勾股定理应用题
勾股定理的实际应用题
WORD文档下载可编辑18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？19．（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则= _________ ．设路线2的长度为L2，则= _________ ．所以选择路线_________ （填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：=_________ ．路线2：= _________ ．所以选择路线_________ （填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？22．（2013•盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．一．选择题（共5小题）二．解答题（共22小题）6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？7．（2012•古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A 的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？9．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．10．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．1．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）3．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A海里/小时海里/小时4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？13．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？14．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．17．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ ．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是_________ ，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为_________ ，请说明理由．24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）2014年3月352449109的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2010•新疆）如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）OA=2．（2007•茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（），最大长度根据勾股定理，得：=133．（2012•乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A海里/小时海里/小时BC=海里，36÷2=18海里4．（2010•罗湖区模拟）在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是（）AM=5．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）由勾股定理可得杯里面管长为=13cm二．解答题（共22小题）6．（2013•徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30°方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时．（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？，AD=BD=BD=20+x=x=10AB=30的距离为）甲船看见灯塔所用时间：7．（2012•古冶区二模）有一艘渔轮在海上C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上A处和B处，B在A的正东方向，且相距100里，测得地点C在A 的南偏东60°，在B的南偏东30°方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为40里/小时和30里/小时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到C处救援？（≈1.7）BD==50AC==100==8．如图，要在高AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？==2AC+BC=2+22+29．如图，一块三角形铁皮，其中∠B=30°，∠C=45°，AC=12cm．求△ABC的面积．12=12∴CB=12+12CB AD=72+7210．如图，一架长2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米．（1）若梯子的顶端A沿墙AC下滑0.9米至A1处，求点B向外移动的距离BB1的长；（2）若梯子从顶端A处沿墙AC下滑的距离是点B向外移动的距离的一半，试求梯子沿墙AC下滑的距离是多少米？=2.4mC=x=下滑的距离是米．11．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB．12．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？AC===1213．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？CD===12014．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？BD==240km15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．=所以速度为16．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由．==0.617．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，∠BAC=90°）．请解答：（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是S1+S2=S3，请说明理由．（3）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的数量关系式为S1+S2=S3，请说明理由．====+=S18．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？=13m19．（2007•义乌市）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．；①当横向剪开时：②当竖向剪开时：，∴最短路程为，∠AOD=∠AOA∴AD=OAsin60°=4×=2=2AD=4，20．（2013•贵阳模拟）请阅读下列材料：问题：如图1，圆柱的底面半径为1dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：路线1：高线AB+底面直径BC，如图1所示．路线2：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．（结果保留π）（1）设路线1的长度为L1，则= 49 ．设路线2的长度为L2，则= 25+π2．所以选择路线 2 （填1或2）较短．（2）小明把条件改成：“圆柱的底面半径为5dm，高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算．此时，路线1：= 121 ．路线2：= 1+25π2．所以选择路线 1 （填1或2）较短．（3）请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．=1+25π2+时，时，时，21．如图，正方体边长为30cm，B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从A点爬到B点，其爬行速度为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到B点？=5022．（2013•盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B（B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？AB===．，那么所用细线最短需要．23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=4，BC=4，CC1=5，（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长．====＜=24．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？==25==5；==5；525．如图所示，圆柱形的玻璃容器，高18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径．BC=SE==26．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A处，在顶点G处有一米粒．（1）问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？（2）在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了GF的中点M处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？==2，；==．27．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？（结果不取近似值）∴B′P=（。
勾股定理19个经典题型
勾股定理是数学中的一个重要定理，它指出在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一定理不仅在几何学中有着广泛的应用，而且在物理学、工程学等众多领域都有重要意义。
以下是一些勾股定理的经典题型，这些题型可以帮助学生更好地理解和掌握勾股定理的应用：1. **证明题**：给出一个三角形，证明其中一条边是斜边，另外两边是直角边。
2. **计算题**：给定一个直角三角形的两条直角边的长度，求斜边的长度。
3. **反问题计算题**：给定一个直角三角形的斜边和一条直角边的长度，求另一条直角边的长度。
4. **应用题**：一个房间的长是10米，宽是8米，求房间对角线的长度。
5. **构造题**：用尺子和圆规，仅使用勾股定理，构造一个特定面积的正方形。
6. **比例题**：如果一个直角三角形的两个锐角分别是30度和60度，求三边的长度比。
7. **相似题**：两个直角三角形相似，已知一个三角形的两个直角边分别是3米和4米，求另一个三角形的斜边长度。
8. **代数题**：设直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c根据勾股定理列出方程，并解方程。
9. **逆定理题**：判断一个三角形的三边长是否满足勾股定理的逆定理，即如果三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
10. **综合题**：在一个复杂的几何问题中，综合运用勾股定理和其他几何知识解决问题。
11. **平面几何题**：在平面直角坐标系中，给定两点A和B，求线AB的中点到A或B的距离。
12. **空间几何题**：在空间直角坐标系中，给定一个四面体的三个顶点，求第四个顶点的位置。
13. **历史题**：关于勾股定理的历史，提出和证明这一定理的人物是谁？14. **文化题**：在不同的文化中，勾股定理是如何被认知和应用的？15. **实际应用题**：在建筑设计中，如何使用勾股定理来计算结构的稳定性？16. **转换题**：将一个直角三角形的直角边从厘米转换为米。
勾股定理及应用 练习题(带答案
勾股定理及应用 题集一、勾股定理与逆定理A. B. C. D.1.如图所示的一块地，，，，，，这块地的面积为（ ）．【答案】B 【解析】连接，在中，，∴，∵，，，∴是直角三角形，．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用2.如图，在四边形中，，，，．求的度数．【答案】．【解析】连接，在中，，，∴，∴，∴，∵，，∴．在中，，∴是直角三角形，即，∵，∴．【标注】【知识点】勾股定理的逆定理【知识点】勾股定理的证明A.尺B.尺C.尺D.尺3.如图，有一个水池，其底面是边长为尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则这根芦苇的长是（ ）．【答案】C 【解析】苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，∵中，．∴．【标注】【知识点】勾股定理与实际问题（1）（2）4.如图，一架云梯长米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面米．这个梯子底端离墙有多少米．如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？【答案】（1）（2）米．不是．【解析】（1）（2）由题意得此时米，米，根据，∴可求米．设滑动后梯子的底端到墙的距离为米，得方程，，解得，所以梯子向后滑动了米．综合得：如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向不是滑米．【标注】【知识点】勾股定理的综合应用A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.若的三边长，，满足，则是（ ）．【答案】D【解析】∵，∴或．∴或．∴为等腰三角形或直角三角形．【标注】【知识点】勾股逆定理的应用A. B. C. D.6.如图，已知在中，，分别以、为直径作半圆，面积分别记为、，则等于（ ）．【答案】A【解析】由勾股定理可知：．，，∴．【标注】【知识点】勾股定理与几何问题（1）（2）7.下表中给出的每行三个数、、满足，根据表中已有的数的规律填空：当时， ， ．用含字母的代数式分别表示、，，．【答案】（1）（2）;; 【解析】（1）（2）∵，∴，．∵，，；，，；，，；∴，．【标注】【知识点】勾股树（1）（2）（3）8.若一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边为，斜边上的高为．求证：．．以、、为边构成的三角形是直角三角形．【答案】（1）（2）（3）证明见解析证明见解析证明见解析【解析】（1）（2）（3）∵，，∴，代入得，∴．由，，则，∴，即，∴略【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用二、勾股定理的方程思想1.如图，已知等腰的底边，是腰上一点，且，，求的周长．【答案】．【解析】由勾股定理逆定理得，是直角三角形．在中，应用勾股定理，设，代入数值得，.所以的周长=．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用2.如图，在中，，平分，，，求的长．【答案】．【解析】过作，∵平分，∴，∵，∴由勾股定理得，设，则，在由勾股定理得：，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）3.如图，在中，，，，的平分线与相交于点，过点作，垂足为．求的长．求的长．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）∵平分，，，∴，在和中，（2），∴≌，∴．∵，，，∴在中，，∴，．设，则，，在中，，，解得，∴．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用4.如图，在中，，，，求边上的高．【答案】．【解析】设为，则，∵为的高，∴在中，，在中，，∴．即，解得：．∴．∴在中，．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用（1）（2）5.如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为秒，速度为每秒个单位长度．若是直角三角形，求的值．若是等腰三角形，求的值．【答案】（1）（2）或．，或．【解析】（1）（2）当时，是直角三角形，，，故．∵，∴，即，，．当时，是直角三角形，此时与重合，∴，，综上所述，或．当时，即，解得，当时，取中点，连接．∵，∴，∴，∴，∴，即．当时，过点作于点．∵，，，∴，在中，，即，综上所述，的值为，或．【标注】【知识点】方程思想在勾股定理的应用6.如图，是一张直角三角形纸片，，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为 ．【答案】【解析】依题可知≌，∴．设，则，在中，，，∴，解得，，∴．【标注】【知识点】翻折问题与勾股定理7.如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合，为折痕，则 ．【答案】 或【解析】在中，，∵将折叠得到，∴，，∴．设，则．在中，，∴，解得．∴．【标注】【知识点】解直角三角形的综合应用A. B. C. D.8.如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则线段的长为（ ）．【答案】A【解析】设，则，∵四边形为矩形，∴，，，∴，由题意得：，∴，∴，由勾股定理得，即，解得：，∴，∴．【标注】【知识点】其它翻折问题9.如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，的长为 ．【答案】或【解析】当为直角三角形时，有两种情况：图图①当点落在矩形内部时，如答图所示．连接，在中，，，，沿折叠，使点落在点处，，当为直角三角形时，只能得到，点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，，，，设，则，，在中，，，解得，；②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形，．综上所述，的长为或．故答案为：或．【标注】【知识点】四边形与折叠问题三、勾股定理与最短路径问题A. B. C. D.1.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）．【答案】B【解析】将长方体展开，连接、，根据两点之间线段最短，（）如图，，，由勾股定理得：．（）如图，，，由勾股定理得，．（）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为，高为，点离点的距离是，∴，，在直角三角形中，根据勾股定理得：∴．由于，故最短距离为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题2.如图所示，无盖玻璃容器，高，底面周长为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度．【答案】最短路线长为．【解析】如下图可知，最短路线的长度为线段的长度，作于，则，，∵底面周长为，∴，∴．∴最短路线长为．【标注】【知识点】勾股定理与展开图最短路径问题。
勾股定理基础练习题
勾股定理基础练习题一、选择题1. 在直角三角形中，若一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4，则斜边的长度为（）。
A. 5B. 6C. 7D. 82. 已知直角三角形的斜边长度为10，一条直角边长度为6，则另一条直角边的长度为（）。
A. 8B. 9C. 10D. 113. 下列选项中，符合勾股定理的是（）。
A. 三角形三边长度分别为3、4、6B. 三角形三边长度分别为5、12、13C. 三角形三边长度分别为6、8、10D. 三角形三边长度分别为7、24、25二、填空题1. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，AC=3，BC=4，则AB=______。
2. 已知直角三角形的斜边长度为13，一条直角边长度为5，则另一条直角边的长度为______。
3. 若直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可表示为：______。
三、解答题1. 在直角三角形DEF中，∠F为直角，DE=5，EF=12，求DF的长度。
2. 已知直角三角形的一条直角边长度为8，斜边长度为10，求另一条直角边的长度。
3. 判断下列各组长度是否能构成直角三角形，并说明理由：（1）7、24、25（2）9、12、15（3）10、16、204. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，AC=6，BC=8，求∠A的正弦值。
5. 已知直角三角形的斜边长度为15，一条直角边长度为9，求该直角三角形的面积。
四、判断题1. 在直角三角形中，斜边长度总是大于任意一条直角边的长度。
（）2. 如果一个三角形的三边长度分别为a、b、c，并且满足a^2 +b^2 = c^2，那么这个三角形一定是直角三角形。
（）3. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
（）五、应用题1. 一个直角三角形的一条直角边长为8厘米，斜边长为10厘米，求这个三角形的周长。
2. 在一个直角三角形中，斜边的长度是直角边长度的2倍，求斜边与较短直角边的长度比。
3. 一块直角三角形的土地，两条直角边的长度分别为60米和80米，求这块土地的面积。
初二勾股定理应用练习题
初二勾股定理应用练习题在初中数学学习中，勾股定理是一个重要的定理，它可以应用到很多实际问题中。
为了帮助同学们更好地理解和掌握勾股定理的应用，以下是一些练习题，希望能够对同学们的学习有所帮助。
题目一：某笛卡尔坐标系下，有一个直角三角形 ABC，已知 AB = 3，BC = 4，求AC的长度。
解答一：根据勾股定理，三角形的斜边的平方等于两直角边长度的平方和。
设AC = x，则有公式：x^2 = 3^2 + 4^2= 9 + 16= 25因此，AC = 5。
题目二：某个直角三角形中，斜边的长度为10，直角边的长度为6，求另外一个直角边的长度。
解答二：设另外一个直角边的长度为x，则有公式：x^2 = 10^2 - 6^2= 100 - 36= 64因此，x = 8。
题目三：甲、乙两地之间的距离为10千米，甲地上有一山，山顶角为30度，山底距离甲地约为多少千米？解答三：设山底距离甲地的长度为x千米，则山的高度为x * sin(30°)千米。
根据勾股定理，有公式：(x * sin(30°))^2 + x^2 = 10^2化简为：(1/4 * x^2) + x^2 = 1005/4 * x^2 = 100x^2 = 100 * 4/5x^2 = 80x = √80 ≈ 8.94因此，山底距离甲地约为8.94千米。
题目四：某学校甲、乙两座教学楼之间相隔50米，甲楼上有一窗户，窗户距离甲楼顶部10米，已知窗户朝下看能够看到乙楼顶部，求乙楼的高度。
解答四：设乙楼的高度为x米，由题意可知，甲楼顶部到窗户的高度为10米，乙楼顶部到窗户的高度为x米。
根据勾股定理，有公式：(50^2) + (x - 10)^2 = x^2化简为：2500 + (x^2 - 20x + 100) = x^22500 - 20x + 100 = 0-20x = -2600x = 130因此，乙楼的高度为130米。
通过以上练习题的解答，我们可以看到勾股定理在实际问题中的应用。
勾股定理应用题
小小迷宫
(1在)从5×A5点的出正方发形画方一格条中线，段每A个B小，正使方它形 的的另边一长端都点是1B，在请格在点给（定即的小网正格方中按形下的列顶
点要）求上画，出且图形长。度为 2 2
A
2、已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置
（如图（1））时，易证得结论：PA2 PC2 PB2 PD2
7、某校A与直线公路距离为3000米，又与 该公路上某车站D的距离为5000米，现要 在公路边建一个小商店C，使之与学校A及 车站D的距离相等，那么，该店与车站D的 距离是多少米？
BC
D
A
8、校园里有一块三角形空地，现准备在这 块空地上种植草皮以美化环境，已经测量出 它的三边长分别是13、14、15米，若这种草 皮每平方米售价120元，则购买这种草皮至 少需要支出多少？
（1） （2）
聪明的葛藤
有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一 根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，
请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
C
20尺
A
3×7=21（尺） B
小 结： 把几何体适当展开成平面图形，再
利用“两点之间线段最短”，或点到直 线“垂线段最短”等性质来解决问题。
1、如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ＡＢＣD的面积．
⑵若受到台风影响，则台风影响该市的持续时间有多 长？
⑶该市受到台风影响的最大风力为几级？
C
A
E
D F
B
如图，已知：在△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°， ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＡ，DＥ⊥ＢＣ于Ｄ，交Ａ Ｂ于Ｅ，ＤＥ＝１，求△ＡＢＣ的周长．
A
1
E
21
BD
C
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析
初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析初中数学期末复习勾股定理重点题型分类+解析！_梯子_正方形_的底部题型一：利用勾股定理进行线段计算如果单独考查勾股定理，通常是给我们送分的，非常简单，我们只有熟记勾股定理的公式、常见的勾股数，以及常见的特殊rt△的三边比例，即可以轻松解出题目。
【例1】一驾2.5米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物0.7米，如果梯子的顶部滑下0.4米，梯子的底部向外滑出多远（其中梯子从ab位置滑到cd位置）？【分析】本题是常见的梯子滑动问题，是勾股定理结合实际问题产生的题型。
英对实际问题，我们需要实际问题抽象成简单的几何图形，再利用勾股定理解答。
题目要求梯子的底部滑出多远，就要求梯子原先顶部的高度ao，且三角形aob，三角形cod均为直角三角形．可以运用勾股定理求解．解：在直角三角形aob中，根据勾股定理ab 2=ao 2+ob 2，可以求得：oa= =2.4米，现梯子的顶部滑下0.4米，即oc=2.4-0.4=2米，且cd=ab=2.5米，所以在直角三角形cod中，即do= =1.5米，所以梯子的底部向外滑出的距离为1.5米-0.7米=0.8米．答：梯子的底部向外滑出的距离为0.8米．题型二：勾股定理的证明过程勾股定理的证明过程同样是勾股定理的一个常考点。
因此我们同样要熟知勾股定的常见证明过程。
这个需要同学们查看课本，回忆整个证明过程。
下面给出常见的考题类型。
【例2】《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图（1））．设每个直角三角形中较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c。
（1）利用图（1）面积的不同表示方法验证勾股定理．（2）实际上还有很多代数恒等式也可用这种方法说明其正确性．试写出图（2）所表示的代数恒等式：（）；（3）如果图（1）大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）如图（1），根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）5个矩形，长宽分别为x，y；两个边长分别为y的正方形和两个边长为x的正方形，可以看成一个长宽为x+2y，2x+y的矩形；（3）利用（1）的结论进行解答．解：（1）图（1）中的大正方形的面积可以表示为c 2，也可表示为（b-a）2+4× ab∴（b-a）2+4× ab=c 2化简得b 2-2ab+b 2+2ab=c 2∴当∠c=90°时，a 2+b 2=c 2；（2）（x+y）（x+2y）=x 2+3xy+2y 2（3）依题意得 a2+ b2＝ c2＝13 ( b− a) 2＝1 则2ab=12∴（a+b） 2=a 2+b 2+2ab=13+12=25，即（a+b） 2=25．中考数学答题要点归纳，考前看这一篇就够了！中考数学复习9种题型答题模板+易错题练习，含答案！初中数学7-9年级，21个逢考必出的知识点，初中三年都适用！初中数学7-9年级，必考应用题分类+数量关系大全！初中数学复习，整式运算的几何背景与应用，常考题型解析！。
八年级上册勾股定理测试题
八年级上册勾股定理测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 在直角三角形中，如果两直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 82. 如果一个三角形的三边长分别为5、12和13，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是3. 一个三角形的两边长分别为8和15，斜边的长度至少是多少？A. 17B. 16C. 14D. 无法确定4. 勾股定理只适用于直角三角形，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误5. 直角三角形的斜边长度一定大于直角边的长度，这个说法是正确的吗？A. 正确B. 错误二、填空题（每题3分，共15分）6. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，斜边的长度是________。
7. 如果一个三角形的两边长分别为7和24，那么第三边的长度至少是________。
8. 在直角三角形中，如果斜边的长度是10，一条直角边的长度是6，另一条直角边的长度是________。
9. 勾股定理的公式是________。
10. 如果一个三角形的三边长分别为a、b和c，且c为斜边，那么根据勾股定理，a² + b²应该等于________。
三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知直角三角形的两条直角边分别为5厘米和12厘米，求斜边的长度。
12. 一个三角形的三边长分别为15厘米、20厘米和25厘米，求证这个三角形是否为直角三角形。
13. 一个三角形的两边长分别为10厘米和24厘米，求斜边的最大长度。
14. 已知一个三角形的斜边长度为13厘米，一条直角边的长度为5厘米，求另一条直角边的长度。
四、解答题（每题10分，共20分）15. 一个梯形的上底为3米，下底为4米，高为5米。
求梯形的对角线长度。
16. 一个长方形的长为8米，宽为6米。
求这个长方形的对角线长度。
五、应用题（每题15分，共30分）17. 某建筑物的两墙之间的距离为9米，从一墙到另一墙的对角线距离为10米。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.勾股定理实际问题应用
1．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( )
A. 48 cm 2
B. 36 cm 2
C. 24 cm 2
D.12 cm 2
2．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点，PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，
则RQ= 厘米 3．小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东、南练习跑
步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m
4．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸
地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）
A.440 m
B.460 m
C.480 m
D. 500 m
5、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱
形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取
值范围是（ ）．
A ．h ≤17cm
B ．h ≥8cm
C ．15cm ≤h ≤16cm
D ．7cm ≤h ≤16cm
6．一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物2m ，若梯子底部滑开1m ，则梯
子顶部下滑的距离是___________(结果可含根号)
7、有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm ，底面直径为20cm ， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.
如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B 需要多少时间? (结果保留π)
8.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程
大约是 ( ) A.6cm B.10cm C.14cm D. 18cm
9、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于
点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、
D 两村到收购站
E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？
A D
E B C A ·
B · A B
· ·
10. 已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC
沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 11. 在上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为（ ）
A.1.50
B.1.75
C.1.95
D.以上都不
图（1） 图（2） 图（4） 图（6）
12．如图（1），山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离
是
米，水平距离是 米。
13．如图（2），一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离
是_______________米
14．如果Rt △的两直角边长分别为n 2－1，2n （n >1），那么它的斜边长是（ ）
15. 如图（4）,一圆柱高3cm,底面半径0.5cm,一只蚂蚁从A 点绕圆柱的侧面一圈爬到点B
处吃食,要爬行的最短路程是____________________（结果保留根号和π）
16．旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后，绷紧的
绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m
17. 如图（6）折叠长方形ABCD 的一边AD ，点D 落在BC 边的D’ 处，AE 是折痕，已知
AB=8cm ，
CD ′= 4cm ，则AD 的长为 ( )
A C D
B 图② A
C B
D E
图①
30O
A B C A · B ·
A.6cm
B. 8cm
C. 10cm
D. 12cm
18、如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点，CD＝16，BD＝12，
求△ABC的周长。
19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，
BD＝5，求CD的长．
20．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD 的面积．
21.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.
22.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．
（1）记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4，……，a n，请求出a2，a3，a4的值；
（2）根据以上规律写出a n的表达式．
23.如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C
处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，
BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留
三个有效数字）
24.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
25.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面
26.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
27.如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。