数系的扩充ppt完美课件1 人教课标版
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高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念课件 新人教A版选修1-2
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6
►变式训练
1．有下列命题：
①若 a，b∈R，则 z＝a＋bi 为虚数；②若 b∈R，则 z＝bi 必为
纯虚数；③若 a∈R，则 z＝a 一定不是虚数；④两个虚数不能比较大
小．
栏
其中，正确命题的序号是(D)
目
链
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
接
复数的分类
m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i，
解析：由复数相等的概念，得方程组
x2＋y2－6＝0，
①
x－y－2＝0.②来自由②得 x＝y＋2，代入①，得 y2＋2y－1＝0.
解得 y1＝－1＋ 2，y2＝－1－ 2. 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 即x1＝1＋ 2，或x2＝1－ 2，
y1＝－1＋ 2 y2＝－完1整－版p2p.t
栏 目 链 接
a2－5a－6≠0， a≠－1且a≠6， a2－1≠0， ⇒a≠±1， a2－7a＋6＝0 a＝1或a＝6.
则 a 不存在，∴z 不可能完为整版纯p虚pt 数．
栏 目 链 接
11
题型二 复数相等的充要条件
例 2 已知 x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数 x，y 的值．
分析：可根据 a＋bi＝0⇔a＝0 且 b＝0 来解．
目 链
略．②纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周．③本题“或”和 接
“且”等逻辑用语的使用会模糊，应重点分析．
完整版ppt
9
►变式训练
2．实数 a 为何值时，复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i：
(1)是实数？
栏
目
(2)是虚数？
链
数系的扩充和复数的概念PPT优秀课件1
3.复数的代数形式：
通常用字母 z 表示，即
z a b i (aR,bR)
实部 虚部 虚数单位
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
规定: 0i=0 ,0+bi=bi, a+0i=a
当 b 0 时，这时 z a 是实数.
复数
z
a
bi
当 b 0时， z a bi 叫做虚数.
当 a 0且b 0 时，z bi 叫做纯虚数.
规定:两复数 a bi 与 c di (a, b, c, d R)
相等的充要条件是 a c 且 b d .
例题讲解
例 1. 判断下列各数 , 哪些是实数 ?哪些 是虚数?若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 3 2i; (3) 3 1 i;
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
C．A∩ UB =Φ D．B? UB = C
课堂练习
3．“复数 a + bi ( a，b，c? R)为纯虚数”
是“a = 0”的什么条件
（ A）
A．充分但不必要条件
B．必要不充分条件
选做作业:
41. 若方程x2 m 2i x 2 mi 0至少有 一 个 实
数系的扩充ppt课件
复数的概念
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
实数集能否继续扩充呢?
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
------数系的扩充 洩湖中学：王艳
3.1 数系的扩充
❖ 从社会生活来看为了满足生活和生产实 践的需要，数的概念在不断地发展.
❖ 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
自然数
❖ 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来
的.它是由于借贷关
自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统；
负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色；
逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
实数集能否继续扩充呢?
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
数系的扩充
复数的概念
知识引入
我们已知知道：
对于一元二次方程 x2 10没有实数根．
x2 1
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
数系的扩充
复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数 b0
R C
复数a+bi虚数 b0非 纯纯 虚a虚 数 a0数 ， 0b，b00
系中量的不同意义
而产生的.我国三国
高中数学人教版选修数系的扩充和复数的概念课件系列一
(5)的实部为 0，虚部为－ 3，是纯虚数；
(6)的实部为 0，虚部为 0，是实数．
概念小结
复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特 别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的 符号叫做复数的虚部．
跟踪训练
符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例 子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－ 2的虚数； (2)虚部为－ 2的虚数； (3)虚部为－ 2的纯虚数； (4)实部为－ 2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－ 2＋i 等；
(2)存在且不唯一，如 1－ 2i 等； (3)存在且唯一，即－ 2i； （4）不存在，因为纯虚数的实数为 0.
例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)当mm2≠－02m＝0 ，即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当mm2≠－02m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
2．复数的分类及包含关系 实数b＝0
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
新知探究
一. 复数的概念
问题 1 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那 么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝ －1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．
问题 2 两个复数相等的充要条件是什么？ 答 复数 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b＝ d(a，b，c，d∈R)．
(6)的实部为 0，虚部为 0，是实数．
概念小结
复数 a＋bi 中，实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部．特 别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的 符号叫做复数的虚部．
跟踪训练
符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例 子；若不存在，请说明理由．
(1)实部为－ 2的虚数； (2)虚部为－ 2的虚数； (3)虚部为－ 2的纯虚数； (4)实部为－ 2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－ 2＋i 等；
(2)存在且不唯一，如 1－ 2i 等； (3)存在且唯一，即－ 2i； （4）不存在，因为纯虚数的实数为 0.
例 2 当实数 m 为何值时，复数 z＝m2＋mm－6＋(m2－2m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 解 (1)当mm2≠－02m＝0 ，即 m＝2 时，复数 z 是实数； (2)当mm2≠－02m≠0， 即 m≠0 且 m≠2 时，复数 z 是虚数；
2．复数的分类及包含关系 实数b＝0
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)虚数b≠0纯非虚纯数虚数a＝a0≠ 0 (2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d .
新知探究
一. 复数的概念
问题 1 为解决方程 x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那 么怎样解决方程 x2＋1＝0 在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数 i，使 i 是方程 x2＋1＝0 的根，即 i·i＝ －1，方程 x2＋1＝0 有解，同时得到一些新数．
问题 2 两个复数相等的充要条件是什么？ 答 复数 a＋bi 与 c＋di 相等的充要条件是 a＝c 且 b＝ d(a，b，c，d∈R)．
数学：3.1《数系扩充和复数概念》PPT课件(新人教选修2-2)
a
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
一一对应
面 y 向 量
b
o
x
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义: 对应平面向量 OZ 的模| OZ |，即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
y
| z | = a 2 b2
z=a+bi Z (a,b)
O
| z || z | a2 b2
练习1:
设z1,z2∈C, |z1|= |z2|=1
|z2+z1|=
2,
求|z2-z1|
2
练习2:复数z1,z2分别对应复 平面内的点M1,M2,,且| z2+ z1|=
| z2- z1|,线段M1M2,的中点M对应
的复数为4+3i,求|z1|2+ |z2|2
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 +yi(x,y∈R)
5
5 O x
0 3 4 5 4 3 0 y 5 4 3 0 3- 4- 5- x
5 2 y 2x z
–5
复数的几何意义（一）
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
引言：在人和社会的发展过程中，常 常需要立足今天，回顾昨天，展望明天。 符合客观发展规律的要发扬和完善，不符 合的要否定和抛弃。那么，在实数集向复 数集发展的过程中，我们应该如何发扬和 完善，否定和抛弃呢？
如何探索复数集的性质和特点？ 探索途径： (1) 实数集原有的有关性质和特点能否
推广到复数集？
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
数系的扩充ppt课件
Zm 2m 2(m 21 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
精品
18
数系的扩充
复数的概念
B
nZ*
i4n 1 i4n1 i
i i4n2 -1 i4n3
精品
19
数系的扩充
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式 复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
精品
20
数系的扩充
17
数系的扩充
复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1 )i
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 10，即 m1时，复数z 是实数．
（2）当 m 10，即 m1时，复数z 是虚数．
（3）当 m 1 0
m
1
0
即m1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数
精品
10
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
精品
11
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
精品
精品
6
数集扩充到有理数集
精品
7
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1精品
8
无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
高中数学人教A版必修第二册数系的扩充与复数的概念优秀课件
i2=-1
实数外存在一个数i,它的平方等于-1
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
思考
方程 x2 -1 有一个根x i.
另一个根？ -i
（-i）2 (1)2 i2 1
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
复数相等： a,b,c,d R
a+bi与虚数不能比较大小
复数的分类： 复数
（z=a+bi）
(1（) x y） ( y 1)i （2x 3y） (2 y 1)i; (2（) x y 3） (x 2)i 0.
解：根据复数相等的充要条件得：
x
(1)
y
y 2x 3y解 1 2y 1
得
：xy
4 ;
2
(2)xx
y 2
3 0
0解
得
：xy
2 . 1
子默数学
再见
子默数学
实数（b=0） 虚数（b 0）
纯虚数（a=0,b 0）
复数集
虚数集
实数集
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
纯虚数集
子默数学
高中数学人教A版（ 必2修01第9）二必册修数（系第的二 扩 册 充） 与复7. 数1.的1数概系念的优扩秀充p与pt复课 数件的概 念课件( 共17张 PPT)
3.1.1数系的扩充和复数的概念课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
[问题1] 方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的 实数解？
[提示 1] 方程的整数解为 1，方程的实数解为 1 和12. [问题2] 方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？ [提示2] 没有解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
2．实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2－2x－ 15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析： (1)要使 z 是实数，必须且只需
x＋3≠0 x2－2x－15＝0
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(2)由复数相等的充要条件知
x＋32＝y，
①
2y＋1＝4x，
②
2x＋ay＝9，
③
－4x－y＋b＝－8， ④
由①②得x＝52， y＝4，
代入③④得ab＝＝12 .
数学 选修2-2
第三章 数合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
答案： A
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数的概念
已知复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求 实数 a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚 数．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
解析： (1)由复数相等的充要条件知
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数系的扩充ppt完美课件1 人教课标版
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例3. 已知（x+y）+(x-2y)i= (2x-5)+(3x+y)i，求实数x,y的值.
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在复数范围内解下面方程
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历史回顾
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道： “要把10分成两部分，使二者乘积为40， 这是不可能的，不过我却用下列方式解 决了.”
4 5 0 15 5 15
能作为“数”吗？它表示什么 意义呢？
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虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
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小结
1. 了解：数的发展经历
• 从社会生活来看为了满足生活和生产 实践的需要，数的概念在不断地发展.
• 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
理解：下列字母：Q、R、C、Z、N分 别表示什么数集，用符号表示它们的包
含关系. N Z Q R C
数集再次扩充
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数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。 自然数集中， ？ 运算中可以实施；
整数集中， ？ 运算中可以实施； 有理数集中， ？ 运算中可以实施；
实数集中， ？ 运算中可以实施.
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实数集能否继续扩充呢?
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请解下面方程
在实数范围内有解吗？
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历史回顾
1484年，法国数学家舒开 （Chuquet,1445--1500）在其《算数三 篇》中，解方程式
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笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
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虚数
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示
称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
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数集扩充到复数集
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例1.分别出下列复数的实部和虚部，并指出 哪i 些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
4 , 2 3 i, 0 , 1 4 i, 5 2 i, 6 i 23
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数系扩充的科学道理
• 自然数中减法产生 负数 整数系统；
• 整数中除法产生 分数
理数系统；
无理数
• 自然数中开方产生虚数 实数系统；
• 负数中开方产生 的系统.
， ， 有
， ， 新
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边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
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1
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无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
数系扩充的科学道理
• 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重 要的角色；
• 逆运算的运算法则来源于正运算，因 此比正运算困难，以致可能出现无法 进行的现象，从而必须引进新东西， 使数系得以扩展.
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数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要
定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
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数集扩充到有理数集
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3.1 数系的扩充
3.1 数系的扩充
• 从社会生活来看为了满足生活和生产 实践的需要，数的概念在不断地发展.
• 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
4 2-3i 0
6i
实部
虚部
实数
虚数
纯虚 数
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例2.实数ｍ取什么值时， 复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是 (1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？
思考1： a=0是z=a+bi(a、bR)为
数ｍ取什么值 时，复数 z是6+2i ?
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
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数集扩充到实数集
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正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
得根：
他声明这个根是不可能的.
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历史回顾
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 尔丹在这个问题上 作出了重要贡献.
卡尔丹(Cardano,1501-1576)
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例3. 已知（x+y）+(x-2y)i= (2x-5)+(3x+y)i，求实数x,y的值.
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在复数范围内解下面方程
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历史回顾
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道： “要把10分成两部分，使二者乘积为40， 这是不可能的，不过我却用下列方式解 决了.”
4 5 0 15 5 15
能作为“数”吗？它表示什么 意义呢？
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虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
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小结
1. 了解：数的发展经历
• 从社会生活来看为了满足生活和生产 实践的需要，数的概念在不断地发展.
• 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
理解：下列字母：Q、R、C、Z、N分 别表示什么数集，用符号表示它们的包
含关系. N Z Q R C
数集再次扩充
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数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。 自然数集中， ？ 运算中可以实施；
整数集中， ？ 运算中可以实施； 有理数集中， ？ 运算中可以实施；
实数集中， ？ 运算中可以实施.
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实数集能否继续扩充呢?
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请解下面方程
在实数范围内有解吗？
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历史回顾
1484年，法国数学家舒开 （Chuquet,1445--1500）在其《算数三 篇》中，解方程式
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笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
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虚数
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示
称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
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数集扩充到复数集
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例1.分别出下列复数的实部和虚部，并指出 哪i 些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
4 , 2 3 i, 0 , 1 4 i, 5 2 i, 6 i 23
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数系扩充的科学道理
• 自然数中减法产生 负数 整数系统；
• 整数中除法产生 分数
理数系统；
无理数
• 自然数中开方产生虚数 实数系统；
• 负数中开方产生 的系统.
， ， 有
， ， 新
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边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
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1
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无理数
无理数是“推”出来
的.公元前六世纪，古
希腊毕达哥拉斯学派
利用毕达哥拉斯定理，
发现了“无理数”.
“无理数”的承认
（公元前4世纪）是数
学发展史上的一个里 程碑.
数系扩充的科学道理
• 逆运算在数系的扩充中扮演着极为重 要的角色；
• 逆运算的运算法则来源于正运算，因 此比正运算困难，以致可能出现无法 进行的现象，从而必须引进新东西， 使数系得以扩展.
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数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要
定义、记法和加减 运算法则.
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类 已经对有理数有了 非常清楚的认识， 而且他们认为有理 数就是所有的数.
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数集扩充到有理数集
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3.1 数系的扩充
3.1 数系的扩充
• 从社会生活来看为了满足生活和生产 实践的需要，数的概念在不断地发展.
• 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以 追溯到五万年前.
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
4 2-3i 0
6i
实部
虚部
实数
虚数
纯虚 数
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例2.实数ｍ取什么值时， 复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是 (1)实数？ (2)虚数？(3)纯虚数？
思考1： a=0是z=a+bi(a、bR)为
数ｍ取什么值 时，复数 z是6+2i ?
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
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数集扩充到实数集
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正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
得根：
他声明这个根是不可能的.
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历史回顾
意大利波洛尼 亚大学数学教授卡 尔丹在这个问题上 作出了重要贡献.
卡尔丹(Cardano,1501-1576)
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