。
（2）一次项系数 和常数项 可以为0吗？
答：.
小结：
教学反思：
自我评价专栏(分优良中差四个等级)
自主学习：合作与交流：书写：综合：
2.形如 的函数是一次函数，当 时，它是函数；形如 的函数是反比例函数。
二、围标群学：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长(m)之间的函数关系式为。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为 米，则宽为米，如果将面积记为 平方米，那么 与 之间的函数关系式为 =，整理为 =.
22.1.1二次函数
学习目标
了解二次函数的有关概念．会确定二次函数关系式中各项的系数。确定实际问题中二次函数的关系式
教学重点
学习二次函数，注意知识结构的建立
教学难点
学习二次函数，注意知识结构的建立
教学方法
导学训练
学生自主活动材料
【学习过程】
一、依标独学：
1.若在一个变化过程中有两个变量和y，如果对于的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是的，叫做。
人教版九年级上22.1.1《二次函数》名师教案(人教版九年级上册数学)
22.1.1 二次函数（刘佳）一、教学目标（一）学习目标1．能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.2．会写出实际问题的二次函数关系式，并确定它自变量的取值范围.（二）学习重点理解二次函数的概念，掌握二次函数的表达形式.（三）学习难点1．能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系．2．重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务我们把形如y= ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中 ax 2 为二次项， a 为二次项系数； bx 为一次项， b为一次项系数； c 为常数项.2．预习自测（1）下列函数中是二次函数的有（ ）（1）234y x =-+ （2）21y x x=+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】 （1）是二次函数；（2）不是整式，故不是二次函数；（3）展开后易知是二次函数；（4）化简后二次项消掉了，不是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】B（2）在圆的面积计算公式S=πR 2中，S 与R 之间的关系是( )A.S 是R 的正比例函数B.S 是R 的一次函数C.S 是R 的二次函数D.以上答案都不对【知识点】二次函数的概念【解题过程】 由二次函数概念易知【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C（3）某物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=4t 2+3t ，则当t=5时，该物体所经过的路程为( )A.115米B.75米C.55米D.35米【知识点】二次函数表达式【解题过程】 将t=5代入易求出S=115.【思路点拨】代数式求值【答案】A（4）某商场对原价为800元的某商品进行两次降价，若设平均每次降价的百分比为x ，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系为( )A.)1(080x y -=B.)21(080x y -= C.)1(0082x y -= D. 2)1(008x y -=【知识点】二次函数表达式【解题过程】由题意平均每次降价百分比为x ，则2)1(008x y -=【思路点拨】此题属增长率类应用问题【答案】D（二）课堂设计1．知识回顾（1）一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c =0 (a,b,c 是常数，a ≠0)（2）正比例函数的一般形式是：y=kx (k ≠0,k 为常数)（3）一次函数的一般形式是：y=kx+b (k ≠0,k 、b 为常数)2．问题探究探究一 二次函数的概念及其解析式●活动① 通过实例，引入概念师问：请用适当的函数解析式表示下列问题情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y(cm 2)与圆的半径x(cm )；（2）菱形的两条对角线长的和为26cm ，其中一条对角线长为xcm ，菱形面积为y cm 2；（3）王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x ， 两年后王先生共得本息和y 元.学生抢答：（1）2y x =π；（2）x x x x y 1321)26(212+-=-=； （3）2220000(1)200004000020000y x x x =+=++师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?归纳：1.二次函数的概念：把形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中：ax 2为二次项，a 为二次项系数；bx 为一次项，b 为一次项系数；c 为常数项.2.二次函数的解析式：二次函数的一般式：y=ax 2+bx+c (a,b,c 是常数，a ≠0).特殊式：(1)y=ax 2 (a ≠0,b=0,c=0,)；(2)y=ax 2+c (a ≠0,b=0,c ≠0)；(3)y=ax 2+bx (a ≠0,b ≠0,c=0).【设计意图】鼓励学生在实际问题中发现数学，并利用已经学过的知识自主类比归纳、发现数学概念，体会从特殊到一般以及分类的思想方法.●活动② 例题讲解，应用概念例1：下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=2x-1； (2)223y x =； (3)y=4x 2-3x+1； (4)23y x=+4； (5)y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)； (6)y=6x 2-3x(1+2x)-5； (7)y=-3x 2-25x. 【知识点】二次函数的概念【解题过程】解:（1）是一次函数；（2）是二次函数；(3)是二次函数；(4)右边不是整式，不是二次函数；(5)缺条件a ≠0，不是二次函数； (6)整理后为y=-3x-5，不是二次函数；(7)是二次函数.【思路点拨】解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断. 判断时要注意:(1)化简后二次项系数不等于0；（2）所表示的函数的关系式为整式.【答案】（2）、（3）、（7）练习：下列函数中是二次函数的有（ ）（1）234y x =-+ （2）21y x x =+（3）(2)(3)y x x =-+ （4）2(2)(2)(1)y x x x =+---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】二次函数的概念【答案】B【解题过程】（1）是；（2）右边含分式，不是；（3）展开后为62-+=x x y ，是；（4）整理得y=2x-5，不是，故选B【思路点拨】（1）要看化简后的结果（2）二次函数必须为整式【设计意图】概念是数学的基础，必须牢记，通过对二次函数的判断，让学生准确熟练掌握二次函数的基本概念以及表达式，同时学会注意数学概念需要满足的条件，为后续准确列出二次函数表达式以及研究二次函数的性质打好基础.例2：m 取何值时，函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数？【知识点】二次函数的表达式2(1)(1)32m m y m x x -=--+【解题过程】解:∵函数2(1)(1)32m m y m x x -=--+是二次函数，∴m 2-m=2, 解得m 1=2, m 2=-1.但当m=-1时, m 2-1=0； 而m=2时, m 2-1≠0.综上所述,m=2.【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解.【答案】m=2练习：已知()22132a a y a x --=--是二次函数,则a=_______.【知识点】二次函数的表达式【思路点拨】由题意得a 2-2a-1=2, 解得a 1=3,a 2=-1;且a-3≠0,即a ≠3.综上所述,a=-1.【答案】a=-1【设计意图】在概念的学习中，要让学生重视二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中a ≠0这一隐含条件．探究二 ●活动① 通过实例，探究归纳例1 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树）,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)假设果园增种x 棵橙子树,那么果园共有橙子树______________棵,这时平均每棵树结橙子_______________个.(2)若果园橙子的总产量为y 个,请你写出y 与x 之间的关系式，并注明x 的取值范围.【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：（1）100+x ；600-5x ；（2）2(6005)(100)510060000y x x x x =-+=-++（0<x ≤50）【思路点拨】认真审题，会用含未知量的式子表示其它的未知量.自变量的取值范围要符合题意.【答案】（1）100+x ；600-5x ； （2）2510060000y x x =-++（0<x ≤50）想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么?归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：（1）审清题意，找出实际问题中的已知量（常量）和未知量（变量），并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言.（2）建立二次函数表达式，注意要将表达式化简为y=ax ²+bx+c(a ≠0)的形式.注意自变量x 的取值范围，在一般情况下，二次函数的自变量可以取任意实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义.练习： 某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x 元,每天售出服装的利润为y 元,则y 与x 的函数关系式为( ) A.y= 221x -+10x+1200(0<x<60) B.y=221x --10x+1200(0<x<60) C.y= 221x -+10x+1250(0<x<60) D.y= 221x -+10x+1250(x ≤60) 【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】 解：由题意有:21(210150)(201)10120022x y x x x =--+⨯=-++(0<x<60) ，故选A. 【思路点拨】解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的基本数量关系(如:路程=速度×时间、总价=单价×数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可.【答案】A【设计意图】构造二次函数来表示实际问题，让学生体会到二次函数与生活紧密相连，数学来源于生活又能应用于生活，同时注意用二次函数模型解决实际问题时，自变量的取值范围要符合实际.●活动② 变式练习，学会应用例2如图所示，一个窗户的上面是半圆，下面是矩形，矩形的一边长1.2m ．(1)窗户透光的面积S （2m ）关于上面半圆半径r （m ）的函数关系式；⑵求当上面半圆直径为1m 时，窗户的面积.（3π≈）【知识点】用二次函数表示实际问题，并代入求值． 【解题过程】解：⑴22111.22 2.422S r r r r =⨯+=+ππ ⑵当r=1时，2212.4131 2.4 1.5 3.9()2S m ≈⨯+⨯⨯=+= 【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求 【答案】212.42S r r π=+，3.92m 练习：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,沿前侧内墙保留3 m 宽的空地,其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式.【知识点】用二次函数表示实际问题【解题过程】解:设蔬菜种植区域的面积为y m 2，矩形温室的宽为x m,则矩形温室的长为2x m.根据题意得y=(2x-4)(x-2)，即y=2x 2-8x+8.【思路点拨】解答这类问题,根据问题先把因变量用含自变量的数量关系表示出来,再整理即可.【答案】y=2x 2-8x+8【设计意图】渗透函数思想，建立函数模型.让学生感受到当遇到实际问题时，可以设未知数构造二次函数来解决问题.3. 课堂总结【知识梳理】（1）二次函数的概念：把形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做x的二次函数.（2）确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：①审清题意，分析已知量和未知量之间的关系，将文字或图形语言转化为数学符号语言；②结合题中的基本数量关系，建立二次函数表达式；③写出自变量x 的取值范围.【重难点突破】（1）学习二次函数的定义，注意：①等号左边是变量y ，右边是关于自变量x的整式；②a,b,c 为常数，且a ≠0；③等式的右边自变量的最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项；④x 的取值范围是任意实数.（2）判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：①所表示的函数的关系式为整式；②函数的关系式有唯一自变量；③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.（3）当二次项系数是待定字母时，求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．（三）课后作业基础型 自主突破1.下列函数中，是二次函数的有( ) ①2231x x y -+=；②21y x=；③)2(x x y -=；④(13)13y x x =-+（）.A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】 ①符合二次函数定义，是；②不是整式，故不是；③展开以后是二次函数；④展开以后是二次函数.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.若2221()1m m y m m x x --=+--是关于x 的二次函数,则( )A.m=-1或m=3B.m ≠-1且m ≠0C.m=-1D.m=3【知识点】二次函数的概念【解题过程】① 由2212m m --=得m=-1或m=3；②又由20m m +≠得m ≠-1且m ≠0，故m=3【思路点拨】由二次函数的概念，根据自变量的最高次数为2，二次项的系数不能为0，列式求解.【答案】D3.已知Rt ABC ∆中，︒=∠90ACB ，直角边长的和为20，设AC =x ，则=∆ABC S （ ） A.y=-21x 2+10x B.y=-x 2+20x C.y =21x 2+20x D.y=x 2+20x 【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 211(20)1022y x x x x =-=- 【思路点拨】根据三角形面积公式列出函数式【答案】A4.二次函数y=x 2+3x-9的函数值是19，那么对应的x 的值是（ ）A.-7B.4C.4或-7D.-4或7【知识点】二次函数的表达式，函数值的概念【解题过程】 由题意有23919x x +-=，解得4,7x =-【思路点拨】由函数值的概念，利用一元二次方程求解【答案】C5.已知二次函数322+--=mx x y ，当x ＝-2时，y ＝-15，则这个二次函数解析式为 ．【知识点】二次函数的表达式【解题过程】将x ＝-2，y ＝-15代入322+--=mx x y 得5m =-【思路点拨】代数式求值【答案】3522++-=x x y6.如图，用长36米的竹篱笆围成一个一边靠墙（墙长15米）的矩形养鸡场ABCD ，设AB 边长为x 米，则养鸡场的面积y （m 2）与x （m ）的函数关系式为______________________（写出自变量x 的取值范围）.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 236118(015)22x y x x x x -=∙=-+<< 【思路点拨】根据矩形面积公式列出二次函数关系式，并注意隐含条件是解题的关键 【答案】2118(015)2y x x x =-+<<能力型 师生共研7.判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值.①231x y -=( ) ②)5(-=x x y ( ) ③652++=x x y ( ) ④23)2(3x x x y +-=（ ） ⑤ 122+-=x x y （ ） ⑥c bx ax y ++=2（ ） 【知识点】二次函数的概念【解题过程】答：①是，a=-3，b=0，c=1；②是，a=1，b=-5，c=0；③不是，因为不是整式；④不是，因为化简后没有二次项；⑤不是，因为不是整式；⑥不是，因为二次项系数可能为0.【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①②是，③④⑤⑥不是8.已知函数x m x m y m m )3()2(832+++=--（m 是常数）.①m 为何值时，它是二次函数？②m 为何值时，它是一次函数？【知识点】二次函数、一次函数的概念【解题过程】 ①由2382m m --=得5,2m =-又20m +≠，所以5m =；②情况一：20m +=，即2m =-；情况况二：2381m m --=，解得m = 【思路点拨】牢记二次函数、一次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】①m=5 ；②m=-2或32m ±=探究型 多维突破9.某商场销售一批名牌运动服，平均每天可售出18件，每件赢利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果每件运动服每降价2元，那么商场每天可多售出4件．设每件运动服降价x 元，则降价后每件运动服赢利________元，商场平均每天可售出运动服________件；如果设商场每天赢利y 元，则y 与x 的函数关系是________，y 是x 的________次函数．【知识点】二次函数的应用【解题过程】 降价后每件运动服赢利(30)x -元，每天售出(182)x +件，故2(182)(30)242540y x x x x =+-=-++，是二次函数【思路点拨】根据总利润=每件利润×件数列出函数式.【答案】30x -，182x +，2242540y x x =-++，二10.如图，在△ABC 中，∠B =90°，AC =512cm ，BC =2AB ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 cm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 cm/s 的速度移动(不与点C 重合).如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s,四边形APQC 的面积为y cm 2.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)求自变量x 的取值范围；(3)四边形APQC 的面积能否等于172 cm 2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由.【知识点】二次函数的综合应用【解题过程】 （1）在△ABC 中，∠B =90°，AC =512，BC =2AB ，∴AB =12 ，BC =24 . 由运动可知，AP =2x ，BQ =4x ，则 y=12BC ·AB -12BQ ·BP =12×24×12-12·4x ·(12-2x)， 即y=4x 2-24x+144. (2)∵0＜AP ＜AB ，0＜BQ ＜BC ， ∴0<x<6.(3)解：当y=172时，4x 2-24x+144=172. 解得x 1=7，x 2=-1.又∵0<x<6， ∴四边形APQC 的面积不能等于172 cm 2.【思路点拨】根据实际问题分析题意、找出数量关系是列出二次函数的关键；此外，应该注意自变量的取值范围一定要使问题有意义.【答案】(1)y=4x 2-24x+144. (2) 0<x<6 (3)不能自助餐1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（ ）A.y ＝3x －1B.y ＝ax 2+bx +cC.s ＝2t 2－2t +1D.y ＝x 2+x1 【知识点】二次函数的概念【解题过程】1、整式；2、二次；3、二次项系数不为0 ，故用排除法选C【思路点拨】牢记二次函数的概念，以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.已知函数y ＝(m 2+m )x 2+mx +4为二次函数，则m 的取值范围是（ ）A.m ≠0B.m ≠－1C.m ≠0，且m ≠－1D.m ＝－1【知识点】二次函数的概念【解题过程】 由题20m m +≠得m ≠0，且m ≠－1【思路点拨】由二次函数的概念，二次系数不能为0，建立不等式求解【答案】C3. 某初级中学有m 个班举行篮球比赛，每班派一个队参赛，采用单循环赛（即每两个球队间都要进行一场比赛）,则比赛的场次数s 与 m 之间的关系式是_____________.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】 2(1)11222m m S m m -==- 【思路点拨】由比赛的场次数=参赛队数×（参赛队数-1）÷2列式 【答案】21122S m m =-4.如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，∠ADC =90°，AB =12，AD =8，CD =6，点E 、G 分别在线段AD 、DC 上，BF =AE =DG =x ，则四边形CGEF 的面积x y 与之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 .【知识点】二次函数的表达式【解题过程】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<6 【思路点拨】用梯形面积减去三个空白三角形面积即为阴影部分面积 【答案】1111(612)8(6)(8)(12)83482222y x x x x x x =+⋅------⋅=-+；0<x<65.如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式；(2)如果要围成面积为63平方米的花圃，AB 的长为多少米?【知识点】二次函数的实际应用【解题过程】(1)S=x(30-3x)，即S=-3x 2+30x.(2)当S=63时，-3x 2+30x=63.解得x 1=3，x 2=7.又∵当x=3时，BC ＞10(舍去)，∴x=7.答：AB 的长为7米.【思路点拨】先列出花圃的长的表达式，再根据矩形面积公式列出函数式；此外，此题方程的解一定要检验是否符合题意.【答案】(1) S =-3x 2+30x. (2) AB 的长为7米6.如图，等腰Rt ΔABC 以2cm/s 的速度沿直线MN 向正方形CDEF 移动，当直线AB 与EF 重合时停止，设x s 时正三角形与正方形重叠部分的面积为yc 2m .（1）写出y 与x 的关系表达式；（2）当x=4、14时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时，三角形移动了多长时间？【知识点】二次函数的综合应用【数学思想】分类讨论【解题过程】 （1）2211222y x x ==（）（0<x ≤10） x x x y 042)202(2120212222+-=--⨯=（10<x<20） （2）当x=4时，32422=⨯=y ；当x=14时，y=16814041422=⨯+⨯-=y .（3）当重叠部分的面积是正方形面积的41时， 4120222⨯=x ，25=x ； 或412004222⨯=+-x x ，25102510-=+=x x 或（舍去）. ∴25=x 或2501+=x 时，重叠部分的面积是正方形面积的41. 【思路点拨】此题是运动型问题，需分类讨论，根据运动后重叠部分的不同情况列出其表达式.求出时间t 后，要检验是否符合题意.【答案】（1）212x y =（0<x ≤10）22240y x x =-+（10<x<20）（4）当x=4时，32=y ；当x=14时，y=168=y .（3）当移动了25s 或（2501+）s 时，重叠部分的面积是正方形面积的14.。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章22.1二次函数与一元二次方程教学设计-精选学习文档
22.2二次函数与一元二次方程一、内容和内容解析1、内容二次函数与一元二次方程的联系2、内容解析之前学习过从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系，本节课讲从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系。
如果二次函数的图像与x轴有交点，则交点的横坐标是相应一元二次方程的根，但有些二次函数的图像与x轴有交点并不是整点，无法从图像上读出一元二次方程的解。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：明确方程与函数之间的联系，会根据二次函数的图像用无限逼近法求一元二次方程的近似解。
二、目标和目标解析1、目标（1）理解是抛物线与x轴的交点的横坐标即为相应一元二次方程的根（2）知道抛物线与x轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况（3）会根据二次函数图像用无限逼近法求一元二次方程的近似根2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能通过求一元二次方程的根得到抛物线与x轴的交点坐标，或者学生通过抛物线与x轴交点的横坐标得到一元二次方程的根。
达成目标（2）的标志是：学生能通过求一元二次方程的根的情况得到抛物线与x轴的交点的个数，或者学生通过抛物线与x轴交点的个数得到一元二次方程的根的情况。
达成目标（3）的标志是：学生会根据抛物线与x轴的交点找到一元二次方程的根的范围，通过取平均值用无限逼近法不断缩小根所在的范围，进而得到根的近似值。
三、教学问题诊断分析学生在《一次函数》一章中，已经学习过一次函数与一元一次方程的联系。
在上一章学习过解一元二次方程，本章又刚学习了二次函数的图像的性质，在本节课中，又设计了探索二次函数与一元二次方程的联系，这需要教师的启发和引导。
基于以上的分析，本节课的教学难点是：理解二次函数的图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
四、教学过程设计1、创设情景，实践引路问题1 问题1 以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h （单位：m ）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h = 20t - 5t 2．（1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到 20 m？如能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：由学生分小组讨论，得到解决方案，通过观察对比，教师找到或引导学生得到两个解决方案，并由学生上台展示自己的解题方案，第一个是用一元二次方程解题，第二个用函数图像解题，再引导学生对比两个方案。