江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案
江苏省扬州市2019届高三上学期期末检测数学试题(解析版)
扬州市2019届高三上学期期末检测试题数 学2019．01第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22xx ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．答案：{2}-考点：集合的运算，指数运算。
解析：N ＝111()()22x x -⎧⎫>⎨⎬⎩⎭＝{}1x x <-，所以，MN ＝{2}-2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ． 答案：2考点：复数的运算，复数的模。
解析：211z i i==-+，所以，z ＝2 3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ． 答案：223π考点：圆锥的几何结构，体积计算。
解析：圆锥的高为h ＝223122-=， 圆锥的体积V ＝211223π⨯⨯⨯＝223π4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ． 答案：10考点：分层抽样方法。
解析：设高一抽取x 人，则84050x =，解得：x ＝105．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．答案：－2考点：算法初步。
解析：y ＝sinx 不可能等于3，所以，y ＝x 2－1＝3，又x ＜0，所以，x ＝－2。
6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 答案：49考点：古典概型。
解析：设甲乙抽出的卡片为（a ，b ），则所有可能为：（1，0），（1，1），（1，3），（2，0），（2，1），（2，3），（3，0），（3，1），（3，3），共9种，积为奇数的有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，所以，所示概率为：497．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ． 答案：52考点：直线平行的性质，两平行线之间的距离。
江苏省扬州市2019-2020学年度第一学期高三数学期中调研试卷参考答案
扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、 填空题：1. {1,2,3,4}2.1122i - 3. 04.2y x =±5.56. 167.5 8. 110.32-11.12.⎡⎢⎣⎦13.12 14.21,3e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦二、解答题： 15．解： (1)由103x x +<-得{}13A x x =-<<………………2分 0m =时,由240x -+≥得[]2,2,B =-………………4分(]1,2,A B ∴⋂=-………………7分(2)由22240x mx m -+-+≥得：{}22B x m x m =-+≤≤．………………9分 {}13A x x =-<<(][),13,R C A ∴=-∞-⋃+∞． ………………11分∵R B C A ⊆∴23m -≥,或21m +≤-， ∴5m ≥或3m ≤-． ∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-⋃+∞……………14分 16.解：53cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα,54sin =⇒α4tan 3α=………………………………2分41tan tan34tan()7441tan tan 1143παπαπα+++===--⋅-⋅………6分 （2）,2524cos sin 22sin ==ααα …………………………………8分.257sin cos 2cos 22-=-=ααα …………………………………10分则sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα+=+24717()25225250-+=⋅+-⋅=14分 17．解：（1）因为():3l y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离2d ==， …………………………3分解得0k =或125k =所以斜率k 为0或125…………………………7分 （2）法一：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B由()22324y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以D ⎝⎭…………………………10分则()3,3,AB BD ==⎝⎭，…………………………12分所以1λ==． …………………………15分法二：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 过点C 作AB 的垂线交AB 于点M ，则CM =BM2=，…………………………10分2MD ==，22BD =-……………12分 又AB ==所以1λ==…………………………15分法三：当l 的倾斜角为45°时，:3l y x =+，令0x =，得3y =，所以()0,3B 设()00,D x y因为AB BD λ=，点D 在第一象限，所以()()003,3,3x y λ=-，0λ>则()00333x y λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩，得00333x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即33,3D λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭……………12分又点D 在圆上，所以2233324λλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1λ=（舍去）或1λ= ……………15分18．解：设EF 中点为M ，连结OM ，则cos ,2sin OM AD θθ== （1）当3πθ=时，杠铃形图案的面积1222sin cos cos 323333S ππππ⎛⎫=-⨯⨯+ ⎪⎝⎭2233π=+…………5分 答：当3πθ=时，杠铃形图案的面积为2233π-+平方米．…6分（2）杠铃形图案的面积()22sin cos cos 3S θθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭()'S θ=2222[1(cos sin )sin ]3θθθ---222(2sin sin )3θθ=-……9分因为5412ππθ≤≤，所以2212sin sin 2sin (sin )033θθθθ-=->， ()'0S θ>，()S θ单调递增…11分所以当4πθ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 44434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭123π=-+.答：杠铃形图案的面积的最小时为123π-+平方米．……15分19. 解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F 12为直径的圆与椭圆交于点P ⎝⎭所以25c =法一：())12,F F ，则1226a PF PF =+=，3a =所以2b ===则椭圆的方程为22194x y +=……………4分法二：又点P ⎝⎭在椭圆上所以22222215ab a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪=+⎩，解得2294a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22194x y +=……………4分（2）①因为直线y kx t =+=()2251t k =+ (ⅰ)由22194y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-=因为直线与椭圆相切，所以()()()222184936940kt t k =--+=即22940k t -+=（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）得1252k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去……………10分②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥， 又AB DE =，所以M 为AE 中点法一：由1y kx ty x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭代入椭圆方程化简得()422423621929k k t k k ++=-+()2242361929k k k +=-+设211m k =+> 则2236112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =．又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t ==由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =又1k =，3t =时，()()()()15240,3,1,2,,,2,1,3,01313A B C D E ⎛⎫---- ⎪⎝⎭ 符合题意，故t 的最大值为3． (不检验扣1分) ……………16分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).+∞ 当1a =时，21()ln 21,()2 2.f x x x x f x x x'=--++=--+(1) 1.f '∴=-所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--即30x y +-=………………2分（2）2()ln 22f x x ax ax a =--+-+，2221(),(0)ax ax f x x x-+'∴=->. 当0a =时,1()0.f x x'=-<()f x ∴是单调减函数. 符合 ………………3分当0a >时, ,()f x 若是单调增函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≥， 即22210(0)ax ax x -+≤>恒成立,这不可能;………………5分()f x 若是单调减函数,则2221()0ax ax f x x-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立,令2h(x)=221ax ax -+,其开口方向向上,对称轴方程为12x =, h(0)=10,> 故2min 111()()2()210,02222h x h a a a ==-⋅+≥∴<≤ 又,1,2.a Z a ∈∴=………………7分综上，满足条件的非负整数a 的值是0,1,2………………8分 （3）()()3g x f x x =+-2()ln (21)1g x x ax a x a ∴=--++--22(21)1(1)(21)1()221=ax a x x ax g x ax a x x x-++--'∴=--++=--①当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，g ()0x '>，()g x 在(1,)+∞上为增函数.所以当(0,]x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.………10分②当0a >时，12(1)()2g ()a x x a x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),g()g x x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()()2g g e a >，整理得21ln 2(2)204a e e a e a++-+->. 令211()ln 2(2)2()42F a a e e a e a a =++-+->>， 当12a >时，2221141()2(2)044a F a e e e e a a a -'=-+-=+->， 所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，2211111()()(2)2(2)022222F a F e e e e >=+-+-=-+>. 可见，当12a >时，1()()2g g e a>恒成立，故当12a >，(0,]x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为().g b ；所以12a >满足题意.………………12分 （ⅱ）当112a=，即12a =时，2(1)()0x g x x -'=-…，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x在(0,)+∞上为减函数.从而()g x 在(0,]b 上为减函数.符合题意. ………13分 （ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且12e a<（若12e a …，不符合题意）， 即22(1)e a e ->-，且12a e>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)1(1)22(1)e e e e -----=<--221(1)2e a e -∴<<-. 综上，22(1)e a e ->-.所以实数a 的取值范围是22(,).(1)e e -+∞-………………16分 21.解：(1)因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,3.a λ=⎧⎨=⎩………………5分 (2) 由(1)知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以24141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.………………10分 22. 解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35， 两次都取得白球的概率是252⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是352⎛⎫⎪⎝⎭，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.-----------------3分 (2)X 可能的取值为2,3,4. ------------------------------------4分224(2)5525P X ==⨯=，233212(3)555525P X ==⨯+⨯=，339(4)5525P X ==⨯=.------------------------------------8分 所以的分布列为：所以X 的数学期望()2342525255E X =⨯+⨯+⨯=. -------------10分23. 解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取A 1B 1中点O 1，连OC 、OO 1，则OO 1// AA 1，AB ⊥OC ，又正三棱柱111ABC A B C -中，AA 1⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥OC ，AA 1⊥AB ，所以OO 1⊥OC ，OO 1⊥AB.以O 为坐标原点，OA 、OO 1、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则()O 0,0,0，()A 1,0,0，(C ，(C 1，()E 1,2λ,0，()F 1,22λ,0--，(1,2,CE λ=，(11,2,C F λ=--，（1）若1λ=2，(1,1,CE =，(11,1,C F =--，1111cos ,55CE C F CE C F CE C F⋅===⋅，故异面直线CE 与1C F 所成角的余弦值为15. ………………5分（2）由（1）可得(1,22,CF λ=--，设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则()20220n CE x y n CF x y λλ⎧=+-=⎪⎨=-+-=⎪⎩，取1z =得：()3n =-，取平面AEF的一个法向量(OC =，由二面角A EF C--的大小为θ，且sin θ=，得cos ,3OC n OC n OC n⋅===⋅⋅， 化简得21(21)3λ-=，所以36λ±=. ………………10分24. 解：(1) 2111(1)11S C =-⨯⨯=，212132222211113(1)(1)(1)2222k k k S C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯=-=∑， 31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236k k k S C C C C k +==-=-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=-+=+=∑，所以2112S S -=，3213S S -=.………………4分 (2) 猜想：110nn k S k=-=∑，即111123n S n=++++.………………5分 证法一：下面用数学归纳法证明.1°当1n =时，由(1)知，11S =，成立；2°假设当n m =时，111111(1)123mk k m m k S C k m+==-=++++∑. 则当1n m =+时，111211111111(1)(1)(1)1m mk k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===-=-+-+∑∑ 112111(1)[](1)1mk k k m m m k C C k m +-+==-++-+∑ …………6分 111211111(1)+(1)(1)1m mk kk k m m m k k C C k k m ++-+===--+-+∑∑ 112111+(1)(1)1mk k m m m k S C k m +-+==-+-+∑. 又因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k m m m m kC m C k m k m k k m k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k m m kC m C -+=+，所以11111k km m C C k m -+=+，所以1m S +=121111+(1)(1)11mk k m m m k S C m m +++=-+-++∑ …………8分 121111+(1)(1)11m k k m m m k S C m m +++==-+-++∑ 12111+(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦∑ 123111111111[(1)(1)(1)]1r rm m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++=--+-++-++-+-+ 11[(11)1]1m m S m +=---+ 11111+11231m S m m m ==+++++++， 综上1°2°，111123n S n =++++，故110nn k S k=-=∑. …………10分 证明二：因为11(1)!!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!k k n nn n kC n C k n k n k k n k -++-+=⋅-+⋅=+---+，则11(1)k k n n kC n C -+=+，所以1+1111k kn n C C k n -=+，所以111211111111(1)(1)(1)1n nk k k k n n n n k k S C C k k n +++++++===-=-+-+∑∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1n S n =+， …………9分 所以111n n S S n +-=+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n--=，，2112S S -=， 以上n 个式子相加得1111112n S S n n +-=++++， 又由(1)知1=1S ，所以111111231n S n n +=++++++， 当2n ≥时，111123n S n=++++，当1n =时，符合上式. 故111123n S n =++++，即110nn k S k=-=∑. ………………10分。
江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试题高三数学(WORD版含答案)
扬州市2018—2019学年度第一学期期末检测试题高三数学2019．01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合M ＝{﹣2，﹣1，0}，N ＝1()22x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，则MN ＝ ．2．若i 是虚数单位，且复数z 满足(1i)2z +=，则z ＝ ．3．底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．4．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为 ．5．根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为 ．6．甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3．两人各自随机抽出一张，甲抽出卡片的数字记为a ，乙抽出卡片的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为 ． 7．若直线l 1：240x y -+=与l 2：430mx y -+=平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为 ．8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．9．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．10．已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ⋅＝ ．11．已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为．12．设a ，b 是非零实数，且满足sincos1077tan 21cos sin 77a b a b πππππ+=-，则b a ＝ ．13．已知函数4()3f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为 ．14．若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln ey x z z -=，则xy的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求方程()0f x =在(0，π]内的所有解． 16．（本题满分14分）如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，点E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．（1）求证：EF ∥平面ABC ； （2）BB 1⊥AC ．17．（本题满分14分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ．（1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数()(3)xf x x e =-，()(R)g x x a a =+∈．（e 是自然对数的底数，e≈2.718…）（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()()y f x g x =在区间[1，2]上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x x+=在区间(0，+∞)上既存在极大值又存在极小值，并且()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20．（本题满分16分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B ．（1）若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；（2）若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；（3）若2100nn b n =-，求n A ．第一部分（附加题）21．（本题满分10分）已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值． 22．（本题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=--⎩（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为)4πρθ=+，求直线l 被圆C 截得的弦长．23．（本题满分10分）将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD ．（1）若AE DE 与直线BC 所成角； （2）若二面角A —BE —D 的大小为3π，求AE 的长度．24．（本题满分10分）已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．参 考 答 案2019．1第 一 部 分1． 234．10 5． 6．78．1 910．0 11．1213．或 14． 15．解： (4)分 （1）由，解得：∴函数的单调增区间为 …………8分（2）由得，解得：，即 ∵ ∴或． …………14分 16．证明：（1）∵三棱柱 ∴四边形，四边形均为平行四边形∵分别是侧面，对角线的交点 ∴分别是，的中点 ∴ ………………4分 ∵平面，平面∴平面 ………………8分 （2）∵四边形为矩形 ∴∵平面平面，平面，平面平面∴平面 ………………12分 ∵平面 ∴………………14分17．解：（1）在中，由，得，又………………2分 ∵∴{2}-2-499m ≤1161-2e 22()cos cos sin 2cos22sin(2)6f x x x x x x x x π=+-+=+222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x [,],36k k k Z ππππ-++∈()0f x =2sin(2)06x π+=26x k ππ+=,122k x k Z ππ=-+∈(0,]x π∈512x π=1112x π=111ABC A B C -11AA B B 11BB C C ,E F 11AA B B 11BB C C ,E F 1AB 1CB //EF AC EF ⊄ABC AC ⊂ABC //EF ABC 11AA B B 1BB AB ⊥11AA B B ⊥ABC 1BB ⊂11ABB A 11ABB A ABC AB =1BB ⊥ABC AC ⊂ABC 1BB ⊥AC ABD △2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅214BD θ=-cos =θ-BD =(,)2πθπ∈sin θ=由，解得：， ∵是以为直角顶点的等腰直角三角形 ∴2CDB π∠=且CD BD ==∴ ………………5分在中，，解得：………………7分 （2）由（1）得：， ，此时，且 (10)分当时，四边形的面积最大，即，此时∴，即…………13分 答：当cos =θ-小路百米；草坪的面积最大时，小路的百米．…………14分18．解：由题意得，解得，∴2223b a c =-=∴椭圆M的方程是且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设，，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为， 同理：直线BC 的方程为． sin sin BD AB BAD ADB =∠∠3sin ADB =∠3sin 5ADB ∠=BCD △D 3cos cos()sin 25ADC ADB ADB π∠=∠+=-∠=-ACD △2222232cos 2()375AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=+--=AC =214BD θ=-2113sin 7sin 22ABCD ABDBCDS S SBD θθθ=+=⨯+⨯=+-1572cos )7sin()2θθθφ=+-=+-sin φφ=(0,)2πφ∈2πθφ-=ABCD 2πθφ=+sin θθ==21414(26BD θ=-=-=BD =AC ABCD BD 1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩12c a =⎧⎨=⎩22143x y +=00(,)P x y 002PA y k x =+02(2)x y x y +=-+002(2)x y x y -=--联立方程，解得，又∵， ∴点C 的坐标为， (6)分∵点的横坐标为1- ∴，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Qx x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =- 整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设的斜率为，， ∵P 为椭圆上第一象限内一点∴0k << ∵ ∴的斜率为． 联立方程，解得，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵，∴，则AC 的方程为 ∵，∴，则BC 的方程为． 由，得，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点的横坐标为1- ∴，解得：00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩02004x x x y y=-⎧⎪-⎨=⎪⎩22000004444433y x y y y ---==-004(,)3x y --C 01x =032y =P AP k 00(,)P x y M 2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--BP 34k-(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1l PA ⊥1AC k k =-1(2)y x k =-+2l PB ⊥43BCk k =4(2)3y k x =-1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩C 2286143k k -=-+12k =±∵0k <<∴ ∴点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQλ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴ …………16分 19．解：（1），，令，解得，列表：∴当时，函数取得极大值，无极小值 …………3分 （2）由，得∵0x e >，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立 ∴，解得3a ≥-． …………8分（3）， 令，∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根． …………10分∵12k =P 1(2)y x k=-+2516(,)189λ∈()(3)x f x x e =-'()(2)x f x x e =-'()0f x =2x =2x =()f x 2(2)f e =()()(3)()xy f x g x x x a e ==-+22'[(3)32(3)][(1)23]x x y e x a x a x a e x a x a =-+-+-+-=-+-++2()(1)23m x x a x a =-+-++()()y f x g x =[1,2][1,2]x ∈()0m x ≥(1)0(2)0m m ≥⎧⎨≥⎩()()(3)()x f x g x x e x a h x x x +-++==22(33)'()x e x x a h x x -+--=2()(33)x r x e x x a =-+--()h x (0,)+∞'()0h x =(0,)+∞2()(33)0x r x e x x a =-+--=(0,)+∞1212,()x x x x <22'()(3323)()(1)x x x r x e x x x e x x x x e =-+--+=-+=-∴当时，，单调递增，当时，，单调递减 则，∴，解得，∴∵()r x 在(0,)+∞上连续且3(0)(1)0,(1)()02r r r r ⋅<⋅<∴()0r x =在(0,1)和3(1,)2上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值1()f x ，在区间上存在极大值2()f x ．∴，且 ，…………13分令()(2),'()(1)x x H x e x H x e x =-=-，当时，'()0H x <，()H x 单调递减∵，∴23()()(1)2h h x h <<，即3221()(1,1)2h x e e ∈++，则32131142e e <+<+<∵()h x 的极大值小于整数b ，∴满足题意的整数的最小值为． …………16分20．解：（1）∵数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴，则，∴ (4)分（2）方法（一）若数列是等差数列，设其公差为 ∵11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-根据的定义，有以下结论：，，且两个不等式中至少有一个取等号， …………6分①若，则必有，∴，即对，都有 ∴，， ∴，即为等差数列；(0,1)x ∈'()0r x >()r x (1,)x ∈+∞'()0r x <()r x 101x <<(0)0(1)0r r <⎧⎨>⎩3a e -<<-3322333()30244r e a e =--<-+<()h x (0,)+∞3a e -<<-(0,1)3(1,)222222(3)()x x e x a h x x -++=2222222(33)'()0x e x x ah x x -+--==2222(33)x a e x x =-+-22222222222(3)(33)()(2)1x x x x e x e x x h x e x x -++-+-==-+(1,)x ∈+∞23(1,)2x ∈b 4{}n a 2n n a =2n m =2n n n M a ==122122n n n b -+==+1212112n n n B n n -=+⨯=-+-{}n b 'd 11'22n n n n M M m m d ----=+=,n n M m 1n n M M -≥1n n m m -≤'0d >1n n M M ->11n n n n a M M a --=>≥2,*n n N ≥∈1n n a a ->n n M a =1n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222n n n n a a a a a a d --++-=-==12'n n a a d --={}n a②当时，则必有，所以，即对，都有∴，，所以，即为等差数列； ③当， ∵，中必有一个为0，∴根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即，，∴为常数数列，所以为等差数列，综上，数列也一定是等差数列． …………10分 方法（二）若数列是等差数列，设通项公式为，则．对于数列：，增加时，有下列情况：①若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数列． …………7分 ②若时，则， ∴ ∵数列是等差数列且 ∴， ∴ ∴，即，即为常数数列 ∴数列是公差为0的等差数列． ③若时，则，此时，∴对恒成立 则，，∴即为常数，则数列是等差数'0d <1n n m m -<11n n n n a m m a --=<≤2,n n N ≥∈1n n a a -<1n M a =n n m a =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-1111'222nn nn a a a aaad --++-=-==12'n n a a d --={}n a '0d =11122n n n n n n M m M m b b ---++-=-11022n n n n M M m m ----=+=1n n M M --1n n m m --1n n M M -=1n n m m -={}n a {}n a {}n a {}n b (,n b p n q p q R =+∈1n n b b p +-={}n a 12,,,n a a a 1n a +1n n a M +>111,n n n n M a m m +++==11n n n n a M M a ++=>≥1n n a a +>*n N ∈n nM a =11n n m m a +==111111122222n n n n n n nnn n M m M m a a a a a a b b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a 1n nn m a M +≤≤11,n n n n M M m m ++==1n n b b +={}n b n b p n q =+0p =n b q =111111,n n nnnn M M M Ma q m m mm a q+-+-============1n q a q +≤≤n a q ={}n a {}n a 1n n a m +<11,n n n n M M m +++==11n n n n a m m a ++=<≤1n n a a +<*n N ∈11n n M M a +==n nm a =111111122222n n n n n nnnn n M m M m a a a a a ab b p +++++++++--=-=-==12n n a a p +-={}n a列． …………10分 （3）∵， ∴当时，，即，当时，，即．以下证明：，当7n <时，若1n n n m a M +≤≤，则1n n M M +=，1n n m m +=，所以1n n b b +=，不合题意； 若1n n a M +>，则11n n M a ++=，1n n m m +=，则1122n n n n M m M m ++++<，得：1n n b b +<，与1n n b b +>矛盾，不合题意；∴1n n n a m a +<≤，即；同理可证：，即时，．①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴∴ …………13分②当时，，且∴，则n M 为1a 或n a ．若n M 为1a ，则n b 为常数，与题意不符∴ ∴ ∴ ∴9797892(12)(8)(7)249001442001046(7)122n n n n n A A a a a n --+-=++++=---+-⨯+--2221009466640n n n +=-+-∴2222210024,7*21009466640,8n n n n n n A n N n n n ++⎧---≤⎪=∈⎨-+-≥⎪⎩，． …………16分第二部分（加试部分）21．（B ）解：∵ ∴ …………5分 11[2100(1)][2100]2100n n n n n b b n n ++-=-+--=-7n <10n n b b +-<1267b b b b >>>>7n ≥10n n b b +->789b b b <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<1267a a a a >>>>789a a a <<<7,*n n N ≥∈1n n a a +<7n ≤1n M a =n n m a =12nn a a b +=12n n a b a =-1198a b ==-2100n n b n =-1220098n n a n +=-+224(12)(1)20098210024122n n n n n A n n n +-+=-⨯+=----7n >1267a a a a >>>>789a a a <<<8722007981046n m a ==-⨯+=-n n M a =72n n a a b +=17222001046n n n a b a n +=-=-+1113632368a a A b b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦32a b =⎧⎨=⎩矩阵A 的特征多项式为231()(3)(2)254022f λλλλλλλ--==---=-+=--， 令，解得矩阵的特征值为或． …………10分 21．（C ）解：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为方程：240x y ++= …………2分圆C的方程为)4πρθ=+化为直角坐标系方程：24(cos sin )ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，22(2)(2)8x y -++=，其圆心(2,2)-，半径为…………5分∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线被圆截得的弦长为． …………10分 22．解：∵正方形边长为2 ∴，， 又⊥平面∴以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系． 作，垂足为∵平面⊥平面，平面，平面平面 ∴平面∵ ∴点为的中点，…………2分 （1）∵∴，，，，∴ ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为； …………5分 （2）设的长度为，则∵AD ⊥平面ABE∴平面ABE 的一个法向量为1(0,1,0)n = …………6分 设平面的法向量为，又∴ ∴，解得：，取，则∴平面的一个法向量为 …………8分 ∴121212cos ,||||n n n n n n a ⋅<>===()0f λ=A 14l C ABCD AB AD ⊥CB CD ⊥2AB AD CD BC ====AE ABD A ,,AB AD AE ,,x y z CF BD ⊥F ABD CBD CF ⊂CBD ABD CBD BD =CF ⊥ABD 2CB CD ==F BD CF AE =E (2,0,0)B (0,2,0)D (1,1,0)F C (0,2,2),(1,1DE BC =-=-0DE BC ⋅=DE BC ⊥DE BC 2πAE (0)a a >(0,0,)E a BDE 2111(,,)n x y z =(2,0,),(2,2,0)BE a BD =-=-22,n BE n BD ⊥⊥21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩12z =11x y a ==BDE 2(,,2)n a a =∵二面角A BE D --的大小为12=，解得：a ∴的长度为 …………10分23．解：（1）设点，则 ∴∵ ∴，即 …………2分 （2）设，直线与轴交点为，内切圆与的切点为．设直线的方程为：，则联立方程，得： ∴且120x x << ∴ ∴直线的方程为：，与方程联立得：，化简得：解得：或 ∵ ∴轴 设的内切圆圆心为，则在轴上且……5分 方法（一）∴2211()|2|22MBD S x y =⋅+⋅△，且MBD △的周长为：22||y∴2221112||]()|2|222MBD S y r x y =⋅=⋅+⋅△∴221()||x y r +=== ……8分方法（二）设，直线的方程为：，其中 直线的方程为：，即，且点H 与点O 在直线AB 的同侧3πAE (,)P x y (2,)Q y -(,),(2,)OP x y OQ y ==-0OP OQ ⋅=220OP OQ x y ⋅=-+=22y x =112233(,),(,),(,)A x y B x y D x y BD x E AB T AM 1()2y k x =+21()22y k x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2222(2)04k k x k x +-+=1214x x =1212x x <<AN 111()122y y x x =--22y x =222221111111(+22)024y x y x x x y --++=22111112(2)022x x x x x -++=114x x =1x x =32114x x x ==BD x ⊥MBD △HHx HT AB ⊥2(,0)H x r -BD 2x x =2222y x =AM 221()22y y x x =++22211()022y x x y y -++=∴22222211|()|()x r y y x r y y r -+-+=，解得：2221x y y r +==…8分方法（三）∵ ∴，解得：…8分令，则∴在上单调增，则，即的取值范围为．……10分MTHMEB △△MH HT MB BE=221||x rr y +-=2222111()||x y x x r +++===212t x =+1t >r =(1,)+∞r r 1,)+∞。
2019届高三开学模拟数学理试题答案Word版2.1doc
江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ．2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。
下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C 的右支交于点M 。
若直线AB 的斜率为3,直线AM 的斜率为1，则双曲线C 的离心率为 ．10.已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++L1121n n n a a a a a --++++++L （2,n n *∈N ≥），若(27)2019m m a b +-=，则m 的值为 ．11.在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2，D 在AB 上，AD →＝13AB →.若DB →·DC →＝3，则AC 的长是________．12.在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+= 上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ．14.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱1111D C B A A B C D -中，已知平面⊥C C AA 11平面,A B C D 且3===CA BC AB ,1==CD AD .(1)求证：;1AA BD ⊥(2)若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11D DCC .1A E CD BA1D 1B 1C 第15题16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC ＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求OC OD +的最小值； （2）若x ∈[0，2π]，向量BC m =，n =(1cos x -，sin 2cos x x -)，求m n ⋅的最小值及对应的x 值．17. 如图，一楼房高AB为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌BC 边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=；（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C 的两焦点分别为F 1(32-,0)，F 2(32，0)，点E 在椭圆C 上，且∠F 1EF 2=60°， 124EF EF ⋅=u u u v u u u v .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过x 轴正半轴上一点M 作直线l ，交椭圆C 于A B 两点。
江苏省扬州2019届高三第一学期开学测试数学试题及答案
（时间：120 分钟 满分 160 分）
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 1.命题“若 lg x 0 ，则 x 1 ”的逆否命题是 （填“真” 或“假” ）命题. 2.已知一组数据：1,3,7,10,12，则该组数据的平均数是 . 2 则 AI B _. 3. A x x 5 x 14 0 ， B x log x f 1 ，
1 2 1 z (2 x y, xy ) ( , ) 的最小值是 x y xy
.
二．解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 14 分） 已知 f x
3 sin x cos x
（1）若 x 0, ，解不等式： f x 1 ； （2）求 f x 的单调递增区间.
概率是 . 11.已知等比数列 {an } 满足 a1 1 ，且 a2 , a1 , a3 是公差不为 0 的等差数列，则 {an } 的前 5 项和为
2
.
.
12.在平面直角坐标系 xOy 中， 已知 P 是抛物线 C : y 2 x 上一点，F 是抛物线的焦点，l 是抛物线的准 线， 过 P 作 l 的垂线，垂足为 Q ，若 △PQF 是正三角形，则 P 的坐标是 . 13.已知 f x , g x 都是定义在 , 上的函数，若 f x 是奇函数， g x 是偶函数，则下列函数中 一 定是偶函数的是 （填序号） ① y f x g x ② y g f x ③ y f g x ④ y f f x 14.对两个实数对 a, b 和 c, d 定义运算： a, b c, d ad bc .若 x 0, y 0 ，则
扬州市2019—2020学年度第一学期高三数学期末检测试题含答案
+
1 an+1
=
2(n
N * ) ，且 a1
=
1 2
.
（1）求数列 {an } 的通项公式；
（2）设数列 {an } 的前
n
项和为
Sn
，求证：当
n
2
时，
S2n−1
−
Sn−1
n
−
4 5
.
扬州市 2019—2020 学年度第一学期期末检测试题
高三数学参考答案
一、 填空题：
1. 4
2. 2
3. 1800
段 EB 的长度， M 是 BC 的中点， N 是 ED 的中点。 求证：（1） AM ⊥ 平面 EBC ；
（2） MN / / 平面 DAC 。
17.如图是一个半径为 1 千米的扇形景点的平面示意图，AOB = 2 .原有观光道路 OC,且 OC ⊥ OB 。 3
为便于游客观赏，景点 2 部门决定新建两条道路 PQ,PA,其中 P 在原道路 OC(不含端点 O,C)上，Q 在景点边界
扬州市2019—2020学年度第一学期期末检测试题
高三数学试卷
一、填空题：
1.已知集合 A = 1, k − 2, B = 2, 4 ，且 A B = 2, 则实数 k 的值为
2.设 (1+ 3i)2 = a + bi ，则 a+b=
3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为 90 的样本。在高一抽
所以 EB∥DA ，所以 EN BN ，……9 分 ND NI
又 N 为 ED 的中点，所以 BN NI ，即 N 为 BI 的中点. 又 M 是 BC 的中点，所以在 △BCI 中， MN∥CI .……11 分
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试+物理+Word版含答案
2019届高三年级第一次模拟考试物 理本试卷共8页，包含选择题(第1题～第9题，共9题)、非选择题(第10题～第16题，共7题)两部分．本卷满分为120分，考试时间为100分钟．一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个．．．．选项符合题意．1.真空中静止点电荷的电场中，A 处电场强度为E ，若该点电荷电荷量减半，则A 处场强为( )A.E 4B.E 2C.ED.4E 2.2018年11月16日第26届国际计量大会通过“修订国际单位制”决议，正式更新包括国际标准质量单位“千克”在内的4项基本单位定义．研究发现，声音在空气中的传播速度v 与空气的密度ρ以及压强p 有关，k 为无单位的常数．下列关于空气中声速的表达式中可能正确的是( )A.v ＝k p ρB.v ＝kp ρC.v ＝k ρpD.v ＝kpρ 3.足球运动员掷界外球，第一次以速度v 1斜向下抛出，第二次在同一高度处以速度v 2水平抛出，v 1<v 2.忽略空气阻力，足球从抛出到落地，在空中的运动时间分别为t 1、t 2，落地点到运动员的水平距离分别为x 1、x 2.则( )A.t 1>t 2；x 1>x 2B.t 1<t 2；x 1<x 2C.t 1>t 2；x 1<x 2D.t 1<t 2；x 1>x 24.如图所示，理想变压器原线圈接入正弦交流电，图中电压表和电流表均为理想交流电表，R 1为定值电阻，R 2为负温度系数的热敏电阻(温度升高时阻值减小)，C 为电容器．下列说法正确的是( )A.通过R 1的电流为零B.滑片P 向上滑动，电压表示数变大C.R 2处温度升高时，电压表的示数不变D.减小电容器C的电容，电流表的示数变大5.航母上飞机弹射起飞是利用电磁驱动来实现的．电磁驱动原理如图所示，在固定线圈左右两侧对称位置放置两个闭合金属圆环，铝环和铜环的形状、大小相同，已知铜的电阻率较小，则合上开关S的瞬间()A.两个金属环都向左运动B.两个金属环都向右运动C.铜环受到的安培力小于铝环受到的安培力D.从左侧向右看，铝环中感应电流沿顺时针方向二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6.2018年12月8日我国成功发射了嫦娥四号探测器，它实现了人类首次月球背面着陆探测.12日16时39分，探测器在距月面129km处成功实施发动机点火，约5分钟后，探测器顺利进入距月面100km的圆形轨道，运行一段时间后择机着陆月球表面，下列说法正确的有()A.探测器发射速度大于7.9km/sB.探测器在距月面129km处发动机点火加速C.从点火到进入圆轨道，探测器位移是29kmD.若已知引力常量、圆形轨道半径及探测器在其上运行周期，可估算月球质量7.如图所示，在等量异种电荷形成的电场中有一正方形ABCD，其对角线AC与两点电荷的连线重合，两对角线的交点位于电荷连线的中点O.下列说法中正确的有()A.A、B两点的电场强度方向相同B.B、D两点的电势相同C.质子由C点沿C→O→A路径移至A点，电场力对其先做负功后做正功D.电子由B点沿B→C→D路径移至D点，电势能先增大后减小8.去年底，我省启动“263”专项行动，打响碧水蓝天保卫战．暗访组在某化工厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，测量管由绝缘材料制成，其长为L、直径为D，左右两端开口，匀强磁场方向竖直向下，在前后两个内侧面a、c固定有金属板作为电极．污水充满管口从左向右流经测量管时，a、c两端电压为U，显示仪器显示污水流量Q(单位时间内排出的污水体积)．则()A.a侧电势比c侧电势高B.污水中离子浓度越高，显示仪器的示数将越大C.若污水从右侧流入测量管，显示器显示为负值，将磁场反向则显示为正值D.污水流量Q与U成正比，与L、D无关9.如图所示，三角形传送带以1m/s的速度逆时针匀速转动，两边传送带与水平方向的夹角均为37°.两个相同的物块A、B与传送带间的动摩擦因数是0.5，从传送带顶端均以1m/s 的初速度沿传送带下滑．最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.下列说法中正确的有()A.A、B所受摩擦力沿传送带向上B.滑至底端，A用时较少C.滑至底端时A所受重力的瞬时功率较大D.下滑过程A与传送带间产生的热量较少三、简答题：本题分必做题(第10、11、12题)和选做题(第13题)两部分，共计42分．【必做题】10.(8分)某同学通过实验测量玩具上的小直流电动机转动的角速度大小，如图甲所示，将直径约为3cm的圆盘固定在电动机转动轴上，将纸带的一端穿过打点计时器后，固定在圆盘的侧面，圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘的侧面上，打点计时器所接交流电的频率为50Hz.甲乙(1) 实验时，应先接通________(选填“电动机”或“打点计时器”)电源．(2) 实验得到一卷盘绕在圆盘上的纸带，将纸带抽出一小段，测量相邻2个点之间的长度L1，以及此时圆盘的直径d1，再抽出较长的一段纸带后撕掉，然后抽出一小段测量相邻2个点之间的长度L2，以及此时圆盘的直径d2，重复上述步骤，将数据记录在表格中，其中一段纸带如图乙所示，测得打下这些点时，纸带运动的速度大小为________m/s.测得此时圆盘直径为5.60cm，则可求得电动机转动的角速度为________rad/s.(结果均保留两位有效数字)(3) 该同学根据测量数据，作出了纸带运动速度(v)与相应圆盘直径(d)的关系图象，如图丙所示．分析图线，可知电动机转动的角速度在实验过程中________(选填“增大”“减小”或“不变”)．丙11.(10分)某同学测量0.5mm自动铅笔笔芯的电阻．(1) 先用欧姆表估测笔芯的电阻，在测量前发现电表指针位置如图甲所示，该同学应该调节________(选填“T”或者“S”)．用“×10”挡和“×1”挡按正确步骤分别测量，指针指在图乙所示位置．则笔芯电阻的测量值较为准确的是________Ω.甲乙(2) 再用如图丙所示的电路测定笔芯电阻，相关器材的规格已在图中标出，请根据实验要求在图丙中用笔画线代替导线完成实物电路连接．(3) 正确连接电路后，调节滑动变阻器，多次测量，将数据描在UI坐标纸上，请根据图丁中描出的点画出UI图线．并求笔芯接入电路的电阻为________Ω.丙丁12. [选修3－5](12分)(1) 在光电效应实验中，用同一种单色光，先后照射锌和银的表面，都能产生光电效应．对于这两个过程，可能相同的物理量是________．A.遏止电压B.饱和光电流C.光电子的最大初动能D.逸出功(2) 验证动量守恒定律装置如图所示．在气垫导轨上给滑块A向右的速度，通过光电门1后与静止的滑块B相碰并粘合在一起通过光电门2.计时器显示滑块A、B通过光电门1和2的时间分别为Δt1和Δt2.测得滑块A、B的质量分别为m1、m2，A、B滑块上的遮光片宽度分别为d1、d2.碰撞过程中，滑块A对B的冲量大小________(选填“>”“<”或“＝”)滑块B对A的冲量大小，碰撞过程中验证动量守恒定律的表达式为__________________________(用题中所给的字母表示)．(3) 假设两个氘核在一直线上相碰发生聚变反应生成氦的同位素和中子，已知氘核的质量是m1，中子的质量是m2，氦核同位素的质量是m3，光在真空中速度为c.①写出核聚变反应的方程式；②求核聚变反应中释放出的能量ΔE.13.【选做题】本题包括A、B两小题，请选定其中一小题．．．．．．．．，并作答．若多做，则按A小题评分．A.[选修3－3](12分)(1) 关于分子力，下列说法正确的有________．A.分子间距离增大时，分子力减小B.液体的表面张力是液体表面层分子力表现为引力的宏观表现C.金刚石中碳原子间相互作用力很强，所以金刚石十分坚硬D.布朗运动中的花粉微粒在不停地做无规则运动，这是分子间存在斥力的宏观表现(2) 如图所示，用导热性能良好的汽缸和活塞将一定质量的理想气体密封在汽缸内(活塞与汽缸壁之间无摩擦)．在活塞上缓慢地加沙子，在此过程中，密闭气体________(选填“吸热”“放热”或“无热传递”)，单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数________(选填“增多”“减少”或“不变”)．(3) 如图所示，一定质量的理想气体从状态A经等温过程到状态B.此过程中，气体温度为0℃.已知阿伏加德罗常数N A＝6.02×1023mol－1，1mol气体在1atm、0℃时的体积为22.4L．(结果保留两位有效数字)①气体在状态A的体积V A；②气体分子数N.B.[选修3－4](12分)(1) 下列说法中正确的有________．A.摆钟偏快时可增加摆长进行校准B.做简谐运动的物体，其振动能量与振动的频率有关C.“隔墙有耳”现象是指声波发生了干涉现象D.光经过大头针尖儿时，针尖边缘轮廓会模糊不清，这是光的衍射现象(2) 如图所示，在某一均匀介质中，A、B是振动情况完全相同的两个波源，其简谐运动表达式均为x＝0.3sin(200πt)m，两波源形成的简谐横波分别沿AP、BP方向传播，波速都是500m/s，则简谐横波的波长为________m，某时刻两列波的波峰在P点相遇，则介质中P点的振幅为________m.(3) 如图所示的装置可以测量棱镜的折射率，ABC表示待测直角棱镜的横截面，棱镜的顶角为α，紧贴直角边AC是一块平面镜．一光线SO射到棱镜的AB面上，适当调整SO的方向，当SO与AB成β角时，从AB面射出的光线与SO重合，则棱镜的折射率n为多少？四、计算题：本题共3小题，共计47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14.(15分)如图所示，足够长的两光滑水平导轨间距为L，导轨间所接电阻的阻值为R.质量为m的金属棒ab阻值也为R、金属棒在大小为F的水平恒力作用下沿导轨由静止开始滑动，其他电阻忽略不计．整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B.(1) 求金属棒ab速度的最大值v m；(2) 画出电阻R两端的电压U与金属棒速度v的关系图象(要求写出作图依据)；(3) 经过时间t，金属棒运动距离为x，速度为v1，求该过程金属棒产生的焦耳热Q.15.(16分)如图所示，半径为R 的半圆形管道ACB 固定在竖直平面内，倾角为θ的斜面固定在水平面上，细线跨过小滑轮连接小球和物块，细线与斜面平行，物块质量为m ，小球质量M ＝3m ，对物块施加沿斜面向下的力F 使其静止在斜面底端，小球恰在A 点．撤去力F后，小球由静止下滑．重力加速度为g ，sinθ＝2π≈0.64，不计一切摩擦．求： (1) 力F 的大小；(2) 小球运动到最低点C 时，速度大小v 以及管壁对它弹力的大小N ；(3) 在小球从A 点运动到C 点过程中，细线对物块做的功W.16.(16分)如图所示为电子发射器原理图，M处是电子出射口，它是宽度为d的狭缝．D 为绝缘外壳，整个装置处于真空中，半径为a的金属圆柱A可沿半径向外均匀发射速率为v 的电子；与A同轴放置的金属网C的半径为2a.不考虑A、C的静电感应电荷对电子的作用和电子之间的相互作用，忽略电子所受重力和相对论效应，已知电子质量为m，电荷量为e.(1) 若A、C间加速电压为U，求电子通过金属网C发射出来的速度大小v C；(2) 若在A、C间不加磁场和电场时，检测到电子从M射出形成的电流为I，求圆柱体A在t时间内发射电子的数量N.(忽略C、D间的距离以及电子碰撞到C、D上的反射效应和金属网对电子的吸收)(3) 若A、C间不加电压，要使由A发射的电子不从金属网C射出，可在金属网内环形区域加垂直于圆平面向里的匀强磁场，求所加磁场磁感应强度B的最小值．2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)物理参考答案1. B2. A3. B4. C5. D6. AD7. ABD8. AC9. AD10. (1) 打点计时器(2) 1.864(3) 不变(每空2分)11. (1) T (1分)18(或18.0)(2分)(2) 分压式、外接法(3分，错一条线得1分)(3) 过原点的倾斜直线(2分)14(13～15)(2分)12. (1) B(3分)(2) ＝m1d1Δt1＝(m1＋m2)d2Δt2(每空2分)(3) ①核反应方程式为21H＋21H→32He＋10n.(2分)②核反应过程中的质量亏损Δm＝2m1－(m2＋m3)(1分)氘核聚变时放出的能量ΔE＝Δmc2＝(2m1－m2－m3)c2.(2分)13. A．(1) BC(3分，漏选得1分)(2) 放热增多(每空2分)(3) ①p A V A＝p B V B(1分)解得V A＝2.5×10－2 m3. (1分)②N＝VV A N A (2分)解得N＝1.3×1023.(1分)B．(1) AD(3分，漏选得1分)(2) 50.6(每空2分)(3) 入射角i＝90°－β(1分)要使从AB面射出的光线与SO重合，则AB面上折射光线必须与AC面垂直，由几何知识得到，折射角r＝α(2分)根据折射定律得n＝sin isin r＝sin()90°－βsin α＝cos βsin α.(2分)14. (1) 金属棒中产生的感应电动势E＝BLv(1分)由闭合电路欧姆定律I＝ER＋R(1分)金属棒受到的安培力F安＝BIL(1分) 由牛顿第二定律F－F安＝ma(1分)以上各式联列可得F－B2L2v2R＝ma当a ＝0时，金属棒ab 速度的最大值v m ＝2FRB 2L 2.(1分) (2) 电阻R 两端的电压U ＝IR ＝12BLv ∝v (1分)且U m ＝12BLv m ＝FRBL (1分)Uv 关系图象如图所示：(2分)(3) 金属棒速度达到v 1的过程中，由动能定理可得 Fx －W 克安＝12mv 21－0(2分)解得回路中产生的总热量Q 总＝W 克安＝Fx －12mv 21 (2分)金属棒产生的焦耳热Q ＝Q 总2＝12Fx －14mv 21.(2分)15. (1) 对小球：细线上的拉力T ＝3mg(1分) 对物块：mgsin θ＋F ＝T(2分) 解得F ＝2.36mg.(1分)(2) 小球在C 点时速度与物块速度大小相等．(1分)对小球和物块组成的系统，由机械能守恒定律3mgR －mg 12πRsin θ＝12(3m ＋m)v 2(2分)解得v ＝gR(1分)在C 点：对小球，由牛顿第二定律N －3mg ＝3m v 2R (2分)解得N ＝6mg.(1分)(3) 在小球从A 点运动到C 点过程中，对物块，由动能定理W －mg 12πRsin θ＝12mv 2－0(3分)解得W ＝32mgR.(2分)16. (1) 对电子经CA 间的电场加速时，由动能定理得Ue ＝12mv 2C －12mv 2(2分)解得：v C ＝2eU m＋v 2.(2分) (2) 设时间t 内从A 中发射的电子数为N ，由M 口射出的电子数为n, 则 I ＝net (2分)n ＝d 2π×2a N ＝dN 4πa (2分)解得N ＝4πaIted.(2分)(3) 电子在CA 间磁场中做圆周运动时，其轨迹圆与金属网相切时，对应的磁感应强度为B.设此轨迹圆的半径为r ，则(2a －r)2＝r 2＋a 2 解得r ＝34a(3分)Bev ＝m v 2r解得B ＝4mv3ae.(3分)。
江苏省扬州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷
2019年10月09日xx 学校高中数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1.已知集合{}2,1,0M =--，102xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则MN ＝___________．2.已知i 是虚数单位，且复数z 满足()1Z 2i +=，则Z ＝________．3.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是__________．4.某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为__________．5.根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________． Re ad x 0If x Then ≥sin y x ← Else21y x ←- End If Print y6.甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为___________．7.若直线1:240l x y -+=与2:430l mx y -+=平行，则两平行直线1l ，2l 间的距离为________．8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝________．9.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=,则该双曲线的离心率为__________.10.已知直线:4l y x =-+与圆()()22:211C x y -+-=相交于P ，Q 两点，则CP CQ ⋅＝__________.11.已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为________．12.设a ，b 是非零实数，且满足ππsincos 10π77tan ππ21cos sin 77a b a b +=-，则b a ＝__________． 13.已知函数()43f x a x a x=++-+有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．14.若存在正实数x ，y ，z 满足223310y z yz +≤，且ln ln eyx z z-=，则x y 的最小值为________．二、解答题15.已知函数()22cos cos sin f x x x x x =+-，R x ∈. (1)求函数()f x 的单调增区间； (2)求方程()0f x =在(]0,π上的所有解．16.如图，在三棱柱111ABCA B C 中，四边形11AA B B 为矩形，11AA B B ABC ⊥平面平面，E ，F 分别是侧面11AA B B ，11BB C C 对角线的交点．求证：(1)EF ABC //平面； (2)1BB AC ⊥.17.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中3AB =百米，AD BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD (路的宽度忽略不计)，设π,,π2BAD θθ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭.(1)当cos θ=时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作1l PA ⊥，2l PB ⊥，直线1l ，2l 交于点C .(1) 若点C 的横坐标为-1，求点P 的坐标；(2) 直线1l 与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围． 19.已知函数()()3x f x x e =-，()()R g x x a a =+∈ (e 是自然对数的底数， 2.718e ≈)．(1) 求函数()f x 的极值；(2) 若函数()()y f x g x =在区间[]1,2上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 若函数()()()f xg xh x x+=在区间()0,+∞上既存在极大值又存在极小值，并且函数()h x 的极大值小于整数b ，求b 的最小值．20.记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，数列{}n a 的前n 项和为n A ，数列{}n b 的前n 项和为n B .(1)若数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，求n B ；(2)若数列{}n b 是等差数列，试问数列{}n a 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明； (3)若n n 2100b n =-，求n A . 21.按要求回答下列问题： (1) [选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵12a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，满足1638A ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求矩阵A 的特征值． (2) [选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩(t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．22.如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得ABD CBD ⊥平面平面，又AE ABD ⊥平面.(1)若AE =，求直线DE 与直线BC 所成的角； (2)若二面角ABED 的大小为π3，求AE 的长度． 23.已知直线2x =-上有一动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于y 轴，动点P 在1l 上，且满足0OP OQ ⋅= (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求MBD △的内切圆半径r 的取值范围．。
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2019届高三第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >2，则M ∩N ＝________．2. 已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则||z ＝________．3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． Read xIf x ≥0 Then y ←sin x Elsey ←x 2－1 End IfPrint y 4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为________．5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．7. 若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________．9. 已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为________．10. 已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →＝________.11. 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．12. 设a ，b 是非零实数，且满足asin π7＋bcosπ7acos π7－bsinπ7＝tan 10π21，则ba ＝________．13. 已知函数f(x)＝a ＋3＋4x －||x ＋a 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的值为________．14. 若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝ey z ，则x y的最小值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝cos2x＋23sin xcos x－sin2x，x∈R.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．求证：(1) EF∥平面ABC；(2) BB1⊥AC.为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. (1) 当cos θ＝－55时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；(2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →，求λ的取值范围．已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x ＋a(a ∈R )(e 是自然对数的底数，e ≈2.718…)． (1) 求函数f(x)的极值；(2) 若函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a 的取值范围；(3) 若函数h(x)＝f （x ）＋g （x ）x 在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b ，求b 的最小值．记无穷数列{}a n 的前n 项中最大值为M n ，最小值为m n ，令b n ＝M n ＋m n2，数列{}a n 的前n 项和为A n ，数列{}b n 的前n 项和为B n .(1) 若数列{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列，求B n ；(2) 若数列{}b n 是等差数列，试问数列{}a n 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；(3) 若b n ＝2n－100n ，求A n .2019届高三年级第一次模拟考试数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡ab⎦⎥⎤12，满足A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，求矩阵A 的特征值．B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t (t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C 的极坐标方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，求直线l 被圆C 截得的弦长．22. (本小题满分10分)如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD.(1) 若AE ＝2，求直线DE 与直线BC 所成的角；(2) 若二面角ABED 的大小为π3，求AE 的长度．23. (本小题满分10分)已知直线x ＝－2上有一动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为曲线C.(1) 求曲线C 的方程；(2) 已知定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．2019届高三年级第一次模拟考试(八)(扬州)数学参考答案1. {－2}2. 23. 22π34. 105. －26. 497.52 8. 1 9. 52 10. 0 11. (－∞，9] 12.3 13.116或－1－33214. e 215. f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (4分)(1) 由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z ，解得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z ，所以函数f(x)的单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ]，k∈Z .(8分)(2) 由f(x)＝0得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝0， 解得2x ＋π6＝kπ，即x ＝－π12＋kπ2，k∈Z .因为x∈(0，π]，所以x ＝5π12或x ＝11π12.(14分)16. (1) 因为三棱柱ABCA 1B 1C 1，所以四边形AA 1B 1B ，四边形BB 1C 1C 均为平行四边形． 因为E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点， 所以E ，F 分别是AB 1，CB 1的中点 ， 所以EF∥AC.(4分)因为EF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EF∥平面ABC.(8分)(2) 因为四边形AA 1B 1B 为矩形， 所以BB 1⊥AB.因为平面AA 1B 1B⊥平面ABC ，BB 1⊂平面ABB 1A 1，平面ABB 1A 1∩平面ABC ＝AB ， 所以BB 1⊥平面ABC.(12分) 因为AC ⊂平面ABC ， 所以BB 1⊥AC.(14分)17. (1) 在△ABD 中，由BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB·ADcos θ，得BD 2＝14－65cos θ， 又cos θ＝－55， 所以BD ＝2 5.(2分)因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 所以 sin θ＝1－cos 2θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝25. 由BD sin ∠BAD ＝AB sin ∠ADB，得2525＝3sin ∠ADB ， 解得sin ∠ADB＝35.因为△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以∠CDB＝π2且CD ＝BD ＝25，所以cos ∠ADC＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ADB＋π2＝ －sin ∠ADB＝－35.(5分)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD·DCcos ∠ADC＝(5)2＋(25)2－2×5×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝37,所以AC ＝37.(7分)(2) 由(1)得BD 2＝14－65cos θ，S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×3×5×sin θ＋12×BD 2＝7＋352sin θ－35cos θ＝7＋352(sin θ－2cos θ)＝7＋152sin (θ－φ)，此时sin φ＝25，cos φ＝15且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，(10分)当θ－φ＝π2时 ，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ＋π2，此时sin θ＝15，cos θ＝－25，所以BD 2＝14－65cos θ＝14－65×(－25)＝26，即BD ＝26，(13分)所以当草坪ABCD 的面积最大时，小路BD 的长度为26百米. (14分) 18. (1) 设直线AP 的斜率为k ，P(x 0，y 0)， 由题意得2a ＝4，c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆M 的方程为x 24＋y23＝1.因为点P 在椭圆M 上，且位于第一象限，所以0<k<32，x 204＋y 23＝1，直线AP 的方程为y ＝k(x ＋2)．因为k AP ·k BP ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝－34，所以k BP ＝－34k，所以直线BP 的方程为y ＝－34k(x －2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），y ＝－34k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－8k 24k 2＋3，y ＝12k 4k 2＋3， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.因为l 1⊥PA，所以k AC ＝－1k ，则直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．因为l 2⊥PB，所以k BC ＝43k ，则直线BC 的方程为y ＝43k(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x ＋2），y ＝43k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 2－64k 2＋3，y ＝－16k 4k 2＋3，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－64k 2＋3，－16k 4k 2＋3.(6分)因为点C 的横坐标为－1， 所以8k 2－64k 2＋3＝－1，解得k ＝±12.因为0<k<32， 所以k ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(8分) (2) 设Q(x Q ，y Q )，C(x C ，y C )，又直线AC 的方程为y ＝－1k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k （x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去 y ，整理得(3k 2＋4)x 2＋16x ＋16－12k 2＝0，所以－2x Q ＝16－12k 23k 2＋4，解得x Q ＝6k 2－83k 2＋4.因为AC → ＝λAQ →，所以λ＝x C ＋2x Q ＋2＝8k 2－64k 2＋3＋26k 2－83k 2＋4＋2＝16k 2（3k 2＋4）12k 2（4k 2＋3）＝1＋712k 2＋9.(14分) 因为0<k<32， 所以λ∈⎝⎛⎭⎪⎫2518，169.(16分)19. (1) f(x)＝(3－x)e x，f′(x)＝(2－x)e x， 令f′(x)＝0，解得x ＝2，列表如下：所以当x ＝2时，函数f(x)取得极大值，极大值f(2)＝e 2，无极小值．(3分)(2) 由y ＝f(x)g(x)＝(3－x)(x ＋a)e x，得y′＝e x [－x 2＋(3－a)x ＋3a －2x ＋(3－a)]＝e x [－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3]．因为e x >0，令m(x)＝－x 2＋(1－a)x ＋2a ＋3， 所以函数y ＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增等价于对任意的x∈[1，2]，函数m(x)≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m （1）≥0，m （2）≥0，解得a≥－3，(8分)故a 的取实范围是[－3，＋∞)．(3) 由题意得h(x)＝f （x ）＋g （x ）x ＝（3－x ）e x＋x ＋a x ，则h′(x)＝e x（－x 2＋3x －3）－ax2. 令r(x)＝e x(－x 2＋3x －3)－a,因为h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值， 所以h′(x)＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根，即r(x)＝e x (－x 2＋3x －3)－a ＝0在区间(0，＋∞)上有两个不等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)．(10分)因为r′(x)＝e x(－x 2＋3x －3－2x ＋3)＝e x(－x 2＋x)＝x(1－x)e x，所以当x∈(0，1)时，r′(x)>0，r(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，r′(x)<0，r(x)单调递减，则0<x 1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧r （0）<0，r （1）>0，解得－3<a<－e ，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a<－34e 32＋3<0.因为r(x)在区间(0，＋∞)上连续且r(0)·r(1)<0，r(1)·r ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0， 所以r(x)＝0在区间(0，1)和区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上各有一个实数根， 所以函数h(x)在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值时，有－3<a<－e ，并且在区间(0，1)上存在极小值f(x 1)，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上存在极大值f(x 2)， 所以h(x 2)＝（3－x 2）ex 2＋x 2＋a x 2，且h′(x 2)＝ex 2（－x 22＋3x 2－3）－ax 22＝0， 所以a ＝ex 2(－x 22＋3x 2－3)，所以h(x 2)＝[(3－x 2)ex 2＋x 2＋ex 2(－x 22＋3x 2－3)]×1x 2＝ex 2(2－x 2)＋1，(13分)令H(x)＝e x(2－x)，则H′(x)＝e x(1－x)，当x∈(1，＋∞)时，H′(x)<0，H(x)单调递减，因为x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<h(x 2)<h(1)， 即h(x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12e 32＋1，e ＋1，则3<12e 32＋1<e ＋1<4.因为h(x)的极大值小于整数b ，所以满足题意的整数b 的最小值为4.(16分)20. (1) 因为数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n，所以m n ＝2，M n ＝a n ＝2n，则b n ＝2＋2n2＝1＋2n －1，所以 B n ＝n ＋1－2n1－2×1＝2n－1＋n.(4分)(2) 若数列{b n }是等差数列，设其公差为d′.因为b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝M n －M n －12＋m n －m n －12＝d′.根据M n ，m n 的定义，有以下结论：M n ≥M n －1，m n ≤m n －1，且两个不等式中至少有一个取等号．(6分) ①若d′>0，则必有M n >M n －1， 所以a n ＝M n >M n －1≥a n －1，即对n≥2，n∈N *都有a n >a n －1，所以M n ＝a n ，m n ＝a 1，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a n ＋a 12－a n －1＋a 12＝a n －a n －12＝d′，所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；②当d′<0时，则必有m n <m n －1， 所以a n ＝m n <m n －1≤a n －1，即对n≥2，n∈N *都有a n <a n －1，所以M n ＝a 1，m n ＝a n ，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12＝a 1＋a n 2－a 1＋a n －12＝a n －a n －12＝d′，所以a n －a n －1＝2d′，即{a n }为等差数列；③当d′＝0时，b n －b n －1＝M n ＋m n 2－M n －1＋m n －12，M n －M n －12＋m n －m n －12＝0，因为M n －M n －1，m n －m n －1中必有一个为0，所以根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 即M n ＝M n －1，m n ＝m n －1，所以{a n }为常数数列，所以{a n }为等差数列， 综上，数列{a n }也一定是等差数列．(10分)(3) 因为b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－100(n ＋1)]－[2n －100n]＝2n－100， 所以当n<7时，b n ＋1－b n <0，即b 1>b 2>…>b 6>b 7， 当n≥7时，b n ＋1－b n >0，即b 7<b 8<b 9<…. 以下证明：a 1>a 2>…>a 6>a 7，a 7<a 8<a 9<…. 当n<7时，若m n ≤a n ＋1≤M n ，则M n ＋1＝M n ，m n ＋1＝m n ， 所以b n ＋1＝b n ，不合题意；若a n ＋1>M n ，则M n ＋1＝a n ＋1，m n ＋1＝m n ，则M n ＋m n 2<M n ＋1＋m n ＋12，得b n <b n ＋1，与b n >b n ＋1矛盾，不合题意；所以a n ＋1<m n ≤a n ，即a 1>a 2>…>a 6>a 7；同理可证：a 7<a 8<a 9<…，即n≥7，n∈N *时，a n <a n ＋1. ①当n≤7时，M n ＝a 1，m n ＝a n ，所以b n ＝a 1＋a n2，所以a n ＝2b n －a 1，a 1＝b 1＝－98，因为b n ＝2n－100n ，所以a n ＝2n ＋1－200n ＋98，所以A n ＝4（1－2n）1－2－200×n （n ＋1）2＋98n ＝2n ＋2－100n 2－2n －4；(13分)②当n>7时，a 1>a 2>…>a 6>a 7，且a 7<a 8<a 9<…， 所以m n ＝a 7＝28－200×7＋98＝－1 046，则M n 为a 1或a n .若M n 为a 1，则b n 为常数，与题意不符，所以M n ＝a n ，所以b n ＝a n ＋a 72，所以a n ＝2b n －a 7＝2n ＋1－200n ＋1 046，所以A n ＝A 7＋a 8＋a 9＋…＋a n ＝29－4 900－14－4＋29（1－2n －7）1－2－200×（n ＋8）（n －7）2＋1 046(n －7) ＝2n ＋2－100n 2＋946n －6 640，所以A n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2－100n 2－2n －4， n≤7，2n ＋2－100n 2＋946n －6 640， n≥8，n∈N *.(16分)21. A ．因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋3b ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤68，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，(5分)所以矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－2λ－2＝(λ－3)(λ－2)－2＝λ2－5λ＋4＝0.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值为1或4.(10分)B ．将直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝－2－t 化为普通方程为x ＋2y ＋4＝0.(2分)将圆C 的极坐标方程ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋4y ＝0，即(x－2)2＋(y ＋2)2＝8，其圆心(2，－2)，半径为22，(5分)所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－4＋4|5＝25，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（22）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝1255.(10分)22. (1) 因为正方形ABCD 的边长为2，所以AB⊥AD，CB⊥CD，AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝2. 又AE⊥平面ABD ，所以以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．过点C 作CF⊥BD，垂足为F.因为平面ABD⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD∩平面CBD ＝BD ， 所以CF⊥平面ABD. 因为CB ＝CD ＝2，所以F 为BD 的中点，CF ＝ 2.(2分) 因为AE ＝2，所以E(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，F(1，1，0)，C(1，1，2)， 所以DE →＝(0，－2，2)，BC →＝(－1，1，2)， 所以DE →·BC →＝0， 所以DE →⊥BC →，所以直线DE 与直线BC 所成的角为π2.(5分)(2) 设AE 的长度为a(a>0)，则E(0，0，a)． 因为AD⊥平面ABE,所以平面ABE 的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．(6分) 设平面BDE 的法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)． 因为BE →＝(－2，0，a)，BD →＝(－2，2，0)， 所以n 2⊥BE →，n 2⊥BD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝－2x 1＋az 1＝0，n 2·BD →＝－2x 1＋2y 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝a 2z 1，x 1＝y 1，取z 1＝2，则x 1＝y 1＝a ， 所以平面BDE 的一个法向量为n 2＝(a ，a ，2)，(8分)所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a a 2＋a 2＋4×1＝a2a 2＋4. 因为二面角ABED 的大小为π3，所以a2a 2＋4＝12，解得a ＝2， 所以AE 的长度为 2.(10分)23. (1) 设点P(x ，y)，则Q(－2，y)， 所以OP →＝(x ，y)，OQ →＝(－2，y)． 因为OP →·OQ →＝0，所以OP →·OQ →＝－2x ＋y 2＝0，即y 2＝2x.(2分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 3，y 3)，直线BD 与x 轴交点为E ，直线AB 与内切圆的切点为T.设直线AM 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，y 2＝2x ，得k 2x 2＋(k 2－2)x ＋k 24＝0，所以x 1x 2＝14且0<x 1<x 2，所以x 1<12<x 2，所以直线AN 的方程为y ＝y 1x 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，与方程y 2＝2x 联立得y 21x 2－(y 21＋2x 21－2x 1＋12)x ＋14y 21＝0，化简得2x 1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫2x 21＋12x ＋12x 1＝0，解得x ＝14x 1或x ＝x 1.因为x 3＝14x 1＝x 2，所以BD⊥x 轴，设△MBD 的内切圆圆心为H ，则点H 在x 轴上且HT⊥AB.(5分) 令t ＝x 2＋12，则t>1，所以r ＝112t －1＋1t 2＋1t在区间(1，＋∞)上单调递增，则r>12＋1，即r 的取值范围为(2－1，＋∞)．(10分)。