三角形五心性质概念整理超全
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重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心及定理性质.初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证实，特别简单。
〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为〔〔X1+X2+X3〕/3，〔Y1+Y2+Y3〕/3〕。
5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A〔∠A为锐角或直角〕或∠BOC=360°-2∠A〔∠A为钝角〕。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
〔此直线称为三角形的欧拉线〔Eulerline〕〕3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1.若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理 （三角形的重心， 外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心 。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片， 其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠A （∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360° -2∠A （∠ A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时， 外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部； 当三角形为直角三角形时， 外心在斜边上， 与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。
重心坐标： ( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c ) 。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
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显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2＋ｙ3)／3（重心坐标)时
上式取得最小值x１2＋x22＋x３2+ｙ12+ｙ2２+ｙ32-１/3(ｘ１＋x2+x3)2-１/３（y1＋y2+y3)２
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重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形３个顶点距离平方的和最小。
4、点Ｏ是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：
向量ＯＩ＝[a(向量OA)＋ｂ(向量OＢ）+c(向量OＣ）]／（ａ+ｂ+c).
5、在△AＢC中，若三个顶点分别是A(ｘ１，y1),Ｂ(x2，ｙ2）,C（x3,y3),
那么△ABＣ内心Ｉ的坐标是:
（ax1/（ａ＋b＋c)+bx２/(ａ+b＋c)+ｃｘ3/(a+b+c),ay1／(a+b+c)+by２/（a＋b＋ｃ)+cｙ３/(a+ｂ+c))．
∵A、Ｃ、Ｂ、Ｐ四点共圆
∴∠P＝∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAＣ+∠B＝９0°
性质4:点G是平面ABC上一点，点P是平面ABＣ上任意一点,那么点G是⊿ＡBC外心的充要条件是：
(1)向量PG=(tanB+ｔａnC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+（tanA＋tａｎB)向量PC)/2(taｎＡ+tanＢ＋taｎＣ）.
证明方法:
设三角形三个顶点为(x1，y1),(x2，y２)，(x3，y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为:
(x１-x)２+(y1-ｙ)2＋(ｘ2-x)2+（y２-ｙ)2+(ｘ3－x)2+(ｙ3-y)2
＝３x2-2x（x1＋x2+x３）＋3ｙ2-2y(y1＋y2+y３)+x12+x22＋x３2+ｙ１2＋ｙ2２＋ｙ３２
或（2)向量PG=(cosＡ／2sinＢｓiｎC)向量ＰＡ+(cosB/2sinCsiｎA)向量PB+(cosC／２sinAsinB)向量PＣ.
性质５：三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABＣ外心的充要条件 (向量GA+向量GB）·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量ＧA)·向量CA=0．
6、(欧拉定理)△AＢC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和Ｉ分别为其外心和内心，则OI2＝R2－２Rr.
７、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积,则内切圆半径r=２S/（a+b＋c)
8、 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
９、△ＡBC中，内切圆分别与AB,BＣ,CA相切于Ｐ，Q,Ｒ,
则AP=AR=(b+a）/２, ＢP =BQ =(a+c-b）/2,
ＣR =CＱ =(b+ａ-c)/2,
ｒ＝[(ｂ+ｃ-a）tａn（A/2)］／2。
10、三角形内角平分线定理：
△ABＣ中,Ｉ为内心，∠ＢAＣ 、∠ABC、 ∠AＣB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、Ｐ，则ＢQ/QＣ=c/b，ＢP/ＰA=ａ／b, ＣＲ/RA=a/c。
7、设△AＢC重心为Ｇ点，所在平面有一点O,则向量OG=1／3(向量OA＋向量OB+向量ＯC）
内心
设△ＡBＣ的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为ａ、b、ｃ,p=(a+b+c)／2．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径ｒ.
2、∠BIC=90°+∠BAC／2.
3、在RtΔABC中，∠Ａ=90°,三角形内切圆切BC于Ｄ,则S△ABC=ＢD×CD
内切圆的半径
（１）在RtΔABC中，∠C＝90°,ｒ=（a+b-c)/2.
（2)在RtΔABC中,∠C=９0°，r=aｂ/(ａ＋b+c）
（3）任意△ＡBC中r＝(2＊Ｓ△ＡBC）/C△ＡＢC （C为周长）
外心
设⊿AＢC的外接圆为☉G(R）,角A、B、C的对边分别为ａ、ｂ、c,p=（a+b+c)／２.
三角形外接圆半径：
R＝ａbｃ/（４S△ABC）
垂心
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
２、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
３、 垂心H关于三边的对称点,均在△AＢＣ的外接圆上。
4、 △ABＣ中，有六组四点共圆，有三组（每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=ＢH·HE＝CＨ·HF。
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为［(X1+X2＋X3)/３,(Y1＋Ｙ２＋Ｙ3)/3];
空间直角坐标系——横坐标：(X1+Ｘ2+Ｘ３)/3，纵坐标:(Ｙ1+Ｙ２＋Y3)/３,纵坐标:(Z1+Z２+Z３)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABＣ中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量) ，则M点为△ＡBC的重心，反之也成立。
５、 Ｈ、Ａ、B、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
６、 △ABC,△ABH,△ＢCH,△ＡＣH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中,过Ｈ的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB／ＡＰ·taｎB＋AＣ/AＱ·ｔaｎＣ=tａnA＋tanB＋taｎC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
性质1：(1）锐角三角形的外心在三角形内;
(2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
(3)钝角三角形的外心在三角形外．
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2:∠BGC=2∠A,（或∠BGC＝2(18０°-∠A））.
性质3：∠ＧAC＋∠B=9０°
证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）