17.1 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（ D ）
A.24m B.12m
C. 74 m
D.2 6cm
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部
底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度
可能是（ D ）
A.9cm B.12cm C.15cm
D.18cm
3.已知点(2,5),(-4,-3),则这两点的距离为___1_0___.
A′
BC=8km.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得 牧童A
A′B 152 82 17.
C
小屋B
归纳 求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和 的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的 对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长， 以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角 三角形，再运用勾股定理求最短路径.
利用 直角三角形
练一练 1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向 上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为 ( A )
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A 130
?
C
120 B
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3 米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在 草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； （2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
分析：可以看出木板横着，竖着都
不能通过，只能斜着.门框AC的长 D
C
度是斜着能通过的最大长度，只要
AC的长大于木板的宽就能通过.
2m
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
A
B
AC2=AB2+BC2=12+22=5
1m
AC 5 2.24 .
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼! 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米.
（2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步).
C
B
二 利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
例4 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)
求A,B两点间的距离.
外移0.5m，而是外移约0.77m.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一
直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得
4.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对 相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢， 问小鸟至少飞行多少？
B
C
A
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C. 由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
AB AC2 BC2 10米.
答：小鸟至少飞行10米.
5.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分
B
B
B'
A
A
A'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
数学思想： 立体图形
转化 展开
平面图形
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲 儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂 蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠 粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
练一练
如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有
一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
B
B
1
A
A
2
解：由题意得AC =2，BC=1,
C
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB²= AC²+ BC²=2²+1²=5
∴AB= 5 ，即最短路程为 5 .
当堂练习
1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1. A 在Rt△COD中，根据勾股定理得 OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15, C
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也
别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相
对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食
物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线
路是多少？
A
A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329, ∴AB=73cm.
能力提升： 6. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯 罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆 筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面 均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
解：如右下图，在Rt△ABC中， ∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)． 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452， ∴AB＝45cm， ∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15.
归纳 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图 形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最
短确定最短路线.
典例精析
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正
好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知
油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
三 利用勾股定理求最短距离 问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也 懂数学？
C
A
B
AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西
B
时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的
解：如图，过点A作x轴的垂
y
线,过点B作x,y轴的垂线.相交 A
5
于点C,连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， C
4
3 2
B
在Rt△ABC中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-4 -3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上 任意两点A x1, y1 , B x2 , y2 ,则AB x2 x1 2 y2 y1 2 .
AB AC2 BC2 62 82
B 10米.
∴这棵树在折断之前的 高度是10+6=16（米）.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理
转化 数学问题 建构
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
讲授新课
一 勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门
的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿
进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的
勾股定理有关，
将实际问题转化
为数学问题
典例精析
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的 长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
A
10
6
例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而 他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的 马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事
情所走的最短路程是多少？
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称
东
点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，
课堂小结
用勾股定理解 决实际问题
勾股定理 解决“HL”判定方法
的应用
证全等的正确性问题
用勾股定理解决点的 距离及路径最短问题
B
牛奶盒
A 10cm
8cm 6cm
B3
B1 B
解：由题意知有三种展开 方法，如图.由勾股定理得 AB12 =102 +（6+8）2 =296， AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
8
∴小蚂蚁完成任务的最短 路程为AB1，长为 2 74 .
蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B
处，蚂蚁怎么走最近？
A
蚂蚁A→B的路线
A' d B A'
B
OB
B
A
A
A
A
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
17．1 勾股定理
第1课时 勾股定理的验证
知识点1：长度的计算 1．直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边 为( C ) A．4 B．8 C．10 D．12 2．(2015·永州)如图，有两棵树，一棵树高10米，另一棵高4米，两树 相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞 行( B ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
解：在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝6，在Rt△CDE中，由勾股定 理得DE＝8，故DB＝2 m
16．如图，将长方形ABCD沿过C点的直线折叠，使D的对应点F落在 AB边上，已知AD＝6，CD＝10，设折痕交AD于点E.求DE的长．
解：在Rt△BCF中，BF＝ 102－62 ＝8，∴AF＝2.设DE＝EF＝x， 则AE＝6－x，由(6－x)2＋22＝x2，得x＝130，故DE的长为130
解：如图
，因为此圆锥的高为12 cm，底面直径为10 cm，所
以MO＝12 cm，NO＝5 cm，所以在Rt△MNO中，NM2＝122＋52.即MN＝
13 cm.答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13 cm
15．如图所示，从电线杆离地8 m高的A处向地面B处拉一条长10 m的 缆绳，如果从电线杆离地6 m高的C处同样拉一条长10 m的缆绳，这条 缆绳在地面的固定点D与B点的距离有多远？
的最短距离为 5
10．如图，P为第一象限的角平分线上一点，且OP＝2，则点P的坐标 是( B )
A．(－ 2， 2) B．( 2， 2) C．(2， 2) D．( 2，2)
11．如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时
梯子与地面所成的角为45°，如果梯子底端不动，顶端靠到对面墙上，
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理在实际生活中的应用说课稿
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.以生活中的实际问题导入：向学生展示一座直角三角形的房屋屋顶，提问如何计算屋顶的面积。通过这个问题，让学生感受到勾股定理在实际生活中的应用，激发他们的学习兴趣。
3.灵活调整教学进度，确保重要知识点有足够的时间进行讲解和练习。
课后，我将通过以下方式评估教学效果：
1.收集学生的课堂练习和作业，分析错误类型和频率，了解学生的学习难点。
2.与学生进行交流，了解他们对课堂内容的掌握程度和意见建议。
3.自我反思教学过程中的不足，记录教学心得。
具体的反思和改进措施包括：
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化的布局，主要内容分为三个部分：勾股定理的定义、勾股定理的应用实例、勾股定理的解题步骤。板书风格简洁明了，突出重点，使用不同颜色的粉笔来区分知识点和关键步骤。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识框架，直观展示解题思路，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我会：
这些资源和技术工具的作用在于提供直观的学习材料，增强学生的学习兴趣，以及拓展学习的时间和空间。
（三）互动方式
为了促进学生的参与和合作，我计划设计以下互动环节：
1.师生互动：通过提问、讨论等方式，引导学生积极参与课堂，鼓励学生表达自己的观点，及时给予反馈和指导。
2.生生互动：组织学生进行小组合作，共同探讨勾股定理在实际问题中的应用，鼓励小组成员相互交流、分享解题思路。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
人教版八年级数学下册《勾股定理》勾股定理在实际生活中的应用
第二十一章 一元二次方程：本章主要是掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决实际问题。本章重点是解一元二次方程的思路及具体方法。
（3）利用勾股定理等列方程； 本章的难点是解一元二次方程。
4.最后，就是冲刺阶段，也称为“备考篇”。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以老师的意志为主线，但是，现在你要直接 、主动的研读《考试说明》，研究近年来的高考试题，掌握高考信息、命题动向。
小技巧 化非直角三角形为直角三角形 将实际问题转化为直角三角形模型
归纳小结
1、勾股定理： 如__果__直_角__三__角__形_的__两__直__角_边__长__分__别_为__a_,_b_,_斜_边__为__c.
那__么____________________________ 2、勾股定理有广泛的应用.
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学目标 1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想．
勾股定理的应用
例1：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m， 宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？ 为什么？
已知条件有哪些？
C
2m
A 1m B
1.木板能横着或竖着从门框通过吗？ 2.这个门框能通过的最大长度是多少？ 3.怎样判定这块木板能否通过木框？
3、学习反思：
____________________________ __________________ ____B
拓展迁移
在数轴上作出表示 20的点. 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
17.1 勾股定理(第2课时 勾股定理的应用)学案 2022—2023学年人教版数学八年级下册
17.1 勾股定理（第2课时勾股定理的应用）学案学习目标•理解勾股定理的应用场景•掌握勾股定理的应用方法•运用勾股定理解决实际问题基础知识回顾在前一节的学习中，我们学习了勾股定理的基本概念和证明过程。
回顾一下，勾股定理可以表达为：a2+b2=c2其中，a、b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。
勾股定理的应用场景勾股定理是数学中的一个重要定理，广泛应用于各个领域。
下面我们将探讨一些常见的应用场景。
1. 测量直角三角形的边长勾股定理最基本的应用就是测量直角三角形的边长。
当我们已知直角三角形的两条直角边，想要求解斜边的长度时，可以直接利用勾股定理计算。
2. 解决实际问题勾股定理在解决实际问题时也起到重要的作用。
例如，在土木工程中，我们常常需要测量建筑物的高度或者水平距离。
通过勾股定理，我们可以利用已知的线段长度和角度来计算未知的线段长度，从而帮助我们解决实际问题。
勾股定理的应用方法1. 已知两条直角边，求解斜边假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，我们可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边的值代入等式，解得斜边的长度c。
2. 已知直角边和斜边，求解另一条直角边当我们已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，想要求解另一条直角边时，可以利用勾股定理进行求解。
具体步骤如下：1.将已知的直角边和斜边代入勾股定理得到等式a2+b2=c2。
2.将已知的直角边和斜边的值代入等式，解得另一条直角边的长度。
3. 解决实际问题在实际问题中应用勾股定理时，我们需要根据问题的具体情况，确定需要求解的未知量是哪一个。
通过观察题目中给出的已知条件和需求，我们可以根据勾股定理的应用方法进行求解。
案例分析案例一：求斜边长度已知直角三角形的一条直角边长为3cm，另一条直角边长为4cm，求斜边的长度。
解答步骤如下：1.将已知直角边代入勾股定理得到等式：32+42=c2。
勾股定理与生活
勾股定理与生活
勾股定理是数学中一个基本的定理，主要描述了在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理在生活中有非常广泛的应用：
1. 建筑和工程：在建筑和工程领域，勾股定理被用来确保结构的准确性和稳定性。
例如，工人会用它来检查墙壁、地板是否垂直或水平，或者在测量电线杆、塔等的高度时。
2. 装修设计：在室内设计中，比如确定家具的位置，计算最佳视角等，都会用到勾股定理。
3. 体育运动：在篮球、足球、田径等运动中，运动员利用勾股定理来判断投篮角度、传球距离等。
4. 导航和地理：在地图制作和导航系统中，勾股定理用于计算两点之间的最短距离。
5. 电子设备：手机、电脑等电子设备的屏幕尺寸，往往通过勾股定理来计算对角线长度。
6. 日常生活：比如测量窗户、门的尺寸，计算梯子的安全角度等，都会用到勾股定理。
7. 交通：驾驶员在倒车入库时，可以通过勾股定理判断车尾与障碍物的距离。
这些都是勾股定理在我们日常生活中的实际应用，体现了数学的实用性和普遍性。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版
【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.
∴CE＝ AC＝
DE＝
km.∴AE＝
km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋ ＝ ＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳 新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝
人教版数学八年级下册17.1.2《勾股定理的应用》教案
3.数学抽象：理解勾股定理的数学表达，提高学生的数学抽象思维能力。
4.问题解决：培养学生遇到问题时能主动运用所学知识进行解决的能力，提高数学问题解决技巧。
5.数据分析：通过实际案例分析，使学生能够从数据中提炼信息，培养数据分析素养。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，小组讨论的环节也让我有所启发。学生们在讨论中表现出了很高的热情，能够积极发表自己的观点，但有时候讨论的主题偏离了课程内容。为了使讨论更加有效，我应该在设置讨论主题时更加明确，同时在讨论过程中加强对学生的引导，确保讨论的方向与课程目标相符。
还有一个值得注意的问题是，在课堂总结环节，部分学生提出了疑问，但我没有足够的时间一一解答。我意识到在以后的教学中，需要合理安时间，预留出更多的时间来解答学生的疑问，确保他们对所学知识的掌握。
最后，针对本节课的教学，我认为在以下几个方面进行改进：
1.增加课堂互动，让学生多参与，提高他们的学习兴趣和积极性。
2.加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时发现并解决问题。
3.丰富教学手段，利用多媒体、实物等资源，使抽象的概念更加直观易懂。
4.注重培养学生的动手操作能力，让他们在实际操作中感受数学的魅力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用(教案)
关于学生小组讨论环节，我发现学生在讨论过程中能够提出自己的观点，并进行有效交流。但在引导与启发方面，我觉得自己还可以做得更好。未来，我将更多地运用开放性问题，激发学生的思考，帮助他们发现问题、分析问题和解决问题。
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学下册17.1.2勾股定理的应用。本节课主要内容包括：
1.理解并掌握勾股定理的应用场景，如直角三角形中，了解斜边与两个直角边的关系。
2.学会运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的斜边长度、判断一个三角形是否为直角三角形等。
5.培养学生数学运算的核心素养，让学生熟练掌握勾股定理，并能灵活运用到各种计算和证明过程中，提高运算的准确性和速度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理及其在直角三角形中的应用。
-重点讲解：
-勾股定理的表述：直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
-勾股定理的证明：通过几何图形或代数方法，证明勾股定理的正确性。
其次，理论讲解环节，我尽量用简洁明了的语言解释勾股定理的概念和证明过程。从学生的反应来看，大部分同学能够跟上我的讲解，但仍有少数同学在理解上存在困难。针对这个问题，我考虑在今后的教学中，可以通过增加互动提问环节，让学生在课堂上及时反馈疑问，以便我更好地关注到每个学生的学习情况。
在案例分析环节，我选取了建筑物直角三角形结构作为例子，旨在让学生了解勾股定理在实际问题中的应用。从学生的讨论来看，这个案例取得了较好的效果。但在今后的教学中，可以尝试引入更多类型的案例，让学生从不同角度理解勾股定理的应用。
17.1勾股定理在实际生活中的应用
17.1.2勾股定理在实际生活中的应用情景导入同学们知道，我们学校的洗手池与篮球场之间被草坪隔开了，体育课后，个别打完篮球的同学为了少走一些路就直接从草坪中间穿到水池洗手．这个行为肯定是不对的，为了弄清楚他们到底会少走多少路，我让同学们进行了测量．下面是老师根据老师自己的测量结果画成的草图，请同学根据问题进行回答．图17－1－511．根据测量AB＝4米，BC＝3米，那么他们将要少走多少米？在解决这个问题的过程中我们应用了什么定理？2．若改变数据AB＝5米，学生穿越草坪的距离AC＝13米，那么他们若不走草坪只多走了多少米？[说明与建议] 说明：利用学生身边情景导入新课，使学生经历了从现实生活中抽象出数学问题的过程，从而激发学生的强烈的好奇心和求知欲，并且又能起到育人的目的．建议：提前布置任务，给学生实践的机会，从而引发学生思考解决设疑的方法，为新课的讲解做好铺垫．图17－1－52有一个有趣的问题：蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米(每个小方格的边长为1 cm)？你能解决这个问题吗？若从A点爬到D点，蚂蚁有没有最短的爬行距离，你能求出来吗？[说明与建议] 说明：设计实际问题背景，激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力．建议：教学中教师要鼓励学生积极地进行观察、思考、计算，教师检验并多进行积极的评价．——教材第29页习题17.1第10题图17－1－53这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．(丈尺是长度单位，1丈＝10尺)这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？【模型建立】在解决有关直角三角形的实际问题时，若情况复杂，比如不能直接求边长，这时可利用勾股定理建立方程解决问题．【变式变形】图17－1－541．公元12世纪，印度著名数学家婆什迦罗在他的名著《丽罗娃提》中将该题编成一首诗歌，在中东和西欧国家广泛流传，成为著名的“莲花问题”，该诗为：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲．出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边．渔人观看忙向前，花离原位两尺远．能算诸君请解题，湖水如何知深浅？解：设水深为x 尺，则茎秆高为(x ＋0.5)尺，由勾股定理，得x 2＋22＝(x ＋0.5)2.解得x ＝334，即湖水深334尺． 2．一根竹子高一丈(10尺)，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是多少？解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边长为(10－x )尺，根据勾股定理得x 2＋32＝(10－x )2，解得x ＝9120. 答：折断处离地面的高度是9120尺．图17－1－553．如图17－1－55是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了一段，长为1米，将绳子拉直后，绳子的末端离旗杆5米，你能求出旗杆的高度吗？试试看．解：设AC＝x米，则AB＝(x＋1)米，BC＝5米，由勾股定理得，AC2＝AB2－BC2，即x2＝(x＋1)2－25，解得x＝12.答：旗杆的高度是12米．4．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”[解析] 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解．图17－1－56解：如图17－1－56，不妨设图中的OA为秋千的绳索，CD为地平面，BC为身高5尺的人，AE为两步，即相当于10尺的距离，A处有一块踏板，EC为踏板离地的距离，它等于一尺．设OA＝x尺，即OB＝OA＝x尺，F A＝BE＝BC－EC＝5－1＝4(尺)，BF＝EA＝10尺．在Rt△OBF中，由勾股定理，得OB2＝OF2＋BF2，即x2＝(x－4)2＋102，解这个方程，得x＝14.5.所以这个秋千的绳索长度为14.5尺．[命题角度1] 直接利用勾股定理求边长通过对等式a2＋b2＝c2变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：c＝a2＋b2，b＝c2－a2，a＝c2－b2.在直角三角形中，已知两边，求第三边，可直接应用勾股定理求解．注意挖掘实际问题中的直角，把实际问题转化为有关直角三角形的问题，应用勾股定理计算后回答实际问题．例如图17－1－57，一架25 m长的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，AO＝24 m.(1)求这个梯子的底端与墙的垂直距离有多远；(2)当BD＝8 m时，AC的长是多少？(3)如果梯子的底端向墙一侧移动了2 m，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少？图17－1－57解：(1)在Rt△AOB中，∠AOB＝90°.由勾股定理，得OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49，所以OB＝49＝7.答：这个梯子的底端距墙的垂直距离是7 m.(2)OD＝OB＋BD＝7＋8＝15(m)，CD＝25 m.在Rt△COD中，∠COD＝90°，由勾股定理，得OC2＝CD2－OD2＝252－152＝400，所以OC＝400＝20 (m)，所以AC＝AO－OC＝24－20＝4 (m)．(3)由题意及勾股定理，得此时梯子顶端离地面的垂直距离为252－52＝10 6≈24.49(m)，所以梯子的顶端向上滑动的距离约为24.49－24＝0.49(m)．[命题角度2] 利用勾股定理建立方程解决实际应用问题题目中虽然有直角三角形，但是已知线段的长不完全是直角三角形的边，所求边长不能直接运用勾股定理解决，这时可以设出未知数，通过建立方程，解答这类计算问题．例如图17－1－58，已知某学校A与直线公路BD相距3000米，且与该公路上一个车站D相距5000米．现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市与车站D的距离是多少米？图17－1－58解：设超市C与车站D相距x米，则BC＝BD－x.在Rt△ABD中，BD＝AD2－AB2＝4000(米)，所以BC＝(4000－x)米．在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即x2＝30002＋(4000－x)2，解得x＝3125.答：该超市与车站D的距离是3125米．[命题角度3] 利用勾股定理求平面上两点之间的最短距离“两点一直线”型最短路径问题有两种情况：(1)两点在直线异侧时，连接两点与直线有一个交点，交点就是所求的点．(2)两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线相交．最短路线为“一点→交点→另一点”．在求值时要根据对称性构造直角三角形．例如图17－1－59所示，一个牧童在小河正南方4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？17－1－5917－1－60解：如图17－1－60，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP，则A→P→B就是最短路线，AP＋BP＝A′B.在Rt△A′DB中，由题意，得BD＝8 km，DA′＝7＋4＋4＝15(km)，由勾股定理求得A′B＝A′D2＋BD2＝17(km)．答：他要完成这件事情所走的最短路程是17 km.。