17.1 第2课时勾股定理在实际生活中的应用

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时勾股定理在实际生活中的应用7

1 第十七章勾股定理

17.1 勾股定理

第2课时勾股定理在实际生活中的应用

学习目标：1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题；

2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.

重点：运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题.

难点：能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长.

一、知识回顾

1. 你能补全以下勾股定理的内容吗？

如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么____________.

2. 勾股定理公式的变形：a=_________,b=_________,c=_________.

3. 在Rt△ABC中，∠C=90°.

(1)若a=3,b=4,则c=_________;(2)若a=5,c=13,则b=_________.

一、要点探究

探究点1：勾股定理的简单实际应用

典例精析

例1在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？

方法总结:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；（2）构造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解决实际问题.

针对训练

1. 湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点

C测得CA=130米,CB=120米,则 AB为 ( ) 课堂探究自主学习教学备注

学生在课前完成自主学习部分

配套PPT讲授

1.情景引入

（见幻灯片3）

2.探究点1新知讲授

（见幻灯片4-11）

2 A.50米 B.120米 C.100米 D.130米

2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.

八年级数学下册人教版17.1勾股定理优秀教学案例

一、案例背景

八年级数学下册人教版17.1勾股定理优秀教学案例，以“探究勾股定理的应用”为主题。本节课的主要内容是引导学生通过探究、实践、合作等学习方式，掌握勾股定理的证明及其在实际问题中的应用。通过这一节课的学习，让学生体会数学与实际生活的紧密联系，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

在教学案例中，我以一个实际问题引入：“一个直角三角形斜边长为10cm，另一直角边长为8cm，求另一条直角边的长度。”通过这个问题，激发学生的求知欲，引导学生探究勾股定理。在探究过程中，学生通过讨论、实验、观察等方法，发现并证明勾股定理。

在教学过程中，我注重引导学生运用勾股定理解决实际问题。例如，设计一个关于房屋测量的问题，让学生运用勾股定理计算房屋的长度和宽度。通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的重要作用，提高他们的学习兴趣和实践能力。

此外，我还注重培养学生的团队协作精神。在课堂活动中，我将学生分成若干小组，让他们在小组内讨论、分享学习心得，共同完成任务。通过小组合作，让学生互相学习、互相促进，提高他们的团队协作能力。

在教学评价方面，我采用多元化评价方式，既关注学生的知识掌握程度，也关注他们的学习过程、实践能力和团队协作精神。通过评价学生的综合素质，激发他们的学习兴趣，促进他们的全面发展。

二、教学目标

（一）知识与技能

1. 学生能够理解勾股定理的定义，掌握勾股定理的证明方法，并能够灵活运用勾股定理解决实际问题。

2. 学生能够通过探究活动，了解勾股定理的发现过程，提高他们的归纳总结能力。

3. 学生能够运用勾股定理进行直角三角形的边长计算，提高他们的数学应用能力。

（二）过程与方法

1. 学生通过观察、实验、讨论等方法，自主探究勾股定理的证明，培养他们的问题解决能力和创新思维。

2. 学生在小组合作中，通过交流、分享、合作等过程，提高他们的团队协作能力和沟通表达能力。

17.1 第2课时勾股定理的应用

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第十七章勾股定理

17.1 勾股定理

第2课时勾股定理的应用

学习目标：

1．会用勾股定理进行简单的计算，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步领会数形结合的思想；

2．勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想；

学习重点：勾股定理的简单计算.

学习难点：勾股定理的灵活运用.

学习过程

一、自学导航（课前预习）

1、直角三角形性质有：如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系：；

（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；

（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。

（4）三边之间的关系：。

（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

c= 。（已知a、b，求c）

a= 。（已知b、c，求a）

b= 。（已知a、c，求b）.

2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。

二、合作交流（小组互助）

例1：一个门框的尺寸如图所示．

若薄木板长3米，宽2.2米呢？

A

C B a b c

B C

1m 2m

A

实际问题数学模型

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例2、如图，一个3米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小数）

引导自主探究,深化建模思想——以《17.1.3勾股定理在实际生活中的应用》教学设计为例

ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ专题研究１４９引导自主探究深化建模思想引导自主探究，深化建模思想 ———以《１７．１．３勾股定理在实际生活中的应用》教学设计为例◎李幽兰　（武汉市吴家山第二中学，湖北　武汉　４３００４０）【摘要】勾股定理是一个基本的几何定理，勾股定理在实际生活中的应用非常广泛，本文从人教版八年级数学下册课本第２５页的两个例题出发，引导学生自主探究，学会构造运用勾股定理解决直角三角形中的问题，同时在探究和拓展的课堂教学过程中将教师的“教”与学生的“学”有机结合，充分体现学生学习数学的积极性，让学生体会学习数学的乐趣，培养学生的数学核心素养．【关键词】勾股定理的应用；数学模型；初中数学；直角三角形数学源自生活，无处不在，数学在生活中的应用是非常广泛的，很多问题都可以通过构建数学模型巧妙解决．这就需要我们学会用数学的眼光看待生活中的事物，引导和鼓励学生构建适当的数学模型，用所学的数学知识分析问题和解决问题，培养学生观察、分析、思考、总结、协作的能力，让学生体会数学知识的奇妙和学以致用的成就感．勾股定理是数学中的一个重要定理，它是古代数学智慧的结晶，是用代数思想解决几何问题的杰出代表．下面以勾股定理在实际生活中的应用这一课的教学设计为例，探讨构建数学模型在高效课堂中的应用．一、内容和内容解析１．内容：利用勾股定理进行简单的计算，解决生活中的实际问题．２．内容解析：勾股定理是最基本的数学定理之一，体现了直角三角形中三条边之间的数量关系，它可用于解决直角三角形中的计算问题．勾股定理在实际生活中具有广泛的用途，本节通过联系、比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，通过独立思考与小组活动培养学生的分析能力和探究能力，以利于学生能够正确地运用勾股定理解决实际问题．二、目标和目标解析１．目标：（一）知识与技能：学生能说出勾股定理，能运用勾股定理的数学模型解决实际问题．（二）过程与方法：①通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，深化“数形结合”和“转化”的数学思想，将非直角三角形转化为直角三角形，立体图形转化为平面图形；②经历探究勾股定理的应用过程，培养学生数学建模的意识，提高学生解决问题的能力；③运用分类讨论的思想，让学生更加全面地思考问题．（三）情感态度与价值观：①数学源于生活，让学生体会勾股定理在实际生活中的运用；②让学生自主探索，团结协作，发挥学生的主观能动性，培养学生不怕困难，积极自信的心理素质和思想品质；③让学生热爱校园，保护环境，加强环保意识和道德意识．２．目标解析：达成目标（一）的标志是：学生能够运用勾股定理解决实际问题．达成目标（二）的标志是：学生知道怎样将实际问题转化为直角三角形模型．达成目标（三）的标志是：学生积极参与课堂学习，对数学学科的学习充满信心和兴趣．三、学情分析在利用勾股定理探索实际问题的过程中，老师要让学生经过思考克服困难，通过小组协作的形式实现高效课堂，提高学生的积极性和参与度，提高教学效率和教学效果．让学生在一堂课上不但收获数学知识，还能从能力上、情感上、道德品质上都有收获，促使每个学生都能得到相应的发展．本节课的教学重点：运用勾股定理解决实际问题．四、教学过程设计（一）创设情境，导入新课教师引言：数学源于生活，也服务于生活．大家一起来看看这个问题能否用数学知识解决？问题：如图，学校有一块长方形的花坛，有些同学为了走捷径，就在花坛内的草坪上走出了一条“小路”，请你算一算，他们仅仅少走了步路，却踩坏了草坪．（假设两步为１米）图１专题研究ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ１５０师生活动：让学生回顾勾股定理的内容，并尝试运用勾股定理解决这个问题．教师在学生回答的基础上明确提出解决问题的方法：计算长方形花坛对角线的长度，与长方形两条边的和相比较．同时指出这种方法就是构建直角三角形勾股定理的数学模型，将实际问题转化为数学问题，从而运用勾股定理解决．解　根据勾股定理，得　３２＋４２＝５（ｍ）．２×（３＋４－５）＝４（步）．因此，有的同学仅仅少走了４步路，却踩坏了草坪．【设计意图】让学生回忆勾股定理的内容，并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范，初步体会通过建立数学模型解决实际问题，同时渗透“两点之间，线段最短”，为后续教学内容做铺垫，也让学生明白数学的价值不仅在于方便生活，更让我们看清事物的本质，坚守道德与正义，呼吁大家要爱护校园环境．（二）新知构建，共研释疑１．木板通过问题例１　（人教版八年级数学下册教材第２５页例１）一个门框的尺寸如图所示，一块长３ｍ，宽２．２ｍ的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？图２思考　１．木板横着能否通过？２．木板竖着能否通过？３．在长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ哪条线段最长？４．门框能通过薄木板的最大宽度是多少？师生活动　学生带着问题进行小组讨论，通过小组组员协作演示，展示解题过程并讲解，同时组员补充．老师对学生的解题思路予以正面评价，但是关于运用勾股定理的书写过程，老师要进行格式上的规范和强调．解　如图所示，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，图３得ＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝１２＋２２＝

教案17.1 勾股定理的应用(第2课时)

1 17.1 勾股定理（第2课时）

【教学任务分析】

教

学

目

标知识

技能 1.会用勾股定理进行简单的计算和解决实际问题.

2.理解掌握实际问题转化成数学问题的解题思路和方法.

过程

方法经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，掌握勾股定理的应用方法.

情感

态度通过学生思维方式、意识的培养，感受数学方法理念，体会勾股定理的应用价值，热爱数学.

重点运用勾股定理进行计算的方法

难点勾股定理的灵活运用.

【教学环节安排】

环节教学问题设计教学活动设计

复

习

引

入一、课前热身

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系：；

（2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：；

（3）直角三角形斜边上的等于斜边的。

（4）三边之间的关系：。

（5）已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

c= 。（已知a、b，求c）

a= 。（已知b、c，求a）

b= 。（已知a、c，求b）.

2、（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= 。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b= 。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= 。教师：勾股定理是直角三角形中

特有的三边关系定理，运用它能

由已知两边求第三边.

学生：回答、理解

自

主

探

究探究1

例1：一个门框的尺寸如图所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？

②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？（注意解题格式）

新人教版八年级数学下《117.1.2勾股定理应用利用勾股定理解决平面几何问题》优质课教学设计_52

教学设计

教学目标：

能说出勾股定理,能使用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这个模型,强化转化思想,培养学生解决现实问题的意识和水平.

2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,进一步体会勾股定理的应用方法.

在例题分析和解决过程中,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用.同时在学习过程中体会获得成功的喜悦,提升学生学习数学的兴趣和信心.

教学重点：

【重点】使用勾股定理解决实际问题.

【难点】勾股定理的灵活使用.

教学准备：

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】三角板、三角形模型.

教学过程：

一、新课导入：

导入一：

电视的尺寸是屏幕对角线的长度.小华的爸爸买了一台29英寸(74 cm)的电视机,小华量电视机的屏幕后,发现屏幕只有58 cm长和46 cm宽.他觉得一定是售货员搞错了,你同意他的想法吗?你能解释是为什么吗?

引导学生回忆勾股定理的内容,学生再尝试解决上面的问题.

[设计意图] 让学生回忆勾股定理的内容,并注意文字语言、图形语言、符号语言的规范统一,尝试解决生活中的实际问题,以激发学生学习的兴趣和探究的欲望.

导入二：

上节课,我们学习了勾股定理,它的具体内容是什么呢?它有什么作用呢?

教师出示问题：求出下列直角三角形中未知的边.

提出问题后让一位学生板演,剩下的学生在课堂作业本上完成.

教师巡视指导答疑,在活动中重点注重：

(1)学生能否准确应用勾股定理实行计算;

(2)在解决直角三角形的问题时,需知道直角三角形的两个条件且至少有一个条件是边;

(3)让学生了解在直角三角形中斜边最长.

[设计意图] 通过简单的提问协助学生回顾勾股定理,加深定理的记忆理解,为学习新课做好准备.

二、新知建构：

[过渡语] 勾股定理应用比较广泛,我们一起来看看下面几个问题.

1.木板进门问题

17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应用同步练习

17.1勾股定理第2课时勾股定理在求距离中应⽤同步练习

17.1 勾股定理

第2课时勾股定理在求距离中应⽤

基础训练

知识点1 长度的计算1.(2016·哈尔滨)如图,⼀艘轮船位于灯塔P的北偏东60°⽅向,与灯塔P 的距离为30海⾥的A处,轮船沿正南⽅向航⾏⼀段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°⽅向上的B处,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为( )A.60海⾥

B.45海⾥

C.20海⾥

D.30海⾥

2.如图,有两棵树,⼀棵⾼10⽶,另⼀棵⾼4⽶,两树相距8⽶,⼀只⼩鸟从⼀棵树的树顶飞到另⼀棵树的树顶,⼩鸟⾄少飞⾏( )

A.8⽶

B.10⽶

C.12⽶

D.14⽶

3.如图,⼀棵树在离地⾯4.5 m处断裂,树的顶部落在离底部6 m处.则这棵树折断之前⾼( )

A.10.5 m

B.7.5 m

C.12 mD.8 m

4.如图,⼀架梯⼦AB长2.5⽶,顶端A靠在墙AC上,这时梯⼦底端B 与墙脚C的距离为0.7⽶,如果梯⼦滑动后停在DE的位置,测得BD

长为0.8⽶,则梯⼦顶端A下滑了( )

A.0.4⽶

B.0.3⽶

C.0.5⽶

D.0.2⽶

知识点2 最短距离的计算5.如图,⼀只蚂蚁沿着棱长为2的正⽅体表⾯从点A出发,经过3个⾯爬到点B,如果它运动的路径是最短的,则AC的长为 .

6.将⼀根长为24 cm的筷⼦置于底⾯直径为15 cm,⾼为8 cm的圆柱形⽔杯中,如图所⽰,设筷⼦露在杯⼦外的长度为h cm,则h的取值范围是( )

A.h≤17

B.h≥8

C.15≤h≤16

D.7≤h≤16

7.如图,⼀圆柱形油罐的底⾯周长为12 m,⾼为5 m,要以点A为底端环绕油罐做⼀圈梯⼦,正好顶端在点A的正上⽅点B处,那么梯⼦最短需( )

A.17 m

B.7 m

C.13 m

D.12 m

易错点求最短路径时对⽴体图形展开情况考虑不全⾯导致错解8.如图,正四棱柱的底⾯边长为5 cm,侧棱长为8 cm,⼀只蚂蚁欲从正四棱柱底⾯上的顶点A沿棱柱的表⾯爬到点C'处吃⾷物,那么它需要爬⾏的最短路程是多少?