第12讲《实际问题与二次函数》(教案)
教学过程一、复习预习前面三节课我们学习了二次函数图像和性质，大家都学习的非常认真，今天这节课是二次函数的知识的最后一节课，也是非常重要的一节课，我们将利用二次函数的性质，解决与实际有关的应用问题。
大家先来看下面的例子：二、知识讲解引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？答案如图，水平面所在的直线为x轴，向右为正方向，以甲学生身体所在的垂线为y轴，向上为正方向，建立直角坐标系。
Θ甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（4,1）学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米∴点C 的坐标为（1,1.5）。
设抛物线为12++=bx ax y ，把B （4,1）和C （1,1.5）代入上式的，11416=++b a ，5.11=++b a 解得：61-=a ，32=b ，所以抛物线为132612++-=x x y ； 又Θ学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，∴当5.2=x 时，625.1132612=++-=x x y 学生丁的身高为1.625米。
总结：1、要解决这个实际问题，关键是如何建立恰当的直角坐标系；2、如何将实际问题中给的数据抽象成二次函数图象上的点的坐标；3、根据总结出来的点的特殊性，设二次函数关系式；4、用“待定系数法”，解方程组，求出二次函数关系式。
二次函数的应用----常考题型1.求二次函数的解析式2.利用二次函数的顶点式求最值二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x ＝a b 2-时，ab ac y 442-=最大（小）值. 3.根据二次函数图像和性质解决销售利润问题4.根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题考点/易错点1二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。
考点/易错点2二次函数常用来解决最优化问题考点/易错点3（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。
（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。
考点/易错点4根据题意写出x的取值范围考点/易错点5二次函数的最值求解运算错误，忘记考虑x的取值范围三、例题精析【例题1】【题干】某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种棵橘子树，橘子总个数最多．【答案】解：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有（x+100）棵橙子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结（600﹣5x）个橙子．∵果园橙子的总产量为y，∴则y=（x+100）（600﹣5x）=﹣5x2+100x+60000，∴当x=﹣=﹣=10（棵）时，橘子总个数最多．故答案为：10．【解析】根据题意设多种x棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量y与x之间的关系式，进而求出x=﹣时，y最大．【例题2】【题干】某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】解：（1）由题意，可设y=kx+b ，把（5，30000），（6，20190）代入得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 620000530000， 解得：100080000k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；（2）设利润为W ，则W=（x ﹣4）（﹣10000x+80000）=﹣10000（x ﹣4）（x ﹣8）=﹣10000（x 2﹣12x+32）=﹣10000[（x ﹣6）2﹣4]=﹣10000（x ﹣6）2+40000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为40000元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．【解析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．【变式练习】【题干】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【答案】解：（1）当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，300×（12﹣10）=300×2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600元．（2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000．即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．(3)由题意得：﹣102x+600x﹣5000=3000，解得：x1=20，x2=40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000．又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000．设政府每个月为他承担的总差价为p元，∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．∵k=﹣20＜0．∴p随x的增大而减小，∴当x=25时，p有最小值500．即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．【解析】（1）把x=20代入y=﹣10x+500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由利润=销售价﹣成本价，得w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【例题3】【题干】某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0）.由所给函数图象得解得 x=-1b=180⎧⎨⎩∴函数关系式为y ＝－x ＋180. (2)W ＝(x －100) y ＝(x －100)( －x ＋180) ＝－x 2＋280x －18000 ＝－(x －140) 2＋1600/件)当售价定为140元, W最大＝1600.∴售价定为140元/件时,每天最大利润W＝1600元【例题4】【题干】某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．【答案】解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2﹣x=（90﹣x）cm．由题意得：y=x（90﹣x）×20=﹣20（x2﹣90x）=﹣20（x﹣45）2+40500当x=45时，y有最大值，最大值为40500．答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．【解析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值．【例题5】【题干】某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由【答案】选择方案A【解析】（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000（2）w ＝－10x 2＋700x －10000＝－10（x －35）2＋2250 所以，当x ＝35时，w 有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大 （3）方案A ：由题可得20＜x ≤30， 因为a ＝－10＜0，对称轴为x ＝35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大， 所以，当x ＝30时，w 取最大值为2019元，方案B ：由题意得4525010(25)10x x ≥⎧⎨--≥⎩，解得：4549x ≤≤，在对称轴右侧，w 随x 的增大而减小， 所以，当x ＝45时，w 取最大值为1250元， 因为2019元＞1250元， 所以选择方案A 。
【题干】某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=()() 15900 513026x xx x+<≤2⎧⎪⎨-+<<⎪⎩若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为（1）用x的代数式表示t为：t= ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2= ；当＜x＜时，y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【答案】解：（1）由题意，得x+t=6，∴当0＜x≤4时，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，此时y2与x的函数关系为：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；当4≤x＜6时，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，此时y2=100．故答案为6﹣x；5x+80；4，6；（2）分三种情况：①当0＜x≤2时，()()()2159058061040480w x x x x x x=+++-=++②当2＜x≤4时，()()()2513058061080480w x x x x x x=-+++-=++③当4＜x＜6时，()()251301006530600w x x x x x=-++-=-++综上可知，()()()22210404800210804802453060046x x xw x x xx x x⎧++<≤⎪⎪=-++<≤⎨⎪-++<<⎪⎩（3）当0＜x ≤2时，21040480w x x =++()4402102++=x ，此时x=2时，w 最大=600；当2＜x ≤4时，21080480w x x =++()4064--102+=x ，此时x=4时，w 最大=640；当4＜x ＜6时，2530480w x x =-++()6453--52+=x ，4＜x ＜6时，w ＜640；∴x=4时，w 最大=640．故该公司每年国内、国外的销售量各为4千件、2千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64万元．【解析】（1）由该公司的年产量为6千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量=6千件，即x+t=6，变形即为t=6﹣x ；根据平均每件产品的利润y 2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系()()210002511026t y t t <≤⎧⎪=⎨-+≤<⎪⎩及t=6﹣x 即可求出y 2与x 的函数关系：当0＜x ≤4时，y 2=5x+80；当4≤x ＜6时，y 2=100；（2）根据总利润=国内销售的利润+国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜x ≤2；②2＜x ≤4；③4＜x ＜6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．【题干】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x﹣10x2+1300x﹣30000销售玩具获得利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x ﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【例题8】【题干】某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x 的n 倍成正比．试行中得到了表中的数据．（1）用含x 和n 的式子表示Q ；（2）当x = 70，Q = 450时，求n 的值； （3）若n = 3，要使Q 最大，确定x 的值；（4）设n = 2，x = 40，能否在n 增加m %（m ＞0）同时x 减少m %的情况下，而Q 的值仍为420，若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 参考公式：抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是（－b2a ，4ac －b 24a ）【答案】（1）设212=k x +k x W π，∴212Q=k x +k x+100π由表中数据，得2122124204024010010060160100k k k k ⎧=+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩，解得121106k k ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ （2）由题意，得21450=-70+670+10010π⨯⨯ 次数 2 1 速度40 60 指数4210∴n=2（3）当n=3时，21Q=-x +18x+10010由1a=-010<可知，要使Q 最大，189012()10x =-=⨯-1.由题意，得即200002()0m m -=，解得0012m =，或000m =（舍去） ∴m=50【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．四、课堂运用【基础】1.在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y （件）与销售价格x （元/件）满足一个以x 为自变量的一次函数．（1）求y 与x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？ 【答案】解：（1）设y 与x 满足的函数关系式为：y=kx+b ．由题意可得：⎩⎨⎧+=+=b k b k 29212436解得⎩⎨⎧=-=1083k b故y 与x 的函数关系式为：y=﹣3x+108．（2）每天获得的利润为：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．【解析】本题主要考查二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求法，此题难度不大．2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：（1）直接写出y与x的函数关系式：y=﹣10x+1000（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？ 【答案】解：（1）设y=kx+b ，由题意得，⎩⎨⎧+=+=b k b k 6040055450，解得：⎩⎨⎧=-=001010k b ，则函数关系式为：y=﹣10x+1000；（2）由题意得，S=（x ﹣40）y=（x ﹣40）（﹣10x+1000）=﹣10x 2+1400x ﹣40000=﹣10（x ﹣70）2+9000， ∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当40≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；10000=250（件），此时x=75，由（2）得当x≥70时，S随x的增大而（3）当购进该商品的贷款为10000元时，y=40减小，∴当x=70时，销售利润最大，此时S=9000，即该商家最大捐款数额是9000元．3.科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种．（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．【答案】（1）选择二次函数，设c bx ax y ++=2，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=4124492449c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=4921c b a∴y 关于x 的函数关系式是4922+--=x x y ．不选另外两个函数的理由：注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以y 不是x 的反比例函数；点（－4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以y 不是x 的一次函数． （2）由（1），得4922+--=x x y ，∴()5012++-=x y ， ∵01<-=a ，∴当1-=x 时，y 有最大值为50． 即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．【解析】本题考查的是二次函数的应用以及二次函数的性质．4. 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm ²)是多少？（2）此时五边形APQCD的面积是S(cm²)，写出S与t的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t为何值时s最小，最小值时多少？【答案】（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6-t）cm，BQ=2tcm∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2-6t+72=（t-3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm2．【解析】（1）根据t秒时，P、Q两点的运动路程，分别表示PB、BQ的长度，可得△BPQ的面积，用S=S 矩形ABCD-S△PBQ求面积即可；（2）将（1）中所求函数式配方，可得函数的最小值．5.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？【答案】解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．【解析】表示出花圃的边长是解决本题的易错点．【巩固】1. 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．【答案】解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x ≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x ≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【解析】本题考查了二次函数的最值的运用．关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题．2. 某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【答案】解：(1) 四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF =CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x, 则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10]当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．【解析】图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕C点按顺（逆）时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．所以△CEF是等腰直角三角形．因此四边形EFGH是正方形．（2）费用由三部分的费用组成，因此需求各个部分的面积．因为CE=CF ，所以可设CE=x ，用含x 的式子表示各部分的面积，得出费用的表达式，再运用函数性质解答．3.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
九年级数学上册《实际问题与二次函数》教案、教学设计
4.巩固练习，拓展提高
设计具有梯度的练习题，让学生在掌握基本知识的基础上，逐步提高解决问题的能力。同时，布置拓展提高题，激发学生的创新思维，培养其数学素养。
5.反思评价，促进成长
在教学过程中，注重引导学生进行自我反思，评价自己在解决问题过程中的表现。教师应及时给予反馈，肯定学生的优点，指出不足，促进学生不断成长。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
在导入新课环节，我将利用生活中的实例来激发学生的兴趣，引导他们思考实际问题与二次函数之间的联系。我会向学生展示一个抛物线形状的拱桥图片，并提出问题：“同学们，你们知道这座拱桥的最大高度是多少吗？我们如何运用二次函数来求解这个问题？”通过这个问题，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的探究欲望。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们已经掌握了二次函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的二次函数问题。但在实际问题与二次函数的结合上，学生可能还存在以下问题：一是将实际问题转化为数学模型的能力不足，二是运用二次函数解决实际问题时，缺乏对问题深入分析的能力。此外，部分学生对数学学习的兴趣和自信心有待提高。针对这些情况，教师应注重以下几点：1.引导学生从实际问题中发现数学问题，培养其数学建模能力；2.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，提高其解决问题的能力；3.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生积极参与，增强其学习数学的自信心。通过有针对性的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力和学习兴趣。
4.培养学生团结协作、互相帮助的精神，使其在合作中成长，体验团队的力量。
本章节教学设计以实际问题为载体，以二次函数为主线，引导学生运用数学知识解决生活中的问题。在教学过程中，注重培养学生的独立思考、合作交流、创新实践能力，使其在掌握知识的同时，提高综合素质。通过本章节的学习，使学生认识到数学在生活中的重要作用，激发学生学习数学的兴趣，为学生的终身发展奠定基础。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数一、学习目标·重点难点1、初步让学生学会用二次函数知识解决实际问题。
2、在问题转化，建摸的过程中，发展合情推理，体会数形结合的思想。
3、通过实际问题，体验数学在生活实际的广泛运用，发展数学思维，激发学生学习热情。
教学重点：用二次函数的知识解决实际问题。
教学难点：建立二次函数数学模型。
教学方法：引导、启发式教学，学生自主学习，合作探索。
二、直击考试·例题解析例1:我们班小红家开了一个商店，某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件，已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使小红的爸爸获得利润最大？分析：1、如何确定函数关系式？2、每件的利润=售价—进价总利润=每件的利润×卖出的总件数3、变量x有范围要求吗？解:调整价格包括涨价和降价两种情况(1)设每件涨价x元，则每件的利润为(60+x-40)元，可卖的商品的件数为(300-10x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60+x-40)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250 (其中0≤x≤30)∴当x=5时，y最大=6250元所以在涨价的情况下，每件涨5元即定价为65元/件时利润最大是6250元。
(2)设每件降价x元，则每件的利润为(60-x-40)元，可卖的商品件数为(300+20x)，此时每星期商品的利润为y元，于是有y=(60-x-40)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20(x-2.5)2+6125 (其中0≤x≤20)∴当x=2.5时，y最大=6125元所以在降价的情况下，每件降价2.5元即定价为57.5元时，利润最大是6125元。
综合(1) (2)可知，商品的定价为65元时才能使小红的爸爸获得利润最大。
由此题可知，做生意也是有很大的学问。
《实际问题与二次函数》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22. 3 实际问题与二次函数 教学设计《实际问题与二次函数》是在学生学习了本章的二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识之后对二次函数知识应用的深入推进，它是学生学习数学知识的归宿．新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题．而本节解决的最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一。
本节教材是利用二次函数的最大值解决几类实际问题，一开始通过抛球的最大高度问题让学生先求出函数的解析式，再求出使函数值晨大的自变量的值．在此问题的基础上引出直接根据函数解析式求二次函数的最大值或最小值的结论。
紧接着通过探究场地最大面积、商品最大利润、水面宽度等三个实际应用问题，每个问题都是建立二次函数模型，利用二次函数的图象和性质来解决的，让学生深刻体会了二次函数的实际应用价值。
1. 会求二次函数2y ax bx c =++的最小（大）值；2. 能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值。
3. 经历利用二次函数的最值解决实际问题的过程体会数学建模思想，感受数学来源于生活，又服务于生活。
4. 通过将二次函数的最大值的知识灵活运用于实际，让学生体会到数学的价值，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点】从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最大(小)值解决实际问题。
【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型。
多媒体课件、教具等。
一、创设情境，引入新知。
问题1填空：（1）二次函数()2y a x h k=-+的图象和性质①当a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____，顶点坐标是______ ；②当a<0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是______。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数教案实验中学 李三红教学目标：1．通过对实际问题情景的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
2. 能用配方法或公式法求二次函数的最值，并由自变量的取值范围确定实际问题的最值。
复习回顾：1、二次函数 的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 .2、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y 的最 值是 .3、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y 的最 值是 .4、二次函数 的图象是一条 ，它的对称轴是 ，顶点坐标是 . 当a>0时，开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 .当a<0时，开口向 ，有最 点，函数有最 值。
5、二次函数 的对称轴是 ,顶点坐标是 ，当x= 时，y 的最 值是 .6、关于销售问题的一些等量关系.（单件商品）利润=售价—进价总利润=单件商品利润×销售量知识准备：某商品成本为20元，售价为30元，卖出200件，则利润为 元①若价格上涨x 元，则利润为 元；②若价格下降x 元，则利润为 元；③若价格每上涨1元，销售量减少10件，现价格上涨x 元，则销售量为 件，利润为 元；④若价格每下降1元，销售量增加20件，现价格下降x 元，则销售量为 件，利润为在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题。
如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
如果你去买商品，你会选买哪一家的？如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？自主探究：问题1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件 60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如果调整价格 ，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？分析：没调价之前商场一周的利润为 元；设销售单价上调了x 元，那么每件商品的利润可表示为 元，每周的销售量可表示为 件，一周的利润可表示为 元，要想获得6090元利润可列方22(3)5y x =-+23(3)1y x =-+-2y ax bxc =++2289y x x =-+()y a x h k=-+程 。
实际问题与二次函数教学设计
实际问题与二次函数教学设计.docx教学设计课题26.3实际问题与二次函数(一)执教者朱XX班级3.3班三维目标知识与技能1.生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用2.在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想过程与方法合作学习，讨论交流情感态度与价值观1通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情2在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神教材分析教学重点利用二次函数解决商品利润问题教学难点建立二次函数数学模型，函数的最值互动过程教学过程教学内容师生互动设计意图情境导入1、当_取何值时，下列函数有最大值还是最小值？最大值或最小值是多少？(1)y=-_2+2_+(2)y=4_2+2_2、二次函数y=a_2+b_+c，当_取何值时，该函数有最大（小）值？最大（小）值是多少？师：提出问题生：口答师：板书复习巩固函数最值，为学习新知做铺垫解读探究活动(一)用总长为60米的篱笆围成一个矩形场地，矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化，当l多少时，场地的面积S最大？最大面积是多少？生：独立完成师：适时点拨通过学生动手计算，一方面培养学生的计算能力，另一方面让学生初步体会用二次函数解瘐决实际问题的简洁性活动(二)探究：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？生：小组合作学习解决问题师：参与其中通过学生合作学习，解决实际问题，培养学生把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想同时培养学生探究的兴趣。
互动过程教学过程教学内容师生互动设计意图实践链接略生：抢答或合作解答师：点评培养学生积极的情感，态度，培养学生学以致用的能力课程回顾谈一谈本节课你有哪些收获？生：谈体会师：补充培养学生的语言概括能力布置作业教科书第1、2题板书设计课题1、y=a_2+b_+c的最值3、探究2、引例4、学生练习地。
实际问题与二次函数教案
§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）教学任务分析教学流程安排教学过程设计例21．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。
用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。
如图，现有一张半径为45mm的磁盘（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？1小题融入了运动的观点，培养学生用运动的观点看待事物与实际相联系增强学生解决实际问题的能力[活动3] 总结反思检测反馈1．抓住图形的特点进行建模2．注意实际问题的自变量的取值范围检测：用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。
这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？通过小结和检测回顾本节内容，反馈课堂学习效果[活动4] 布置作业拓展升华作业：目标P96 1、2、P97 4思考题：1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，BE＝DF。
四边形ADGF是矩形，则矩形ADGF的面积随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数关系来表示？2．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。
四边形EFGH也是正方形。
当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围通过作业在一次内化知识，构建知识系统。
第26章第12课时实际问题与二次函数(建立平面直角坐标系问题)
第12课时实际问题与二次函数（3）（建立平面直角坐标系问题）【目标导航】1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题；3．经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．【要点梳理】1．用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意：(1)建立恰当的平面直角坐标系；(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式．2．同一问题，所建立的直角坐标系不同，所得抛物线的解析式也（相同或不同）．【问题探究】例1．（拱桥与抛物线）如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）．（1）求抛物线的解析式．（2）求两盏景观灯之间的水平距离．变式：如图3，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接．桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）是900米，这里水面的海拔高度是74米．若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米．请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长（结果精确到0.1米）．例2．（体育运动与抛物线）一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图4所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y 与x 之间的函数关系式． ⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．变式：某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图5，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．⑴建立如图5的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？【课堂操练】 1．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ） A ．3m B ．2 6 m C ．4 3 m D ．9m2．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图6所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）（ ）A ．6.9米B ．7.0米C ．7.1米D ．6.8米3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________．4．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．(1)如图7所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：(2)在正常水位的基础上，当水位上升h （米)时，桥下水面的宽度为d (米)，求出将d 表示为h 的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．【每课一测】图6 图7一、选择题（每题15分，共30分）1． 你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图8所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米则学生丁的身高为(建立的平面坐标系如图所示) ( ) A ．1.5m B ．1.625m C ．1.66m D ．1.67m2．在南非世界杯中，巴西队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y =ax 2+bx +c ，如图9所示，则下列结论⑴a ＜-160；⑵-160＜a ＜0；⑶a -b +c ＞0；⑷0＜b ＜-12a ，其中正确的是( )A ．⑴⑶B ．⑴⑷C ．⑵⑶D ．⑵⑷ 二、填空题（每题15分，共30分）3．(2010甘肃兰州中考)如图10，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.4．如图11所示，一座抛物线型拱桥，桥上水面宽度是4m 时，拱高 为2m.一艘木船宽2m ，要能顺利从桥下通过，船顶与桥拱之间的间隔不应少于0.3m.那么木船的高不得超过________ m ． 三、解答题（每题40分，共40分） 5．（2010山东日照中考）如图12，小明在一次高尔夫球争霸赛中， 从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距83米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入 球洞A点 ．图9 x y O 2.4 12 甲 丙丁 乙1m 1m 1m2.5m4m x y o 图8 图10 图11 图12【参考答案】【要点梳理】 2．不同【问题探究】例1．分析：本题已经建立了平面直角坐标系，于是：（1）依题意可以求得抛物线的顶点坐标，这样可以用顶点式设出抛物线的解析式；（2）由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，也就是说两景观灯的纵坐标都是4，这样利用（1）求得的抛物线的解析式得到一个一元二次方程，即可求解． 解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）． 于是可设抛物线的解析式是y ＝a （x －5）2＋5，把（0，1）代入y ＝a （x －5）2＋5，得425a =-a ． 所以所求抛物线的解析式为24(5)5(010)25y x x =--+≤≤． （2）由已知条件得两景观灯的纵坐标都是4，所以244(5)525x =--+，即225(5)4x -=，于是1152x =，252x =．所以两景观灯间的距离为5米．变式：分析：本题看似复杂，但只要仔细理解题意，正确地建立坐标系，再运用二次函数的知识，即可求解．解：如图1，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点，以桥面所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A （0，0.5），B （－450， 94.5），C （450，94.5）． 由题意，设抛物线为y ＝ax 2＋0.5．将C （450，94.5）代入求得47101250a = ．所以2470.5101250y x =+ ．当x ＝350时，y ≈57.4．所以，离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米．说明：本题也可以这样来建立平面直角坐标系：如图5，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则B （－450，94），C （450，94）．设抛物线为：y ＝ax 2，将C （450，94）代入求得：47101250a =．所以247101250y x =．当x ＝350时，y ≈56.9，所以56.9+0.5＝57.4．所以离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米．例2．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x 轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积． 解：⑴设y =Ax 2+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A = —121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +35． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +35=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10图1 图2米．⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —121（x 2—8x —20）= —121（x —4）2+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（35+3）×4+21×6×3=1831．变式：分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，920），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．设二次函数解析式为y =A （x —h ）2+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —91（x —4）2+4． 将点C 的坐标代入上式，得左边=右边，即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中． ⑵将x =1代入函数式，得y =3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功． 【课堂操练】 1．D2．A 提示：建立如图所示的平面坐标系，根据题意知A （-4，0）、B （4，0）、C （3，3）、D （-3，3），设抛物线的解析式为：y =a (x -4)(x +4)，则有3= a (3-4)(3+4)，解答a =-73，所以y =-73(x -4)(x +4)=-73x 2+748，又因为748≈6.9米，所以厂门的高约6.9米，选A ．3．y =ax 24．解：(1)由所建坐标系所示，设抛物线的解析式为y =ax 2 ∵在正常水位时，B 点坐标为(10，-4) ．∴-4=102a ．∴a =-251，∴该抛物线的解析式为y =-251x 2(2)当水住上升h 米时，D 点的纵坐标为 -(4-h )．设D 点的横坐标为x ，则有-(4-h )= -251x 2，∴x =h -45，∴d =2x =10h -4(3)当桥下水面宽为18米时，得18=10h -4．∴h =4-2581=0.76．又2+0.76=2.76(米)， 即桥下水深超过2.76米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行． 【每课一测】1．B 提示：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ．由已知，函数的图象过(-1，1)、(0，1.5)、(3，1)三点，易求得其解析式为y =-16x 2+13x +32．因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625．因此，丁得身高为1.625米．故选B ．2．B 提示：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c =2.4，b =-12a -0.2．故b ＜-12a ．又抛物线开口向下，故a ＜0．且对称轴x =-2ba＞0，故b ＞0．即0＜b ＜-12a ， 因此⑷正确．又因144a +12b =-2.4且b ＞0，故144a ＜-2.4．因此a ＜-160，因此⑴正确．因此，应选B ． 3．0.5 提示：建立如图所示的坐标系,设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，A (0.5，-1.5)，B (2，0)，O (0，0),所以a ＝2，b ＝-4，c ＝0，所以解析式为y ＝2x 2-4x ，所以顶点坐标为(1，-2)，即最低点距地面的距离为2.5-2＝0.5米.4．1.2 提示：设水面宽为AB ，以水平面所在的直线AB 为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.则有顶点C 的坐标为C （0，2）、A （-2，0）、B （2，0），设抛物线的解式为y =ax 2+2.把B （2，0）代入式中，得0=4a +2 ∴a =-21， y =-21x 2+2. 设木船MNPH 正中央通过，ON =1m ，N 的坐标为（1，0）.当x=1时，y =-21×12+2=23，即Q 的坐标为（1，23）.就是QN =23m.PN =23-0.3=1.5-0.3=1.2，即该船要顺利通过拱桥，船的高度不得超过1.2m.5．解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC=30 ° ，OA =83，∴AC=12OA =21×83=34， 2222(83)(43)12OA AC -=-=．∴点A 的坐标为（12，34）．设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得：34=12k ，∴k =33 ， ∴OA 的解析式为y =33x ； (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a (x-9)2+12，把点O 的坐标代入得：0=a （0-9）2+12，解得a =274- ，∴抛物线的解析式为y =274-(x -9)2+12，即y =274- x 2+ 38x ； (3) ∵当x =12时，y =332≠34，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．。
实际问题与二次函数教案设计
§26.3实际问题与二次函数教学设计一、教材分析：本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二、教学目标知识 与 技 能（1）能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题；（2）用已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系；（3）通过数学建模思想、转化思想、函数思想、数形结合思想的综合运用，提高学生的数学能力。
过 程 与 方 法（1）经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出数学模型；（2）注意二次函数和一元二次方程、不等式的联系和互相转化，以及其在实际问题中的综合运用，重视对知识综合能力的培养；（3）经历观察、推理、交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法与经验。
情 感 态 度与价值 观（1）结合实际问题研究二次函数，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣，让学生在实际应用中逐步深化对二次函数的理解和认识；（2）设置丰富的实践机会，引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生形成良好的数学思维习惯；（3）通过同学之间的合作交流，让学生积累和总结经验。
三、教学重难点1.教学重点：理解数学建模的基本思想，能从实际问题中抽象出其二次函数的数学模型; 回顾并掌握二次函数最值的求法，在应用，在应用基本结论的同时掌握配方法；利用二次函数的图像解决实际问题。
二次函数与实际问题教案
二次函数与实际问题教案教案标题：二次函数与实际问题教案教案简介：本教案旨在帮助学生理解二次函数与实际问题之间的关系，并能够运用二次函数解决实际问题。
通过教案的实施，学生将能够掌握二次函数的基本概念和性质，并能够将二次函数应用到实际生活中的问题中。
教案目标：1. 理解二次函数的定义及其一般形式；2. 掌握二次函数图像的性质和变化规律；3. 能够根据实际问题建立相应的二次函数模型；4. 能够利用二次函数解决实际问题；5. 发展学生的逻辑思维和问题解决能力。
教案步骤：第一步：引入二次函数概念（15分钟）1. 引导学生回顾线性函数的概念和性质，并与二次函数进行比较；2. 介绍二次函数的定义及其一般形式，并探讨二次函数系数对图像的影响；3. 利用教具或幻灯片展示不同二次函数图像的例子，引导学生观察和总结图像的特点。
第二步：二次函数图像的性质和变化规律（20分钟）1. 介绍二次函数图像的基本形状和性质，如开口方向、对称轴等；2. 探究二次函数参数对图像的变化规律的影响；3. 引导学生通过改变二次函数参数的值，观察图像的变化，并总结规律。
第三步：实际问题建模（25分钟）1. 提供一些实际问题，如抛物线运动、面积最大等，要求学生分析问题并建立相应的二次函数模型；2. 引导学生根据问题条件确定函数的系数，并画出对应的二次函数图像；3. 鼓励学生在小组内讨论，分享不同的思路和解决方法。
第四步：二次函数解决实际问题（20分钟）1. 引导学生根据已建立的二次函数模型，运用函数性质和解方程的方法解决实际问题；2. 练习使用平方完成方、配方法等解二次方程的技巧；3. 鼓励学生讲解解题思路和步骤，互相学习和提出疑问。
第五步：课堂小结和拓展（10分钟）1. 小结本节课的重点内容，强调二次函数与实际问题的应用；2. 提供一些拓展问题，鼓励学生进一步思考和解决。
教学资源：1. 教具或幻灯片展示二次函数图像的例子；2. 实际问题的练习题；3. 教师准备白板、彩色笔等。
实际问题与二次函数教案
教学过程设计(2)研究自变量的取值范围;(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;(5)解决提出的实际问题.以上这两道题与我们以前所学的一次函数、反比例函数为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是二次函数为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：1.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm.(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的应为多学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正.使学生巩固提高，了解学生掌握情况题的一般步骤.2.学完本节课你有什么疑惑?五、作业设计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习.补充作业： 1.已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x(cm).(1)写出□ABCD的面积y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.(2)当x取什么值时,y的值最大?并求最大值.(3)求二次函数的函数关系式.2.某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系式．教学过程设计y xCDABOB,落地点为C ,求四边形运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题；数形结合思想的运用3、7、8、10题9，等腰梯形ABCD 的边轴上，点A 在y 轴的正方向上，D ( 4，6），且AB ＝210. 的坐标； 、D 三点的抛物线的解析式； ）中所求的抛物线上是否存在一点P ，板书设计有效处理学生的不当行为当学生在课堂上故意做出某些出格的行为时,他往往心里清楚教师将会对此做出什么反应。