函数的概念及其表示第二课时参考教学方案
《函数的概念及其表示（第二课时）》
教学设计
教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．
PPT课件．
一、复习引入
问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．
师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．
引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）
二、新知探究
1．研读课本，理解区间的概念
（1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (2
3
)的值；
（3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．
师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示
教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示．
设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．
例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3
v 3； （3）y ＝
x 2；
（4）m ＝n 2
n
．
师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．
预设的答案：
解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同，
但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x（x∈R）不是同一个函数．
（1）f(x)＝1
4x＋7
；（2）f(x)＝1－x＋x＋3－1．
设计意图：考查函数定义域的求解．
2．已知函数f(x)＝3x3＋2x，
（1）求f（2），f(－2)，f（2）＋f(－2)的值；
（2）求f(a)，f(－a)，f(a)＋f(－a)的值．
设计意图：通过函数求值问题发现函数的一些性质，可为后面学习函数性质积累素材．3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：
（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2；
新课程《3.1 函数的概念及其表示》教学设计(2课时)
3.1.1 函数的概念 1.通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型; 2.用集合与对应的思想理解函数的概念; 3.理解函数的三要素及函数符号的深刻含义; 4.会求函数的定义域。 1.教学重点：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：函数的概念及符号()y f x =的理解。 一、函数的概念：设A 、B 是 的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：y=f(x) x ∈A ． x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x ∈A }叫做函数的 . 二、区间 三、函数的三要素： 、 、 。 四、判断函数相等的方法： 、 。 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学习的函数的定义是什么？ 定义 名称 符号 数轴表示 {|}x a x b ≤≤ 闭区间 [a,b] {|}x a x b << 开区间 (a,b) {|}x a x b ≤< 半开半闭区间 [a,b) {|}x a x b <≤ 半开半闭区间 (a,b] {|}x x a ≥ {|}x x a > {|}x x b < {|}x x b ≤
2.回顾初中学过哪些函数？ 二、探索新知 探究一函数的概念 问题1. 某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。 1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？ 问题2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3 如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？
《函数的概念及其表示》教案完美版
《函数的概念及其表示》教案 第一课时： 1.2.1 函数的概念（一） 教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： 1.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例： A .一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B .近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.（见书P16页图） C .国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表. （见书P17页表） ②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B → ③定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）. ④讨论：值域与B 的关系？构成函数的三要素？ 一次函数(0)y ax b a =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的定义域与值域？ ⑤练习：2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求223,{1,0,1,2}y x x x =-+∈-值域. 2.教学区间及写法： ① 概念：设a 、b 是两个实数，且aa}、{x|x ≤b}、{x|x 3.2 函数的表示方法（教案）（2课时）-【中职专用】高一 数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册） 【教学目标】 1.了解函数的定义和基本特性； 2.掌握函数的表示方法，包括显式表示法和隐式表示法； 3.了解函数的图像和函数的性质。 【教学重点】 1.函数的定义和基本特性； 2.函数的表示方法。 【教学难点】 1.隐式表示法的定义和应用； 2.函数的图像和性质的掌握。 【教学方法】 1.讲授法：教师针对学生的基础知识和现状，详细讲解函数的定义和表示方法，帮助学生理解函数的概念和特性。 2.练习法：通过实际的例子，进行练习和演示，帮助学生熟悉和掌握函数的表达。 3.探究法：通过课堂讨论、小组合作等方式，引导学生自主学习和自主探究，掌握函数的图像和性质。 【教学过程设计】 第一课时 一、引入 教师通过给学生展示一些具有明显规律的图像，并提出一些问题，引导学生进入本课的教学内容。 二、概念解释 1.函数的概念：教师向学生介绍函数的概念，并通过具体的例子说明函数的定义。 2.自变量和因变量的概念：教师向学生介绍自变量和因变量的定义，并举例说明。 3.函数符号的表示：教师向学生介绍函数的符号表示，并通过示意图说明。 三、函数的表示方法 1.显式表示法 2.隐式表示法 四、函数图像 1.函数图像的定义：教师向学生介绍函数图像的概念，并通过具体的例子说明函数图像。 2.函数图像的性质：教师向学生介绍函数图像的性质，并通过具体的例子说明函数图像的基本规律。 五、作业布置 第二课时 一、作业检查 教师向学生布置作业，并对学生的作业进行检查，帮助学生掌握函数的基本知识。 二、隐式表示法 《3.1-函数的概念及其表示》课堂教学教案教学设计(统编人教A 版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 3.1.2 函数的表示法 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第2课时，本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用，进一步加深对函数概念的理解。 课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列 表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用． 课程目标 学科素养 A.在实际情景中，会根据不同的需要选择 恰当的方法（解析式法、图象法、列表 法）表示函数； B.了解简单的分段函数，并能简单地应 用； 1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念； 2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。多媒体 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学过哪几种表示函数的方法? 【答案】表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 如,s=60t 2，A=r 2，S=2,y=ax 2+bx+c(a ≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2. （2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3. （3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题4. 二、探索新知 例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x ∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y 元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x ∈｛1,2,3,4,5｝。 用列 表法可将y=f(x)表 示为 笔记本 数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将y=f(x)表示为 思考1：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？ 中职教育数学《函数的概念及其表示法》教 案 一、教学目标 1. 理解函数的定义和概念； 2. 掌握函数的表示法及其应用； 3. 能够用图像和公式表示函数。 二、教学内容 函数的概念及其表示法 三、教学过程 Step 1 引入 教师可以通过一个简单的例子引入函数的概念，如身高和体重的关系。身高是自变量，体重是因变量，通过身高可以确定体重，这就是一个函数关系。 Step 2 函数的定义 函数是一种关系，它使一个集合中的每一个元素，都与另一个集合中的唯一一个元素相对应。函数的定义可以用自然语言描述，也可以用数学符号表示。 Step 3 函数的符号表示 函数可以用多种符号表示，包括函数定义域、值域、函数图像、函 数公式等。 3.1 函数定义域 函数定义域指自变量的取值范围，一般用符号表示。例如，对于函 数y = f(x)，定义域可以表示为x ∈ R。 3.2 函数值域 函数值域指因变量的取值范围，一般用符号表示。例如，对于函数 y = f(x)，值域可以表示为y ∈ R。 3.3 函数图像 函数图像是用平面直角坐标系表示函数的一种方法，可以直观地观 察函数的性质。通过绘制函数的图像，可以分析函数的单调性、奇偶 性等特征。 3.4 函数公式 函数公式是用数学符号表示函数的一种方法，通过函数公式可以直 接计算函数在特定自变量取值下的因变量值。例如，y = f(x)可以表示 一个函数。 Step 4 函数的应用 函数在实际问题中有很多应用，如经济学、物理学、生物学等领域。教师可以通过一些实际问题引导学生分析和解决问题，培养学生运用 函数概念的能力。 Step 5 练习与巩固 教师可以设计一些练习题，帮助学生巩固函数的概念和表示法。例如，给定一个函数的图像或函数公式，让学生确定定义域、值域等。 四、教学资源 1. 平面直角坐标系； 2. 函数图像绘制工具； 3. 练习题。 五、课堂总结 在本节课中，我们学习了函数的概念及其表示法。通过掌握函数的定义、函数的符号表示和函数的应用，我们可以更好地理解和运用函数概念。 六、课后作业 1. 熟读课本相关内容； 2. 完成课后练习题。 七、教学反思 本节课采用了引入、定义、符号表示、应用、练习和总结等多种教学方法，能够激发学生的兴趣，提高学习效果。在教学过程中，教师需要注重引导学生主动思考和解决问题，培养学生的问题分析和解决 3.1.2 分段函数（第二课时） 【教学目标】 1．知识与技能 （1）掌握分段函数的定义 （2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值 （3）会运用分段函数的知识解决实际问题 2．过程与方法 （1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。 （2）通过教师引导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。 3．情感、态度与价值观 培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。 【教学重点、难点】 （1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题 （2）难点：建立实际问题的分段函数关系 【教学方法】 讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习函数的定义及表示方法 1、函数的定义 2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法 二、基础知识 分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数. 思考：分段函数对于自变量x 的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？ （注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应的解析式来表示.） 三、基础自测 1.函数()f x = ） A.[1,1)(1,)-⋃+∞ B.(1,)+∞ C.(1,)-+∞ D.(1,1)(1,)-⋃+∞ [解析]:由函数解析式得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩ ，解得1x ≥-，且1x ≠. 故函数的定义域为[1,1)(1,)-⋃+∞，选A. 2.若2(0)()(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩ ，则[(2)]f f -=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 《函数的概念及其表示（第二课时）》 教学设计 教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义． PPT课件． 一、复习引入 问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念． 师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础． 引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念） 二、新知探究 1．研读课本，理解区间的概念 （1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (2 3 )的值； （3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值． 师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示 教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示． 设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用． 例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3 v 3； （3）y ＝ x 2； （4）m ＝n 2 n ． 师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助． 预设的答案： 解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同， 函数的概念(二) 本节课选自?普通高中课程标准数学教科书-必修一?〔人教A版〕第三章?函数的概念与性质?，本节课是第1课时。 函数的根本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻. 高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法那么、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题. 学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示. ：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：求函数的值域。 多媒体 思考2：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的值域时为什么分0a >和0a <两种情况？ 提示：当a >0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≥4ac －b 2 4a }． 当a <0时，二次函数的图象是开口向下的抛物线，观察图象得值域为{y |y ≤4ac －b 2 4a }． 例1.判断正误(对的打“√〞，错的打“×〞) (1)f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 是同一个函数．( ) (2)假设两个函数的定义域与值域都相同，那么这两个函数是同一个函数．( ) (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一个函数．( ) [解析] (1)f (x )＝x 2 x 与g (x )＝x 的定义域不相同，所以不是同一个函数． (2)例如f (x )＝3x 与g (x )＝5x 的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数． (3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 的定义域都是R ，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数． 例2 (2021·江苏启东中学高一检测)以下图中，能表示函数y ＝f(x)的图象的是( ) [解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，那么直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数． 例3．假设函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，那么其值域为( A ) A ．{－2,0,4} B ．{－2,0,2,4} 1.2.2 函数的表示方法（第二课时） 教学目标：1.进一步理解函数的概念； 2.使学生掌握分段函数及其简单应用。 教学重点：分段函数的理解 教学难点：分段函数的图象及简单应用 教学方法：自学法和尝试指导法 教学过程： （Ⅰ）引入问题 1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？ 2．如何作出函数y x =的图象？ （II ）讲授新课 例1．作出函数y x =的图象和1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。 注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。 例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为： ()(](](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=) 100,80x (400)80,60x (320)80,60x (240)40,20x (160)20,0x (80y , 画出这个函数的图象。 说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。 例3．（教材24P 例6） 例4．作出下列各函数的图象： （1）1(01)()(1) x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩； （2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩ 对第（2）小题的函数，试根据a 的取值讨论方程()f x a =的根的个数问题。 练习： 1．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ 中，若()3f x =，则x 的值为 。 2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩ ，则{[(1)]}f f f -= 。 作业：课本P 28习题1.2第10、11、12、13题。 1.2.2 函数的表示方法（第三课时） 教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法； 《5.2.1 三角函数的概念（第二课时）》 教学设计 1．掌握三角函数值的符号； 2．掌握诱导公式一，初步体会三角函数的周期性． 教学重点：函数值的符号、诱导公式一． 教学难点：对诱导公式的发现与认识． PPT课件． 资源引用：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号、【知识点解析】对三角函数值符号的理解 （一）创设情境 引导语：前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？ 预设的师生活动：先由学生发言．一般而言，学生会直接把问题指向“图象与性质”．教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性： 预设答案：因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．设计意图：明确研究的问题和思考方向．一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导． （二）新知探究 1．三角函数值的符号 问题1：由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正 弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？ 预设的师生活动：由学生独立完成． ★资源名称：【知识点解析】三角函数值在各象限的符号 ★使用说明：本资源展现“三角函数值在各象限的符号”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合于教师课堂进行展示． 注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用． 预设答案：用集合语言表示的结果是： 当α∈{β|2k π＜β＜2k π+π，k ∈Z }时，sin α＞0；当α∈{β|2k π+π＜β＜2k π+2π，k ∈Z }时，sin α＜0；当α∈{β|β=k π，k ∈Z }时，sin α=0．其他两个函数也有类似结果． 设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成．用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等． 例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是 ⎩ ⎪⎨⎪⎧sin θ＜0，①tan θ＞0．② 预设的师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明． 预设答案：先证充分性． 因为①式sin θ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的负半轴重合；又因为②式tan θ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立． 设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力． 《函数的概念及其表示》教学设计 一、内容和内容解析 1.内容：函数的概念． 2.内容解析 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具．在高中阶段，函数不仅贯穿数学课程的始终，而且是学习方程、不等式、数列、导数等内容的工具和基础，在物理、化学、生物等其他学科中也有广泛应用；在高等数学中，函数是基本数学对象；在实际应用中，函数是数学建模的重要基础．学生在初中学习了函数概念，函数定义采用“变量说”．高中阶段要建立函数的“对应关系说”，它比“变量说”更具一般性．与初中的“变量说”相比，高中用集合语言与对应关系表述函数概念；明确了定义域、值域，引入抽象符号f x （）． 函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x ,数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”和“唯一确定”．集合A，B及对应关系f是一个整体，函数是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：用集合语言与对应关系建立函数概念． 二、目标和目标解析 1.目标 （1）建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念． =（） 的含义，能用函数的定义刻画简单具体的函数．（2）理解y f x （3）在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养． 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）学生从具体实例出发，能在初中“变量说”的基础上，进一步抽象对应关系、定义域与值域等三个要素，构建函数的一般概念． （2）学生能在确定变量变化范围的基础上，通过解析式、图象、表格等形式表示对应关系，理解函数对应关系的本质，体会引入符号 f 表示对应关系的必要性．（3）学生能在不同实例的比较、分析基础上，归纳共性进而抽象出函数概念，体验用数学的眼光看待事物，发展数学抽象素养． 第2课时 函数的最大(小)值 [课程目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数,体会求函数最值是函数单调性的应用之一；3.会求一些简单函数的最值． 知识点一 函数的最大(小)值的定义及几何意义 设y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足： 【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)＝－x 2 ＋1≤2总成立,则f(x)的最大值是2.( × ) (2)函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素.( √ ) (3)函数f(x)的值域是(0,＋∞),则函数f(x)的最小值为0.( × ) (4)若函数f(x)在区间[a,b]上具有单调性,则f(a)或f(b)是函数f(x)的最大值或最小值．( √ ) 【解析】 (1)函数f(x)的定义域中不存在x 0,使f(x 0)＝2,所以2不是f(x)的最大值． (2)函数的最大值和最小值也是函数值,所以函数的最大值或最小值一定是函数值域中的元素． (3)函数的值域中不包含0,所以0不是函数的最小值． (4)根据函数最大(小)值的定义知说法正确． 知识点二 求函数的最值的常用方法 1．图象法：作出y ＝f(x)的图象,观察最高点与最低点,最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性 (1)若判断y ＝f(x)在区间[a,b]上单调递增,则y max ＝__f(b)__,y min ＝__f(a)__． (2)若判断y ＝f(x)在区间[a,b]上单调递减,则y max ＝__f(a)__,y min ＝__f(b)__． (3)若y ＝f(x)是定义在区间(a,b)或R 上的连续函数,则函数y ＝f(x)的最大(小)值要根据具体函数而定． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的最大(小)的那个． 【思辨】 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y ＝－2x ＋3在(2,5]上有最小值－7,没有最大值．( √ ) (2)函数y ＝1x 在[1,2]上有最大值1,最小值1 2 .( √ ) (3)函数y ＝x 2 ＋2x ＋3的最小值为2.( √ ) (4)函数y ＝x 2＋2x ＋4(x∈[－3,－2])的最小值为2.( × ) 【解析】 (1)函数y ＝－2x ＋3在(2,5]上单调递减,所以当x ＝5时,取得最小值－7,没有最大值． (2)函数y ＝1 x 在[1,2]上单调递减,所以在定义域区间的端点取得最值． (3)由二次函数的图象或单调性知,函数的最小值为2. (4)由函数y ＝x 2＋2x ＋4(x∈[－3,－2])图象知,函数在区间的右端点取得最小值,最小值为4. 利用函数的图象求最值 例1 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋3,求f(x)在区间[0,2]上的最小值g(a)和最大值h(a). 解：f(x)＝(x －a)2 ＋3－a 2 ,对称轴为直线x ＝a, f(a)＝3－a 2 ,f(0)＝3,f(2)＝7－4a, 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 第2课时函数的表示方法 【课程标准】 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法. 3.会用解析法及图象法表示分段函数． 4．给出分段函数，能研究有关性质． 【知识要点归纳】 1.函数的三种表示方法 注意： 2.分段函数 （1）分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的；各段函数的定义域的交集是． 注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． (2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画． 3.求函数解析式的方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)已知f (g (x ))＝h (x )，求f (x )，常用的有两种方法： ①换元法，即令t ＝g (x )，解出x ，代入h (x )中，得到一个含t 的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围. ②配凑法，即从f (g (x ))的解析式中配凑出“g (x )”，即用g (x )来表示h (x )，然后将解析式中的g (x )用x 代替即可. (3)方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出 另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )． 【经典例题】 （一）注意：(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)在实际操作中，仍以解析法为主． 例1 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出 (1)f (g (3))＝__________； (2)若g (f (x ))＝2，则x ＝__________. （二） 图象法 函数及其表示方法 一、目标认知 学习目标： (1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用. (2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数； (3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用． 重点: 函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法． 难点: 对函数符号)(x f y =的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当”？分段函数解析式的求法． 二、知识要点梳理 知识点一、函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：)(x f y =，x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 区间表示： {x|a ≤x ≤b}=[a ，b]； ； ； . 函数的概念及其表示》教案完美版 函数的概念及其表示》教案 第一课时：1.2.1 函数的概念（一） 教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。 教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。 教学过程： 一、复习准备： 1.讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2.回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时 y 是 x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。表示方法有解 析法、列表法、图象法。 二、讲授新课： 1.教学函数模型思想及函数概念： ①给出三个实例： A.一枚炮弹发射，经 26 秒后落地击中目标，射高为 845 米，且炮弹距地面高度 h（米）与时间 t（秒）的变化规律是 h = 130t - 5t²。 B.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见书 P16 页图） C.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见书 P17 页表） ②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个 x，按照某种对应关系 f，在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应，记作：f: A → B。 ③定义：设 A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（n），记作：y = f(x)，x∈A。3.2 函数的表示方法(教案)(2课时)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(高教版2021·基础模块
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