分式的化简求值
分式的化简与求值
·江苏科技版
► 类型之二 分式的基本性质的运用
命题角度： 1．利用分式的基本性质进行通分 2．利用分式的基本性质进行约分
例 2 下列运算正确的是
( C)
A. －－xx＋－yy＝xx－ ＋yy
B. aa2－－bb22＝aa＋－bb
C. aa2－－bb22＝aa＋ －bb
D. 1x－－x12＝x＋1 1
设 S＝ S1＋ S2＋…＋ Sn，则 S＝___n_＋__1__(用含 n 的
代数式表示，其中 n 为正整数)．
[解析] Sn＝1＋n12＋n＋1 12＝1＋n1－n＋1 12＋2×nn1＋1＝ 1＋nn1＋12＋2×nn1＋1＝1＋nn1＋12，
(2)关于化简求值，近几年出现了一种开放型问题，题目中给 定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
► 类型之四 分式的创新应用
命题角度： 1．探究分式中的规律问题 2．有条件的分式化简
例 6 [2011·成都] 设 S1＝1＋112＋212，S2＝1＋212＋312， S3＝1＋312＋412，…，Sn＝1＋n12＋n＋1 12. n2＋2n
解：原式＝a－ab＋ab＋b＋a＋b2 b·a＋a b＝a2－a＋b2＋b b2·a＋a b ＝a＋a2 b·a＋a b＝a.
·江苏科技版
例 4 [2011·苏州] 先化简，再求值：a－1＋a＋2 1÷(a2＋1)， 其中 a＝ 2－1.
[解析] 分式化简时，先乘除后加减，有括号的先算括号里
(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式， 先要将这些多项式进行因式分解．
·江苏科技版
► 类型之三 分式的化简与求值 命题角度： 1．分式的加、减、乘、除、乘方运算法则 2．分式的混合运算及化简求值 例 3 [2011·泰州] 化简：a－b＋a＋b2 b·a＋a b.
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式的化简与求值
分式方程和分式的化简与求值【知识要点】1、分式和分式方程的定义。
2、分式的求值通常先把已知条件化成我们需要的等量关系，再代入所求得出结果。
3、注意整体代入的思想方法。
4、学会等比设k 法的应用。
5、学会1x x+的应用。
例1．（1）要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ） A ．1x ≠ B ．1x ≠- C ．0x ≠ D ．1x >（2）当x = 时，分式12x -无意义． （3）（2009年吉林省）化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 例2、化简（4）222112325643x x x x x x -++++++++ （5）22221244a b a b a b a ab b ---÷+++例3．（1）已知113a b -=，求分式232a ab b a ab b +---的值。
（2）若2a b=-，求22222367a ab b a ab b ----的值。
例4．已知：()2120x xy -+-=，试求()()()()1111120002000xy x y x y +++++++的值。
例5．已知a b c d b c d a ===，求a b c d a b c d +++++-的值。
例6． 已知4)4(422+++=+x C Bx x A x x ，则___________,_____,===C B A ； 例7．若13x x+=，求2421x x x ++的值。
例8．已知a 、b 、c 满足51,41,31=+=+=+a c ca c b bc b a ab ，求分式caba ab abc ++的值。
练习一、选择题1．将分式2x x y +中的x 、y 的值同时扩大2倍，则扩大后分式的值（ ） A 、扩大2倍； B 、缩小2倍； C 、保持不变； D 、无法确定；2．计算11--+a aa 的结果是-----------------------------------------------------------------（ ）A 11-aB 11--a C 112---a a a D 1-a 3．计算11a a a a -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭的正确结果是（ ） A 、11a + B 、１ C 、11a - D 、1- 4.若220x x --=，则22223()13x x x x -+--+的值等于（ ） A ．23 B ．3 C ．3 D ．3或3 5．某人上山和下山走同一条路，且总路程为千米，若他上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则他上山和下山的平均速度为 （ ）A.2b a + B.b a ab +2 C.b a ab + D.ba s +2 6.使分式42-x x 有意义的x 的取值范围是（ ） =2 ≠2 C.x= -2 ≠-27.下列等式成立的是（ ）A.（-3）-2=-9B. （-3）-2=91 C.（a 12）2=a 14 已知269a a -+与1b -互为相反数,则式子()a b a b b a ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值为9.方程3123x x =+的解是 10、当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解 11、若关于x 的方程222-=-+x m x x 无解，则m 的值是 （ ） =-4 B. m=-2 C.m=-4 =2 12、若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为（ ） A. 1 或-2 D.无法确定13.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为A ．18%)201(400160=++x xB ．18%)201(160400160=+-+xx Ｃ．18%20160400160=-+x x Ｄ．18%)201(160400400=+-+x x 二、计算（1）2112323x x x -=-+（2）222(1)160x x x x +++-=．（3）222(1)160x x x x +++-=． （4）xx x -=+--23123.2．已知111b a -=，试求2322a ab b a ab b+---的值；3．已知 x , y , z 均不为0，且满足072,0634=-+=--z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++++之值。
分式的化简与求值
数学八年级5．分式的化简与求值分式的化简与求值是紧密相连的，化简的目的通常是为了求值，而求值之前必须先化简，先化简后求值是解分式化简与求值的基本策略，分式的化简与求值一般可分为无条件和有条件两类问题。
解分式的化简与求值问题时，除了要用到整式变形求值的知识方法外，还经常用到以下技巧：1．取倒数或利用倒数关系；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．引入参数等。
例1．已知a 2－3a ＋1=0，则代数式361a a +的值为___________. 解题思路 目前不能求出a 的值，但可得出a+1a =3，需要对所求的代数式变形含“a+1a”。
例2．已知一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，且a 1=8，a 7=5832，123456234567a a a a a a a a a a a a =====，则a 5为( ) A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944解题思路 引入参数k ，把a 1~ a 7用k 的代数式表示，这是解答比问题的基本思路。
例3．已知x+y+z=3a(a ≠0)求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值解题思路 观察发现，所求式是关于x －a 、y －a 、z －a 的代数式，而条件可分拆成x －a ，y －a ，z －a 的等式，因此，很自然地想到用换元法来简化解题过程。
例4．已知xy x y +=1,yz y z +=2,zx z x+=3,求x 的值。
解题思路 注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元二次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式。
例5．不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
解题思路 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(a+c)=0。
初三分式化简求值练习题
初三分式化简求值练习题首先，让我们来回顾一下分式的定义和概念。
分式是一种数学表达式，由分子和分母组成，分子和分母可以是整数、变量、多项式等。
分式可以表示除法运算或者逻辑关系。
在初三数学中，我们需要学会化简和求值分式的练习题。
下面是一些初三分式化简求值练习题及其解答。
1. 化简分式 $\frac{3x^3 - 2x^2 - 5x}{2x^2 - x - 3}$。
解：首先，我们可以尝试因式分解分子和分母。
分子 $3x^3 - 2x^2 - 5x$ 可以因式分解为 $x(3x^2 - 2x - 5)$，分母 $2x^2 - x - 3$ 可以因式分解为 $(2x + 3)(x - 1)$。
因此，原分式可以化简为 $\frac{x(3x^2 - 2x - 5)}{(2x + 3)(x - 1)}$。
然后，我们可以观察到分子和分母中的 $3x^2 - 2x - 5$ 和 $2x +3$ 都无法继续因式分解。
所以我们无法进一步化简分式。
2. 求值分式 $\frac{2}{x^2 - 4}, x = 3$。
解：将 $x = 3$ 代入分式 $\frac{2}{x^2 - 4}$ 中，我们可以得到$\frac{2}{3^2 - 4} = \frac{2}{9 - 4} = \frac{2}{5}$。
因此，当 $x = 3$ 时，原分式的值为 $\frac{2}{5}$。
3. 化简分式 $\frac{2a^3 - ab^2}{4a^2b^2 - 2b^3}$。
解：首先，我们可以尝试因式分解分子和分母。
分子 $2a^3 -ab^2$ 可以因式分解为 $a(2a^2 - b^2)$，分母 $4a^2b^2 - 2b^3$ 可以因式分解为 $2b^2(2a^2 - b^2)$。
因此，原分式可以化简为 $\frac{a(2a^2 -b^2)}{2b^2(2a^2 - b^2)}$。
接下来，我们可以观察到分子和分母中的 $2a^2 - b^2$ 可以约去。
分式化简求值55道练习题
分式化简求值55道练习题1.先化简，再求值：$\frac{12}{2x-1}-\frac{x-1}{x-1}$，其中$x=-2$。
2.先化简，再求值：$\frac{a^2-b^2}{a-b}$，其中$a=-1$。
3.先化简，再求值：$\frac{x^2-2x+1}{x^2+x-2}$，其中$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
4.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$，其中$a=1$。
5.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}$，其中$b=2$。
6.化简：$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}$。
7.先化简，再求值：$\frac{a^2-1}{a^2+1}$，其中$a=\frac{1}{2}$。
8.先化简：$\frac{x^2-1}{2x-1}$，其中$a=2$，代入求值。
9.先化简，再求值：$\frac{(x+1)}{(x-2)^2}$，其中$x=2$。
10.先化简，再求值：$\frac{3x+1}{x+3}$，其中$x=-3$。
11.先化简下列式子：$\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x-1}$，再从2，-2，1，-1中选择一个合适的数进行计算。
12.先化简，再求值：$\frac{x}{x-1}$，其中$x=-2$。
13.先化简，再求值：$\begin{cases} -x-2\leq 3x \\ x\leq2x^2 \end{cases}$，其中$x=1$。
14.先化简，然后从不等式组$\begin{cases} x-5\leq -x \\x^2-2x-25\leq 2x+12 \end{cases}$的解集中，选取一个你认为符合题意的$x$的值代入求值。
15.先化简，再求值：$\frac{a^2-4a-2}{2a^2+6a+9}$，其中$a=-5$。
16.先化简，再求值：$\frac{3x-x^2}{x^2-2}$，其中$x=\frac{3}{\sqrt{2}}$。
初二分式的化简求值练习题
初二分式的化简求值练习题化简分式是初中数学中重要的基础知识之一，对于初二学生来说，熟练掌握化简分式的方法和技巧是非常重要的。
本文将介绍一些初二分式的化简求值练习题，并提供详细的解题步骤和方法，帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。
1. 化简分式 $\frac{3x^2-8}{6x^2-18x+12}$解析：首先，我们观察分子和分母的因式，发现它们都可以因式分解为$3(x-2)(x+1)$和$6(x-1)(x-2)$。
将分子和分母进行因式分解后，化简分式为：$\frac{3x^2-8}{6x^2-18x+12}=\frac{3(x-2)(x+1)}{6(x-1)(x-2)}$然后，我们可以将分子和分母进行约分，消去公共因式$(x-2)$，得到最简形式的分式：$\frac{3(x+1)}{6(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x-1}$所以，化简后的分式为$\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x-1}$。
2. 求值分式 $\frac{2x+1}{3}-\frac{5x+2}{2}$，其中$x=4$解析：将$x=4$代入分式中，得到：$\frac{2(4)+1}{3}-\frac{5(4)+2}{2}$计算分子和分母的值，化简分式为：$\frac{9}{3}-\frac{22}{2}$然后，我们可以对分式进行通分，得到同分母的分式：$\frac{9}{3}-\frac{22}{2}=\frac{9\cdot2}{3\cdot2}-\frac{22\cdot3}{2\cdot3}$继续化简分式，得到：$\frac{18}{6}-\frac{66}{6}$最后，我们可以将分式进行减法运算，得到结果：$\frac{18}{6}-\frac{66}{6}=\frac{18-66}{6}=-\frac{48}{6}=-8$所以，当$x=4$时，求值分式的结果为$-8$。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
2.分式运算中，特别是乘除法和加减法的混合运算，学生容易混淆，导致计算错误。
3.在解分式方程时，对等式性质的掌握不够牢固，可能难以找到解题的关键步骤。
针对以上情况，教学中应注重以下几点：
1.注重启发式教学，引导学生发现分式性质和运算法则，提高他们的观察力和思维能力。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能够灵活运用这些性质对分式进行化简。
2.掌握分式的乘除法、加减法法则，能够正确进行分式的四则运算，解决实际问题。
3.学会解分式方程，理解分式方程的解的意义，并能将其应用于解决实际问题。
2.教学过程：
-采用任务驱动法，设计一系列具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握分式化简的方法和技巧。
-结合具体例题，讲解分式乘除法和加减法的运算规则，强调运算顺序和运算法则的重要性。
-通过小组合作和讨论，让学生在解决分式方程的过程中，学会转化问题和找到解题关键步骤。
-设计课堂互动环节，鼓励学生提问和分享解题心得，培养他们的表达能力和团队合作精神。
4.能够运用所学的分式知识，解决数学问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法：
1.通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式的化简求值方法。
2.采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学手段，帮助学生掌握分式的性质、运算法则和解方程的方法。
3.设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
3.分式的乘除法与加减法：介绍分式乘除法和加减法的运算规则，结合具体例题进行讲解。
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第二讲：分式的化简求值
【知识梳理】
1、先化简后求值是解代数式化简求值问题的基本策略，分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类。
给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值，解这类问题，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件。
常常用到如下策略：
（1）适当引入参数；
（2）拆项变形或拆分变形；
（3）整体代入；
（4）取倒数或利用倒数关系等。
2、基本思路
（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；
（2） 两边同时变形为同一代数式；
（3） 证明：0=-右边左边，或
1=右边左边，此时0≠右边。
3、基本方法
在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。
【例题精讲】
【例1】（1）已知x y -=20，求
2222323x xy y x xy y -+=+-___________________；
（2）已知51
1
=+y x ，则=+++-y xy x y
xy x 2252___________________；
（3）若345a
b
c
==，则=--++c b a c b a 3223____________________；
【例2】若a b b c c a x c a b +++=
==，求x 的值？
【例3】已知0≠abc ，且
a c c
b b a ==，求3223a b
c a b c ++--的值？
【巩固】若
a d d c c
b b a ===，则d
c b a
d c b a +-+-+-的值是 __________________；
【例4】已知：x x 210--=，求x x 441
+的值。
【巩固】
（1）已知2310a a -+=，则代数式
361a a +的值为_______________；
（2）若210x x --=，则
4521x x x ++=_______________；
【例5】已知a 、b 、c 为实数，且a b a b b c b c c a c a +=+=+=131415，，，那么abc ab bc ca ++
的值是多少？
【例6】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c
b b
c b
a a
b a。
思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。
【巩固】已知：0abc ≠，a b c ++=0，求a b c b c a c a b ()()()1111113++++++的值。
【例7】已知11a b +
=，11b c +=，求1c a +的值。
【例8】已知a c a
c z c b c
b y b a b
a x +-=+-=+-=，，，求证：
()()()()()()z y x z y x ---=+++111111。
思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。
【巩固】已知
3==d c b a ，求证：()()d c b a d c b a d b d b c a c a ++++++=+++++222222。