17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(第二课时)
学生活动（六）
如图，一个25米长的梯子AB，斜
A
靠在一竖直的墙AO上，这时AO的
距离为24m，如果梯子的顶端A沿
墙下滑4m，那么梯子底端B也外移
4m吗？
O
B
探究二（扶梯滑到）
如图，一个25米长的梯子AB，斜
A
靠在一竖直的墙AO上，这时AO的
距离为24m，如果梯子的顶端A沿
墙下滑4m，那么梯子底端B也外移
C
AB≈56
∴A、B两点间的距离约为56m。
2 如图，在平面直角坐标系中有两点A（5,0）和B （0,4）.求这两点之间的距离.
解：由题意可知，在Rt△AOB中， y ∵OA=5，OB=4
∴AB2＝OA2+OB2＝52+42＝41
4B
∴AB≈6Hale Waihona Puke ∴A、B两点间的距离约为6。
O
A
5x
P29 T10
3《九章算术》：有一个水池，
4m吗？
O
B
探究二（扶梯滑到）
如图，一个25米长的梯子AB，斜
A
靠在一竖直的墙AO上，这时AO的
距离为24m，如果梯子的顶端A沿
墙下滑4m，那么梯子底端B也外移
4m吗？
O
B
探究二（扶梯滑到）
如图，一个25米长的梯子AB，斜
A
靠在一竖直的墙AO上，这时AO的
距离为24m，如果梯子的顶端A沿
墙下滑4m，那么梯子底端B也外移
第十七章 勾股定理
17.1.2 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
B
C
A
知识回忆 ：☞
勾股定理及其数学语言表达式:
直角三角形两直角边a、b的 平方和等于斜边c的平方。
B
a
c
a2 +b2 =c2
C
b
A
知识回忆 ：☞
在△ABC中，∠C=90°.
(1)若b=8，c=10，则a= 6
;
(2)若a=5，b=12，则c = 13 ;
O
B
D
OC OA-AC 24 4 20
OD= CD2 CO2 252 202 25 20 25 20
45 5 15 BD OD-OB 15 7 8
答：梯子底端B外移8m。
探究三（竹竿折断）
一根竹竿高8尺，折断后竹竿顶端落在离竹子 底端3尺处，则折断处离地面的高度是多少？
实际问题
抽象
解决
利用勾 股定理
已知两边 求第三边
数学问题
归类 直角三角 形的问题
1 如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA 方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60m， AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）
解：如右图所示，在Rt△ABC中，
A
根据勾股定理，
B
AB2＝BC2-AC2＝602- 202＝3200
即AC2 8100+300=8400
AC 20 21 20 4.6 92km;
（2）乘客车需时间
t1
80 60
11 3
（小时）；
乘列车需时间t2
92 180
+
20 40
1 1（小时）；
90
所以选择城际列车.
C
120° BE
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
题：如图，以往从黄石油A坐客车到武昌客运站B，现在可以
在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽
车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km, ∠ABC=120°,
请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据： 21 4.6 ）
（2）若客车的平均速度是60km/h,市内的公共汽车的平均速
B
(3)若a=2，∠A=30° ，则 b = 2 3 ;
a
c
a2 b2 c2
C
b
A
知识回忆 ：☞
（1）求出下列直角三角形中未知的边长。
10 6
8
4
8
2
42
30°
45°
23
42
在解决上述问题时,每个直角三角形需已知几个条件?
（2）如图求AB的长。 A
23
3
B
13
1
D2 C
勾股定理的实际应用
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米.一只
鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行（ B ）
A. 8米 B.10米 C.12米 D.14米
A
第1题 图
B
第2题图
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点
A、B都是格点，则线段AB的长度为（A ）
A.5 B.6 C.7 D.25
——《一根竹竿的故事》
小试身手 ：☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少
数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走
出了一条“路”，仅仅少走了___4_____步路,
却踩伤了花草。 （假设1米为2步） C 4米 B
5米 “路”
3米
A
探究一（执竿进屋） 算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹， 横多四尺竖八尺，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角， 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h,为了最短时间
到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案?请说明理由
.(不计候车时间）
C
120°
A
B
解：（1）过点C作AB的垂线，
交AB的延长线于E点，
Q ABC 120, BC 20, BE 10，CE 10 3 A
在△ABE中，AC2=AE2+CE2 AC2 (80 10)2 (10 3)2
4m吗？
O
B
探究二（扶梯滑到）
如图，一个25米长的梯子AB，斜靠 A 在一竖直的墙AO上，这时AO的距 离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下 C 滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
解：如图，△ABO和△CDO都是直角三角形，
OB= AB2 AO2 252 242
25 24 25 24 49 7
3如图,折叠长方形（四个角都是直角， 对边相等）的一边，使点D落在BC边 上的点F处，若AB=8，AD=10. （1）你能说出图中哪些线段的长? （2）求EC的长.
A
10
D
x2+42=(8-x)2
解得x=3
8 10
8-x
E 8-x x
思考P39 T12 B 6 F 4 C
4. 小明听说“武黄城际列车”已经经开通，便设计了如下问
水面是一个边长为10尺的正方形，
E
在水池正中央有一根芦苇，它高出
水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池
一边的中点，它的顶端恰好到达池
D
1
C
5
B
x x+1
边的水面，请问这个水的深度与这 根芦苇的长度各是多少？
A
解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，依题意得：
x2+52=(x+1)2 解得x=12
即：这个水的深度为12尺，这根芦苇的长度是13尺。
如图，将一根长为15cm的筷子置于底面 直径为5cm的装满水的圆柱形水杯中， 已知水深为12cm，设筷子露出水面的长 为hcm，则h的取值范围是______．
探究二（扶梯滑到）
如图，一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO的距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙 下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？
变式（执竿进屋升级版）
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长的 吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太长了， 放不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）
A
A
C
12
3
12 C
D 4
BD 4
B3
C
B
变式（筷子问题）
17.1 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线
路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
课堂小结
用勾股定理解 决实际问题 勾股定理 的应用
用勾股定理解决点的 距离及路径最短问题
B
C
A
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相
对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
A.24m B.12m
C. 74 支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部
底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度
可能是（ D ）
A.9cm B.12cm C.15cm
D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为___1_0___.
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢， 问小鸟至少飞行多少？
外移0.5m，而是外移约0.77m.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一
直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得
新人教版八年级数学下册勾股定理在实际生活中的应用2
D C
5A
X
X+1
B
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
x2+52=(x+1)2
芦苇长：12+1=13
答：水深12尺，芦苇长13尺.
知识要点
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程或方程组； （4）解决实际问题.
探究思路：把握题意——找 关键字词——连接相关知 识——建立数学模型（建模）
01 2 3 4
问题2 我们知道数轴上的点有的表示有理数，
有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点
吗？
解：
L
B
2
0
1
2
A3•
•C
13 4
类比迁移
利用勾股定理作出长为 2 , 3, 5 的线段.
用同样的方法，你能 否在数轴上画出表 示 ， 12
证明“HL”
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图 得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结 论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=′A B′，AC=A′C′． 求证：△ABC≌△A′B′C ′．
谢谢大家
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12、人乱于心，不宽余请。10:44:0610 :44:061 0:44Sunday, April 04, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21. 4.421.4. 410:44: 0610:4 4:06Apr il 4, 2021
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17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
人教版数学八年级下册17.1.2《勾股定理的应用》教案
3.数学抽象：理解勾股定理的数学表达，提高学生的数学抽象思维能力。
4.问题解决：培养学生遇到问题时能主动运用所学知识进行解决的能力，提高数学问题解决技巧。
5.数据分析：通过实际案例分析，使学生能够从数据中提炼信息，培养数据分析素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生们在讨论中表现出了很高的热情，能够积极发表自己的观点，但有时候讨论的主题偏离了课程内容。为了使讨论更加有效，我应该在设置讨论主题时更加明确，同时在讨论过程中加强对学生的引导，确保讨论的方向与课程目标相符。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，部分学生提出了疑问，但我没有足够的时间一一解答。我意识到在以后的教学中，需要合理安时间，预留出更多的时间来解答学生的疑问，确保他们对所学知识的掌握。
最后，针对本节课的教学，我认为在以下几个方面进行改进：
1.增加课堂互动，让学生多参与，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时发现并解决问题。
3.丰富教学手段，利用多媒体、实物等资源，使抽象的概念更加直观易懂。
4.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
17.1勾股定理在实际生活中的应用
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用情景导入同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手．这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量．下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答．图17－1－511．根据测量AB＝4米，BC＝3米，那么他们将要少走多少米？在解决这个问题的过程中我们应用了什么定理？2．若改变数据AB＝5米，学生穿越草坪的距离AC＝13米，那么他们若不走草坪只多走了多少米？[说明与建议] 说明：利用学生身边情景导入新课，使学生经历了从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲，并且又能起到育人的目的．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．图17－1－52有一个有趣的问题：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米(每个小方格的边长为1 cm)？你能解决这个问题吗？若从A点爬到D点，蚂蚁有没有最短的爬行距离，你能求出来吗？[说明与建议] 说明：设计实际问题背景，激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．建议：教学中教师要鼓励学生积极地进行观察、思考、计算，教师检验并多进行积极的评价．——教材第29页习题17.1第10题图17－1－53这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．(丈尺是长度单位，1丈＝10尺)这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【模型建立】在解决有关直角三角形的实际问题时，若情况复杂，比如不能直接求边长，这时可利用勾股定理建立方程解决问题．【变式变形】图17－1－541．公元12世纪，印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边．渔人观看忙向前，花离原位两尺远．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？解：设水深为x 尺，则茎秆高为(x ＋0.5)尺，由勾股定理，得x 2＋22＝(x ＋0.5)2.解得x ＝334，即湖水深334尺． 2．一根竹子高一丈(10尺)，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是多少？解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边长为(10－x )尺，根据勾股定理得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝9120. 答：折断处离地面的高度是9120尺．图17－1－553．如图17－1－55是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，长为1米，将绳子拉直后，绳子的末端离旗杆5米，你能求出旗杆的高度吗？试试看．解：设AC＝x米，则AB＝(x＋1)米，BC＝5米，由勾股定理得，AC2＝AB2－BC2，即x2＝(x＋1)2－25，解得x＝12.答：旗杆的高度是12米．4．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”[解析] 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解．图17－1－56解：如图17－1－56，不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC为踏板离地的距离，它等于一尺．设OA＝x尺，即OB＝OA＝x尺，F A＝BE＝BC－EC＝5－1＝4(尺)，BF＝EA＝10尺．在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，即x2＝(x－4)2＋102，解这个方程，得x＝14.5.所以这个秋千的绳索长度为14.5尺．[命题角度1] 直接利用勾股定理求边长通过对等式a2＋b2＝c2变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝a2＋b2，b＝c2－a2，a＝c2－b2.在直角三角形中，已知两边，求第三边，可直接应用勾股定理求解．注意挖掘实际问题中的直角，把实际问题转化为有关直角三角形的问题，应用勾股定理计算后回答实际问题．例如图17－1－57，一架25 m长的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，AO＝24 m.(1)求这个梯子的底端与墙的垂直距离有多远；(2)当BD＝8 m时，AC的长是多少？(3)如果梯子的底端向墙一侧移动了2 m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少？图17－1－57解：(1)在Rt△AOB中，∠AOB＝90°.由勾股定理，得OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49，所以OB＝49＝7.答：这个梯子的底端距墙的垂直距离是7 m.(2)OD＝OB＋BD＝7＋8＝15(m)，CD＝25 m.在Rt△COD中，∠COD＝90°，由勾股定理，得OC2＝CD2－OD2＝252－152＝400，所以OC＝400＝20 (m)，所以AC＝AO－OC＝24－20＝4 (m)．(3)由题意及勾股定理，得此时梯子顶端离地面的垂直距离为252－52＝10 6≈24.49(m)，所以梯子的顶端向上滑动的距离约为24.49－24＝0.49(m)．[命题角度2] 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题题目中虽然有直角三角形，但是已知线段的长不完全是直角三角形的边，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过建立方程，解答这类计算问题．例如图17－1－58，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米．现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？图17－1－58解：设超市C与车站D相距x米，则BC＝BD－x.在Rt△ABD中，BD＝AD2－AB2＝4000(米)，所以BC＝(4000－x)米．在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝30002＋(4000－x)2，解得x＝3125.答：该超市与车站D的距离是3125米．[命题角度3] 利用勾股定理求平面上两点之间的最短距离“两点一直线”型最短路径问题有两种情况：(1)两点在直线异侧时，连接两点与直线有一个交点，交点就是所求的点．(2)两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线相交．最短路线为“一点→交点→另一点”．在求值时要根据对称性构造直角三角形．例如图17－1－59所示，一个牧童在小河正南方4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？17－1－5917－1－60解：如图17－1－60，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP，则A→P→B就是最短路线，AP＋BP＝A′B.在Rt△A′DB中，由题意，得BD＝8 km，DA′＝7＋4＋4＝15(km)，由勾股定理求得A′B＝A′D2＋BD2＝17(km)．答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km.。
第课时 勾股定理在实际生活中的应用ppt课件
2019 -
B C′
B′
14
三 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也 懂数学？ C A
B
AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
2019 15
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西 时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的 蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B A 处，蚂蚁怎么走最近？ 蚂蚁A→B的路线 A' d B B
2019
-
4
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的 长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都 不能通过，只能斜着.门框AC的长 度是斜着能通过的最大长度，只要 AC的长大于木板的宽就能通过.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 实际问题 决解 勾股定理
2019
转化
数学问题 建构
利用
-
直角三角形
9
练一练
1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( A )
A A′
C
2019
B C′
-
B ′
13
证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中， ∠C=∠C′=90°， 根据勾股定理得 BC = AB 2 -AC 2 ，
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）ห้องสมุดไป่ตู้
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理在实际生活中的应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量距离或计算物体体积的情况？”（如测量房间的对角线长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理在实际生活中的奥秘。
4.培养学生的观察能力、解决问题的能力和合作交流的能力。
具体内容包括以下案例：
1.利用勾股定理测量房屋墙壁的长度；
2.计算不规则立体图形的体积，如斜放的长方体、四棱锥等；
3.分析实际生活中存在的勾股定理问题，如道路宽度、桥梁长度等；
4.探讨勾股定理在建筑设计、地理测量等领域的应用。
二、核心素养目标
1.知识与技能：通过勾股定理在实际生活中的应用，使学生在掌握勾股定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养运用数学知识解决实际问题的素养；
2.过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，学会运用勾股定理进行实际测量和计算，提高数学思维和逻辑推理素养；
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，认识到数学知识在实际生活中的重要性，培养他们用数学眼光看待世界的观念，增强对数学学科的价值认同。
具体包括：
1.能够运用勾股定理解决实际问题，形成数学应用意识；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的应用步骤和计算方法这两个重点。对于难点部分，我会通过实际案例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
17.1勾股定理第2课时(课件)八年级数学下册(人教版)
B 10
6
C8 A
2
1 C
30° A
3
17
A
8 C
C
2
2
2 45° A
典例精析
人教版数学八年级下册
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析: 1、由题干内容可知，门的高是2米，宽1米，木板 横着 或
竖着 都不能通过，只能试试 斜着 能否通过. 2、门框对角线DB是斜着的最大长度，只要计算出 AC 的 长度，再与木板的 宽 比较，只要__A_C_>_2_._2,就知道能否 通过.
C
人教版数学八年级下册
A′
B C′
B′
互动新授
人教版数学八年级下册
探究 我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？
步骤： 1.在数轴上找到点A，使OA=3；
13
2
2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2;
l3 B
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧学八年级下册
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8
米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少
飞行多少？ B
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)， C
A
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
与数轴交于C点，则点C即为表示 13 的点.
O 0
1
2 A•3 C4
互动新授
人教版数学八年级下册
类似地，利用勾股定理可以作出长为 2, 3, 5 线段.
勾股定理在实际生活中的应用ppt课件
D
1
C
5
B
在水池正中央有一根芦苇，它高出
水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池 一边的中点，它的顶端恰好到达池
x x+1
边的水面，请问这个水的深度与这
根芦苇的长度各是多少？
A
解：设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺，依题意得：
x2+52=(x+1)2 解得x=12
即：这个水的深度为12尺，这根芦苇的长度是13尺12。
径是 13cm.
4. 小明听说“武黄城际列车”已经经开通，便设计了如下问
题：如图，以往从黄石油A坐客车到武昌客运站B，现在可以
在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽
车到武昌客运站B.设AB=80km,BC=20km, ∠ABC=120°,
请你帮助小明解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据： 21 4.6 ）
却踩伤了花草。 （假设1米为2步） C 4米 B
5米 “路”
3米
A
勾股定理的应用举例
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形
2m
薄木板能否从门框内通过?为什么?
D
C
问题1 木板进门框有几种方法? 问题2 你认为选择哪种方法比较好?你能 说出你这种方法通过的最大长度是什么? 解∵：木在板R的t△宽A2B.2C米中大，于根1米据，勾股定理，
90
所以选择城际列车.
C
120° BE
回顾与反思
看似平淡无 奇的现象有 时却隐藏着 深刻的道理
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）