上海市金山中学2020届高三数学上学期期中试题(扫描版)
上海市金山中学高三数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={2，4，a2﹣a+1}，A={a+1，2}，∁U A={7}，则a= ．2．若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集为．3．已知命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，写出命题p的逆否命题是．4．已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）= ．5．已知f（x）=，则= ．6．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则的值为．7．对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为．8．函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．9．若函数f（x）=，则集合中的元素个数是．10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．11．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．12．已知不等式组有唯一解，则实数a= ．13．求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f （x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为．14．已知函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形16．若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A． B．C．D．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则a＞b是cosA＜cosB的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．不充分也不必要条件18．给出下列六个命题：（1）若f（x﹣1）=f（1﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．（2）y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．（3）y=f（x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．（4）x+2015无最大值也无最小值．（5）y=的周期为π．（6）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．则正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，m∈R}．（1）求t，m的值；（2）若f（x）=﹣x2+ax+4在（﹣1，1）上递增，求实数a的取值范围．20．设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a﹣2＞0（a∈R）的解集为A．（1）求集合A；（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．21．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．22．设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．23．（理）已知函数，实数a∈R且a≠0．（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n﹣m的最大值；（3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．2015-2016学年上海市金山中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={2，4，a2﹣a+1}，A={a+1，2}，∁U A={7}，则a= 3 ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由全集U及A的补集，确定出4为集合A中的元素，7不是集合A的元素，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：∵全集U={2，4，a2﹣a+1}，C U A={7}，∴a+1=4，a2﹣a+1=7，分别求解得：a=3；a=3或a=﹣2，则a=3．故答案为：3【点评】此题考查了补集及其运算，是一道基本题型，求补集时注意全集的范围．2．若0＜a＜1，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集为{x|a} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】通过a的范围判断两个因式的根的大小，利用二次不等式的解法得到结果即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴，则不等式（a﹣x）（x﹣）＞0的解集就是（x﹣a）（x﹣）＜0的解集，即：{x|a}．故答案为：{x|a}．【点评】本题考查二次不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．3．已知命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，写出命题p的逆否命题是若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B ．【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】计算题；集合．【分析】直接根据四种命题的互化，可得结论．【解答】解：∵命题p的否命题是“若A⊊B，则∁U A∩∁U B=∁U B”，∴命题p的逆否命题是若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B．故答案为：若∁U A∩∁U B=∁U B，则A⊊B．【点评】本题考查四种命题，考查学生转化问题的能力，比较基础．4．已知幂函数f（x）过点，则f（x）的反函数为f﹣1（x）= x2（x≥0）．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．由于幂函数f（x）过点，代入解得，可得f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换即可得出反函数．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，（α为常数）．∵幂函数f（x）过点，∴，解得．∴f（x）=，由y=解得x=y2，把x与y互换可得y=x2．∴f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x≥0）．故答案为：x2（x≥0）．【点评】本题考查了反函数的求法、幂函数的定义，属于基础题．5．已知f（x）=，则= 0 ．【考点】反三角函数的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】欲求则=，只需，arcsin（2x+1）=求出x的值，根据原函数与反函数之间的关系可得结论．【解答】解：令=﹣，∴arcsin（2x+1）=，∴2x+1=1，∴x=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查了反函数，以及反函数求值和三角形函数的运算，属于基础题．6．在平面直角坐标系xOy中，以x轴为始边作锐角α，它的终边与单位圆相交于点A，且点A的横坐标为，则的值为﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα，再利用二倍角的正切公式、诱导公式求得tan的值，可得的值．【解答】解：由题意可得点A的横坐标为，它的纵坐标为，故tanα==，再利用二倍角公式可得=，求得tan=，或tan=﹣（舍去），故=﹣tan=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式、诱导公式的应用，属于基础题．7．对于集合M，定义函数对于两个集合A，B，定义集合A△B={x|f A（x）•f B（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为{1，6，10，12} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】新定义．【分析】在理解题意的基础上，得到满足f A（x）•f B（x）=﹣1的x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}，分别求出两个集合后取并集．【解答】解：要使f A（x）•f B（x）=﹣1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}={6，10}∪{1，12}={1，6，10，12，}，所以A△B={1，6，10，12}．故答案为{1，6，10，12}．【点评】本题是新定义题，考查了交、并、补集的混合运算，解答的关键是对新定义的理解，是基础题．8．函数y=sinx+cosx的图象可以看作是由函数y=sinx﹣cosx的图象向左平移得到的，则平移的最小长度为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式化简得sinx+cosx=sinx（x+）．设f（x）=sinx﹣cosx，其图象向左平移φ个单位得f（x+φ）=sinx（x+）=sinx（x+φ﹣），结合正弦函数的图象与性质列式，即可解出φ的最小正值为，从而得到本题答案．【解答】解：y=sinx+cosx=（sinxcos+cosxsin）=sinx（x+）同理可得y=sinx﹣cosx=sinx（x﹣）令f（x）=sinx﹣cosx=sinx（x﹣），设y=f（x）图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到y=sinx+cosx的图象则f（x+φ）=sinx（x+φ﹣）=sinx（x+）∴φ﹣=+2kπ（k∈Z），取k=0，得φ的最小正值为即平移的最小长度为故答案为：【点评】本题给出三角函数的图象平移，求平移的最小单位．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．9．若函数f（x）=，则集合中的元素个数是5 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得，集合中的元素个数．【解答】解：在同一坐标系中作出函数的图象，由图象可得，集合中的元素个数是5．故答案为：5．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考察数形结合的数学思想，正确作出图象是关键．10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．11．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．【专题】函数的性质及应用．【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+﹣7；因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．12．已知不等式组有唯一解，则实数a= ±．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得方程f（x）=有唯一解，利用判别式等于零，求得a的值．【解答】解：设f（x）=x2+ax+5，则方程f（x）=有唯一解，∴x2+ax+1.5=0有唯一解，∴△=2a2﹣6=0，求得a=±，故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．13．求“方程=1的解”有如下解题思路：设函数，则函数f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为{﹣1，3} ．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求“方程=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=2x+3，解之即得方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（2x+3）3+2x+3即（x2）3+x2=（2x+3）3+2x+3，∴x2=2x+3，解之得，x=﹣1或x=3．所以方程x6+x2=（2x+3）3+2x+3的解集为{﹣1，3}．故答案为：{﹣1，3}．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．14．已知函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则a2+b2的取值范围为[0，）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】把函数的零点问题转化为cos（asinx）=sin（bcosx）都无解，即可得出sin（x+α）=+2kπ（k∈z），再利用函数的有界性求解得出不等式即可．【解答】解：根据题意函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，得出cos（asinx）=sin（bcosx）无解，若方程有解，则asinx+bcosx=+2kπ（k∈z）所以sin（x+α）=+2kπ（k∈z），∴||≤1，即≤1，即a2+b2≥，因此要使函数f（x）=cos（asinx）﹣sin（bcosx）无零点，则0≤a2+b2故答案为：[0，）【点评】本题考查了函数零点，方程的根求解注意转化的三角函数的有界性，诱导公式的灵活运用，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若集合S={a，b，c}（a、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性；三角形的形状判断．【专题】阅读型．【分析】由集合元素的特点可知a，b及c互不相等，所以a，b及c构成三角形的三边长，得到三角形的三边长互不相等，此三角形没有两边相等，一定不能为等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性可知：a，b及c三个元素互不相等，若此三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定不可能是等腰三角形．故选D．【点评】此题考查了三角形形状的判断、集合元素的互异性、等腰三角形等基础知识，考查转化思想．属于基础题．16．若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出．【解答】解：A．∵﹣=≥0，∴≥，正确；B．ab＜0不成立；C．ab＜0，且a+b与异号不成立；D．ab＜0不成立．故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则a＞b是cosA＜cosB的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】解三角形；简易逻辑．【分析】在△ABC中，利用边角关系与余弦函数的单调性可得：a＞b⇔A＞B⇔cosA＜cosB，【解答】解：在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔cosA＜cosB，可得a＞b是cosA＜cosB的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了边角关系与余弦函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．给出下列六个命题：（1）若f（x﹣1）=f（1﹣x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．（2）y=f（x﹣1）与y=f（1﹣x）的图象关于直线x=0对称．（3）y=f（x+3）的反函数与y=f﹣1（x+3）是相同的函数．（4）x+2015无最大值也无最小值．（5）y=的周期为π．（6）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．则正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）（2）（3）考查抽象函数的对称性，可以采用特殊函数进行验证，（4）x=0时，y有最大值；（5）化为y=tan2x，周期可求；（6）注意定义域，可结合图象进行判断．【解答】解：（1）f（x﹣1）=f（1﹣x）⇔f（x﹣1）=f（﹣（x﹣1）），则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，命题错误（2）取f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）=x﹣2，f（1﹣x）=﹣x，图象不关于直线x=0对称，命题错误（3）取f（x）=x﹣1，y=f（x+3）=x+2，y=f﹣1（x）=x+1，y=f﹣1（x+3）=x+4，命题错误．（4））x+2015，x=0时，y有最大值，所以命题错误．（5）原函数可化为y=tan2x，周期为，命题错误．（6）受0≤x≤2π的影响，y=sinx，没有对称轴，只有一个对称中心，所以命题错误．故选：A【点评】本题考查抽象函数和具体函数的性质，问题综合性强．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．已知不等式x2﹣3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，m∈R}．（1）求t，m的值；（2）若f（x）=﹣x2+ax+4在（﹣1，1）上递增，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据已知条件中不等式的解集，得到关于x的方程x2﹣3x+t=0的两根分别为x1=1，x2=m，利用根与系数的关系建立关于m、t的方程组，解之即可得到实数t，m的值；（2）经过配方得到f（x）=﹣（x﹣）2+4+，根据对称轴，和函数的单调性即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）由条件得：，所以．（2）因为在（﹣1，1）上递增，所以≥1，a≥2．【点评】本题给出含有字母参数的一元二次不等式，在已知解集的情况下求参数m、t的值，以及二次函数的单调性，属于基础题20．设全集U=R，关于x的不等式|x+2|+a﹣2＞0（a∈R）的解集为A．（1）求集合A；（2）设集合，若（∁U A）∩B中有且只有三个元素，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）不等式即|x+2|＞2﹣a，分类讨论求得x的范围．（2）当a＞2时，∁U A=∅，不合题意；当a≤2时，∁U A={x|a﹣4≤x≤﹣a}．求得B=Z，当（∁U A）∩B 有3个元素时，a就满足，由此可以得到a的范围．【解答】解：（1）由|x+2|+a﹣2＞0可以得到：|x+2|＞2﹣a．当a＞2时，解集是R；当a≤2时，解集是{x|x＜a﹣4或x＞﹣a}．（2）（i）当a＞2时，∁U A=∅，不合题意；（ii）当a≤2时，∁U A={x|a﹣4≤x≤﹣a}．因=sinπxcos﹣cosπxsin+cosπxcos+sinπxsin=2sinπx，由sinπx=0，得πx=kπ（k∈Z），即x=k，k∈Z，所以B=Z．当（∁U A）∩B有3个元素时，a就满足，可以得到0＜a≤1．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，两角和差的三角公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若存在满足[f（t）]2﹣2f（t）﹣m＞0，求实数m的取值范围．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由（k∈Z），即可解得单调递增区间．（2）当时，可得：，解得：，利用二次函数的性质即可得解．【解答】解：（1）∵=，∴函数f（x）的最小正周期T=π．∵由（k∈Z），得（k∈Z），∴单调递增区间为（k∈Z）．（2）当时，可得：，解得：．存在，满足F（t）﹣m＞0的实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的图象和性质，属于基本知识的考查．22．设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数f（x）的值域；（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．（2）当时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．【解答】解：（1），其定义域为[0，a]；（2）令，则且x=（t﹣1）2∴∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴在上递增，即此时f（x）的值域为（3）令，则且x=（t﹣1）2∴∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，∴y=在[1，2]上递增，上递减，t=2时的最大值为，∴a≥1，又1＜t≤2时∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4即f（x）的值域恰为时，所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．【点评】本题考查函数的定义域，函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．23．（理）已知函数，实数a∈R且a≠0．（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n﹣m的最大值；（3）若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．【考点】函数单调性的判断与证明；一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的综合．【专题】计算题．【分析】（1）根据函数单调性的定义先设m≤x1＜x2≤n，然后判定f（x1）﹣f（x2）的正负，从而确定函数f（x）在[m，n]上的单调性；（2）由（1）及f（x）的定义域和值域都是[m，n]，则m，n是方程的两个不相等的正数根，等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的正数根，利用根与系数的关系即可求出n ﹣m的最大值；（3），则不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，令h（x）=，易证h （x）在[1，+∞）递增，同理 [1，+∞）递减，求出函数h（x）min，与函数g（x），建立不等关系，解之即可求出a的范围．max【解答】解：（1）设m≤x1＜x2≤n，则f（x1）﹣f（x2）=﹣，∵mn＞0，m≤x1＜x2≤n，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），因此函数f（x）在[m，n]上的单调递增．（2）由（1）及f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，因此m，n是方程2+=x的两个不相等的正数根，等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的正数根，即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0且x1+x2=＞0，解得a＞，∴n﹣m==，∵，∴a=时，n﹣m最大值为．（3）a2f（x）=2a2+a﹣，则不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，即﹣2x≤2a2+a﹣≤2x即不等式对x≥1恒成立，令h（x）=2x+，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g（x）=﹣2x[1，+∞）递减．∴h（x）min=h（1）=3，g（x）max=g（1）=﹣1，∴∴﹣≤a≤1且a≠0【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及函数恒成立问题和不等式的综合，同时考查了转化与划归的思想，属于综合题．。
上海市金山中学高三数学上学期期中质量检测试题沪教版
（第6题图）上海市金山中学2012届高三数学上学期期中质量检测试题一、填空题：（本大题满分45分）本大题共有15题，考生应在空格内直接填写结果，每个空格填对3分，否则一律不得分。
1、不等式1|2|<-x 的解集为__________________。
2、已知}{n a 是等差数列，且11=a ，9321=++a a a ，则公差d =______________。
3、已知=∈-=2cos ),,2(,54cos αππαα则_________________。
4、设函数x x f -=)(的反函数为)(1x f -，则方程4)(1=-x f的解为____________。
5、若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为_________。
6、对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如右图程序框图所示，则32⊗=________。
7、D 为ABC ∆中BC 边的中点，若n m +=，则n m +=_________。
8、已知圆锥的母线长5=l cm ，高4=h cm ,则该圆锥的体积是________cm 3。
9、=++⋅⋅⋅++++∞→)122122122(lim 2n nn nn _________。
10、设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点，且弦长32||=AB ，则a =________。
11、在ABC ∆中，1,60==∠b A ο，三角形的面积3=S ，则a =_________。
12、无穷等比数列首项为1，公比q 为负数，且各项和为S ，则S 的取值范围是_________。
13、一个布袋中共有10个除了颜色之外完全相同的球，其中4个白球，6个黑球，则一次任意摸出两球中至少一个白球的概率是_______________。
14、设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围为________。
上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数
上海市金山中学高三数学上学期期中试题
金山中学2016学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（每题4分，共56分）1、已知集合2{log (1)2}A x x =-<，{26}B x x =<<，且AB =___________。
2、已知不等式250ax x b ++>的解集是{|23}x x <<，则不等式250bx x a -+>的解集是___________。
3、若2tan sin 2cos 42ππααααπ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则tan α=___________。
4、在等差数列{}n a 中，78a =，前7项和742S =，则其公差是___________。
5、()111lim 382n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦＝___________。
6、若将函数()cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的函数对称轴为___________。
7、在ABC ∆中,5,8,60a b C ===︒,则BC CA ⋅的值为___________。
8、关于x 的方程0)5(6241=-+⋅-⋅+k k k x x 在区间]1,0[上有解，则实数k 的取值范围是___________。
9、若函数)(x f y =存在反函数()x f y 1-=，且函数)(6tan x f x y -=π图像过)313,2(-，则函数()12y fx π-=-的图像一定过___________。
10、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若546S S S 、、成等差数列，则数列{}n a 的公比q 的值等于___________。
11、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥⎪⎝⎭对于任意0xy >恒成立，求正实数a 的范围___________。
12、将正整数排成下表： 12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 …… ……其中第i 行，第j 列的那个数记为ji a ，则数表中的2015应记为___________。
上海市金山中学高三数学上学期期中试题(含解析)苏教版
金山中学2013学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷一、填空题（每题4分，满分56分，将答案填在答题纸上）1.设{}3,2,1,0=U ，{}U mx x x A ⊆=+=0|2，若{}2,1=A C U ，则实数=m _______.2.如果31cos =α，且α是第四象限的角，那么=⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα________．3.函数()02)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f _____________．4.在ABC ∆中，若ο120=∠A ，5=AB ，7=BC ，则三角形ABC 的面积=S ________． 【答案】4315 【解析】试题分析：根据题意可得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即21492525()2AC AC =+-⨯⨯⨯-，25240,3AC AC AC +⨯-==，由面积公式可得113153sin 532224S ABC AB AC A ∆=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 考点：1.余弦定理的应用;2.三角形面积公式5.已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 的极限存在，且43=a ，725=-S S ，则数列{}n a 各项的和为______________．6.若函数)0(sin 2)(2>+=ωωx x f 的最小正周期与函数2tan)(x x g =的最小正周期相等，则正实数ω的值为_____________．7.若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→n n n n n a a ，则=a ． 【答案】21 【解析】试题分析：由已知可得121211211212211312302312222lim lim lim 33232022n n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a ++-++++→∞→∞→∞⨯-⋅-⋅-⋅-⋅====+⋅+⋅++，所以112a =，解得12a =． 考点：极限的计算8.若kk k k S k 211212111+-+++++=Λ，则=-+k k S S 1 _________________ ． 9.已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为()0,6，则实数c 的值为 . 10.设αcos =x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,6ππα，则x arcsin 的取值范围为___________． 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,6ππ 【解析】 试题分析：由αcos =x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,6ππα，可得112x -≤≤，由反正弦函数的定义域可得arcsin 62x ππ-≤≤．考点：反三角函数的运用11.方程1|2sin |-=x xπ的实数解的个数为___________．考点：1.函数的图象;2.函数与方程的关系12.在等差数列{}n a 中，01>a ，01110<a a ，若此数列的前10项和p S =10，前18项和q S =18，则数列{}n a 的前18项和=18T ___________．【答案】q p -2【解析】试题分析：根据题意1101100a a a >⎧⎨<⎩可知数列{}n a 是递减数列且10110,0a a ><，又1012310S a a a a p =++++=L ， 1812318S a a a a q =++++=L ，则1812318||||||||T a a a a =++++L12310111218123181210()2()2a a a a a a a a a a a a a a q p =++++----=-++++++++=-+L L L L 考点：等差数列的求和13.已知函数)1(1)(>-=a a a x f x x ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ变化时，0)1()sin (≥-+m f m f θ 恒成立，则实数m 的取值范围是___________．14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+，且当20≤≤x 时x x f =)(．令)()(1x g x g =，))(()(1x g g x g n n -=，其中*N n ∈，函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=2124102)(x x x x x g 。
上海市金山区金山中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题
金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020．11（时间120分钟 满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}|20B x x x =+<，则AB = ．2．复数1iz i =-的虚部为 ． 3．若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于 ．4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率 ．5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为2,0，且它的一条渐近线与直线:30l x y +=垂直，则双曲线C 的标准方程为 ．6．在ABC ∆中，若3b =，6c =，4C π=，则角B 的大小为 ．7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点()1,3-，则sin α= ． 8．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为 ．9．已知数列{}n a 满足()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，则数列3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S 为 ．10．在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+，则xy 的最大值为 ．11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．12．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()**,,p q p q p N q N ⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则（ ）.A x μ= .B x μ≈ .C μ是x 的估计值 .D x 是μ的估计值14．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”，“空”三种情况，因此有种3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（ ）.A 3710- .B 3610- .C 3510- .D 3410-15．设a ，b R ∈，命题:p a b >，命题:q a a b b >，则p 是q 的（ ） .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件 16．在直角坐标系xOy 中，对于点(),x y ，定义变换σ：将点(),x y 变换为点(),a b ，使得tan tan x a y b=⎧⎨=⎩，其中,,22a b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()120y x x =>，()220y x x =>，()30x y e x =>，()4ln 1y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ） .A ②，②，②，②.B ②，②，②，② .C ②，②，②，②.D ②，②，②，②三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =．（1）求证：PA BD ⊥；（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h ．ABCDP18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()()cos 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围．19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20.（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，()2,1B -，(),C m n 为三个不同的定点．以原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切．（1）求圆O 的方程及,m n 的值；（2）若直线():l y x t t R =-+∈与圆O 相交于M ，N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQλ=（λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分） 已知数列{}n a ，记集合．{}*1(,)(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j N +==+++≤<∈∣（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由．（3）22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，n b ，，若2020m b ≤，求m 的最大值．金山中学2020学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷2020．11（时间120分钟 满分150分）一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1．已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}|20B x x x =+<，则A B = ．【答案】{}1-2．复数1iz i =-的虚部为 ． 【答案】12-3．若球主视图的面积为9π，则该球的体积等于 ． 【答案】36π4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率 ．【答案】385．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为2,0，且它的一条渐近线与直线:30l x y +=垂直，则双曲线C 的标准方程为 ．【答案】22113x y -= 6．在ABC ∆中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为 ．【答案】13π或23π 7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转6π后经过点(-，则sin α= ． 【答案】18．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为 ．【答案】309．已知数列{}n a 满足()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，则数列3311log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S 为 ．【解析】当2n ≥时，由()23*1233333n n a a a a n n N ++++=∈，得231123133331n n a a a a n --++++=-，两式相减，得13n n a =，又113a =，适合，所以13n na =， 所以3311111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以11111111223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 10．在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且CA CB CP xyCACB=+，则xy 的最大值为 ．【答案】设,,AB c BC a AC b ===，因为sin cos sin B A C =⋅，所以sin()cos sin A C A C +=，所以sin cos sin cos sin cos A C C A C A +=，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0,90C C ︒==，因为9,6ABC AB AC S ∆⋅==，所以1cos 9,sin 62bc A bc A ==，所以4tan 3A =， 所以43sin ,cos ,1555A A bc ===，所以5,3,4c b a ===， 以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0),(3,0),(0,4)C A B ，因为P 为线段AB 上的点，所以存在实数λ，使得(1)(3,44)(01)CP λCA λCB λλλ=+-=-≤≤，又12(1,0),(0,1)||||CA CB e e CA CB ====， 所以(,0)(0,)(,)||||CA CBCP x y x y x y CA CB =⋅+⋅=+=， 所以3,44x λy λ==-，则4312x y +=，所以12433x y xy =+≥⇒≤，故xy 的最大值为3.11．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)0f x f x -+-=，又(2)()0f x f x -+=，所以()(2)f x f x =-，即()f x 是周期为2的周期函数，因为()[]1,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩当都是正整数，是既约真分数当或上的无理数，且当[0,1]x ∈时，()()f x R x =，所以1818222122555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(lg30)(lg3lg10)(lg31)(lg312)(lg31)(1lg3)f f f f f f =+=+=+-=-=--， 因为lg1lg3lg10<<，即0lg31<<，所以01lg31<-<， 所以(lg30)(1lg3)(1lg3)0f f R =--=--=，所以1811(lg30)0555f f ⎛⎫+=-+=-⎪⎝⎭. 12．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯，三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解．当()**,,p q p q p N q N ⨯≤∈∈是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p =-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为 ．【解析】由题意得()()232(3)312,3330,333236f f f =-==-==-=⨯=，()4223330f =-=，归纳得()()2111233323,3330k k k k k k k f f ---=-=⨯=-=，则()()()()()()232020352019(3)333(3)333f f f f f f f f ++++=++++012100923232323=⨯+⨯+⨯++⨯()10101210091010132333323113-=⨯++++=⨯=--.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．若样本平均数为x ，总体平均数为μ，则（ D ）.A x μ=.B x μ≈ .C μ是x 的估计值 .D x 是μ的估计值14．标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”，“空”三种情况，因此有种3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是（ B ） .A 3710- .B 3610- .C 3510- .D 3410-15．设a ，b R ∈，命题:p a b >，命题:q a a b b >，则p 是q 的（ C ） .A 充分不必要条件.B 必要不充分条件 .C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件 16．在直角坐标系xOy 中，对于点(),x y ，定义变换σ：将点(),x y 变换为点(),a b ，使得tan tan x a y b =⎧⎨=⎩，其中,,22a b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()120y x x =>，()220y x x =>，()30x y e x =>，()4ln 1y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ A ） .A ②，③，①，④.B ③，②，④，① .C ②，③，④，①.D ③，②，①，④【解析】因为tan tan x a y b =⎧⎨=⎩，所以arctan arctan a xb y =⎧⎨=⎩，对于函数3(0)xy e x =>，显然31y >，故3arctan 4πb y =>， 故函数3(0)xy e x =>对应的图像是①；对于函数4ln (1)y x x =>，arctan arctan14πa x =>=， 故函数4ln (1)y x x =>对应的图像是④；对于函数12(0)y x x =>和22(0)y x x =>，当02x <<时，22x x >，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y >，所以函数12(0)y x x =>对应的图像是②，函数22(0)y x x =>对应的图像是③； 故选A.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，若60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =．（1）求证：PA BD ⊥；（2）若45PCD ∠=︒，求点D 到平面PBC 的距离h ． 【解析】（1）因为1,2,60AD AB DAB ︒==∠=，所以2222cos603BD AB AD AB AD ︒=+-⋅⋅=， 所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥， 因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PD BD ⊥，又ADPD D =，所以BD ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥； （2）由（1）得BC BD ⊥，所以132BCD S BC BD ∆=⨯⨯=， 因为45PCD ︒∠=，所以2PD CD ==，所以13323P BCD V -==， 因为22222,7,1PC CD PB PD DB BC ===+==，所以222BC PB PC +=，所以PB BC ⊥，所以12BCP S BC PB ∆=⋅=， 由等体积法，得P BCD D BCP V V --==，解得h =. 18．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()()cos 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围．【解析】（1）因为函数的最小值为1,0A ->，所以1A =，因为最小正周期为23π，所以2323πωπ==，所以()cos(3)f x x φ=+，因为图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1cos 2φ=，因为02πφ<<，所以3πφ=，所以()cos 33πf x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）因为,6πx m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以533633πππx m ≤+≤+，因为5cos 66ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，且7cos 1,cos 6ππ=-=， 由余弦函数的性质得7336πππm ≤+≤，所以25918ππm ≤≤，即25,918ππm ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 19．（本题共14分，第1小题6分，第2小题8分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足41kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算） （1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解析】（1）由题意得当0m =时，2x =（万件），所以24k =-，解得2k =，所以241x m =-+， 所以每件产品的销售价格定位8161.5xx+⨯（元）， 所以利润816161.581636(0)1x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+； （2）16163637(1)11y m m m m =--=--+++，因为16(1)81m m ++≥=+，所以83729y ≤-+=（万元）， 当且仅当3m =时取等号，所以促销费用投入3万元时，厂家的利润最大. 20.（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，()2,1B -，(),C m n 为三个不同的定点．以原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切．（1）求圆O 的方程及,m n 的值；（2）若直线():l y x t t R =-+∈与圆O 相交于M ，N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值；（3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQλ=（λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由于圆O 与线段AB 相切，所以半径1r =，故圆O 的方程为221x y +=， 又圆O 与线段AC 相切，所以:1AC x =-，所以1m =-， 此时直线BC 的方程为(1)3210n x y n ++-+=，因为圆O 与线段BC1=，解得3n =或1n =-，由于点,A C 是不同的点，所以3n =；（2）法一：设()()1122,,,M x y N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=-，由221y x t x y =-+⎧⎨+=⎩得222210x tx t -+-=，由()224810t t ∆=-->得t <<所以212121,2t x x t x x -+==，所以()()()212121212y y x t x t x x x x t t =-+-+=-++，所以22212121111222t t x x y y t --+=+=-=-，所以212t =，故t =； 法二：因为1,12OM ON OM ON ⋅=-==，所以23πMON ∠=， 所以圆心到直线的距离1cos32πd r ==，12=，故2t =； （3）设()00,,(,)Q x y P x y ，则||||PA PQ ==若在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有PA PQ=λλ=对任意P 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y λx x λy y +++=-+-，整理得()()()()()2222222200001222220λxy λx x λy y λx y -++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =， 因为点P 在圆O 上，所以221x y +=，故()22220022()320λx x y λλx +++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320λx λλx ⎧+=⎨--=⎩显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q--与点A 重合，舍去，当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足题意，此时λ=21．（本题共16分，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分）已知数列{}n a ，记集合．{}*1(,)(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j N +==+++≤<∈∣（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的i ，j ；若不存在，说明理由．（3）22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为B ：1b ，2b ，n b ，，若2020m b ≤，求m 的最大值． 【解析】（1）{3,5,6,7,9,10}T =；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++，由于i j +和j i -奇偶性相同，所以i j +和1j i -+奇偶性不同， 因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于3的奇因子，矛盾， 故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =；（3）首先证明：当n a n =时，对任意的*m N ∈，都有*2,t m b t N ≠∈，若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22j i i j i i j -++++++==，由于i j +和1j i -+均大于2且奇偶性不同， 所以1(1)()2t j i i j +-++=不成立，其次证明：除2()t t N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和， 若正整数2(21)t h k =+，其中*,t N t N ∈∈， 当1221t k +>+时，由等差数列的性质，有(21)(21)(21)h k k k =++++++()()()()2212212tt t t t k k =-++-++++++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质，有(21)(21)(21)h k k k =++++++()()21(1)(1)(2)2t k k k k k k '=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项？由上述证明可知，正整数2,4,8,16,32,64,128,256,512不是集合T 中的项， 故n 的最大值为1001.。
2020-2021学年上海市金山中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市金山中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程为y=b^x−a^必过()A. 点(2,2)B. 点(1.5,0)C. 点(1,2)D. 点(1.5,4)2. 化简得log832的值为()A. 12B. 2 C. 4 D. 533. 空间直角坐标系中，向量，向量，则“”是“向量与共线”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当x∈[0,2π]时，函数y=sinx的图象与直线y=−34的公共点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 己知集合A={1,2，4}，B={x|x2−2x<0}，则A∩B=______．6. 已知|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，则|z1−z2|等于______ ．7. 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．半球内有一内接正四棱锥S−ABCD，该四棱锥的体积为4√2，则该半球的体积为______．8. 观察如表数表的规律(仿杨辉三角：下一行的数等于上一行肩上相邻两数的和)：该数表最后一行只有一个数，则这个数是______．9. 双曲线x2−y2=5的离心率离等于______．10. 已知钝角△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于______ ．11. 已知角α的终边经过点P(2,−3)，则sinα=______．12. 在的展开式中，的系数是.13.14. 已知平面向量a⃗，b⃗ 是单位向量，且a⃗⋅b⃗ =√2，平面向量c⃗满足|c⃗−2a⃗|+|c⃗−√2b⃗ |=√2，则2|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值为______ ．15. 若f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，则f(−1)=______ ．16. 已知{a n}是正项等比数列，a32=2a2a6，且a1+a3+a5+a7+a9=465，若[x]表示不超过x的8最大整数(例如[2.9]=2，[−3.1]=−4)，设b n=[a n]，则数列{b n}的前n项和(n>10)为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）17. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅18. 已知函数y =3sin(12x −π4)(1)求此函数的振幅、周期和初相；(2)用五点法在给定的坐标系中作出函数一个周期的图象．(先列表再作图)12x −π4 x3sin(12x −π4)19. 一支探险队要穿越一个“死亡谷”，在这个峡谷中，某种侵扰性昆虫的密度f(t)(只/立方米)近似于时间t(时)的一个连续函数，该函数的表达式为f(t)={1000cos (t−9)π4+2000, 9≤t ≤173000, 0≤t <9或17<t ≤24．(Ⅰ)求一天中该种昆虫密度f(t)的最小值和相应的时间t ；(Ⅱ)已知当密度超出2000只/立方米时，该种昆虫的侵扰将是致命的．问最早几点进入该峡谷可避免遭受该种昆虫致命性侵扰．20. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(2cosx,−cos(x +π12))，n ⃗ =(cosx,2sin(x +π12))，记f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f(A2)=1，a =2，b =√3，求sin C 的值．21.设数列{a n}前n项和为S n，且(3−m)S n+2ma n=m+3(n∈N∗).其中m为实常数，m≠−3且m≠0．(1)求证：{a n}是等比数列；f(b n−1)(n∈N∗,n≥2)，求{b n}的通项公式；(2)若数列{a n}的公比满足q=f(m)且b1=a1,b n=32(3)若m=1时，设T n=a1+2a2+3a3+⋯+na n(n∈N∗)，是否存在最大的正整数k，使得对任意n∈N∗均有T n>k成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由．8【答案与解析】1.答案：D解析：略2.答案：D解析：本题考查对数的运算．根据对数的运算性质计算，即可得到答案．解：log832=log232log28=log225log223=53．故选D．3.答案：A解析：试题分析：本题考查空间向量共线的判定条件。
2020届上海市金山中学高三上学期期中数学试题
2020届上海市金山中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．若a 为实数，则1a <成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．2a < B ．1a ≤C ．0a <D ．31a <【答案】C【解析】根据充分不必要条件的判断方法，本题就是找哪个选项中的范围是{}|1a a <的子集，从而得到答案. 【详解】要求1a <成立的一个充分不必要条件即要找出它的一个充分不必要条件，只要找出由条件可以推出1a <. 反之不成立的条件即可.即要找出一个范围比不等式的范围{}|1a a <小的真子集即可. 只有选项C 满足． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件与充要条件的判断，本题解题的关键是把命题之间的关系转化为集合之间的包含关系，本题是一个基础题． 2．如图所示为函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭的部分图像，点A 和点B 之间的距离为5，那么()1f -为（ ）A ．3B ．-1C ．1D 3【答案】B【解析】根据,A B 两点之间的距离为5可得函数的周期，得到ω的值，再根据图像与轴交于点()0,1，可求出ϕ，然后可求(0)f . 【详解】根据图像连接AB ，过点,A B 作y 轴的垂线和平行线，交于点H . 在直角三角形ABH 中，5,4AB BH ==，可得3AH =. 即函数()f x 的周期6T =，所以263ππω==. 所以()2sin()3f x x πϕ=+，又图像与轴交于点()0,1.即(0)2sin 1f ϕ==，且02πϕ≤≤，则6π=ϕ. 所以()2sin()36f x x ππ=+，则(1)2sin 2sin 1366f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B【点睛】本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考察三角函数的图像性质，属于中档题. 3．《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（ ）A ．七尺五寸B ．二尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸【答案】A【解析】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}n a ，则夏至晷长为首项，冬至晷长为第13项，利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}n a . 则115a =，13135a =,则公差131135151013112a a d --===-.秋分晷长为716156075a a d =+=+=. 所以秋分节气的晷长是七尺五寸 故选：A ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．定义在R 上的函数()y f x =满足：对于任意实数()1212x x x x ≠、，有()()()1212123f x f x x x x x ->+-成立，函数(2()(2)112g x f x x x x =+-+，则以下说法中正确的是（ ）A ．函数()y f x =在[)1,+∞上可能单调递减 B ．函数()y f x =在(],1-∞-上不可能单调递增C ．对于任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠，有()()()1212123g x g x x x x x -<-+-成立D ．对于任意12,[1,)x x ∈+∞且12x x ≠，有()()()1212123g x g x x x x x ->-+-成立【答案】D【解析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用作差的方法证明不等式对各个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】A.当12,[1,)x x ∈+∞时，()()()12121230f x f x x x x x ->+>-，所以函数()y f x =在[)1,+∞的单调递增.所以A 不正确.B.当(]12,x x ∈-∞,-1时,120x x +<,若()y f x =在(],1-∞-上单调递增，则()()()12121203f x f x x x x x ->>+-成立，即()y f x =在(],1-∞-可能单调递增，故B不正确.又当12,(1,)x x ∈+∞()()((221122121212[(2)12][(2)12]f x x f x xg x g x x x x x +-+-=--()22121212[(2)(2)]12f x f x x x x x --+-=--()2212121212121212(2)(2)x x f x f x x x x x -=----+ ()121212(2)(2)12f x f x x x x x ---=+由()()()1212123f x f x x x x x ->+-有()()()1212122232222f x f x x x x x ->+-即()()()1212122212f x f x x x x x ->+- ()()()()1212121233g x g x x x x x x x -++>+-当12,(1,)x x ∈+∞<1212011x x x x <-+-<+ . 所以121211x x x x -+-+>此时()()()12121230g x g x x x x x -++>-. 若12,x x 中有一个为1，不妨设11x =，由以上过程有：()()()()122212212221331g x g x x x x x x x x --++>-+-++()22221310x x x =+--+>成立.所以选项D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查函数的单调性的定义和性质的应用以及利用作差法证明不等式,考查计算能力，属于难题.二、填空题 5．函数()(1)f x x x =-的定义域为__________________.【答案】[]0,1【解析】根据函数定义域满足被开方数非负，可列出不等式(1)0x x -≥，解出不等式即可. 【详解】 由函数()(1)f x x x =-的定义域满足(1)0x x -≥.解得：01x ≤≤. 所以函数()(1)f x x x =-的定义域为[]0,1.故答案为：[]0,1 【点睛】本题考查具体函数的定义域问题，属于基础题. 6．函数的最小正周期为 .【解析】，其周期为.【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质.7．若12a <<，23b <<，则ab的范围是__________________. 【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】先由23b <<求出11132b <<，然后用不等式的基本性质可求解. 【详解】 由23b <<，得11132b <<. 又12a <<，由不等式的性质有：1111232a b ⨯<⨯<⨯ 所以113ab<< 故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的性质的应用，由23b <<求得11132b <<，是解题的关键．属于基础题.8．方程lg(1)lg(4)1x x +++=的解为x =_________________. 【答案】1【解析】由lg(1)lg(4)1x x +++=有[]lg (1)(4)1x x ++=，则(1)(4)10x x ++=结合对数的真数为正，可得到答案. 【详解】根据题意有1040x x +>⎧⎨+>⎩，得1x >-.由lg(1)lg(4)1x x +++=得到[]lg (1)(4)1x x ++=. 即(1)(4)10x x ++=，解得：1x =或6x =-(舍).【点睛】本题考查解对数方程，注意对数的真数为正，属于基础题.9．集合{|||,}A y y x x R ==∈，{}2|2,B y y x x R ==-∈，则AB =_____________.【答案】[]0,2【解析】先分别求出集合,A B ，再求交集A B .【详解】由{}{|||,}|0A y y x x R y y ==∈=≥.{}{}2|2,|2B y y x x R y y ==-∈=≤所以[]0,2AB =故答案为：[]0,2 【点睛】本题考查集合的表示方法和集合求交集,属于基础题.10．在等差数列{}n a 中，123936a a a a +++⋅⋅⋅+=，则222258a a a ++的最小值为________ 【答案】48【解析】根据等差数列的通项公式可由条件化简得144a d +=，代入222258a a a ++中即可求解. 【详解】因为等差数列{}n a 中，123936a a a a +++⋅⋅⋅+=， 所以144a d +=，所以2222222258(43)4(43)184848a a a d d d ++=-+++=+≥， 故222258a a a ++的最小值为48，故答案为：48 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，考查了学生的计算能力，属于容易题.11．已知函数22,0(),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，则不等式()2(2)f x f x >的解集为_________________. 【答案】(,0)(2,)-∞+∞【解析】先分析出函数()f x 的单调性，然后根据单调性可得22x x >，从而解出答案· 【详解】作出函数()f x 的图像，如图.由函数的图像观察可得，函数()f x 在R 上是单调递增函数. 由()2(2)f xf x >有22xx >.解得：2x >或0x <. 故答案为：(,0)(2,)-∞+∞【点睛】本题考查分段函数的单调性的判断，利用单调性解不等式，属于基础题. 12．已知函数()y f x x =-是偶函数，若()()g x x f x =⋅，则()()22g g +-=___________.【答案】8【解析】由()()()222(2)(2)g g f f +-=--，根据函数()y f x x =-是偶函数可求出(2)(2)f f --，从而得出答案.【详解】设()()h x f x x =-，由条件()h x 为偶函数. 所以(2)(2)h h =-，即(2)2(2)2f f -=-+.则(2)(2)4f f --=.所以()()()()()222222g g f f +-=+--()2(2)(2)248f f =--=⨯=.故答案为：8 【点睛】本题考查利用偶函数的性质求抽象函数的函数值，属于中档题.13．设函数()sin cos f x kx kx =+，其中k 是一个正整数.若对任意实数a ，均有{}()|1{()|}f x a x a f x x R <<+=∈，则k 的最小值为_____________.【答案】7【解析】根据题意由函数()f x 的周期性和函数的最值，可得函数()f x 的最小正周期1T <，由此可求得答案.【详解】()sin cos 4f x kx kx kx π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.若对任意实数a ，均有{}()|1{()|}f x a x a f x x R <<+=∈即在任意一个长度为1的开区间上函数()f x 至少能取到一个最大值和最小值. 则函数()f x 的最小正周期1T <，即21T kπ=<,所以2k π>. 又k 是一个正整数，所以k 的最小值为7. 故答案为：7 【点睛】本题考查正弦型函数的周期性和最值，属于中档题.14．已知非空集合M 满足{}0,1,2,3M ⊆，若存在非负整数k （3k ≤），使得对任意a M ∈，均有2k a M -∈，则称集合M 具有性质P ，则具有性质P 的集合M 的个数为______________. 【答案】8【解析】分k 的取值进行分情况计算讨论满足条件的集合M ，从而得到答案. 【详解】当0k =时，M 为{0}.当1k =时，M 为{1},{0,2},{0,1,2}当2k =时，M 为{2},{1,3},{1,2,3} 当3k =时，M 为{3}. 所以满足条件的集合M 有8个. 故答案为：8 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．15．如下图，数阵中每一个数分裂为下一行中的两个数，其中左侧的数为原数减去3，右侧的数为原数的相反数，若前n 行中不同数字的个数为()*n a n N ∈，则2019a =____________.【答案】8070【解析】列出前几行中的数据，可以分析归纳出前3行分别有1个，2个，3个不同的数字，从第4行起每行新增4个不同的数字，则可计算出2019a 的值. 【详解】根据数阵中的规律可得，前3行分别有1个，2个，3个不同的数字 可归纳出，从第4行起每行新增4个不同的数字（其余数字相同） 所以前2019行中不同数字的个数为2019123201648070a =+++⨯= 故答案为：8070 【点睛】本题考查归纳推理，考查观察分析能力，属于中档题.16．已知数列{}n a 满足：对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立，若212a =，313a =，则192021510a a a a +++⋯+的值为_____________.【答案】143【解析】根据对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立，有5105092551a a a +++=，这样一直算到题目所需要的项的和，即可求解.【详解】由对任意大于1正整数n 都有121n n n a a a +++⋯+=成立 . 所以5105092551a a a +++= . 2542531271a a a +++=,126125631a a a +++= . 6261311a a a +++=,3029151a a a +++= .所以15218190215105a a a a a a ⋯+++⋯+++=…………① 又()()23418234891811223a a a a a a a a a a ++++=+++++++=++……② .()()23414236714122a a a a a a a a a ++++=++++++=+………………③ 由②－③有 115813a a +=⋯+.………………④ 将①－④代入得：192021510a a a a +++⋯+=143故答案为：143【点睛】本题考查数列的特殊递推关系，根据关系和所求找出规律是关键，属于难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，7cos 8A =. （1）若3b =，2c a =，求a ；（2）若4b c +=，求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）2a =或32a =（2【解析】直接由余弦定理将条件代入，得到关于a 的方程可解出边a . (2)由7cos 8A =，求出sin A ,由4b c +=利用均值不等式求出bc 的最大值，从而可得答案.【详解】（1）2222cos a b c bc A =+-，22794128a a a =+-⨯，2a =或32a =（2）sin 8A ==，242b c bc +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1sin 24S bc A =≤，即ABC 【点睛】本题考查余弦定理和利用均值不等式求三角形面积的最大值,属于基础题. 18．关于x 的不等式()220x a a R ++-<∈的解集为A ． （1）求集合A ；（2）设集合|sin 033B x x x ππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，a 恰好是B 中绝对值最小的元素，求集合A .【答案】（1）(4,)A a a =-- （2）131,43A ⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】(1)将不等式220x a ++-<变形为|2|2x a +<-，然后对a 进行分离讨论解不等式.(2)先求出集合B 中元素满足2,3x k k Z =+∈，求出其中绝对值最小的值，即a 的值，再解不等式. 【详解】（1）解：|2|2x a +<-，20a -≤，即2a ≥时, A φ=20a ->，即2a <时，222a x a -<+<-,即4a x a -<<-所以(4,)A a a =-- 综上：2a ≥时，A φ=.2a <时，(4,)A a a =--.（2）sin 033x x ππππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得tan 3x ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,33x k k Z ππππ-=+∈，2,3x k k Z =+∈，于是13a =-，131,43A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和三角函数的化简求值，属于基础题. 19．已知：221()f x x t x=++. （1）利用单调性定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上是增函数； （2）若()y f x =的图像与()22g x x x=-的图像没有公共点，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）()1,-+∞【解析】(1)按照函数单调性的定义法证明的步骤进行证明即可. (2)设()()()h x f x g x =-，即()0h x ≠恒成立，代入化简可得211()22h x x x t x x ⎛⎫⎛⎫=---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过配方即可得到答案.【详解】 【详解】（1）证明：任取12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，()()221212221211f x f x x t x t x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2212221211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为121x x ≤<，所以22120x x -<，22121x x >得2212110x x ->， 所以()22122212110x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x < ()f x 在区间[)1,+∞上 增函数（2）解：()y f x =的图像与()22g x x x=-的图像没有公共点 . 所以对任意0x ≠有()()f x g x ≠恒成立，设()()()h x f x g x =-，即()0h x ≠恒成立2212()2h x x t x x x ⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则211()22h x x x t x x ⎛⎫⎛⎫=---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21()11h x x t x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，所以()[1,)h x t ∈++∞所以10t +>，实数t 的取值范围为()1,-+∞ 【点睛】本题考查利用定义法证明函数的单调性以及二次型函数的图像性质，考查构造法，属于中档题.20．定义：对于一个项数为()*2,m m m N≥∈的数列{}na ，若存在*k N∈且k m <，使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”.例如：因为321=+，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：（1）数列1，2，p ，4是“等和数列”，求实数p 的值； （2）项数为()*4t t N∈的等差数列{}n a 的前n 项和为()*,4n S n N n t ∈≤，0tS=，求证：{}n a 是“等和数列”.（3）{}n b 是公比为q 项数为()*,3m m N m ∈≥的等比数列{}n b ，其中2q ≥且()*0,n b n N n m >∈≤恒成立.判断{}n b 是不是“等和数列”，并证明你的结论.【答案】（1）5p =-或1p =-或1p = （2）证明见解析 （3）{}n b 不是“等和数列”，证明见解析【解析】（1）对令1,2,3k =分别计算，得到答案. （2）由1(1)02t t t S ta d -=+=，得12(1) a t d =-，若{}n b 是“等和数列，存在k 使得4k t k S S S =-，即2()6k k t d t d -=.分0d =和0d ≠进行讨论即可.（3）假设{}n b 是“等和数列”, 则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立, 即21k m q q -=,由2q ≥会得到矛盾，从而判断处结论. 【详解】（1）若1k =，即124p =++，则5p =-.若2k =，即124p +=+，则1p =-. 若3k =，即124p ++=，则1p =. 所以5p =-或1p =-或1p = （2）证明方法一：1(1)02t t t S ta d -=+=，所以12(1) a t d =-. 假设存在k 使得数列{}n a 的前k 项和与剩下项的和相等，即4k t k S S S =-，所以42k t S S =.112(1) 4 2 (41) ka k k d ta t t d +-=+-，(1) (1)2(1)2(41)k t d k k d t t d t t d -+-=-+-，即2()6k k t d t d -=.当0d =时，0n a =，对任意()*,4k k N k t ∈<都有0k S =，40t S =，即4k t k S S S =-，所以此时{}n a 是“等和数列”；当0d ≠时，2()6k k t t -=，2260k kt t --=，此时3k t =或2k =-（舍去）. 即存在*3k t N =∈且4k t <，使得4k t k S S S =-成立，所以此时{}n a 是“等和数列”. 由上得：{}n a 是“等和数列” 证明方法二：设{}n a 公差为d ，112t t a a S t ++=，()1221222t t t t t t t a aS S a a a t ++++-=++⋯+=， 同理：21332t t t t a a S S t ++-=，314432t t t t a aS S t ++-=， 于是()21212222t t t t t t a a a a tdS S S t t t d ++----===，同理()()2322t t t t S S S S t d ---=，()()24332t t t t S S S S t d ---=，即t S ，2t t S S -，32t t S S -，43t t S S -成等差数列，所以()()()43232t t t t t t t S S S S S S S +-=-+-，因为0t S =，所以433t t t S S S -=，即存在3k t =，使得4k t k S S S =-，所以{}n a 是“等和数列” （3）{}n b 不是“等和数列”证明方法一：设n B 为{}n b 的前n 项和反证法：假设结论不成立，即{}n b 是“等和数列”，则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =， 于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21k mq q -=2q ≥时，1212k k k q q q +-<≤，m k >，即1m k ≥+，所以1k m q q +≤，所以21k m q q -<，与21k mq q -=产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”.证明方法二：反证法：假设结论不成立，即{}n b 是“等和数列”， 则存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立，即2k m B B =. 于是()()1121111k m b q b q qq--=--成立，即21kmq q -=得到12m k k q q--=， 这里122k q-<，1m k -≥得2m k q -≥产生矛盾.所以假设不成立，即{}n b 不是“等和数列”.证明方法三：先证该数列满足：设n B 为{}n b 前n 项和，则对任意*n N ∈都有1n n B b +<成立.证明：()1111(2)111n n n n n b q b q q b B b q q q +⎡⎤--+⎣⎦-=-=--，因为2q ≥，所以10q ->，(2)10nq q -+>，10b >，所以1(2)101nb q q q ⎡⎤-+⎣⎦>-，所以1n n B b +<恒成立.由此得：对任意*k N ∈且k m <，112k k k k n B b b b b +++<≤++⋯+，即k m k B B B <-， 所以不存在*k N ∈且k m <，使得k m k B B B =-成立， 即{}n b 不是“等和数列”. 【点睛】本题利用数列中的新定义考查等差数列和等比数列的前n 项和,考查计算能力和推理能力，属于中档题.21．定义：如果存在实常数a 和b ，使得函数()f x 总满足()(2)f x f a x x b --=+，我们称这样的函数()f x 是“(),a b 型函数”.请解答以下问题：（1）已知函数()()lg 1(0,1)xf x p p p =+>≠是“()0,b 型函数”，求p 和b 的值；（2）已知函数222555()(1)(3)(5)f x x x x kx =++++++是“(),a m 型函数”，求一组满足条件的k 、m 和a 的值，并说明理由.（3）已知函数()y f x =是一个“()0,0型函数”，且()00f =，()y f x =是增函数，若(),M x y 是()f x 在区间[]22-,上的图像上的点，求点M 随着()f x 变化可能到达的区域的面积的大小，并证明你的结论.【答案】（1）100p b =⎧⎨=⎩ （2）12k =，3m =，3a =-，理由见解析 （3）M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内，面积为4，证明见解析 【解析】(1)由函数()()lg 1(0,1)xf x p p p =+>≠是“()0,b 型函数”，则有()()f x f x x b --=+，将函数表达式代入可求出,p b 的值.(2)先证明()y f x =的图像是关于3x =-对称的，然后根据()f x 是“(),a m 型函数”求出一组满足条件的k 、m 和a 的值即可.(3)由函数()y f x =是一个“()0,0型函数”，且()00f =，()y f x =是增函数，可得M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内，在证明其充要性. 【详解】（1）解：()()()()lg 1lg 1lg (lg )xxx f x f x p pp p x x b ---=+-+===+，所以lg 10p b =⎧⎨=⎩，即100p b =⎧⎨=⎩（2）解：设222555()(1)(3)(5)g x x x x =+++++注意到()g x 的图像是轴对称图形，()g x 的对称轴是3x =-，证明如下， 因为255522(6)(61)(63)(65)g x x x x --=--++--++--+222555(1)(3)(5)()x x x g x =+++++=，即(6)()g x g x --=；()(6)[()][(6)(6)]f x f x g x kx g x k x ---=+---+--26kx k x m =+=+，于是12k =，3m =，此时3a =-. （3）解：M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内； 所以在[2,2]-的面积为12(22)42S =⨯⨯⨯= 下面证明：()A M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内； ()()f x f x x --=，(,)M x y ，0x =时，()0f x =，满足()0y y x -≤由()f x 单调递增，得到0x >时()()00f x f >=；当0x <时()()00f x f <=. 当0x >时，0x -<，所以()0f x -<，所以()()f x f x x x =-+<， 此时0y x -<，0y >，所以满足()0y y x -<当0x <时，0x ->，所以()0f x ->，所以()()f x f x x x =-+> 此时0y x ->，0y <，所以满足()0y y x -<即M 点在不等式()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内（B ）证明：M 点可为()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所表示的区域内任意点.存在函数,0()00(1),0kx x f x x k x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，此时(1),0()00,0k x x f x x kx x ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩， 其中01k <<，此时()f x 是增函数，并满足()()f x f x x --=.让k 在区间()0,1变化，()f x 图像充满()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所在区域 由A 、B 得：M 运动区域是()0y y x -≤（0x ≠时等号不成立）所在区域. 【点睛】本题考查函数的新定义，函数的对称性和函数图像上的点所在平面区域，属于难题.。