二次根式及性质知识点
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
二次根式的概念、性质知识点及练习
二次根式的概念、性质1.二次根式的概念：（1）一般地，把形如式子a（a≥0）的式子叫做二次根式。
“”称为二次根号，二次根号下面的“a”叫做被开方数。
知识拓展：①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意a≥0是a为二次根式的前提条件。
②二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，虽然9=3，但是3是9的计算结果，因此9是二次根式。
③“”的根指数是“2”，一般把根指数“2”省略，不要误把“”的根指数当作“0”。
④形如b a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积，注意当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。
特别提示：判断一个式子是不是二次根式，看其是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数。
二者缺一不可。
（2）二次根式有意义的条件：当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a在实数范围内没有意义。
知识拓展：①如果一个式子中有多个二次根式，那么每个二次根式的被开方数都必须为非负数才能保证这个式子有意义。
②在解决关于代数式有意义的问题时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为零。
（3）二次根式的非负性：在二次根式中，被开方数一定是非负数，并且二次根式a≥0，即非负数。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
二次根式化简一般步骤：①把带分数或小数化成假分数；②把开方数分解成质因数或分解因式；③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；④化去根号内的分母，或化去分母中的根号；⑤约分。
二次根式化简的基本技巧和方法：1）根号下是一个正整数：将该数字拆分成一个完全平方数和某个数字的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。
2）根号下是一个分数：将该分数拆分成一个分数的平方数和某个数字的乘积，然后将分数开根号到根号外面。
3）根号下有数字和字母：这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
(完整版)八年级下册数学--二次根式知识点整理
二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。
如：-2x＞4，不等式两边同除以-2得x＜-2。
不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。
如｛3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）；｜a｜= - a （a＜0）一、二次根式的概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”。
如25 可以写作 5 。
（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
（3）式子 a 表示非负数a的算术平方根，因此a≥0， a ≥0。
其中a≥0是 a 有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a≥0这一隐含条件。
（5）形如b a （a≥0）的式子也是二次根式，b与 a 是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数，例如832 可写成8 23，但不能写成 2232 。
练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1） 6 ；（2）-18 ；（3）x2+1 ；（4）3-8 ；（5）x2+2x+1 ；（6）3｜x｜；（7）1+2x （x＜-12）X≥-2X＜5的解集为-2≤x＜5。
二、当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x ；（2）4x 2+4x+1二、二次根式的性质：二次根式的性质符号语言文字语言应用与拓展注意a （a ≥0）的性质a ≥0 （a ≥0）一个非负数的算术平方根是非负数。
（1）二次根式的非负性（a ≥0，a ≥0）应用较多，如：a+1 +b-3 =0，则a+1=0，b-3=0，即a= -1，b=3；又如x-a +a-x ，则x 的取值范围是x-a ≥0，a-x ≥0，解得x=a 。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
专题01 二次根式的有关概念和性质(知识点串讲)(解析版)
专题01 二次根式的有关概念和性质知识网络重难突破知识点一 二次根式的有关概念 二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】 1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
【典型例题】1．（2018·黔西县期中）下面式子是二次根式的是（ A ） A 21a +B 333C 1-D ．12a 2．（2019·朝阳市期中）下列各式中不是二次根式的是（B ） A 21x +B 4-C 0D 2()a b -3．（2018·48n n 是（ B ） A ．6B ．3C ．48D ．24．（2018·26的值在（ D ） A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间5．（2019·虹桥区期末）在平面直角坐标系中，点M （a ，b ）的坐标满足（a ﹣3）22b -0，则点M 在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（2019·孝感市期中）已知三角形的三边长为a 、b 、c ，如果2(5)12130a b c -+--=，则△ABC 是（ C ）A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形7．（2019·滨州市期中）下列式子：①13；②3-；③﹣21x +；④327；⑤2(2)-，是二次根式的有（B ）A ．①③ B ．①③⑤C ．①②③D ．①②③⑤8．（2019·汕头市期末）若211a aa a--=，则a 的取值范围是（ D ） A ．0a >B ．1a ≥C ．01a ≤≤D ．01a <≤9．（2019·抚顺市期末）若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是( B ) A ．x ＞15B ．x≥15C ．x≤15D ．x≤510．（2018·德州市期末）使代数式34x x --有意义的自变量x 的取值范围是（C ） A ．x≥3B ．x ＞3且x≠4C ．x≥3且x≠4D ．x ＞311．（2017·东胜市期末）方程有两个实数根，则的取值范围（B ）A ．B ．且C ．D ．且12．（2018·泉州市期中）若a ab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ A ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 二次根式的性质 二次根式的性质：1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
最新人教版八年级数学下册 二次根式知识点归纳及题型总结
最新人教版八年级数学下册二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子叫做二次根式。
2.二次根式的双重非负性：$\sqrt{a}\geq 0$，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
3.二次根式的同底同指数相加减：$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$，$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}$。
4.积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$。
5.商的算术平方根的性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$b\neq 0$）。
6.若$a\geq 0$，则$\sqrt{a^2}=|a|$。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A。
$-3$；B。
$x$；C。
$x^2+1$；D。
$x-1$2.$x$取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）$\sqrt{-15+x}$；（2）$\frac{1}{\sqrt{x+4}}$3）$\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1}$；（4）$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$5）$3-\sqrt{x+1}$；（6）$\frac{2x}{\sqrt{x+1}}$7）若$x(x-1)=\frac{1}{4}$，则$x$的取值范围是（）。
二次根式的概念和性质
【答案】
2 ，9 5
【解析】
2a 2b c 2a 2b c 4 2 5b c 5a 5b c 5a 25 5
3
，
3 12 3 3 3 12 9 36 3 6 9
12、 （2013 初二上期末大兴区）若最简二次根式
a _________
1 1 5 1 5； 16 4 16 4
4
2
4， ；
7、估计 88 的大小应( ) A．在 9.1～9.2 之间 B．在 9.2～9.3 之间 C．在 9.3～9.4 之间 D．在 9.4～9.5 之间 【答案】 C 【解析】 设 88 9 x( x是小数部分) ；则有： 9 x 88 ，即： x2 18x 7 ，得 18x 7 ， x 0.38 ，
二次根式比较大小的方法 （1） a b 0 a b （2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比 较． （3）估算法 （4）分子有理化 （5）倒数法 七、二次根式的乘除 二次根式的乘除法
第 2 页，共 17 页
二次根式
二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ） ． 二次根式的除法法则：
3 2 2 a 4与 6a 2 1 是同类二次根式，则 2 3
【答案】 1 【解析】 该题考查的是二次根式． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列： a2 4 6a2 1 解得： a 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点：（1 ）平方根与立方根②(禹)2 =a (a>0)a.平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。
用±V a表示。
例如：因为（±5）2 =25，所以25的平方根为±（25=±5。
b.算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。
0的算术平方a (a >0)J a2 =|a|= f 0 (a= 0)[-a (a c 0)根为0。
用J a表示a的算术平方根。
④J ab = 7a V b (a>0, b>0)例如：3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。
3 —c.立方根的概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a6 =芈(a A O, bXO)⑤ V a V ac.二次根式的乘除法表示。
例如：因为33 =27，所以27的立方根为V27 =3。
①扁尿=届（a>0，b> 0）d.平方根的特征：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e.立方根的特征：①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
J b f b〒「一(a>0, b>0)② V a V ad.最简二次根式的标准：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e.同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
④= -V a。
例如：恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0,—1。
（2 ）二次根式a.二次根式的概念：形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0 ）。
f.二次根式的加减法运算法则：在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算,并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不变）为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最简）h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后,运算时只有同类二次根式才能合，合并同类二次根式之后的式子作其结果不再含根号的因式。
i.形如扁的式子，利用（苗）2 =a，分子、分母同乘以 T a 得有理数实数r 正整数然数或ii.形如a±用±b jy的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以a 斗屈或（a V X 斗b j y ）得2 或a-bc(a 坂刁 b j y)注意：分子、x-b 2y无理数正 L 负 ②按正负分类正实数f 正分数数分数有限小数或无限循墩小［负分数无理数金无限不循环小数无理数正有理数 「正整数 ［正分数 0。
分母同时所乘以的式子必须不为（X -y ）（ J x -石） （坂+ 77）（坂-77）正无理数-y=長-石，这样运算不一定正确,因为- J ?有可能为 ②化去分母中的根号, 有时通过约分来解决 X — y 厂 厂(xHy 且XH0, yHO ) 如：J x ±J y (低+ J y)V X ± V y=T x 斗（3）实数与数轴：a. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
b. 实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
c. 实数的分类：①按实数的定义分类负实数负有理数 负无理数d. 实数与数轴上的点之间的关系：实数与数轴上的点是 对应的。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是 无理数。
数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来每一个实数都可以用数轴上的点 来表示。
e. 常见的几种无理数：①根号型：如（2、刘4等开方开不尽的数。
1.21121112……等无限不循环小数。
兀（圆周率）的数。
② 构造型：如 ③ 化简后含有 ④ 在今后学习中还会遇到三角函数型等。
f.实数比较大小的几种常用方法：①数轴比较法：将两实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的数大，表示在 同一点上的两个数相等。
②差值比较法：设 a 、b 是任意两实数，若 a — bAO ，贝U a>b ；若a — b<0，则 a<b ；若 a —b=0，则 a=b 。
例4. 计算下列各式:③商值比较法：设 a 、b 是两个正实数>1, 则a Ab(1)2(2)(A Z5)2=1,<1,(-J1勺需注：除此以外还有平方法等方法。
【典型例题】例1.判断下列说法是否正确：(1) (2)4的平方根是2 —25的平方根是一5 2(七)的算术平方根是8(7)解析: (4) —0.027的立方根是0.3邑±227的立方根是 3解析: 要作出正确判断，必须弄清平方根、算术平方根的概念和立方根的概念。
例2.要使下列各式有意义，字母x 的取值必须分别满足什么条件?(1) J3-4X/ 2(2) V —XJ x +1 + U 2 -x^3 - X(4) X —1二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为0，对于含有多个表达式的式子需同时让每一个式子有意义，此表达式才有意义。
解析: 例3.已知Ja-b +3与|a +b-5|互为相反数，求a 2 +b 2的值。
(屁-4需)—-4705)(1)由公式©£)2=*(a^O )可以直接得到。
/ 1^、n n I n根据积的乘方法则(ab) =a可以求解。
利用j a T b(a > 0, b > 0)进行乘法计算。
(4 )利用V a 47= J ab (a>0, b>0)进行乘法计算，但应知道 y>0, x>0。
T af a / * C , c 、 =上(a ", b A 0)(5)利用U b ' b进行计算。
(6)和(7)应先对式子中的每个二次根式进行化简，然后对同类二次根式进行 合并。
例5.化简下列各式:(2)J (x-2)2(XC2)(3) J X 2-8X + 16(4 )412a 4b 4c(6) 話(a>0, b>0)解析：（1 ） （ 2 ） （ 3 ）都是形如 V a 2的化简，关键是正确理解和使用 2 a =- 斗 3b 13 b =—解得J6Cl a (a >0) 荷孙L a (a <0) 例7.比较^3 - J2与J 2 -1的大小。
(4)运用 vab = j a J b (a >0, b > 0）对二次根式进行化简时尽可能将被开方数的因式写成平方的形式。
（5） （6）去掉分母中的根号，常用的方法是使分母化为 J a 2 （或 掐2）的形式。
5-辰=2b + 273 - a 例6.已知a 、b 均为有理数，并且满足等式：3，求a 、b的值。
2 5-屆=2b +-J 3 -a 解析：因为 3所以 2 (a -2b +5)+(-a -)73 =0 3 因为 a 、b 均是有理数5+a —2b 与一a所以 23都是有理数fe+a-2b =0j-a -2=0 所以有I 3分析：比较丿3—丿2与J 2 -1的大小，可先将各数的近似值求出来,3-42* 1.732-1414 = 031842-1^ 1414-1 = 0414再比较大小，本题还有一种方法“分子有理化”73_占=（"-应）（方 + 72）解：•(72 +1)例8.观察下列各式及其验证过程:2+彳3 +鲁233 /(2^2 ) + 2 ¥ 22-1(2(22-1) + 2 V 22-1验证:(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意自然数，且n>2)表示的等式，并给出证明。
证。
验证:3J l严3-3)+3 /3(32-1)+33—132—1(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路猜想 15的变形结果并进行验【模拟试题】（答题时间：80分钟）一.填空题1.计算H/2|= 12.在二次根式: (1 )^/12；_ 2J? ；（3）V 3 ；（4）/27 中，与是同类二2.若代数式J1 - 2x有意义，则x的取值范围是次根式的是（A. （1）和（（3）和（4）13.下列实数中,)3)B.(2) 和（3） C. (1)和(4) D.无理数是（）一+7183.计算：寸2 -1 A.3.141B.2 C.4.在实数范围内分解因式: X2-2U3X+3 =14.下列各组数中, 互为相反数的是（5.若x<5，则-5)1-2禾口 -A. 2B. 1一21与2C.-2 与J (-2)2D.6.绝对值不超过3的无理数有（只需写出3个即可）。
7.已知a= _ b _ 1罷-2’嘉+2，则嘉匚产貯的值为15.若a为实数，下列代数式中，一定是负数的是（8.实数a、b、c在数轴上的对应点如图。
A. -a2B. -(a + O?C. -J a2D. —(I—a|+1) a+|a +b|-Jc2-|b-c|=16.如图，数轴上表示1, V2的对应点分别为A、点B关于A对称点为C,则点C所表示的数是（A. 1 B.1-429.已知(a-b +1)272a-b+4 =0，计算ab= C. 2-72 D. 72-210. 的整数部分为a,小数部分为b,则a= ,b=二.选择题11.在二次根式娱'殛肯，K，护中，最简二次根式共有（17.下列命题中正确的是（A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.如果a、b同号，则B.如果a、b异号，则C.如果a 、b 异号，则、丿-ab 有意义（2）JE+鲁占（0-< 舟）D.如果a 、b 同号，贝y -Jab 无意义 23.比较两数的大小:18.下列计算正确的是（ A. a L（1） -AZ6 和-6'7 ；B .掐十 J b = J a +b （2）3-6/5和3-5左。
C （J a + T b ）2=a +bD.24.化简求值:19.若x 为任意实数，下列各式一定有意义的是（a T B + bVa （ 4b 1 ）亠 V b爲十 J b T Ob -b 爲十 J ba-b ，其中 a=3-V5, b=3 +^5。
A. J X 2-3B.25.解不等式或方程:（1）73x + 1 c 2^2+2x ；D.J x 2 +1 75x = 尸 X + 2 （2）J 5-v 3。
20.把£根号外的因式移入根号内等于（ A. V x B. C. -V x D.三、解答题 21.在实数范围内分解因式26. 某公司向银行贷款 20万元资金，约定两年到期时一次性还本付息，利息是本金的12%，该公司利用这笔贷款经营，两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余 6.4万元，若在经营期间每年比上一年资金增长百分数相同，试求这个百分数。