上海市金山中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题
2018-2019学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试题
2018-2019学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a aa n N a++-++++=≠∈-”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ） A ．1 B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++【答案】C【解析】根据1n =，给等式左边赋值，由此得出正确选项. 【详解】当1n =时，左边为11211a a a a +++=++，故选C. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.2．设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A ．23πB ．56π C ．π D ．43π 【答案】C【解析】求出函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移(0)m m >个单位，向右平移(0)n n >个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数sin(2)6y x π=+的图象重合，可分别得关于m ，n 的方程，解之即可． 【详解】解：将函数sin 2()y x x R =∈的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数sin 2()sin(22)y x m x m =+=+，其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合， sin(22)sin(2)6x m x π∴+=+，226m k ππ∴=+，k z ∈，故12m k ππ=+，k z ∈，()k ∈Z ，当0k =时，m 取得最小值为12π．将函数sin 2()y x x R =∈的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数sin 2()sin(22)y x n x n =-=-，其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合， sin(22)sin(2)6x n x π∴-=+，226n k ππ∴-=+，k z ∈，故12n k ππ=--，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为1112π， m n ∴+的最小值为π，故答案为：C ． 【点睛】本题主要考查诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 3．已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ） A ．<1a B ．1a ≥C ．1b ≤D ．1b ≥【答案】A【解析】先根据()arctan f x x =的图象性质，推得函数()|arctan(1)|f x x =-的单调区间，再依据条件分析求解． 【详解】解：()arctan f x x =是把()arctan f x x =的图象中x 轴下方的部分对称到x 轴上方，∴函数在(,0)-∞上递减；在(0,)+∞上递增．函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由()arctan f x x =的图象向右平移1个单位而得，∴在(-∞，1]上递减，在[1，)+∞上递增，若存在1x ，2[x a ∈，]b ，12x x <，使12()()f x f x 成立，1a ∴< 故选：A ． 【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．()f x a +图象可由()f x 的图象向左(0)a >、向右(0)a <平移||a 个单位得到，属于基础题.4．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=； ②2()f x x =； ③()e xf x =；④()f x x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】C 【解析】【详解】①()()111111ln ln ln ln ln ln n n n n n n a f a f a a a a q ----=-==，()1f x x∴=为“保比差数列函数” ；②()()22111ln ln ln ln 2ln2ln nn n n n n a f a f a a a q a ----=-==，()2f x x ∴=为“保比差数列函数” ；③()()111ln ln ln ln ln n n n n aa a a n n f a f a e ee -----=-=不是定值，()xf x e ∴=不是“保比差数列函数” ；④()()11ln ln ln ln n n n n f a f a a a ---=-=111ln ln 22n n a q a -=，()f x x ∴=是“保比差数列函数”，故选C.【考点】等差数列的判定及对数运算公式点评：数列{}n a ，若有1n n a a --是定值常数，则{}n a 是等差数列二、填空题5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2【解析】试题分析：由题意可得：．【考点】扇形的面积公式． 6．在数列{n a }中，12a =，13n na a +=则3a =____. 【答案】18【解析】直接利用等比数列的通项公式得答案．【详解】解：在等比数列{}n a 中，由12a =，公比13n na q a +==，得22312318a a q ==⨯=． 故答案为：18． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题．7．已知角α的终边上一点P 的坐标为(3,4)(>0)t t t -，则2sin cos αα+=____. 【答案】1-【解析】由已知先求=r=5t OP ，再由三角函数的定义可得sin ,αcos α即可得解． 【详解】解：由题意可得点P到原点的距离5r t ==0t >，5r t ∴=，由三角函数的定义可得，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==， 此时2sin cos 1αα+=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8．在△ABC 中，若222sin sin <sin C A B +，则△ABC 的形状是 ____. 【答案】钝角三角形【解析】由222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理可得，222a b c +<，由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=可判断C 的取值范围【详解】 解：222sin sin sin A B C +<，由正弦定理可得，222a b c +<由余弦定理可得222cos 02a b c C ab +-=<∴2C ππ<<ABC ∆∴是钝角三角形故答案为：钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题9．若4sin()5πα+=-，其中α是第二象限角，则cos(2)πα-=____. 【答案】35【解析】首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式即可得到结果． 【详解】解：4sin()5a π+=-4sin 5α∴-=-4sin 5α∴=，又α是第二象限角故3cos 5α=-，3cos(2)cos 5a πα∴-==-故答案为：35．【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题． 10．设sin 2sin ,(,)2παααπ=-∈,则tan(2)πα-的值是____.【解析】根据二倍角公式得出tan α= 【详解】解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-(,)2παπ∈sin 0α∴≠故2cos 1α=-，∴1cos 2α=-即sin α=tan α=()tan 2tan παα∴-=-=本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。
精编上海市中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
本word文档可编辑修改⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯○_ _ _⋯____⋯__⋯__⋯：号订考___⋯___⋯___⋯__⋯：级○班__⋯___⋯____⋯__ 0：名装姓_⋯____⋯___⋯___⋯:校○学⋯⋯⋯⋯外⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯本word 文档可编辑修改⋯ ⋯⋯ 绝密★启用前⋯○ 上海市奉贤中学 2018-2019 学年高一下学期期末数学试题⋯试卷副标题⋯⋯ 考试范围： xxx ；考试时间： 100 分钟；命题人： xxx ⋯ 题号 一二三总分线得分⋯ 注意事项：⋯1．答题前填写好自己 的姓名、班级、考号等信息⋯2．请将答案正确填写在答题卡上⋯○第 I 卷（选择题 )⋯ 请点击修改第 I 卷 的文字说明⋯⋯ 评卷人得分⋯一、单选题订⋯1．在数列 a n 中，已知a31 ， a 5 3 ， a 79 则 a n 一定（）⋯ A ．是等差数列B ．是等比数列C ．不是等差数列D ．不是等比数列⋯⋯2○ 2．已知数列a 的前 n 项和S na n1，那么（）n4⋯⋯ A ．此数列一定是等差数列B ．此数列一定是等比数列⋯ C ．此数列不是等差数列，就是等比数列D ．以上说法都不正确⋯n cosn装3．数列 a n的通项公式 a，其前 n 项和为 S n ，则 S 2017 等于（）n2⋯⋯ A ． 1006B ． 1008C ． 1006D ． 1008⋯a n 的公比为 q ，其 n 项 的积为 T n ，并且满足条件a 1⋯ 4．设等比数列1 ，a 99 a 100 1 0 ，○a 9910 q1；② a 99 a 1011 0 ；③ T 100 的值是 T n 中最大⋯a1000. 给出下列结论：①⋯ 1⋯ 的；④使 T n 1 成立 的最大自然数 n 等于 198 . 其中正确 的结论是（）⋯内 A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④⋯ ⋯ ⋯⋯ ○⋯⋯试卷第 1 页，总 4 页 ⋯ ⋯本word文档可编辑修改第II卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题5．一个扇形的半径是2cm ，弧长是 4cm ，则圆心角的弧度数为________.6．已知sin3cos ，则 cos2________ .7．已知tanx 2 ，且x,，则 x ________.8．函数y cos2x 的单调增区间是________.9．若f k k k1k2L 2k k N，则 f k1 f k________. 10．设3sin x cosx2sin x，其中 0 2 ，则的值为 ________.11．设数列 { a n } （n N *）是等差数列，若a2和 a2018是方程4x28x 30的两根，则数列 { a n } 的前2019项的和 S2019________12．已知等比数列a n的递增数列，且 a52a10，2 a n a n25a n 1则数列a n的通项公式 a n________.13．公比为q的无穷等比数列a n满足： q 1 ，k k 1k 2L n N，a k a a 则实数 k 的取值范围为________.14．已知函数ysin x0 的最小正周期为，若将该函数的图像向左平3移 m m0 个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.15．设 x 为实数，x 为不超过实数x 的最大整数，如 2.66 2 ， 2.66 3 .记x x x ，则x的取值范围为0,1，现定义无穷数列a n如下：a a，当1a n0 时，a n 11；当 a n 0时， a n 1 0 ，若 a 3 ，则a2019________.a n16．已知线段 AB 上有 9 个确定的点（包括端点 A 与B）.现对这些点进行往返标数（从A B A B ⋯进行标数，遇到同方向点不够数时就“调头”往回数）. 如图：在点 A 上标 1，称为点 1，然后从点 1开始数到第二个数，标上 2 ，称为点 2 ，再从点 2 开始数到第三个数，本word 文档可编辑修改⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯○ ○⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯线 线⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋯○ ※ ○⋯ ⋯※ ⋯题 ⋯※⋯ ※ ⋯⋯ 答 ⋯※ 订※ 订内⋯ ※ ⋯⋯※ ⋯线⋯ ※ ⋯⋯ ※ ⋯订 ○※ ○※⋯ 装 ⋯⋯ ※ ⋯※ ⋯在 ⋯※⋯ ※ ⋯装要 装※⋯※ ⋯不⋯ ※ ⋯⋯※ ⋯请⋯ ※ ⋯○ ※○⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯内 外⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯○○⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋯本word文档可编辑修改⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯○_ _ _⋯____⋯__⋯__⋯：号订考___⋯___⋯___⋯__⋯：级○班__⋯___⋯____⋯__ 0：名装姓_⋯____⋯___⋯___⋯:校○学⋯⋯⋯⋯外⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯本word 文档可编辑修改⋯ ⋯⋯ 去，直到 1， 2 ， 3 ，⋯， 2019 都被标记到点上，则点 2019 上 的所有标记 的数中，最⋯小 的是_______.⋯ ⋯ ⋯ ⋯线⋯ 评卷人 得分⋯三、解答题⋯⋯ 17．在 ABC 中，已知 a 4 ， c 5 ，且 S ABC 6 ，求 b .○⋯18．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘 . 请你完成以下问题：⋯cos2 cos88cos85cos78（ 1）计算：；⋯sin 47 sin133 sin 50sin130 sin 57sin123（ 2）根据（ 1） 的计算结果，请你猜出一个一般 的结论用数学式子加以表达，并证明你⋯的结论，写出推理过程 .⋯⋯19．已知集合 Cx, y xy 3x y1 0 ，数列 a n 的首项 a 1 3 ，且当n2 时，⋯○ 点 a n 1, a nC ，数列 b n 满足bn1.1⋯a n⋯ （ 1）试判断数列b n⋯ 是否是等差数列，并说明理由；⋯st装（ 2）若 lim1 s,t R ，求 s t 的值 .a nb nn⋯⋯ 20．已知数列a n 的前 n 项和 S n ，满足 S n 2a nb n n N .⋯⋯ （ 1）若 b n n ，求数列 a n 的通项公式；○⋯ （ 2）在满足（ 1） 的条件下，求数列a nb n 的前 n 项和 T n 的表达式；⋯21．将边长分别为 1、 2 、 3 、⋯、 n、 n1、⋯ n N⋯ 的正方形叠放在一起，形成⋯ 如图所示 的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在 的图形为第 1个、第 2 个、⋯⋯、 内 第 n 个阴影部分图形 . 设前 n 个阴影部分图形 的面积 的平均值为f n . 记数列a n 满⋯⋯f n ,当 n 为奇数⋯ 足 a 1 1， a n 1 f a n ,当 n 为偶数⋯○⋯⋯试卷第 3 页，总 4 页⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 线 ⋯ ⋯⋯ （ 1）求 f n 的表达式；⋯（ 2）写出 a 2 ， a 3 的值，并求数列a n○ ※ 的通项公式；⋯※⋯ 题a bbn 1bn 1※（ 3）定义a n 0 恒成立，求 s 的取⋯ ad bc ，记 b ns s R ，且b n※ c db n 2 ⋯ 答※ 值范围 .订※内⋯ ※⋯ ※线⋯ ※ ⋯ ※ 订○※※⋯ 装 ⋯ ※ ※⋯ 在※⋯ ※装要※⋯※不⋯ ※⋯ ※请⋯※※○ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 内 ⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯线⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯订⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯装⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯外⋯⋯⋯⋯○⋯⋯⋯⋯本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2017-2018学年上海市金山区金山中学高一年级下学期期末考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市金山区金山中学高一年级下学期期末考数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1小题至第6小题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接写结果，否则一律得零分.1. 已知向量若则________【答案】-2.【解析】分析：利用向量垂直的条件，结合题中所给的向量坐标，列出方程求解即可.详解：根据题意，由，可得，解得，故答案是.点睛：该题考查的是有关利用向量垂直，求其坐标所满足的条件，对应的知识点是向量垂直，向量的数量积等于零，应用向量数量积坐标公式求得结果.2. 已知函数，则该函数的定义域为________【答案】.【解析】分析：根据反三角函数的定义域，列出不等式，求出x的取值范围，进而得到函数的定义域.详解：函数，所以，解得，所以该函数的定义域为，故答案为.点睛：该题考查的是有关反余弦函数的定义域问题，在解题的过程中，结合原函数的值域为反函数的定义域，利用题中所给的函数解析式，列出相应的式子，求得结果.3. 若等差数列的前项和为，则________【答案】12.【解析】试题分析：根据题意，由于等差数列的前10项和为30则，由于等差中项的性质可知，故答案为12.考点：等差数列的性质点评：解决的关键是根据等差中项的性质来得到求解，属于基础题。
4. 已知，则________【答案】7.【解析】分析：根据诱导公式求出的值，然后利用同角三角函数的基本关系及角的范围，求出，把的值代入即可求出式子的值.详解：因为，所以，又，所以，所以，故答案为.点睛：该题考查的是有关弦的分式形式的式子的求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系式，利用题中的条件，求得的值，代入求得结果.5. 用数学归纳法证明不等式的过程中，由“”到“”时，左边增加了__________项【答案】.【解析】分析：分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.详解：当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.点睛：该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.6. 设等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为________【答案】.【解析】试题分析：因为等比数列的前项和为，若，，成等差数列，所以，即，解得．考点：等比数列的通项公式及其应用．7. 方程在区间内解的个数是________【答案】4.【解析】分析：通过二倍角公式化简得到，进而推断或，进而求得结果. 详解：，所以或，因为，所以或或或，故解的个数是4.点睛：该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，方程的求解问题，注意一定不要两边除以，最后求得结果.8. 如图，边长为正方形的边上有一个动点，则________【答案】1.【解析】分析：首先根据题意，得到，借助于向量的平方等于向量模的平方以及两个互相垂直的向量的数量积等于零，得到结果.详解：根据题意，结合图形，可知，故答案是1.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的求解问题，该题应用的是将向量转化，应用公式求得结果，还可以应用定义式，得到向量的数量积等于模乘投影，求得结果.9. 若数列的通项公式的前项和为，则________【答案】.【解析】分析：利用无穷等比数列的求和公式，即可求得结果.详解：因为数列的通项公式是，前项和为，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关无穷递缩等比数列的各项和的问题，注意公式的应用，以及注意对前两项应该独立运算，注意对应的首项应该是多少，保证正确性.10. 当时，函数与函数只有一个交点，则的取值范围是________【答案】.详解：令，则函数的图像如下图所示：有图可得，当或时，直线与的图像只有一个交点，故的取值范围是.点睛：该题考查的是有关曲线与直线的交点问题，解决问题的方法是结合图像来完成，注意需要正确使用公式.11. 如图，在中，为上不同于的任意一点，点满足，若,则的最小值为________【答案】.【解析】分析：首先结合题中的条件，得到，进一步求得，根据从同一个点出发的三个向量，其中一个用另两个来表示，三个向量的终点共线时，满足系数和等于1，即，得到，之后代换，结合二次函数的最值来解决，配方即可求得结果.详解：根据题意，可知，从而可求得，根据三点共线，可得，即，所以，故其最小值为.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理的问题，以及相关的系数所满足的条件以及对应的结论，注意将式子转化为二次函数，配方法求得结果.12. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列；有如下运算结论：①；②数列是等比数列；③数列的前项和为；④若存在正整数，使得，则，其中正确的结论是________（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】①③④.【解析】分析：根据题中所给的条件，将数列的项逐个写出，可以求得，将数列的各项求出，可以发现其为等差数列，故不是等比数列，利用求和公式求得结果，结合条件，去挖掘条件，最后得到正确的结果.详解：对于①，前24项构成的数列是，所以，故①正确；对于②，数列是，可知其为等差数列，不是等比数列，故②不正确；对于③，由上边结论可知是以为首项，以为公比的等比数列，所以有，故③正确；对于④，由③知，即，解得，且，故④正确；故答案是①③④.点睛：该题考查的是有关数列的性质以及对应量的运算，解题的思想是观察数列的通项公式，理解项与和的关系，认真分析，仔细求解，从而求得结果.选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
2018-2019学年上海中学高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2018-2019学年上海中学高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 7的值为( )A. 11B. 12C. 13D. 142. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=( )A. 13B. −13C. 19D. −193. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 设0<α<π2，若x 1=sinα，x n+1=(sinα)x n (n =1,2，3…)，则数列{x n }是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 奇数项递增，偶数项递减的数列D. 偶数项递增，奇数项递减的数列二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 计算n →∞lim(1−1n)的结果是______．6. 已知等差数列a 1=3，a n =21，d =2，则n =______．7. 数列{a n }中，已知a n =4n −13⋅2n +2，n ∈N ∗，50为第______项． 8. {a n }为等比数列，若a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52，则a n =______．9. 用数学归纳法证明结论：(n +1)(n +2)…(n +n)=2n ×1×2×…×(2n −1)(n ∈N ∗)时，从“k 到k +1”左边需增乘的代数式为______ ．10. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=3，a n+1=(2n −λ)a n (n =1,2，…)，则a 3等于______． 11. 数列{x n }满足x n+1=x n −x n−1，n ≥2，n ∈N ∗，x 1=a ，x 2=b ，则x 2019=______． 12. 数列{a n }满足下列条件：a 1=1，且对于任意正整数n ，恒有a 2n =a n +n ，则a512=______．13. 数列{a n }定义为a 1=cosθ，a n +a n+1=nsinθ+cosθ，n ≥1，则S 2n+1=______ 14. 已知数列{a n }是正项数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n =12(a n +1a n)，若b n =a n+1Sn S n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 99=______15. 已知三角形的三条边长构成等比数列，他们的公比为q ，则q 的取值范围是______ ． 16. 数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a 3=3，a 4=4，a 5=5，当n ≥5时，a n+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a n −1，则是否存在不小于2的正整数m ，使a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.等差数列{a n}的前n项和为S n，S4=−62，S6=−75设b n=|a n|，求数列{b n}的前n项和T n．18.已知数列{a n}的前n项和S n=n2−2n+1(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足：a n+1+log3n=log3b n(n∈N∗)，求{b n}的前n项和T n(结果需化简)19.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费件，(n∈N∗).为(n−1)千元时多卖出b2n(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？20. 设数列{a n }的前n 项和S n ，已知a 1=1，2S n n=a n+1−13n 2−n −23，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1？说明理由．21. 设集合S n ={(x 1,x 2,…,x n )|x i ∈{0，1}(i =1,2，…，n)}，其中n ∈N ∗，n ≥2．(1)写出集合S 2中的所有元素；(2)设(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，证明：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； (3)设集合S ={(x 1,x 2,…x n ,…)|x i ∈{0，1}(i =1,2…,n …)}设(a 1,a 2,…,a n ,…)，(b 1,b 2,…b n ,…)∈S ，使得a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，且b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，试判断“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…)”的什么条件并说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由S 10=100及公差为2． ∴10a 1+10×92×2=100，联立解得a 1=1． ∴a n =2n −1， 故a 7=13． 故选：C ．由S 10=100及公差为2.利用求和公式可得a 1=1.再利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等比数列的前n 项和的概念，熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解出即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，∴{a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1a 1q 4=9，解得{q 2=9a 1=19．∴a 1=19． 故选C ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式及通项a n 与S n 的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，=0，S m=m(a1+a m)2m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．4.【答案】C，则0<sinα<1，【解析】解：根据题意，0<α<π2指数函数y=(sinα)x为减函数，∴(sinα)1<(sinα)sinα<(sinα)0=1，即0<x1<(sinα)x1<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x4<x2<1，∴(sinα)1<(sinα)x2<(sinα)x4<(sinα)x3<(sinα)x1<(sinα)0=1，即0<x1<x3<x5<x4<x2<1，…，0<x1<x3<x5<x7<⋯<x8<x6<x4<x2<1．∴数列{x n}是奇数项递增，偶数项递减的数列故选：C．根据题意，由三角函数的性质分析可得0<sinα<1，进而可得函数y=(sinα)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案．本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题．5.【答案】1【解析】解：当n →+∞，1n →0，∴n →∞lim(1−1n )=1，故答案为：1．由n →+∞，1n →0，即可求得n →∞lim(1−1n)=1．本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．6.【答案】10【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=3，a n =21，d =2，得 21=3+2(n −1)，解得：n =10． 故答案为：10．直接把已知代入等差数列的通项公式求得n 值． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．7.【答案】4【解析】解：令a n =4n −13⋅2n +2=50， 可得：(2n −16)(2n +3)=0， ∴2n =16， 解得n =4． 故答案为：4．令a n =4n −13⋅2n +2=50，可得：(2n −16)(2n +3)=0，解出n 即可得出． 本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】2⋅3n−1【解析】解：∵{a n }为等比数列，a 1+a 2+a 3=26，a 4−a 1=52， ∴{a 1+a 1q +a 1q 2=26a 1q 3−a 1=52， ∴a 1(1+q+q 2)a 1(q 3−1)=1q−1=12，解得q =3，a 1=2， ∴a n =2⋅3n−1． 故答案为：2⋅3n−1．利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】2(2k+1)【解析】解：当n=k时，左边=(k+1)(k+2)…(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k)，当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)，=2(2k+1)，故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为(2k+1)(2k+2)k+1故答案为：2(2k+1)．分别求出n=k时左端的表达式，和n=k+1时左端的表达式，比较可得“n从k到k+1”左端需增乘的代数式．本题考查用数学归纳法证明等式，分别求出n=k时左端的表达式和n=k+1时左端的表达式，是解题的关键．10.【答案】15【解析】解：∵a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n∴a2=(2−λ)a1即3=(2−λ)∴λ=−1，a n+1=(2n+1)a n∴a3=5a2=15故答案为：15先由a1=1，a2=3，a n+1=(2n−λ)a n，可求出λ，然后由n=2时，代入已知递推公式即可求解本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数λ11.【答案】b−a【解析】解：由题中递推公式，可得：x1=a，x2=b，x3=x2−x1=b−a，x4=x3−x2=b−a−b=−a，x5=x4−x3=−a−(b−a)=−b，x6=x5−x4=−b−(−a)=a−b，x7=x6−x5=a−b−(−b)=a，x8=x7−x6=a−(a−b)=b，x9=x8−x7=b−a，⋅⋅⋅∴数列{x n}是以6为最小正周期的周期数列．∵2019÷6=336…3．∴x2019=x3=b−a．故答案为：b−a．本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列{x n}是一个周期数列．然后根据周期数列的性质特点可得出x2019的值．本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值．本题属中档题．12.【答案】512【解析】解：由题意，可知：=a256+256a512=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+⋯+28=2+2×(1+2+22+⋯+27)=2+2×1−28 1−2=29=512．故答案为：512．本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果．本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式．本题属基础题．13.【答案】(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ【解析】解：数列{a n}定义为a1=cosθ，a n+a n+1=nsinθ+cosθ，n≥1，可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)=cosθ+(cosθ+2sinθ)+(cosθ+4sinθ)+⋯+(cosθ+2nsinθ)=(n+1)cosθ+(2+4+⋯+2n)sinθ=(n+1)cosθ+12n(2+2n)sinθ=(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．故答案为：(n+1)cosθ+(n2+n)sinθ．由题意可得S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2n+a2n+1)，运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题．14.【答案】910【解析】解：数列{a n}是正项数列，S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n=12(a n+1an)，可得a1=S1=12(a1+1a1)，可得a1=1；a1+a2=12(a2+1a2)，解得a2=√2−1，同样求得a3=√3−√2，…，猜想a n=√n−√n−1，S n=√n，代入S n=12(a n+1an)，成立，则b n=a n+1S n S n+1=√n+1−√n√n√n+1=√n√n+1，即有T 99=1−√2√2−√3⋯√99110=1−110=910． 故答案为：910．求得数列的前几项，归纳a n =√n −√n −1，S n =√n ，求得b n =√n+1−√n√n √n+1=√n √n+1，再由裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．15.【答案】(−1+√52,1+√52)【解析】解：设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边可得 (1)当q ≥1时，aq 2为最大边，a +aq >aq 2，等价于：q 2−q −1<0，由于方程q 2−q −1=0两根为：1−√52和1+√52，故得解：1−√52<q <1+√52∵q ≥1，∴1≤q <1+√52(2)当0<q <1时，a 为最大边，aq +aq 2>a ，即得q 2+q −1>0，解之得q >−1+√52或q <−1+√52∵0<q <1 ∴1>q >−1+√52综合(1)(2)，得：q ∈(−1+√52,1+√52)故答案为：(−1+√52,1+√52) 设三边：a 、aq 、aq 2、q >0，则由三边关系：两短边和大于第三边，分q ≥1和q <1两种情况分别求得q 的范围，最后综合可得答案．本题以三角形为载体，考查等比数列，考查解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想．16.【答案】70【解析】解：设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2， 由已知，b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52=1×2×3×4×5−(12+22+32+42+52) =120−55 =65当m ≥5时，由a m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m −1，移向得出a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a m+1+1 ①∵b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2，② ∴b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12 ③ ③−②得 b m+1−b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m a m+1−a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a m+12=a 1⋅a 2⋅…⋅a m (a m+1−1)−a m+12 (将①式代入) =(a m+1+1)(a m+1−1)−a m+12=a m+12−1−a m+12=−1∴当n ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列，∴b m =b 5+(m −5)×(−1)=65−(m −5)=70−m ．若a 1⋅a 2⋅…⋅a m =a 12+a 22+⋯+a m2成立， ∴b m =0，即m =70 故答案为：70．设b m =a 1⋅a 2⋅…⋅a m −a 12−a 22−⋯−a m 2中，令n =5代入数据计算即可求出b 5.由b 5=a 1⋅a 2⋅…⋅a 5−a 12−a 22−⋯−a 52中构造出b m+1=a 1⋅a 2⋅…⋅a m+1−a 12−a 22−⋯−a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m ≥5时，数列{b n }的各项组成等差数列．利用等差数列通项公式求解即可．本题考查等差关系的判定、通项公式．考查转化、变形构造、计算能力．17.【答案】解：∵S 4=−62，S 6=−75，∴{4a 1+4×32d =−626a 1+6×52d =−75，解得d =3，a 1=−20，∴a n =3n −23， 设从第n +1项开始大于零，则{a n =−20+3(n −1)≤0a n+1=−20+3n ≥0，∴203≤n ≤233， ∴n =7，即a 7<0，a 8>0 当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．综上有，T n ={43n−3n 22,(1≤n ≤7)32n 2−432n +154．(n ≥8)．【解析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出a n =3n −23，且a 7<0，a 8>0.当1≤n ≤7时，T n =−S n =43n−3n 22，当n ≥8时，T n =32n 2−432n +154．本题考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18.【答案】解：(1)S n =n 2−2n +1，可得a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−2n +1−(n −1)2+2(n −1)−1=2n −3， 则a n ={0,n =12n −3,n ≥2；(2)数列{b n }满足：a n+1+log 3n =log 3b n (n ∈N ∗)， 可得2n −1+log 3n =log 3b n ，即b n =n ⋅32n−1， 前n 项和T n =1⋅3+2⋅33+⋯+n ⋅32n−1， 9T n =1⋅33+2⋅34+⋯+n ⋅32n+1，两式相减可得−8T n =3+33+35+⋯+32n−1−n ⋅32n+1 =3(1−9n )1−9−n ⋅32n+1，化简可得T n =3(8n⋅9n −9n +1)64．【解析】(1)运用数列的递推式得n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n −S n−1，化简计算可得所求通项公式；(2)求得b n =n ⋅32n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)解法一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )(广告费为1千元时，s =b +b2；2千元时，s =b +b2+b22；…n 千元时s =b +b2+b22+b23+⋯+b 2n)解法二、(累差叠加法)设s 0表示广告费为0千元时的销售量， 由题：{s 1−s 0=b2s 2−s 1=b 22…s n −s n−1=b 2n ，相加得S n −S 0=b 2+b 22+b 23+⋯+b 2n ， 即S n =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n ).(2)b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为t ，则有t =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n欲使T n 最大，则{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，得{n ≥5n ≤5，故n =5，此时s =7875．即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．【解析】对于(1)中的函数关系，设广告费为n 千元时的销量为s n ，则s n−1表示广告费为(n −1)元时的销量，由题意，s n−−s n−1=b2n ，可知数列{s n }不成等差也不成等比数列，但是两者的差b2n 构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s =b +b2+b22+b23+⋯+b2n =b(2−12n )解法二、利用累差叠加法：S 1−S 0=b2，S 2−S 1=b22，…S n −S n−1=b2n ，累加结合等比数列的求和公式可求S n(2))b =4000时，s =4000(2−12n )，设获利为T n ，则有T n =s ⋅10−1000n =40000(2−12n)−1000n ，欲使T n 最大，根据数列的单调性可得{T n ≥T n+1T n ≥T n−1，代入结合n 为正整数解不等式可求n ，进而可求S 的最大值本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．20.【答案】解：(1)∵2S n n=a n+1−13n 2−n −23，∴2S n =na n+1−13n 3−n 2−23n =na n+1−n(n+1)(n+2)3，①∴当n ≥2时，2S n−1=(n −1)a n −(n−1)n(n+1)3，②由①−②，得2S n −2S n−1=na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∵2a n =2S n −2S n−1，∴2a n =na n+1−(n −1)a n −n(n +1)， ∴a n+1a n −a n n=1，∴数列{an n}是以首项为1，公差为1的等差数列．∴a n n=1+1×(n −1)=n ，∴a n =n 2(n ≥2)，当n =1时，上式显然成立．∴a n =n 2，n ∈N ∗． (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．证明：当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，可得1a 1+1a 2+⋯+1a n=1+14+12(12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=54+512−12(1n +1n+1)=53−12(1n +1n+1)， 由12(1n +1n+1)−1n+1=12(1n −1n+1)=12n(n+1)>0， 可得12(1n +1n+1)>1n+1， 即有53−12(1n +1n+1)<53−1n+1， 则当n ≥3时，不等式成立； 检验n =1，2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1．【解析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n<53−1n+1.考虑当n ≥3时，1a n=1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)，再由裂项相消求和，即可得证．本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．21.【答案】解：(1)S 2中的元素有(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)．(2)充分性，当a i =b i (i =1,2，…，n)，显然a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1成立，必要性，因为a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+⋅21+⋯+b n ⋅2n−1， 所以(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=0， 因为(a 1,a 2,…,a n )，(b 1,b 2,…,b n )∈S n ，所以a n −b n ∈{1,0，−1}，若a n −b n =1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=20+21+⋯+2n−1=2n −1≠0，当a n −b n =−1，则(a 1−b 1)⋅20+(a 2−b 2)⋅21+⋯+(a n −b n )⋅2n−1=−(20+21+⋯+2n−1)=−(2n −1)≠0，若a n −b n 的值有m 个1和n 个−1，不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1，则2r −2r −1−2r−1−⋯…−1=2r−1−2r 1−2=2r −(2r −1)=1>0，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能为，就是a n −b n =0，即a i =b i ，综上可知：“a 1⋅20+a 2⋅21+⋯+a n ⋅2n−1=b 1⋅20+b 2⋅21+⋯+b n ⋅2n−1“的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”；(3)由a 1⋅(12)1+a 2⋅(12)2+⋯+a n ⋅(12)n +⋯=A ，等价于a 1⋅2n−1+a 2⋅2n−2+⋯+a n ⋅20+⋯=2n ⋅A ，b 1⋅(12)1+b 2⋅(12)2+⋯+b n ⋅(12)n +⋯=B ，等价于b 1⋅2n−1+b 2⋅2n−2+⋯+b n ⋅20+⋯=2n ⋅B ，由(2)得“2n ⋅A =2n ⋅B “的充要条件是“a i =b i (i =1,2，…，n)”； 即“A =B ”是“a i =b i (i =1,2，…，n)”充要条件．【解析】(1)由题意求得S 2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论； (3)将原始的式子同乘以2n ，然后利用(2)即可求得答案．本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分类讨论思想，属于难题．。
上海市金山中学高一数学下学期期末考试试题
金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且与的夹角为0120． （1）求在上的投影； （2）求|32|+．解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分.给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin )sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
2018-2019学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n a++-++++=≠∈-N L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（） A ．1 B ．1a +C ．21a a ++D ．231a a a +++【答案】C【解析】当1n =时，左边为11211a a a a +++=++，故选C.2．设函数sin 2()y x x =∈R 的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为（） A ．2π3B ．5π6C ．πD ．4π3【答案】C【解析】解：将函数sin 2()y x x =∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数sin 2()sin(22)y x m x m =+=+，Q 其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合，sin(22)sin(2)6πx m x ∴+=+，226ππm k ∴=+，k z ∈，故2ππ1m k =+，()k ∈Z ，()k ∈Z ， 当0k =时，m 取得最小值为π12． 将函数sin 2()y x x =∈R 的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数sin 2()sin(22)y x n x n =-=-，Q 其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合，πsin(22)sin(2)6x n x ∴-=+，π22π6n k ∴-=+，()k ∈Z ，故ππ12n k =--，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为11π12，m n ∴+的最小值为π，故答案为：C ．3．已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（） A ．<1a B ．1a ≥C ．1b ≤D ．1b ≥【答案】A【解析】()arctan f x x =Q 是把()arctan f x x =的图象中x 轴下方的部分对称到x 轴上方，∴函数在(,0)-∞上递减；在(0,)+∞上递增．函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由()arctan f x x =的图象向右平移1个单位而得，∴在(-∞，1]上递减，在[1，)+∞上递增，Q 若存在1x ，2[x a ∈，]b ，12x x <，使12()()f x f x …成立，1a ∴<故选：A ．4．已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=；②2()f x x =；③()e x f x =；④()f x =，则为“保比差数列函数”的所有序号为（） A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．②③④【答案】C【解析】①()()111111ln ln ln ln ln ln n n n n n n a f a f a a a a q ----=-==，()1f x x∴=为“保比差数列函数” ；②()()22111ln ln ln ln 2ln2ln nn n n n n a f a f a a a q a ----=-==，()2f x x ∴=为“保比差数列函数” ；③()()111ln ln lne lnelne n n n n aa a a n n f a f a -----=-=不是定值，()e x f x ∴=不是“保比差数列函数” ；④()()1ln ln n n f a f a --==111ln ln 22n n a q a -=，()f x ∴=是“保比差数列函数”，故选C. 二、填空题5．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2【解析】试题分析：由题意可得：．6．在数列{n a }中，12a =，13n na a +=则3a =____. 【答案】18【解析】解：在等比数列{}n a 中，由12a =，公比13n na q a +==，得22312318a a q ==⨯=． 故答案为：18．7．已知角α的终边上一点P 的坐标为(3,4)(>0)t t t -，则2sin cos αα+=____. 【答案】1-【解析】解：由题意可得点P到原点的距离5r t ==Q 0t >，5r t ∴=，由三角函数的定义可得，4sin 5y r α==-，3cos 5x r α==， 此时2sin cos 1αα+=-； 故答案为：1-．8．在△ABC 中，若222sin sin <sin C A B +，则△ABC 的形状是 ____. 【答案】钝角三角形【解析】解：222sin sin sin A B C +<Q ， 由正弦定理可得，222a b c +<由余弦定理可得222cos 02a b c C ab +-=<∴ππ2C <<ABC ∆∴是钝角三角形故答案为：钝角三角形． 9．若4in(πs )5α+=-，其中α是第二象限角，则πcos(2)α-=____. 【答案】35-【解析】解：4sin(π)5a +=-Q 4sin 5α∴-=- 4sin 5α∴=，又α是第二象限角故3cos 5α=-，3cos(2)cos 5a πα∴-==-故答案为：35-． 10．设sin 2sin ππ,(,)2ααα=-∈,则tan(2)πα-的值是____.【解析】解：由题意知：sin 22sin cos sin αααα==-π(,π)2α∈Q sin 0α∴≠故2cos 1α=-，∴1cos 2α=-即sin α=tan α=()πtan 2tan αα∴-=-=.11．已知{n a }是等差数列，n S 是它的前n 项和，且8375a a =，则155SS =____. 【答案】215【解析】解：由题意可知，()1158158********2a a a S a +⨯===⨯；同理535S a =⨯。
上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
上海市金山中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题一、选择题 本大题共4道小题。
1.已知数列{a n }是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n f a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数：①1()f x x=； ②2()f x x =； ③()e xf x =；④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ②③④答案及解析：1.C【详解】①()()111111ln lnlnln ln ln n n n n n n a f a f a a a a q ----=-==，()1f x x∴=为“保比差数列函数” ；②()()22111ln ln ln ln 2ln2ln nn n n n n a f a f a a a q a ----=-==，()2f x x ∴=为“保比差数列函数” ； ③()()111ln ln ln ln ln n n n n aa a a n n f a f a e ee -----=-=不是定值，()xf x e ∴=不是“保比差数列函数” ；④()()1ln ln n n f a f a --==111ln ln 22n n a q a -=，()f x ∴是“保比差数列函数”，故选C.考点：等差数列的判定及对数运算公式点评：数列{}n a ，若有1n n a a --是定值常数，则{}n a 是等差数列 2.答案第2页，总16页已知函数()()arctan 1f x x =-,若存在12,[,]x x a b ∈，且12<x x ，使12()()f x f x ≥成立，则以下对实数,a b 的推述正确的是（ ）A. <1aB. 1a ≥C. 1b ≤D. 1b ≥答案及解析：2.A 【分析】先根据()arctan f x x =的图象性质，推得函数()|arctan(1)|f x x =-的单调区间，再依据条件分析求解． 【详解】解：()arctan f x x =Q 是把()arctan f x x =的图象中x 轴下方的部分对称到x 轴上方，∴函数在(,0)-∞上递减；在(0,)+∞上递增．函数()|arctan(1)|f x x =-的图象可由()arctan f x x =的图象向右平移1个单位而得，∴在(-∞，1]上递减，在[1，)+∞上递增，Q 若存在1x ，2[x a ∈，]b ，12x x <，使12()()f x f x …成立，1a ∴<故选：A ．【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平移．()f x a +图象可由()f x 的图象向左(0)a >、向右(0)a <平移||a 个单位得到，属于基础题. 3.用数学归纳法证明：“()221*111,1n nn a a a a a n N a++-++++=≠∈-L ”，在验证1n =成立时，左边计算所得结果是（ ） A. 1B. 1a +C. 21a a ++D. 231a a a +++答案及解析：3.C 【分析】根据1n =，给等式左边赋值，由此得出正确选项.【详解】当1n =时，左边为11211a a a a +++=++，故选C.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题. 4.设函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移m (m >0)个单位，向右平移n (n >0>个单位，所得到的两个图象都与函数sin(2)6y x π=+的图象重合m n +的最小值为（ ） A.23π B.56π C. πD.43π 答案及解析：4.C 【分析】求出函数sin 2()y x x R =∈的图象分别向左平移(0)m m >个单位，向右平移(0)n n >个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数sin(2)6y x π=+的图象重合，可分别得关于m ，n 的方程，解之即可． 【详解】解：将函数sin 2()y x x R =∈的图象向左平移(0)m m >个单位，得函数sin 2()sin(22)y x m x m =+=+， Q 其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合，sin(22)sin(2)6x m x π∴+=+，226m k ππ∴=+，k z ∈，故12m k ππ=+，k z ∈，()k ∈Z ，当0k =时，m 取得最小值为12π．将函数sin 2()y x x R =∈的图象向右平移(0)n n >个单位，得到函数sin 2()sin(22)y x n x n =-=-，Q 其图象与sin(2)6y x π=+的图象重合，sin(22)sin(2)6x n x π∴-=+，226n k ππ∴-=+，k z ∈，故12n k ππ=--，k z ∈，当1k =-时，n 取得最小值为1112π， m n ∴+的最小值为π，故答案为：C ．【点睛】本题主要考查诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题． 一、填空题 本大题共12道小题。
上海市金山中学2018-2019学年高一下学期3月月考数学试题
13．定义运算 ，若 ， ， ，则 __________．
14．要使 有意义，则实数 的取值范围是__________.
15．在某次考试时，需要计算 的近似值，小张同学计算器上的键 失灵，其它键均正常，在计算 时，小张想到了可以利用 来解决，假设你的计算器的 和 键都失灵，请运用所学的三角公式计算出 ___________（列出相关算式，不计算答案）.
21．通常用 、 、 分别表示 的三个内角 、 、 所对的边长， 表示 的外接圆半径.
（1）如图，在以 为圆心，半径为 的圆 中， 、 是圆 的弦，其中 ， ，角 是锐角，求弦 的长；
（2）在 中，若 是钝角，求证： ；
（3）给定三个正实数 、 、 ，其中 ，问 、 、 满足怎样的关系时，以 、 为边长， 为外接圆半径的 不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在 存在的情况下，用 、 、 表示 .
则取射线 一点 ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数值的计算，确定象限是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
8．
【解析】
【分析】
先得到终边在第二象限角平分线上的一个角为 ，再利用周期得到答案.
【详解】
终边在第二象限角平分线上的一个角为
终边在第二象限角平分线上的所有角 的集合用弧度制表示为
故答案为：
5．－
【解析】试题分析：由已知， ，所以由余弦函数的定义得
考点：1.三角函数的定义；2.指数、对数运算.
6．
【解析】
【分析】
直接利用扇形面积公式得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，属于简单题.
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上海市金山中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题
(考试时间：120分钟 满分：150分）
—、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则-律得零分。
1. 在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为 .
2.在数列{n a }中，3211==+n
n a a a ,则=3a . 3.已知角α的终边上一点P 的坐标为)0>)(4,3(t t t -，则=
+ααcos sin 2 . 4.在△ABC 中，若C sin <cos sin 222B A +，则△ABC 的形状是 . 5.若5
4)sin(-=+απ，其中α是第二象限角，则=-)2cos(απ . 6.设),2(,sin 2sin ππ
ααα∈-=,则)2tan(απ-的值是 .
7.已知{n a }是等差数列，n S 是它的前n 项和，且
5738=a a ，则=515S S . 8.函数2
cos 2sin x x y +=在)2,2(ππ-内的单调递增区间为 . 9.在数列{n a }中，若n n n a a a 2
1,111=+=+，则=+++∞→)...(lim 221n n a a a . 10.数列{n a }的前n 项和为n S ，己知5
11=a ,且对任意正整数n m ,,都有n m n m a a a ⋅=+，若a <n S 恒成立，则实数a 的最小值为 . 11.数列{n a }的前n 项和为n S ，若)(2
cos 1*∈+=N n n n a n π，则{n a }的前2019项和=2019S .
12.已知数列{n a }满足)(2||,>,11121*+∈=-=N n a a a a a n n n ，若数列{n a }单调递减，数列
{n a 2}单调递增，则数列数列{n a }的通项公式为 . 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸
的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
13. 利用数学归纳法证明“),1(11...1212*++∈≠--=++++N n a a a a
a a n n ，在验证1=n 成立时，等号左边是
A.1
B. a +1
C. 21a a ++
D. 3
21a a a +++ 14.设函数)(2sin R x x y ∈=的图像分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图像都与函数)62sin(π
+=x y 的图像重合n m +的最小值为
A. 32π
B. 6
5π C. π D. 34π 15.已知函数|)1tan(|)(-=x ar x f ,若存在],[,21b a x x ∈，且21<x x ，使)()(21x f x f ≥成立，则以下对实数b a ,的推述正确的是
A. 1<a B . 1≥a C . 1≤b D. 1≥b
16.已知数列{n a }是各项均为正数且公比不等于1的等比数列)(*∈N n ，对于函数)(x f y =，若数列{)(ln n a f }为等差数列，则称函数)(x f 为 “保比差数列函数”。
现有定义),0(+∞上的如下函数： ①x
x f 1)(=
；②2)(x x f =；③x e x f =)(；④x x f =)(，则为“保比差数列函数”的所有序号为
A.①②
B. ③④
C. ①②④
D.②③④
三、解答题(本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分. 已知等差数列{n a }中，15,731-=-=S a .
(1)求数列{n a }的通项公式n a ；
(2)求数列{n a }的前n 项和n S .
18.(本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2〉小题满分8分. 已知函数x x x f 2sin 22sin )(-=.
(1) 求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间：
(2) 求函数)(x f 在区间]2,0[π上的嫩大值及)(x f 取最大值时x 的集合.
19.(本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{n a }的首项)(1
23,5311*+∈+==N n a a a a n n n . (1)求证：数列{n a }为等比数列；
(2)记n n a a a S 1...1121+++=
，若100<n S ’求最大正整数n .
20. (本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设等比数列{n a }的首项为21=a ,=2,公比为q(q 为正整数),且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{n b }满足),(023)(22*∈∈=+
+-N n R t b n b t n n n . (1)求数列{n a }的通项公式;
(2)试确定t 的值，使得数列{n b }为等差数列：
(3)当{n b }为等差数列时，对每个正整数是k ，在k a 与1+k a 之间插入k b 个2,得到一个新数列{n C }，设n T 是数列{n C }的前n 项和，试求满足13+=m m c T 的所有正整数m .
21. (本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数R x x f y ∈=),(的值域为A ，1)tan 74(2)(+-=x x x g θ.
(1)当)sin()(ϕ+=x x f 的为偶函数时，求ϕ的值；
(2) 当)3
2sin(3)62sin()(ππ+++=x x x f 时, )(x g 在A 上是单调递增函数，求θ的取值
范围； (3)当)sin(...)sin()sin()(2211n n x a x a x a x f ϕϕϕϕϕϕ++++++=时，（其中)1,2,3,...n i 0,>,1=∈ϕR a )，若0)2()0(22≠+ωπf f ，且函数)(x f 的图像关于点)0,2(π对称，在π=x 处取 得最小值，试探讨ω应该满足的条件.
金山中学2018 学年第二学期高一年级数学学科期末考试
参考答案
一、填空题：
1.2
2.18
3.-1
4.钝角三角形
5. 53
- 6. 3
7. 521 8.]2,23[ππ- 9. 32 10. 41
11.1009 12. 31)2(--n
二、选择题：
13.C 14.C 15.A 16.C
三、解答题：
17.
18.
19.
20.
21.。