第01-02讲 三角形的五心
什么是三角形的五心(一)2024
什么是三角形的五心（一）引言概述：三角形是初等数学中的基本图形之一，它有许多特殊的性质和定理。
而其中一个重要的概念就是三角形的五心。
什么是三角形的五心呢？在本文中，我们将详细介绍三角形的五心以及它们的性质和作用。
正文内容：一、外心（circumcenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的圆心。
外心具有以下特点：1. 外心与三角形的顶点所在直线的交点是圆心。
2. 外心到三角形的三个顶点的连线距离相等。
二、内心（incenter）内心是指可以同时与三角形的三条边相切的内切圆的圆心。
内心具有以下特点：1. 内心到三角形的三条边的距离相等。
2. 连接内心和三角形三个顶点的线段互相垂直。
三、重心（centroid）重心是指三角形三条中线的交点，也就是三边中点连线的交点。
重心具有以下特点：1. 重心到三角形的三个顶点的距离成比例为2:1。
2. 连接重心和三角形三个顶点的线段互相垂直且相等。
四、垂心（orthocenter）垂心是指三角形三条高线的交点，也就是三边高线的交点。
垂心具有以下特点：1. 垂心与三角形的顶点连线的垂直距离相等。
2. 连接垂心和三角形三个顶点的线段互相垂直。
五、外心（excenter）外心是指可以同时与三角形的三条边相切的切圆圆心。
外心具有以下特点：1. 外心到三角形的三个外切圆切点的连线相互垂直。
2. 连接外心和三角形三个顶点的线段互相垂直。
总结：三角形的五心包括外心、内心、重心、垂心和外心，它们分别与三角形的特定元素（例如边、内切圆、高线、外切圆等）相关联，并具有独特的性质和定理。
研究三角形的五心可以帮助我们深入理解三角形的组成和性质，进而应用到解决各种几何问题中。
三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心
．O A BDC2016届高三数学讲义————三角形的“五心”————（Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)． （2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点；直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． （3）性质垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等． 内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径)R= 2sin c C(某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下:连接AO 并延长交圆O 于D,则AD 为圆直径,AD=2R ．又90ABD Ð=°(直径所对的圆周角是90°),AB=c, ADB CÐ=Ð(同弧AB 所对的圆周角相等),∴AD= sin AB ADB Ð,即2R sin c C =, R=2sin cC ． 延伸①:正弦定理由于R=2sin cC ,同理易证2sin 2sin 2sin cbaR C B A===,变形得到变形得到正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C===(每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理2222cos a b c bc A =+- （222cos 2b c a A bc+-=）ABC OA BCD证明过程如下：作CD ^AB 交其于D ，∴cos cos AD AC A b A ==，BD= cos c b A -，sin CD b A =，又222BC BD CD =+，即222(cos )(sin )a c b A b A =-+=22222222cos cos sin 2cos c bc A b A b A b c bc A -++=+-，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．也是三角形内切圆的圆心． （2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸①：内角平分线定理如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有(=)A B B D A C D C =上左下左上右下右证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,则E DAC Ð=Ð． ∵BAD DAC Ð=Ð,∴E BAD Ð=Ð,AB BE ==c ． 又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴BD=DCAB EB AC AC =,得证． 延伸②：外角平分线定理如图，AD 为△ABC 的外角平分线，交BC 延长线于D ，则有()AB BDAC DC=同上IK H EF D ABCMABDCEcb cAB CDEFcb cA FBDCE证明过程如下：作CE//AB 交AD 于E,则AEC EAF Ð=Ð．∵EAF EAC Ð=Ð,∴AEC EAC Ð=Ð,AC AE =． 又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴BD =DCAB AB ACCE=,得证．得证．延伸③：三角形内角平分线长公式如图，AD 为△ABC 中BAC Ð的平分线，则有的平分线，则有2bccos 2cos2211b+c +b c A AAD =（或）证明过程如下：作BE//AC 交其延长线于E,BF ^AE 交其于F ．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB,∴bcAD AC DE BE ==． 又+DE=AE AD ,即bb+cAD AE =．而△ABE 为等腰三角形, BF ^AE, ∴22sin =2csin 2AAE AF AB BAF ==Ð,∴2bccos 2cos 2211b+c +b cA AAD =（或）．延伸④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径)设三角形面积为S ，则有，则有2r=a+b+cS（即面积的（即面积的22倍除以周长） 证明过程如下：连接OA,OB,OC ． ∵相切，∴OF AB ^，即S △AOB = 11cr 22AB OF ·=，同理，同理S △AOC = 1br 2，S △BOC = 1ar 2．又∵S=S △AOB + S △AOC + S △BOC ,即S= 1(a+b+c)r 2,∴2r=a+b+cS．．O A F BDCE（1）定义：三角形三条中线的交点．三角形三条中线的交点． （2）性质中线性质:将三角形面积等分成两部分．将三角形面积等分成两部分． 重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF 为△ABC 三条中线，G 为其重心，则有:::2:1A G G CB G G EC G G F === 证明过程如下：作BH//FC 交AD 延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB ，∴,2GD DH GH GD == 又∵BH//FG ，F 为AB 中点，∴G 也为AH 中点，即2AG GH GD ==， ∴:2:1AG GC =，其他同证．，其他同证． 延伸:三角形中线长公式如图,AD 为△ABC 的中线,则有则有221b +c +2bccos 2AD A =证明过程如下:作BE//AC 交AD 延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB ， ∴1,=2AD DE AD AE=即，∵BE//AC ，∴ABF A Ð=Ð．作AF ^EB 交其交其 延长线于F ．又AB=c ，∴BF=AB cos ABF Ð=cos c A ，AF=sin c A ， 故EF=cos c A b +．∴12AD AE ==222211(cos )(sin )b +c +2bccos 22c A b c A A ++=四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．：三角形三条高的交点． （2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂任何三个为顶点的三角形的垂 心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．AFBEDCBCD EFGAG FE CBD H（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有 一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等． （Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】 已知G 是ABC △所在平面上的一点，若0GA GB GC ++=，则G 是ABC△的重心．如图⑴．的重心．如图⑴．A'GCAB【命题2】 已知O 是平面上一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC l =++，(0)l Î+¥，，则P 的轨迹一定通过ABC △的重心．的重心． 【解析】【解析】 由题意()AP AB AC l =+ ，当(0)l Î+¥，时，由于()AB AC l +表示BC 边ABCDEFI a图⑴图⑴图⑵图⑵MPCBAO二、“垂心”的向量风采【命题3】 P 是ABC △所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ×=×=×，则P 是ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】由PA PB PB PC ×=× ，得()0PB PA PC ×-= ，即0PB CA ×=，所以PB CA ⊥．同理可证PC AB ⊥，PA BC⊥．∴P 是ABC △的垂心．如图⑶．的垂心．如图⑶．PABC【命题4】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C l æöç÷=++ç÷èø ，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心．的垂心．【解析】【解析】 由题意cos cos AB AC AP AB B AC C l æöç÷=+ç÷èø，由于0cos cos AB AC BC AB B AC C æöç÷+×=ç÷èø， 即0cos cos AB BC AC BC BC CB AB B AC C××+=-=,所以AP 表示垂直于BC 的向量，即P 点在过点A 且垂直于BC 的直线上，所以动点P 的轨迹一定通过ABC △的垂心，如图⑷．的垂心，如图⑷．图⑶图⑶ 图⑷图⑷ H FEM ABCO P三、“内心”的向量风采 【命题5】 已知I 为ABC △所在平面上的一点，且AB c =，AC b =，BC a = ．若0aIA bIB cIC++=，则I 是ABC △的内心．的内心．【解析】 ∵IB IA AB =+ ，IC IA AC =+ ，则由题意得()0a b c IA bAB cAC++++=，∵AB AC bAB cAC AC AB AB AC AC AB AB ACæöç÷+=×+×=××+ç÷èø， ∴bc AB AC AI a b c AB ACæöç÷=+ç÷++èø．∵AB AB与ACAC分别为AB 和AC 方向上的单位向量，量，∴AI与BAC ∠平分线共线，即AI 平分BAC Ð． 同理可证：BI 平分ABC Ð，CI 平分ACB Ð．从而I 是ABC △的内心，如图⑸．的内心，如图⑸．【命题6】 已知O 是平面上一定点，AB C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB ACOP OA AB ACl æö=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心．的内心． 【解析】【解析】 由题意得AB AC AP AB AC l æöç÷=+ç÷èø，∴当(0)l Î+¥，时，AP 表示BAC Ð的平分线所在直线方向的向量，故动点P 的轨迹一定通过ABC △的内心，如图⑹．的内心，如图⑹．图⑸图⑸图⑹图⑹ABCOPbacIA CBOCAB四、“外心”的向量风采【命题7】 已知O 是ABC △所在平面上一点，若222OA OB OC == ，则O 是ABC △的外心．外心．【解析】 若222OA OB OC == ，则222O A O B O C == ，∴OA OB OC == ，则O是ABC △的外心，如图⑺．的外心，如图⑺．【命题7】 已知O 是平面上的一定点，A B C ，，是平面上不共线的三个点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC Cl æö+ç÷=++ç÷èø，(0)l Î+¥，，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心．的外心．【解析】 由于2OB OC + 过BC 的中点，当(0)l Î+¥，时，cos cos AB AC AB B AC Cl æöç÷+ç÷èø表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以P 在BC 垂直平分线上，动点P 的轨迹一定通过ABC △的外心，如图⑻．的外心，如图⑻．图⑺图⑺M OB CAP图⑻图⑻。
初中数学知识点：三角形五心定理
初中数学知识点：三角形五心定理三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
三角形的五心口诀(二)2024
三角形的五心口诀（二）引言概述：三角形是几何学中一个重要的图形，其五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心和旁心。
在本文中，我们将继续探讨三角形的五心及其相关性质。
通过深入研究五心的特点和相互关系，我们能够更好地理解三角形的性质和几何关系。
正文内容：一、重心1. 重心是三角形三条中线的交点，称为三角形的质心。
2. 重心将三角形的每条中线与其余两条中线的中点连线分成2：1的比例。
3. 重心是三角形的平衡点，如果在重心处施加一个力，三角形将保持平衡。
4. 重心是三角形的垂心和外心连线的中点。
二、外心1. 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
2. 外心是三角形内接圆的圆心，其到三角形三个顶点的距离相等。
3. 外心是三角形两条边的延长线的交点。
4. 外心到三角形三个顶点的距离小于到三角形内心的距离。
三、内心1. 内心是三角形三条边的角平分线的交点。
2. 内心是三角形三个内切圆的圆心。
3. 内心到三角形三条边的距离相等，且到三角形三个顶点的距离之和最小。
4. 内心到三角形的每条边的距离即为三角形的内角平分线的长度。
四、垂心1. 垂心是三角形三条边的高的交点。
2. 垂心是三角形三个垂直平分线的交点，也是三角形三段高线的交点。
3. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。
4. 垂心是三角形的外心和重心连线的中点。
五、旁心1. 旁心是三角形外角平分线的交点，一个三角形有三个旁心。
2. 旁心是三角形的角的外接圆的圆心。
3. 旁心到三角形的两个顶点的测地距离相等。
4. 旁心是三角形的重心和垂心连线的中点。
总结：三角形的五心（重心、外心、内心、垂心和旁心）是三角形的重要特点和几何性质。
通过研究五心的位置、性质和相互关系，我们可以更好地理解和分析三角形的结构和性质。
五心可以帮助我们解决三角形相关的问题，并为进一步的几何研究奠定基础。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
之二胡藕藤创作一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
什么是三角形的五心(二)2024
什么是三角形的五心（二）引言概述：三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一，它具有许多独特的性质和特征。
其中，三角形的五心是一个重要的概念，它们分别是内心、外心、垂心、重心和旁心。
在上一篇文章中，我们已经介绍了其中三个三角形五心的定义和性质。
在本文中，我们将继续探讨剩下的两个三角形五心，即重心和旁心，并分别从他们的定义、性质和应用进行阐述。
正文：一、重心1. 定义：重心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形三条中线的交点。
2. 性质：a. 重心与各个顶点的连线长度相等。
b. 重心到三角形三边的距离满足一定的比例关系。
c. 重心是三角形平衡的中心，质点在三角形上的重心处，经过的路径最短。
d. 重心是三角形内切圆和外接圆的共同中心。
二、旁心1. 定义：旁心是一个三角形五心的特殊点，它是三角形的外接圆和三个外切圆的圆心。
2. 性质：a. 旁心到相邻两边的距离相等。
b. 旁心到第三边的距离满足一定的比例关系。
c. 旁心是三角形内角平分线的交点。
d. 旁心是三角形的垂心、内心和外心连线的垂直平分线。
三、应用1. 重心在建筑设计中的应用：重心在建筑结构设计中起到重要的平衡作用，设计师需要合理考虑重心的位置。
2. 旁心在三角测量中的应用：旁心可以通过测量三角形两边与倾斜角来确定旁心的位置，从而实现精确测量。
结论：综上所述，重心和旁心作为三角形的两个重要五心，在几何学中具有特殊的定义和性质。
它们的研究对于我们深入理解和应用三角形的性质和特征具有重要意义。
在实际应用中，重心和旁心也有着广泛的应用领域，如建筑设计和三角测量等。
通过深入研究和了解重心和旁心的性质，我们可以更好地应用它们，解决实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第01---02讲三角形的五心：
三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。
外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。
垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。
内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。
旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质：
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心扫三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
阅读材料（1）
三角形“五心歌”
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．阅读材料（2）
几何学中的小明珠——九点圆
三角形是最简单的几何图形，也是我们最熟悉的几何图形。
我们知道三角形
有三条边、三个内角、三个顶点、三条中线、三条内角平分线、三条高线。
我们还发现或证明过，三角形的三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心；三角形的三条内角平分线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的内心；三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
此外，三角形三边的垂直平分线也交于一点，这个点叫做三角形的外心。
在任何一个三角形中都有9个很特别、很有趣的点，那就是三角形各边的中点、三条高的垂足、各顶点与垂心所连线段的中点。
这九个点的特别是容易理解的，为什么说它们有趣呢？
圆是最优美的图形。
不在同一直线上的三个点确定一个圆，即过不在同一直线上的三点有并且只有一个圆。
而四点共圆是有条件的，条件是以这四点为顶点的四边形对角互补。
由三点共圆和四点共圆，可以得到一个与以上九点有关的重要的、有趣的圆，叫做九点圆：三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心与各顶点所连线段的中点，这九点所在的圆。
也就是说，这九点在同一个圆上。
亲爱的读者，你有没有兴趣证明这九点在同一个圆上？如果有兴趣，不妨试一试！
大数学家欧拉在1765年就发现了九点圆，因此人们称之为“欧拉圆”。
这是几何学中很著名的问题，在十八世纪与十九世纪之交已广为流传。
1804年英国的培亚敏俾凡在雷榜《算理之库》卷一第十八章中，正式提出“九点”问题，布德卫斯与韦唐给出了证明。
1821年格盖尼和1822年彭色列先后正式发表这一问题。
1822年德国人费尔巴哈在《直角三角形的一些特殊点的性质》里，发表了自己的证法，并且说九点圆与内切圆及三个旁切圆相切。
这就是人们通常所称的“费尔巴哈定理”。
1827年维兹在《哲学杂志》发表一篇论文，对九点圆进行了比较详细的论述。
讨论九点圆，不仅在于它本身的价值，而且通过它可以寻求三角形内心、外心、垂心相对位置，以便深刻地认识几何学中最基本的角色——三角形。
九点圆的证法很多，但证法比较繁琐。
下面介绍两
种比较简明的证法。
证法一设△ABC各边的中点分别为M、N、K，
各条高的垂足分别是D、E、F，垂心为H，AH、BH、
CH的中点分别是L、P、Q。
我们证明M、N、K、D、
E、F、L、P、Q这9个点在同一个圆周上。
如图1，△LDM、△PEN、△QFK都是直角三角形。
图1
过直角三角形三顶点可作一圆，这圆是以斜边中点为圆心，斜边的一半为半径的圆。
因此，要证明九点圆，只要证明这三个直角三角形的外接圆重合即可，也就是证明：LM=PN=QK，且互相平分。
如图2，连MN、NL、LP、PM。
∵L、N分别是AH、AC的中点，
1CH。
∴NL∥CH，且NL=
1CH。
同理，PM∥CH，PM=
2
∴NL∥PM，NL=PM。
∴MNLP是平行四边形。
又∵NL ∥CF ，LP ∥AB ，而CF ⊥AB ，
∴平行四边形MNLP 是矩形。
图2
∴四边形MNLP 的对角线ML 、PN 相等且互相平分。
同理可证另一矩形PQNK 的对角线PN 、QK 也相等且互相平分，因此九点共圆。
证法二 设△ABC 三条高线的垂足为D 、E 、F ，垂心为O 。
过D 、E 、F 画圆交三条高于M 、N 、L 。
先证M 为BO 的中点。
B 、D 、O 、F 四点共圆。
BO 是该圆的直径。
在过D 、M 、F 、L 、E 、N 的圆中，
∠FMO =∠FDE ，
∠ABE =∠A CF 。
在过B 、D 、O 、F 的圆中，
∠ABE =∠FDO 。
在过C 、D 、O 、E 的圆中，
∠ACF =∠EDO 。
于是
∠FDO =∠EDO =21∠FDE =21∠FMO 。
BO 为过B 、D 、O 、F 圆的直径，∠FDO 是圆周角，且为∠FMO 之半，故∠FMO 是圆心角。
因此，M 是BO 的中点。
同理，N 、L 是CO 、AO 的中点。
又设过D 、E 、F 的圆交三边于G 、H 、K ，我们先证G 是BC 的中点。
∵ M 、D 、G 、E 共圆， ∴ ∠MGB =∠MED ，
∵ O 、D 、C 、E 共圆，∴ ∠MED =∠OCB 。
于是∠MGB =∠OCB 。
由此，MG ∥OC 。
由于M 是BO 的中点，G 当然是BC 的中点。
同理，H 、K 分别是CA 、AB 的中点。
这就证明了九点共圆。