等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形练习题
等腰三角形与直角三角形练习题一、等腰三角形练习题（一）基础巩固1、已知等腰三角形的一个内角为 80°，则它的另外两个内角分别是多少度？解：当 80°的角为顶角时，底角的度数为：（180° 80°）÷ 2 ＝ 50°，所以另外两个内角分别是 50°，50°。
当 80°的角为底角时，顶角的度数为：180° 80°× 2 ＝ 20°，所以另外两个内角分别是 80°，20°。
2、等腰三角形的两边长分别为 6 和 8，则其周长是多少？解：当腰长为 6 时，三边长分别为 6，6，8，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 6 ＋ 6 ＋ 8 ＝ 20。
当腰长为 8 时，三边长分别为 8，8，6，因为 8 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时周长为 8 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 22。
综上，其周长为 20 或 22。
3、一个等腰三角形的周长为 20，其中一边长为 8，求另外两边的长。
解：当 8 为腰长时，底边长为 20 8× 2 ＝ 4，因为 8 ＋ 4＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 8，4。
当 8 为底边时，腰长为(20 8)÷ 2 ＝ 6，因为 6 ＋ 6＞8，所以能组成三角形，此时另外两边长分别为 6，6。
（二）能力提升1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的度数为多少？解：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为 60°。
当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则顶角的外角为 60°，所以顶角为 120°。
综上，顶角的度数为 60°或 120°。
2、如图，在△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠1 和∠ADC 的度数。
三角形的特征认识等边等腰和直角三角形
三角形的特征认识等边等腰和直角三角形三角形的特征认识：等边、等腰和直角三角形三角形是几何学中最基本的形状之一，具有独特的特征和性质。
在三角形中，有一些特殊类型的三角形，包括等边、等腰和直角三角形。
本文将详细介绍这些三角形的特征和性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
一个等边三角形的特点是它的三个角都是60度。
这种三角形具有以下性质：1. 所有边长相等：在等边三角形中，三条边的长度都完全相等。
2. 所有角度相等：等边三角形的三个内角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有三条边的对称性，任意一条边都可以作为对称轴。
等边三角形是一种特殊的三角形，具有明显的对称性和规则性。
在实际应用中，等边三角形常常出现在建筑设计、制图和几何问题中。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
一个等腰三角形的特点是它的两个底角（顶角以外的两个角）相等。
这种三角形具有以下性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边（即两条底边）的长度完全相等。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（顶角以外的两个角）的度数相等。
3. 对称性：等腰三角形具有一条对称轴，可以将三角形分为两个相等的部分。
等腰三角形常常在几何学和实际生活中出现。
例如，在建筑设计中，我们可以使用等腰三角形来设计对称美观的柱子或天花板形状；在数学课堂上，我们可以通过等腰三角形的性质来解决各种几何问题。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个内角度数为90度的三角形。
直角三角形的特征是其两个边与直角之间的关系，即勾股定理。
这种三角形具有以下性质：1. 直角边：直角三角形的两条边与直角（90度角）的夹角相邻。
2. 斜边：直角三角形的直角边之外的边称为斜边，是直角三角形的最长边。
3. 勾股定理：直角三角形的三条边之间满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形是几何学中最重要的三角形之一，具有广泛的应用。
在实际生活中，直角三角形的性质经常被用于测量距离、规划建筑和解决实际问题。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 等腰三角形与直角三角 第1课时 等腰三角形
第1课时 等腰三角形
1．(2022·宿迁)若等腰三角形的两边长分别是3 cm和 5 cm，则它的周 长是( D ) A．8 cm B．13 cm C．8 cm或13 cm D．11 cm或13 cm
2．(2022·自贡)等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则 这个底角的度数是( B ) A．30° B．40° C.50° D．60°
AD
Ⅱ)如图②，当点 D 不在 AC 上时，判断线段 BE 与 AD 的数量关系，并说
明理由；
解：(1)Ⅱ)BE＝AD，理由： ∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝60°， ∠DCE＝∠BCE＋∠DCB＝60°， ∴∠ACD＝ ∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴BE＝AD，
2)当 n＝90 时，如图③，探究线段 BE 与 AD 的数量关系，并说明理由．
6．(2022·嘉兴)小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他 在括号内填上一个适当的条件 ∠∠BB＝＝606°0(°答案(答不唯案一不)．唯一)
7．(2022·云南)已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶 角度数是4400°°或或11000.0°
8．已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DC，∠BAC＝∠ EDC＝n°. (1)当n＝60时， Ⅰ)如图①，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系:BBEE＝＝AD；
3．(2022·荆州)如图，直线 l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2 的度数是( B) A．60° B．70° C．80° D.90°
4．(2022·苏州)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的 三角形叫做“倍长三角形”．若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底 边BC的长为3，则腰AB的长为 6 . 5．(2022·岳阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6， 则CD＝33.
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算
小学数学知识归纳理解直角三角形和等腰三角形的计算直角三角形和等腰三角形是小学数学中常见的几何图形，它们有着独特的特点和计算方法。
在本文中，我们将对直角三角形和等腰三角形进行归纳和理解，并探讨如何进行计算。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（即90度）。
直角三角形的特点是：直角三角形的斜边是其他两条边的最长边，而其他两条边分别称为直角边。
直角三角形常见的计算方法有勾股定理和三角函数。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果一个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么有勾股定理的关系式：a² + b² = c²。
利用勾股定理，我们可以通过已知两个边求解第三个边的长度。
例如，假设一个直角三角形的一个直角边为3，另一个直角边为4，我们可以通过勾股定理计算斜边的长度。
根据关系式：3² + 4² = c²，计算得到c² = 9 + 16 = 25，再开平方根得到c = 5。
因此，这个直角三角形的斜边长度为5。
除了勾股定理，三角函数也可以用来计算直角三角形的边长比例和角度大小。
在直角三角形中，我们常用到的三角函数有正弦、余弦和正切。
具体来说，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边其中，θ代表直角三角形的一个锐角，对边、邻边和斜边分别表示与该角相对的边、邻边和斜边的长度。
通过利用三角函数的定义，我们可以计算出直角三角形中各边的长度和角度的大小。
除了直角三角形，等腰三角形也是小学数学中常见的几何图形。
等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是：等腰三角形的底边和两条等腰边的夹角相等，且顶角为顶点的角度。
对于等腰三角形的计算，我们通常需要知道的是等腰边的长度和顶角的大小。
等腰三角形可以通过以下计算方法进行求解。
专题17 等腰三角形与直角三角形(解析版)
专题17等腰三角形与直角三角形命题点1 一般等腰三角形的判定与计算1. 已知△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是( )A. △ABC的边AB的垂直平分线B. ∠ACB的角平分线所在的直线C. △ABC的边BC上的中线所在的直线D. △ABC的边AC上的高所在的直线【答案】 C【解析】∵△ABC的周长是l，BC＝l－2AB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，它的对称轴为底边BC上的中线所在直线，故选C.2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5 cm，CE＝3 cm，则△CDE的周长是( )第2题图A. 15 cmB. 13 cmC. 11 cmD．9 cm【答案】B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5 cm，∴△CDE的周长为DE＋DC＋EC＝5＋5＋3＝13 cm.3. 腰长为10，一条中线长为6的等腰三角形的底边长为( )A. 16B. 8C. 8或22D. 16或22【答案】D【解析】当中线是底边中线时，底边＝2×102－62＝2×8＝16；当中线是腰上的中线时，如解图所示，设AB ＝AC ＝10，中线CD ＝6，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，BE ＝x ，则：DE ＝5－x ，AE ＝10－x ，由勾股定理得：AC 2－AE 2＝CE 2＝CD 2－DE 2，∴102－(10－x )2＝62－(5－x )2，解得：x ＝1110，∴CE 2＝CD 2－DE 2＝2321100，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝22.4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个第4题图第5题图【答案】 D【解析】本题考查等腰三角形的性质及判定．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－36°)＝72°，△ABC 是等腰三角形．∵BD 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝180°－∠C －∠DBC ＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴△BCD 是等腰三角形．∴BC ＝BD .∵BE ＝BC ，∴BE ＝BD ，∴△BED 是等腰三角形．∵∠EBD ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴△ABD 是等腰三角形．∵∠BED ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AED ＝180°－∠BED ＝108°，∵∠A ＝36°，∴∠ADE ＝180°－∠A －∠AED ＝180°－36°－108°＝36°，∴△AED 是等腰三角形．∴等腰三角形有△ABC 、△BCD 、△ABD 、△BED 、△AED 共5个．5.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝________度．【答案】35【解析】∵AB ＝BC ，∠ABC ＝110° ，∴∠A ＝∠C ＝35° ， ∵DE 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∴∠A ＝∠ABD ＝35°. 6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连接BD. (1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．第6题图【答案】解：(1)∵AD ＝BC ＝5－12， ∴AD 2＝(5－12)2＝3－52， ∵AC ＝1， ∴CD ＝1－5－12＝3－52， ∴AD 2＝AC ·CD ； (2) ∵AD 2＝AC ·CD ， ∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CDBC， 又∠C ＝∠C ， ∴△ABC ∽△BDC ， ∴AB BD ＝AC BC， 又AB ＝AC ， ∴BD ＝BC ＝AD ，∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，设∠A ＝∠ABD ＝x ，则∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ， ∴∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ＝2x ，∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝x ＋2x ＋2x ＝180°， 解得x ＝36°. ∴∠ABD ＝36°.命题点2 等边三角形的判定与计算7. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上第7题图第8题图【答案】D【解析】如解图，当OM1＝2，点N1与点O重合时，△PM1N1是等边三角形；当ON2＝2，点M2与点O重合时，△PM2N2是等边三角形；当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PM3N3是等边三角形；当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PM4N4是等边三角形，∴此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A. 4 cmB. 6 cmC. 8 cmD. 12 cm【答案】C【解析】如解图所示，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于交BEF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝6 cm，DE＝2 cm，∴DM＝4 cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝2 cm，∴BN＝4 cm，∴BC＝2BN＝8 cm.9. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A .32 B . 332 C . 32D . 不能确定 【答案】B【解析】 如解图，△ABC 是等边三角形，AB ＝3，点P 是三角形内任意一点，过点P 分别向三边AB ，BC ，CA 作垂线，垂足依次为D ，E ，F ，过点A 作AH ⊥BC 于点H .则BH ＝32，AH＝AB 2－BH 2＝332.连接PA ，PB ，PC ，则S △PAB ＋S △PBC ＋S △PCA ＝S △ABC ，∴12AB ·PD ＋12BC ·PE ＋12CA ·PF ＝12BC ·AH .∵AB ＝BC ＝CA ，∴PD ＋PE ＋PF ＝AH ＝332. 10. 如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ，若BF ＝2，则PE 的长为________．第10题图第11题图【答案】 3【解析】∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的角平分线BD 上一点，∴∠FBQ ＝∠EBP ＝30°，∴在Rt △BFQ 中，BQ ＝BF ·cos ∠FBQ ＝2×32＝3，又∵QF 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.∵在Rt △BPE 中，∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3.11.如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠B ＝60°，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且BD ＝BE ＝4.将△BDE 沿DE 所在直线折叠得到△B ′DE(点B ′在四边形ADEC 内)，连接AB ′，则AB ′的长为________．【答案】27【解析】如解图，过点B ′作B ′O ⊥AD 交AD 于点O . 将等边△BDE 沿DE 折叠后得等边△B ′DE ，那么四边形BDB ′E 是菱形；在Rt △ODB ′中，由折叠知∠BDE ＝∠B ′DE ＝∠ODB ′＝60°，B ′D ＝4，可求得OD ＝2，OB ′＝23；在Rt △AOB ′中，AO ＝AB －OD －BD ＝10－2－4＝4，AB ′＝AO 2＋OB ′2＝42＋（23）2＝27 .命题点3 直角三角形的判定与计算12.如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 并延长交AC 于点E.若AB ＝10，BC ＝16，则线段EF 的长为( )A . 2B . 3C . 4D . 5第12题图第13题图【答案】B【解析】∵AF ⊥BF ，点D 是AB 边上的中点，∴DF ＝BD ＝12AB ＝5，∴∠DBF ＝∠DFB ，∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ＝∠BFD ，∴DE ∥BC ，故DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC＝8，∴EF ＝DE －DF ＝8－5＝3.13. 如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A . 3B . 4C . 4.8D . 5【答案】D【解析】∵AB ＝10，BC ＝6，AC ＝8，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB ＝90°，∵DE 垂直平分AC ，∴∠AED ＝90°，AE ＝CE ＝4，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ＝3.在Rt△CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝5 .14.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，P 是AB 边上一动点，PD ⊥AC 于点D ，点E 在P 的右侧，且PE ＝1，连接CE.P 从点A 出发，沿AB 方向运动，当E 到达点B 时，P 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1＋S 2的大小变化情况是( )A . 一直减小B . 一直不变C . 先减小后增大D . 先增大后减小第14题图第15题图【答案】C【解析】如解图，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，过点C 作CM ⊥AB 于点M .在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋22＝2 5 ，利用等面积法，即S △ABC ＝12AC ·CB ＝12AB ·CM ，可求CM ＝AC ·BC AB ＝45 5.设AP ＝x ，易证△ADP ∽△ACB ，∴S 1S △ACB＝(AP AB )2 ，∴S 1＝(x 25)2×12×4×2＝15x 2 ，S 2＝12×(AB －AP －PE )·CM ＝12×(25－x －1)×455＝－255x ＋4－255，∴S 1＋S 2＝15x 2－255x ＋4－255，此函数为二次函数，a ＝15>0，∵对称轴为x ＝－b2a ＝5，AB ＝25>5，∴图象开口向上，故先减小，后变大，故选C.15. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点P ，且AB ＝BD ，AP ＝4PC ＝4，则cos ∠ACB 的值是________．【答案】33【解析】如解图所示，作BE ⊥AD 于E ，则BE ∥CD ，由AB ＝BD 得E 是AD 的中点，因此OE 是△ACD 的一条中位线，从而O 是AC 的中点，以O 为圆心，OA 为半径作圆．则由∠ABC＝∠ADC ＝90°可知该圆经过A 、B 、C 、D 四点，易知AP ＝4，PC ＝1，AC ＝AP ＋PC ＝5，因此，OA ＝OC ＝52，OP ＝OC －PC ＝32，由BE ∥CD 得，BP ∶PD ＝OP ∶PC ＝32，因此BP ＝32DP ，从而AB＝BD ＝BP ＋PD ＝52PD ，由相交弦定理得BP ·PD ＝AP ·PC ＝4，即32PD 2＝4，因此PD 2＝83，从而AB 2＝(52PD )2＝254PD 2＝503，由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝52－503＝253，因此BC ＝533，∴cos ∠ACB ＝BC ∶AC ＝33. 16. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD, M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM, MN, BN.(1)求证：BM ＝MN;(2)若∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AC ＝2，求BN 的长．第16题图【答案】解：(1)证明：在△CAD 中，∵M 、N 分别是AC 、CD 的中点， ∴MN ∥AD 且MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中， ∵点M 是AC 的中点， ∴BM ＝12AC ，又∵AC ＝AD ， ∴BM ＝12AC ＝12AD ＝MN ，∴MN ＝BM ；(2)∵∠BAD ＝60°，且AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝12∠BAD ＝30°，由(1)知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝60° ∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°， ∴∠BMN ＝∠BMC ＋∠NMC ＝90°， ∴BN 2＝BM 2＋MN 2，而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12×2＝1，∴BN ＝ 2.命题点4 等腰直角三角形的判定与计算17.如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AB ＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC 、BC 相交，交点分别为D 、E ，则CD ＋CE 等于( )A . 2B . 3C . 2D . 6第17题图第18题图【答案】B【解析】如解图，连接OC ，证明△AOD ≌△COE ，得AD ＝CE ，进而得CD ＋CE ＝AC ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝2AC 2＝6，∴AC ＝3，∴CD ＋CE ＝3，故选B.18. △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰三角形；③EF ＝AP ；④S四边形AEPF＝12S △ABC ；当∠EPF 在△ABC 内绕P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)，则上述结论始终正确的有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【答案】C【解析】∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，∴∠APE ＝∠CPF ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点P 是BC 中点，∴AP ＝CP ，∴∠PAF ＝∠FCP ，又由题意知∠EAP ＝∠PAF ，∴∠EAP ＝∠FCP ，在△APE 与△CPF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠FPC ∠EAP ＝∠FCP AP ＝CP ，∴△APE ≌△CPF (ASA)，∴AE ＝CF 同理可证△APF ≌△BPE ，PE ＝PF ，△EPF 是等腰直角三角形，∴S △AEP ＝S △CFP ，∴S四边形AEPF＝S △APC ＝12S △ABC ，①②④正确；∵AP ＝12BC ，若EF ＝AP ＝12BC ，则EF 是△ABC 的中位线，不能保证结论始终正确，故③错误．故选C.19.在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．【答案】13或10【解析】由题知，点P 为直角边BC 的三等分点，显然分两种情况讨论：(ⅰ)如解图①，当点P 靠近点B 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP2＝13；(ⅱ)如解图②，当点P 靠近点C 时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝AC 2＋CP 2＝10. 综上可得：AP ＝13或10.第19题解图20. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，点D 在边AC 上，且AD ＝2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接CE.求：(1)线段BE 的长； (2)∠ECB 的余切值．第20题图【答案】解：(1)∵AD ＝2CD ，AC ＝3， ∴AD ＝2，在Rt △ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴∠A ＝45°，AB ＝AC 2＋BC 2＝32， ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝90°，∠ADE ＝∠A ＝45°， ∴AE ＝AD ·cos45°＝2，∴BE ＝AB －AE ＝22，即线段BE 的长是2 2.第20题解图(2)如解图，过点E作EH⊥BC于点H，在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2，又∵BC＝3，∴CH＝1，在Rt△ECH中，cot∠ECB＝CHEH ＝12，即∠ECB的余切值是12.。
等腰三角形和直角三角形(共83张PPT)
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由. (2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明 △ABE≌△ACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三 角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.
【自主解答】(1)∠ABE=∠ACD. 因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD, 所以△ABE≌△ACD. 所以∠ABE=∠ACD.
_____3_____个．
图 4－2－27
6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( × ) 7.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为5.
( √)
8.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则∠B的度数为36°. ( √ )
图1
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图2
考点 2 直角三角形的性质和判定
5．(2011 年广东肇庆)在直角三角形 ABC 中，∠C＝90°， BC＝12，AC＝9，则 AB＝1_5_______.
6．(2010 年广东汕头)如图 4－2－29，把等腰直角三角形 △ABC 沿 BD 折叠，使点 A 落在边 BC 上的点 E 处．下面结论
【变式训练】 1.(2017·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上 一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为 ( )
A.40° B.36° C.80° D.25°
【解析】选B.设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C =x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.∴∠ADB=∠C+∠DAC =2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形 内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以 ∠B=36°.
9.等腰三角形、直角三角形、勾股定理
9、等腰三角形直角三角形与勾股定理（八上ch16、八下ch19）(专题21、22)一 . 等腰三角形1、性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角）两个推论：推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边，并且垂直于底边.推论2：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60o .2、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写：等角对等边） 三个推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形推论3：直角三角形中，若有一个锐角等于30o ，则它所对的直角边等于斜边的一半.3、三角形中的不等关系： 定理：三角形中，若两条边不等，则它们所对角也不等，大边所对的角较大（简写：大边对大角） 逆定理：三角形中，若两个角不等，则它们所对边也不等，大角所对边较大.（简写：大角对大边）二、直角三角形1、直角三角形的概念2、直角三角形的性质（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 ；（2）直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角等于30°；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重要结论：（1）S Rt △ABC =21ch=21ab,其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 3、直角三角形的判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.4、勾股定理及逆定理定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.变式：（1）a 2=c 2-b 2；（2）b 2=c 2-a 2；（3）a=22b c-；（4）b=22a c -；（5）c=22b a + 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.。
直角三角形和等腰三角形
直角三角形和等腰三角形直角三角形和等腰三角形，这俩家伙在数学的世界里可是相当重要的角色呢！先来说说直角三角形吧。
你知道吗，有一次我去菜市场买菜，看到一个卖水果的摊位摆得特别有意思。
那个摊位的地面是长方形的，摊主为了能多摆点水果箱，就在角落里斜着搭了一块木板。
我仔细一看，嘿，这不就形成了一个直角三角形嘛！直角所对的那条边最长，也就是斜边。
摊主靠着这个巧妙的设计，充分利用了空间。
直角三角形有一个特别重要的性质，那就是勾股定理。
简单来说就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这就像是一个神奇的密码，只要知道两条边的长度，就能算出第三条边。
比如一个直角边分别是 3 和 4 的直角三角形，那斜边一定是 5，因为 3 的平方加上 4 的平方等于5 的平方。
咱们再聊聊等腰三角形。
有一回我在公园里散步，看到园丁修剪灌木丛，剪出了一个等腰三角形的形状。
那对称的美，真的让人眼前一亮！等腰三角形啊，两条边长度相等，这两条相等的边叫做腰，剩下的那条边就叫底边。
而且等腰三角形的两个底角也是相等的哟。
想象一下，你拿一张纸，对折一下，剪出来的三角形大概率就是等腰三角形。
它的对称轴就是从顶点到底边中点的那条垂线。
在数学题目里，经常会出现让我们求等腰三角形角度或者边长的问题。
这时候就得灵活运用等腰三角形的性质啦。
比如说，如果告诉你一个等腰三角形的顶角是80 度，那就能很快算出两个底角都是50 度，因为三角形内角和是 180 度嘛。
直角三角形和等腰三角形在生活中的应用可多了去了。
像建筑工人在盖房子的时候，会用到直角三角形的稳定性，确保房屋结构牢固。
而等腰三角形的对称性在设计图案、制作装饰品方面常常能大放异彩。
总之，直角三角形和等腰三角形虽然看起来简单，但是它们蕴含的数学知识和在生活中的用处可不容小觑。
就像我们日常中的点点滴滴，看似平凡普通，其实都隐藏着无尽的奥秘和乐趣，只要我们用心去观察、去发现！这不，连一个小小的菜市场摊位和公园里的灌木丛，都能成为我们学习数学的好帮手呢。
等腰三角形与直角三角形讲义
等腰三角形与直角三角形讲义1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=_55°_____2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为_30_____度3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ C ）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°【知识梳理】1、等腰三角形及其性质（1）有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．（2）性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．2、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．3.一般地，两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．4、直角三角形的性质:直角三角形ABC可以表示为Rt△ABC．（1）直角三角形中，如果两条直角边为a、b，斜边为 c，斜边上的高为h，那么它们存在这样的关系：或.（2）定理：直角三角形的两个锐角互余．推理过程：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°（或∠A＝90°－∠B，∠B＝90°－∠A）．说明：这一定理应用的前提是Rt△，已知一个锐角，求另一个角．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形，可以作为判定三角形是直角三角形的方法．（3）定理：在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB．(4）定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°．推理格式：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，∴∠A＝30°．【典型例题】知识点一：等腰三角形考点一：等腰三角形的判断与证明例1、如图，△ABC中，D、E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠ODC；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）．（2）选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．分析：这是一道开放型的题目，考虑分析各种情形，从中选出适合题意的情形．解：（1）①③，①④，②③，②④．（2）选择①④来证明结论成立．已知：∠EBO=∠DCO，OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠EBO=∠DCO，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．∴△ABC为等腰三角形．例2、如图，在△ABC中，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC．求证：AO⊥BC．证明：延长AO交BC于D．在△ABO与△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴AO⊥BC．考点二：利用等腰三角形求度数例3、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．分析：本题中没有给出一个角的度数，而要求∠A的度数，必然是运用三角形内角和定理，其解题思路是设某一个角的度数为x，其他各角都能用x的代数式表示，列出代数方程求解．解：设∠A=x．∵AD=DE=EB∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB．又∵∠DEA=∠EBD＋∠EDB，∴∠EBD=∠EDB=．∴BDC=∠A＋∠ABD=．∵BD=BC，AB=AC，∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB=180°，即，∴x=45°，即∠A=45°．例4、已知：AD和BE是△ABC的高，H是AD与BE或是AD、EB延长线的交点，BH=AC．求∠ABC的度数．（1）当H是AD与BE的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠4=∠3=∠5=90°，∴∠1＋∠C=∠2＋∠C=90°，∴∠2=∠1．又∵BH=AC，∴△BHD≌△ACD，∴BD=AD，∴∠DBA=∠6．又∵∠6＋∠DBA=90°，∴∠DBA=45°，即∠ABC=45°．（2）当H是AD、EB延长线的交点时，∵BE、AD是△ABC的高，∴∠3=∠2=90°，∠4=90°，∴∠1＋∠H=90°，∴∠CAD＋∠H=90°，∴∠1=∠CAD．又∵BH=AC，∴△DBH≌△DAC，∴DB=DA，∴∠5=∠6．又∵∠5＋∠6=90°，∴∠6=45°，∴∠ABC=180°－45°=135°．故∠ABC的度数为45°或135°．考点三：几种辅助线作法：证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“截长”、“补短”等方法．例6、如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠B=2∠C，求证：AC=AB＋BD．（你可以用不同的方法证明吗）方法一：（截长法）在AC上截取AE=AB，连接DE．因为AD平分∠BAC，所以∠2=∠1．又因为AD=AD，所以△BAD≌△EAD（SAS）．所以BD=ED．所以∠3=∠B=2∠C．因为∠3=∠C＋∠4，所以2∠C=∠C＋∠4，所以∠C=∠4，所以DE=CE．所以CE=BD．所以AC=AE＋EC=AB＋DB．方法二：（补短法）如图，延长AB到E，使BE=BD，连接DE，所以∠E=∠1．因为∠2=∠E＋∠1=2∠E，又因为∠2=2∠C（已知），所以∠C=∠E．因为∠4=∠3，AD=AD，所以△ADC≌△ADE（AAS），所以AC=AE．因为AE=AB＋BD，所以AC=AB＋BD．例7、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．方法一：解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．又∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，∴∠3=∠E，∴AG//EF，∴EF⊥BC．方法二：接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．证明2：过A作AH⊥EF于H．∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH．又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C，∴∠EAH=∠B，∴AH//BC，∴EF⊥BC．方法三：小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE，∴DE//MC，∴EF⊥BC．方法四：小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．∵AE=AF，∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°，∴∠1=∠B，∴EN//BC，∴EF⊥BC．方法五：小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．方法六：大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）．证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，∴EF⊥BC．例8、如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．证明：取AB的中点E，连结DE．∵AD=BD，∴DE⊥AB，∴∠3=90°．又∵AB=2AC，AB=2AE，∴AE=AC．又∵∠1=∠2，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴∠3=∠ACD，∴∠ACD=90°，∴CD⊥AC．例9、如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，连结DE交BC于F．求证：DF=EF．过E作EG//AB交BC的延长线于G，则∠G=∠B．又∵AB=AC，∴∠B=∠1．又∵∠1=∠ECG，∴∠G=∠ECG，∴CE=GE．又∵BD=CE，∴BD=GE．又∵∠BFD=∠GFE，∴△BDF≌△GEF，∴DF=EF．知识点二：直角三角形考点一：30°所对的直角边等于斜边的一半例1（将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．32cm D．62cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．点评：此题考查的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．例2.如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。
认识三角形等边等腰和直角三角形
认识三角形等边等腰和直角三角形三角形是我们学习初中数学时必须掌握的一个基本图形。
根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三角形三种类型。
本文将分别介绍这三种三角形的特点和性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角也都相等，每个角都是60度。
我们可以简记等边三角形为△ABC（其中A、B、C为三个顶点）。
等边三角形的特点是稳定、对称，它的边长和角度特性具有以下几点：1. 三边相等：在△ABC中，边AC = AB = BC。
2. 三个内角相等：∠A = ∠B = ∠C = 60度。
3. 高度、中线和角平分线重合：△ABC的高线、中线和角平分线重合于同一条线段AN上（即垂心、重心、外心和内心重合）。
等边三角形在几何学和实际运用中有着广泛的应用，比如构造等边形、平衡木桥梁等。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角也相等，而顶角则不同。
我们可以将等腰三角形简记为△DEF （其中D、E、F为三个顶点）。
等腰三角形的特点如下：1. 两边相等：在△DEF中，边DE = EF。
2. 两个底角相等：∠D = ∠F。
3. 顶角不等：∠E为顶角，与底角不相等。
等腰三角形也有许多重要的性质：1. 等腰三角形的高线为中线和角平分线，都重合于同一条线段。
2. 等腰三角形的底角平分线也是高线、中线和角平分线。
等腰三角形在建筑、制图、机械设计等领域中都有应用，例如金字塔、屋顶的坡度等。
三、直角三角形直角三角形是指有一个角为90度的三角形。
直角三角形是最常见的三角形类型之一，也是勾股定理的基础。
我们可以简记直角三角形为△GHI（其中G、H、I为三个顶点）。
直角三角形的特点如下：1. 一个角为90度：在△GHI中，∠G为直角，即90度。
2. 两边相互垂直：直角三角形的两条直角边相互垂直，即∠HGI =90度。
3. 两个锐角相加等于90度：∠H + ∠I = 90度。
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专题等腰三角形与直角三角形
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称
【提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于
⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴
1、等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形
【提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等
5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在
【提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】
三、直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形
【提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】
2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半
3、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形
【提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似、圆中均有广泛应用，要注意这性质的熟练掌握和灵活运用】四、锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为cosA= ∠A的正切：tanA= ，它们统称为∠A的锐角三角函数【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与有
关，与直角三角形的 无关2、取值范围 <sinA< ， cosA< ，tanA> 】
【提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
3、几个特殊关系：⑴sinA+cos 2A= ,tanA=sin A （ ）⑵若∠A+∠B=900，则sinA= ，tanA.tanB= 】
六、解直角三角形：
1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形
2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c
⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB
【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上
标上仰角和俯角
⑵坡度坡角：如图：
斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα=h l。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角
如图：OA 表示
OB 表示
OC
表示 OD 表示
（也可称东南方向）
3、 利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
⑴把实际问题抓化为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
⑵根据条件特点，选取合适的锐角三角函数去解直角三角形
⑶解出数学问题答案，从而得到实际问题的答案
【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】
【重点考点例析】考点一：角的平分线
例1 如图，在Rt △ABC 中，∠A=Rt ∠，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，AD=3，BC=10，则△BDC 的面积是 ．
铅
直水平线
1．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
考点二：线段垂直平分线
例2 如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
考点三：等腰三角形性质的运用
例3 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）
A．18°B．24°C．30°D．36°
考点四：等边三角形的判定与性质
例4 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．
4．已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
考点五：三角形中位线定理
5．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB 的周长是18厘米，则EF= 厘米．
考点六：直角三角形
例6 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．
D ．
6．如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD=1，则AB 的长为（ ）
A ．2
B ．
C D
考点七：勾股定理
例7 矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为 ．
7．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、
C 、
D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形
E 的面积是 ．
8．如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ）
A ．23
B ．32
C ．13
D ．13
例8 在△ABC 中，AB=AC=5，sin ∠ABC=0.8，则BC= ．
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）
10．一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）
A．/小时 B．30海里/小时 C．/小时 D．/小时
13．如图，马路的两边CF，DE互相平行，
与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽
求CD与AB之间的距离；
14．如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A 的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M（点M在DE上）距D点3米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
15．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）
A．3
2
B．
5
2
C．3 D．4
16．操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．。