2020年高考数学文科二轮复习考情分析与核心整合课件：7.2统计与统计案例
(2)K2＝100×50×405×0×207－0×303×0 102≈4.762. 由于 4.762>3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场 服务的评价有差异.
(1)求回归直线方程的关键
『对接训练』
3．[2019·河北石家庄模拟]已知甲、乙两名篮球运动员进行罚 球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图 如图所示，则下列结论错误的是( )
A．甲投中个数的极差是29 B．乙投中个数的众数是21 C．甲的投中率比乙高 D．甲投中个数的中位数是25
解析：由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A正
『对接训练』
5．[2019·湖南长沙长郡中学调研]长沙某公司对其主推产品在 过去5个月的月广告投入xi(万元)和相应的销售额yi(万元)进行了统 计，其中i＝1,2,3,4,5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出 一些数据如下：
5
5
5
5
xi＝6.8， wi＝10.3， yi＝15.8， xiyi＝22.76，
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【解析】(2)本题主要考查用样本估计总体；考查学生对实际 问题的处理能力和数据分析能力；考查了数据分析的核心素养．
在样本中，仅阅读过《西游记》的学生人数为90－80＝10， 又由既阅读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数为60， 得阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70，所以在样本中阅 读过《西游记》的学生人数所占的比例为17000＝0.7，即为该校阅读 过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值．
() A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
【解析】 (1)这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因 此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋950＋91＋91＝90.
(2)因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度， 所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标
(2)根据(1)的判断结果及题中所给数据，建立 y 关于 x 的回归方 程，并据此估计月广告投入 220 万元时的月销售额．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直 线 v ＝ α ＋ βu 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β^ ＝
【答案】 (2)C
(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等 的；
(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相 同；
(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容 量中的比例.
『对接训练』
1．[2019·河北枣强中学期末]总体由编号为01,02，…，19,20 的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是 从随机数表第1行的第6个数字开始向右读(每两个连续数字组成一 个编号)，则选出来的第5个个体的编号为( )
准差．故选B. 【答案】 (1)90 (2)B
众数、中位数、平均数与直方图的关系 (1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与 横轴交点的横坐标． (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩 形底边中点的横坐标之积的和.
①正确理解计算b^，^a的公式和准确的计算． ②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作 出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相 关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． (2)独立性检验的关键 ①根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来， 要先列出此表． ②K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不 成立的概率越大.
k 3.841 6.635 10.828
【解析】 本题通过对概率与频率的关系、统计案例中两变量 相关性检验考查学生的抽象概括能力与数据处理能力，重点考查数 学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提 高数学应用意识．
(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为4500＝ 0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8.
A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生
【解析】 (1)本题考查系统抽样；考查了数据处理能力；考 查的核心素养为数据分析．
将1 000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成 公差为10的等差数列{an}，由题意知a5＝46，则an＝a5＋(n－5)×10 ＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．故选C.
【答案】 (1)C
(2)[2019·全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和 《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名
著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位， 阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过 《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人 数与该校学生总数比值的估计值为( )
21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06 91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26
A．12 B．07 C．15 D．16
解析：从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取 两个数字中小于20的编号依次为03,07,12,16,07,15，其中第二个和 第五个都是07，重复，所以选出的5个个体的编号为 03,07,12,16,15，则第5个个体的编号为15.故选C.
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方 图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
[例2] (1)[2018·江苏卷] 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么 这5位裁判打出的分数的平均数为________； (2)[2017·全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n块地 作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下 面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
当月广告投入为220万元时，月销售额y^＝0.45×2202＋2.233＝ 21 782.233(万元)．
故选择y＝cx2＋d作为回归方程模型，当月广告投入为220万元 时，月销售额约为21 782.233万元．
确；易知乙投中个数的众数是21，故B正确；甲的投中率为
8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37 40×10
＝0.535，乙的投中率为
9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋23 40×10
＝0.422
5，所以甲的投
中率比乙高，C正2
＝23，D不正
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
5
5
5
wiyi＝34.15，xi－ x )2＝0.46，wi－ w )2＝3.56，其中 wi
i＝1
i＝1
i＝1
＝x2i ，i＝1,2,3,4,5.
(1)根据散点图判断 y＝bx＋a 与 y＝cx2＋d 哪一个适宜作为月 销售额 y 关于月广告投入 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必 说明理由)
确．故选D.
答案：D
4．[2019·河北衡水中学五调]某“跑团”为了解团队每月跑步 的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团” 每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了下面的折线图．
根据折线图，下列结论正确的是( ) A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更 小，变化比较平稳
答案：16
考点2 用样本估计总体 频率
1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示 组距 ，频 率＝组距×组频距率.
2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数
利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应 注意区分这三者．在频率分布直方图中：
答案：C
2．[2019·惠州市高三第二次调研]某班共有56人，学号依次为 1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已 知学号为2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号 为________．
解析：由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组 抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2 ＝16.
[例 3] [2019·全国卷Ⅰ]某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或 不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； (2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差 异？ 附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
，^a＝－y
n x2i －n－x 2
i＝1
－b^－x ；(－x ，－y )称为样本中心点．
2．随机变量 K2(χ2)＝aa＋＋bb＋c＋c＋dda＋adc－bb＋c2d， 若 K2(χ2)>3.841，则有 95%的把握说两个事件有关； 若 K2(χ2)>6.635，则有 99%的把握说两个事件有关．
2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-4-1 统计、统计案例
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； [解析] (1)根据茎叶图中的数据知， 用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟， 用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 78 分钟， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高．
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
(1)在图②中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两 地区满意度评分的平均值及分散程度；(不要求计算出具体值，给出结论即可)
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
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②
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[解析] (1)如图所示．
新课标高考第二轮总复习•文科数学
排在中间的两个数据是 79 和 81，它们的中位数 m＝80.
填写列联表如下：
超过 m 不超过 m 总计
第一种生产方式 15
5
20
第二种生产方式 5
15
20
总计
20
20
40
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
卷Ⅱ 频率分布表、平均数与标准差的计
2019
算·T19
是由生活情境、文字描 述、图表数据、公式组
古典概型概率计算·T3 卷Ⅲ 随机抽样、样本估计总体·T4
频率分布直方图和平均数计算·T17
成，一般设计2～3个问 题，是试卷中阅读量最大 的题目．
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题七第一讲统计与统计案例
C．按学段分层抽样D．系统抽样
[解析]因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有鹿大差异，所以应按学段分层抽样．故选C．
(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分布如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( A )
(2)样本平均数 ＝ (x1＋x2＋…＋xn)＝ i；
(3)样本方差s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]＝ (xi－ )2；
(4)样本标准差
s＝
＝ .
注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．
[0.4，0．5)
[0.5，0．6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率．
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)
P
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
[解析](1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
方法一：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．
2020高考数学(文科,通用)复习课件：专题7 第2讲统计与统计案例.ppt
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的
人数为( )
思维启迪 根据第一组与第二组
的人数和对应频率估计
样本总数，然后利用第
三组的频率和无疗效人
数计算；
A.6
B.8 C.12 D.18
解析 志愿者的总人数为0.16＋200.24×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12. 答案 C
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用
系 统 抽 样 方 法 抽 取 42 人 做 问 卷 调 查 ， 将 840 人 按
1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落
入区间[481,720]的人数为( )
A.11
B.12 C.13 D.14
思维启迪
系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽
思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例.
解析 本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x， 所以3126000＝160－x 150，所以 x＝200.
(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率
思 都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被 维 抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层
升
华 抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.
2.常用的统计图表 (1)频率分布直方图
频率 ①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频 组率 距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图 在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好. 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
数字特
高考二轮专题击破：专题7-概率与统计-数学(文科)ppt
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第18讲 概率
考 考 点 点 考 考 向 向 探 探 究 究
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第18讲 概率
考 点 考 向 探 究 考点考向探究
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第18讲 概率
考 点 考 考 向 点 考 探 究 向 探 究
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第18讲 概率
考 点 考 考 向 点 考 探 究 向 探 究
11
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第17讲 统计与统计案例
核 心 知 识 聚 焦
南方学生 北方学生
合计
喜欢甜品 60 10 70
不喜欢甜品 20 10 30
合计 80 20 100
12
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第17讲 统计与统计案例
核 心 知 识 聚 焦
13
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第17讲 统计与统计案例
—— 基础知识必备 ——
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第17讲 统计与统计案例
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第17讲 统计与统计案例
考 考 点 点 考 考 向 向 探 探 究 究
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第17讲 统计与统计案例
考 点 考 向 探 究 考 点 考 向 探 究
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考 点 考 向 探 究
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第17讲 统计与统计案例
甲班
乙班
合计
考
优秀
点
考
不优秀
向
探
合计
专题七 概率与统计
第17讲 统计与统计案例 第18讲 概率
1
核
心
知
识 聚
第17讲 统计与统计案例焦 考点考向探究
2020年高考数学理科二轮复习考情分析与核心整合课件：7.2概率、随机变量及其分布列
(3)将频率视为概率，设 A 代表居民月用水量，由图知 P(A≤2.5) ＝0.7，
则由题意可知 X～B(3,0.7)， P(X＝0)＝C30×0.33＝0.027， P(X＝1)＝C31×0.32×0.7＝0.189，
P(X＝2)＝C32×0.3×0.72＝0.441， P(X＝3)＝C33×0.73＝0.343. ∴X 的分布列为
『对接训练』
3．[2019·河南一诊]某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请 12 位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字 1 到 12 的十二张相 同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取 到标有数字 7 到 12 的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数 字 1 到 6 的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中 取出一张卡片，取到标有数字 4 到 6 的卡片的同学留下，其余的淘汰； 第三轮将标有数字 1,2,3 的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中， 每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字 2,3 的卡片的同学留下， 其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同 学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．
解析：(1)记“甲出线”为事件 A，“乙出线”为事件 B，“丙 出线”为事件 C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D，
则 P(D)＝1－P(－A －B －C )＝1－13×14×25＝2390. (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(ξ＝0)＝P(－A －B －C )＝310； P(ξ＝1)＝P(A－B －C )＋P(－A B－C )＋P(－A －B C)＝1630； P(ξ＝2)＝P(AB－C )＋P(A－B C)＋P(－A BC)＝290； P(ξ＝3)＝P(ABC)＝130.
2020高考数学(文理通用)大二轮课件：专题七概率与统计第2讲(理)
(2)解：由(1)知，n＝5. (1＋ 3)n＝(1＋ 3)5 ＝C05＋C15 3＋C25( 3)2＋C35( 3)3＋C45( 3)4＋C55( 3)5 ＝a＋b 3. 方法1：因为 a，b∈N*，所以 a＝C05＋3C25＋9C45＝76， b＝C15＋3C35＋9C55＝44， 从而 a2－3b2＝762－3×442＝－32.
备考策略 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： (1)准确把握两个计数原理的区别及应用条件． (2)明确解决排列、组合应用题应遵守的原则及常用方法． (3)牢记排列数公式和组合数公式． (4)掌握二项式定理及相关概念；掌握由通项公式求常数项、指定项系数的方 法；会根据赋值法求二项式特定系数和． 预测2020年命题热点： (1)以实际生活为背景的排列、组合问题． (2)求二项展开式的指定项(系数)、二项展开式的各项的系数和问题.
2．(2019·浙江卷，13)在二项式( 2＋x)9 的展开式中，常数项是___1_6__2__，系 数为有理数的项的个数是__5___.
[解析] 由二项展开式的通项公式可知 Tr＋1＝Cr9·( 2)9－r·xr，r∈N,0≤r≤9， 当为常数项时，r＝0，T1＝C09·( 2)9·x0＝( 2)9＝16 2. 当项的系数为有理数时，9－r 为偶数， 可得 r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是 5.
nn－1n－2…n－m＋1
n！
①Cnm＝____________m__！______________＝__m__！__n_－__m___！__(这里，m，n∈N*，
且 m≤n)；
②C0n＝1．
(3)二项式定理： ①定理内容：(a＋b)n＝__C_0n_a_n_＋__C_1n_a_n－_1_b_1_＋_… __＋__C__kna_n_－_k_b_k＋__…__＋__C_nn_b_n_(n_∈__N__*)__； ②通项公式：Tk＋1＝___C_nk_a_n_－_kb_k___.
2020年高考数学第二轮复习 统计与概率教学案 精品
2020年高考第二轮专题复习（教学案）：统计与概率考纲指要：“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布。
热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。
统计案例主要包括回归分析的基本思想及其初步应用和独立性检验的基本思想和初步应用。
对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。
考点扫描：1．三种常用抽样方法：(1)简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样。
2．用样本的数字特征估计总体的数字特征： （1）众数、中位数；（2）平均数与方差。
3．频率分布直方图、折线图与茎叶图。
4．线性回归：回归直线方程。
5．统计案例：相关系数、卡方检验，6．随机变量：随机变量的概念，离散性随机变量的分布列，相互独立事件、独立重复试验公式，随机变量的均值和方差，几种特殊的分布列：（1）两点分布；（2）超几何分布；（3）二项分布；正态分布。
7随机事件的概念、概率；事件间的关系：（1）互斥事件；（2）对立事件；（3）包含； 事件间的运算：（1）并事件（和事件）（2）交事件（积事件）8古典概型：古典概型的两大特点；古典概型的概率计算公式。
9几何概型：几何概型的概念；几何概型的概率公式；几种常见的几何概型。
考题先知：例1．为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：sxx Z -=（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次 考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此， 又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数. 例如某次学业选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T=40Z+60. 已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为 . 分析：正确理解题意，计算所求分数。
2020新高考文科数学二轮培优统计、统计案例考点考向考题点拨(27页)
2020新高考文科数学二轮培优统计、统计案例考点考向考题点拨「考情研析」 1.以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方程、独立性检验等． 2.概率与统计的交汇问题是高考的热点，以解答题形式出现，难度中等.核心知识回顾1.三种抽样方法的特点简单随机抽样：操作简便、适当，总体个数较少． 分层抽样：按比例抽样． 系统抽样：等距抽样． 2．必记公式数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的数字特征公式 (1)平均数：x －＝□01x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n n. (2)方差：s 2□021[(－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]．(3)标准差：s ＝3．重要性质及结论(1)频率分布直方图的三个结论①小长方形的面积＝□01组距×频率组距＝频率；②各小长方形的面积之和等于1；③小长方形的高＝□02频率组距，所有小长方形高的和为1组距. (2)回归直线方程：一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )其回归方程y ^＝□03b ^x ＋a ^ ，其过样本点中心□04(x －，y －)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎪⎫其中b ^＝∑i ＝1n(x i－x －)(y i－y －)∑i ＝1nx 2i－n x －2，a ^＝y －－b ^x －. (3)独立性检验K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．热点考向探究考向1 抽样方法例1 (1)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A ．480B ．481C ．482D ．483答案 C解析 ∵样本中编号最小的两个编号分别为007,032，∴样本数据组距为32－7＝25，则样本容量为50025＝20，则对应的号码数x ＝7＋25(n －1)，当n ＝20时，x 取得最大值，此时x ＝7＋25×19＝482.故选C ．(2)(2019·广州普通高中高三综合测试)某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2∶3∶4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n ＝( )A ．96B ．72C ．48D ．36 答案 B解析 由题意，得29n －39n ＝－8，∴n ＝72.选B ．系统抽样与分层抽样的求解方法(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”，每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距唯一确定．每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项，组距d为公差的等差数列{a n}，第k组抽取样本的号码a k＝m＋(k－1)d.(2)分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样进行．1．(2019·云南省第二次高三统一检测)某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级为标准，用分层抽样的方法从这三个年级学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取学生()A．200人B．300人C．320人D．350人答案 B解析由分层抽样可得高三抽取的学生人数为15001200＋900＋1500×720＝300.故选B．2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入[1,450]的人做问卷A，编号落入[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为________．答案10解析由题意得系统抽样的抽样间隔为96032＝30，又因为第一组内抽取的号码为9，则由451≤9＋30k≤750(k∈N*)，得141115≤k≤24710，所以做问卷B的人数为10.考向2 用样本估计总体例2(1)甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若x－甲，x－乙分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是()A．x－甲>x－乙，乙比甲稳定B．x－甲>x－乙，甲比乙稳定C．x－甲<x－乙，乙比甲稳定D．x－甲<x－乙，甲比乙稳定答案 A解析因为x－甲＝15×(74＋82＋88＋91＋95)＝86，x－乙＝15×(77＋77＋78＋86＋92)＝82，所以x－甲>x－乙．因为s2甲＝15×[(－12)2＋(－4)2＋22＋52＋92]＝54，s2乙＝15×[(－5)2＋(－5)2＋(－4)2＋42＋102]＝36.4，所以s2甲>s2乙，故乙比甲稳定．故选A．(2)(2019·皖南八校高三第三次联考)从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽出100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是()A．抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B．抽出的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C．抽出的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D．抽出的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为50答案 A解析根据频率分布直方图的性质得(0.01＋0.05＋0.06＋a＋0.02＋0.02)×5＝1，解得a＝0.04，所以抽出的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04×5×100＝20，所以A正确；年龄在35～45岁的人数大约为(0.06＋0.04)×5×100＝50，所以B不正确；年龄在40～50岁的人数大约为(0.04＋0.02)×5×100＝30，所以C不正确；年龄在35～50岁的人数大约为(0.06＋0.04＋0.02)×5×100＝60，所以D不正确．故选A．(1)频率分布直方图中每个小矩形的面积为对应的频率，不要混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．(2)由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断．1．(2019·福建省高三模拟)为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分，分值高者为优)，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是()A．乙的数据分析素养优于甲B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C．甲的六大素养整体水平优于乙D．甲的六大素养中数据分析最差答案 C解析根据雷达图得到如下数据所示．由数据可知选C ．2．(2019·江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三4月联考)某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元，其统计数据的中位数为x ，平均数为y ；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这4年里收入的统计数据中，下列说法正确的是( )A ．中位数为x ，平均数为1.5yB ．中位数为1.25x ，平均数为yC ．中位数为1.25x ，平均数为1.5yD ．中位数为1.5x ，平均数为2y 答案 C解析 依题意，前三年中位数x ＝200，平均数y ＝100＋200＋3003＝200，第四年收入为600万元，故中位数为200＋3002＝250＝1.25x ，平均数为 100＋200＋300＋6004＝300＝1.5y .故选C ． 考向3 回归分析与独立性检验 角度1 回归分析在实际中的应用例3 (2019·沧州市普通高等学校招生全国统一模拟考试)近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位：元/日)，t 为入住天数(单位：天)，以频率作为各自的“入住率”，收费标准x 与“入住率”y 的散点图如图．(1)令z ＝ln x ，由散点图判断y ^＝b ^x ＋a ^与y ^＝b ^z ＋a ^哪个更合适于此模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程(b ^结果保留一位小数)；(2)若一年按365天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额L 最大？(年销售额L ＝365·入住率·收费标准x )参考数据：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x 2i－n x － 2，a ^＝y －－b ^ x －，x －＝200，y －＝0.45，∑6i ＝1x 2i ＝325000，z －≈5.1，∑6i ＝1y i z i ≈12.7，∑6i ＝1z 2i ≈158.1，e 5≈148.4. 解 (1)由散点图可知y ^＝b ^z ＋a ^更适合于此模型．其中b ^＝∑6i ＝1z i y i －6z －y －∑6i ＝1z 2i －6z － 2＝－1.072.04≈－0.5，a ^＝y －－b ^ z －＝3，所求的回归方程为y ^＝－0.5ln x ＋3.(2)L ＝365(－0.5ln x ＋3)x ＝－3652x ln x ＋1095x .L ′＝－3652 ln x －3652＋365×3，令L ′＝0⇒ln x ＝5⇒x ＝e 5≈148.4. ∴若一年按365天计算，当收费标准约为148.4元/日时，年销售额L 最大，最大值约为27083元．在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2019·太原市高三模拟)近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展．某网络旧货交易平台对2018年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图．现把直方图中各组的频率视为概率，用x(单位：年)表示该设备的使用时间，y(单位：万元)表示其相应的平均交易价格．(1)已知2018年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为100台，现从这100台设备中，按分层抽样抽取使用时间x∈(12,20]的4台设备，再从这4台设备中随机抽取2台，求这2台设备的使用时间都在(12,16]的概率；(2)由散点图分析后，可用y＝e bx＋a作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．表中z ＝ln y ，z －＝110∑i ＝110z i . ①根据上述相关数据，求y 关于x 的回归方程；②根据上述回归方程，求当使用时间x ＝15时，该种机械设备的平均交易价格的预报值(精确到0.01)．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝110u i v i －n u －v －∑i ＝110u 2i －n u －2，α^＝v －－β^u －.参考数据：e 0.55＝1.733，e －0.95＝0.3867，e －1.85＝0.1572.解 (1)由图1中频率分布直方图可知，从2018年成交的该种机械设备中使用时间x ∈(12,16]的台数为100×4×0.03＝12，使用时间x ∈(16,20]的台数为100×4×0.01＝4，∴按分层抽样所抽取4台中，使用时间x ∈(12,16]的设备有3台，分别记为A ，B ，C ；使用时间x ∈(16,20]的设备有1台，记为d ，∴从这4台设备中随机抽取2台的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，d )，(B ，C )，(B ，d )，(C ，d )，共有6种等可能出现的结果，其中这2台设备的使用时间x 都在(12,16]的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共有3种，所求事件的概率为36＝12.(2)①由题意得z ＝ln y ＝ln e bx ＋a ＝bx ＋a ，∵b ^＝∑i ＝110x i z i －10x －z －∑i ＝110x 2i －10x －2＝79.75－10×5.5×1.9385－10×5.52＝－0.3，a ^＝z －－b ^x －＝1.9＋0.3×5.5＝3.55， ∴z 关于x 的线性回归方程为z ＝－0.3x ＋3.55， ∴y 关于x 的回归方程为y ＝e －0.3x ＋3.55.②由①知，当使用时间x ＝15时，y ＝e －0.3×15＋3.55≈0.39，故该种机械设备的平均交易价格的预报值为0.39万元．角度2 独立性检验在实际中的应用例4 (2019·贵州遵义航天高级中学七模)某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取20名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类(不参加课外阅读)，B 类(参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3小时)，C 类(参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3小时)．调查结果如下表：(1)求出表中x ，y (2)根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加课外阅读与否与性别有关”．附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)设抽取别为n 1，n 2，则⎩⎨⎧n 1＝20×12002000＝12，n 2＝20×8002000＝8，所以x ＝12－5－3＝4，y ＝8－3－3＝2. (2)列联表如下：K 2＝20×(4×6－2×8)212×8×14×6＝1063≈0.159<2.706，所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关．独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大．(2019·西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校联考)西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低，交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下：十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚，并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查，得到下表：(1)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程)，并根据表中数据分析，在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前，是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关；(2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少；(3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d. 参考数据：∵K2＝200×(100×100×80×120＝1003≈33.333>10.828.∴有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关．(2)∵未进行处罚前，行人闯红灯的概率为0.4，进行处罚10元后，行人闯红灯的概率为40200＝15＝0.2，∴降低了0.2.(3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率．真题押题『真题模拟』1．(2019·益阳市高三模拟)如图所示的三个统计图分别是随机抽查甲、乙、丙三地的若干个家庭教育年投入(万元)，记A表示众数，B表示中位数，C表示平均数，则根据图表提供的信息，下面的结论正确的是()A．A甲＝A乙＝A丙，B甲＝B乙＝B丙B．B丙>B甲＝B乙，C甲＝C乙＝C丙C．A丙>A甲＝A乙，C丙>C甲>C乙D．A丙>A甲＝A乙，B丙>B甲>B乙答案 C解析由甲地的条形图可知，家庭教育年投入的中位数为10，众数为10，平均数为10.32；由乙地的折线图可知，家庭教育年投入的中位数为10，众数为10，平均数为9.7；由丙地的扇形图可知，家庭教育年投入的中位数为12，众数为12，平均数为12.4.结合选项可知C正确．故选C．2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是() A．中位数B．平均数C．方差D．极差答案 A解析中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后，处于中间位置的数据，因而去掉1个最高分和1个最低分，不变的是中位数，平均数、方差、极差均受影响．故选A．3．(2019·郴州市高三第三次质量检测)新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况：给出下列四个结论：①2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加②2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍③2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍④2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一其中所有正确结论的编号为()A．①②B．①②③C．①②④D．②③④答案 C解析 根据图示数据可知①正确；对于②：1935.5×2＝3871<5720.9，正确；对于③：16635.3×1.5>23595.8，不正确；对于④：23595.8×13≈7865>5720.9，正确．故选C ．4．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________． 答案 53解析 这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.5．(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P (C )的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解 (1)由已知得0.70＝a ＋0.20＋0.15，故a ＝0.35.b ＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05， 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.6．(2019·湖北武汉高三第二次质量检测)光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能．近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：某位同学分别用两种模型：①y ^＝bx 2＋a ，②y ^＝dx ＋c 进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差等于y i －y ^i )：经过计算得∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)＝72.8，∑i ＝18(x i －x －)2＝42，∑i ＝18(t i －t )(y i －y －)＝686.8，∑i ＝18(t i －t )2＝3570，其中t i ＝x 2i ，t ＝18∑i ＝18t i.(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；(2)根据(1)的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少？(在计算回归系数时精确到0.01)附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝18(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝18(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.解 (1)选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值比较相近，模型②的残差值相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好．(2)由(1)可知，y 关于x 的回归方程为y ^＝b ^x 2＋a ^，令t ＝x 2，则y ^＝b ^t ＋a ^. 由所给数据可得t ＝18∑i ＝18t i ＝18×(1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64)＝25.5.y －＝18∑i ＝18y i ＝18×(0.4＋0.8＋1.6＋3.1＋5.1＋7.1＋9.7＋12.2)＝5，∴b ^＝∑i ＝18(t i －t )(y i －y －)∑i ＝18(t i －t )2＝686.83570≈0.19，a ^＝y －－b ^ t ≈5－0.19×25.5≈0.16，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝0.19x 2＋0.16，预测该地区2020年新增光伏装机量为y ^＝0.19×102＋0.16＝19.16(兆瓦)．『金版押题』7．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如表所示．2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？(2)保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 将2×2K 2的观测值k ＝100×(45×15－30×10)225×75×55×45≈3.03<3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是“环保关注者”与性别有关．(2)由题可知，利用分层抽样的方法可得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．设男“环保达人”3人分别为A ，B ，C ；女“环保达人”2人为D ，E . 从中抽取两人的所有情况为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种情况，且这10种情况发生的可能性相等．既有男“环保达人”又有“女环保达人”的情况有(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，共6种情况．所求概率P ＝610＝35.配套作业一、选择题1．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%答案 D解析 ∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.2．(2019·上海市嘉定(长宁)区高三第二次质量调研)产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中正确的是( )A ．2015年第三季度环比有所提高B ．2016年第一季度同比有所提高C ．2017年第三季度同比有所提高D ．2018年第一季度环比有所提高 答案 C解析 2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A 错误；2015年第一季度利用率为74.2%,2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B 错误；2016年第三季度利用率为73.2%,2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C 正确；2017年第四季度利用率为78%,2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D 错误．故选C ．3．(2019·大庆市高三第三次教学质量检测)在某线性回归分析中，已知数据满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并且由观测数据算得x －＝5，y －＝56，b ^＝10.5，则当x ＝10时，预测数值y ^＝( )A ．108.5B ．210C ．140D ．210.5答案 A解析 由题意得样本中心为(5,56)，由于回归直线y ^＝10.5x ＋a ^过样本中心，所以56＝10.5×5＋a ^，解得a ^＝3.5，所以回归直线方程为y ^＝10.5x ＋3.5.当x ＝10时，y ^＝10.5×10＋3.5＝108.5.故选A ．4．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强答案 B解析由散点图知，去掉D(3,10)后，y与x的线性相关性加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小，故选B．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的折线图．下面关于这两名同学的数学成绩的分析中，正确的个数为()①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在[110,120)内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析由折线图可得②③④正确，甲的最高分是130，平均分在[110,120)内，则①不正确，即正确的有3个，故选C．二、填空题6．(2019·焦作市高三第四次模拟)条形图给出的是2017年全年及2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数与中位数，饼状图给出的是2018年全年全国居民人均消费及其构成，现有如下说法：①2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率低于2017年；②2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%；③2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%.则上述说法中，正确的是________．(写出所有正确说法的序号)答案①②③解析2018年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率为8.7%，而2017年全年全国居民人均可支配收入的平均数的增长率为9%，故①正确；因为2433628228≈0.862，所以2018年全年全国居民人均可支配收入的中位数约是平均数的86%，故②正确；因为6.5%＋28.4%＋23.4%＋13.5%＝71.8%,2018年全年全国居民衣(衣着)食(食品烟酒)住(居住)行(交通通信)的支出超过人均消费的70%，故③正确．故正确的是①②③.7．(2019·武汉市高三4月调研)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是________．答案 30解析 根据选择D 方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为1815%＝120，故选择A 方式的人数为120－42－30－18＝30.8．甲、乙两人要竞争一次大型体育竞技比赛射击项目的参赛资格，如图是在测试中甲、乙各射靶10次的条形图，则参加比赛的最佳人选为________．答案 乙解析 甲的平均数x －1＝4×0.2＋5×0.1＋7×0.3＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.1＝7.0，乙的平均数x －2＝5×0.1＋6×0.2＋7×0.4＋8×0.2＋9×0.1＝7.0，所以x －1＝x －2；甲的方差s 21＝110×[(7－4)2×2＋(7－5)2×1＋(7－7)2×3＋(7－8)2×1＋(7－9)2×2＋(7－10)2×1]＝4，乙的方差s 22＝110×[(7－5)2×1＋(7－6)2×2＋(7－7)2×4＋(7－8)2×2＋(7－9)2×1]＝1.2，所以s 21>s 22，所以参加比赛的最佳人选为乙．三、解答题9．(2019·青岛市高三一模)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“产品的包装合格与否与两条自动包装流水线的选择有关”？附表：⎝ ⎭⎪参考公式：K 2＝(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d(2)按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x (单位：百件)件产品中，得到次品数量y (单位：件)的情况汇总如下表所示：按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？解 (1)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96，所以，2×2列联表是：所以K 2＝(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )＝200×(92×4－96×8)2100×100×188×12≈1.418<2.072.所以，在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为“产品的包装合格与否与两条自动包装流水线的选择有关”．(2)由已知可得，x －＝0.5＋2＋3.5＋4＋55＝3； y －＝2＋14＋24＋35＋405＝23； ∑5i ＝1x i y i ＝0.5×2＋2×14＋3.5×24＋4×35＋5×40＝453；∑5i ＝1x 2i ＝0.52＋22＋3.52＋42＋52＝57.5. 由回归直线的系数公式，b ^＝∑5i ＝1x i y i－5x －y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝453－5×3×2357.5－5×32＝10812.5＝8.64. a ^＝y －－b ^x －＝23－8.64×3＝－2.92. 所以y ^＝b ^x ＋a ^＝8.64x －2.92.当x ＝20(百件)时，y ＝8.64×20－2.92＝169.88<180，符合有关要求． 所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务．10．(2019·聊城市高三一模)某小学为了了解四年级学生的家庭作业用时情况，从本校四年级随机抽取了一批学生进行调查，并绘制了学生作业用时的频率分布直方图，如图所示．(1)估算这批学生的作业平均用时情况；(2)作业用时不能完全反映学生学业负担情况，这与学生自身的学习习惯有很大关系，如果用时四十分钟之内评价为优异，一个小时以上为一般，其他评价为良好．现从优异和良好的学生里面用分层抽样的方法抽取300人，其中女生有90人(优异20人)．请完成列联表，并根据列联表分析能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为学习习惯与性别有关系？附：K 2＝n (ad (a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .。
2020年高考数学文科二轮复习考情分析与核心整合学案：7.1概率 Word版含解析
第1讲 概率考点1 古典概型1．古典概型的概率：P(A)＝m n ＝事件A 中所含的基本事件数试验的基本事件总数. 2．古典概型的两个特点：(1)所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．[例1] (1)[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )A .23B .35C .25D .15(2)[2019·全国卷Ⅲ]两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )A .16B .14C .13D .12【解析】 (1)本题主要考查古典概型；考查学生的逻辑推理和运算求解能力；考查的核心素养是数学运算与数据分析．记5只兔子分别为A ，B ，C ，D ，E ，其中测量过某项指标的3只兔子为A ，B ，C ，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE ，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，BCD ，BCE ，共6种，所以所求事件的概率P ＝610＝35.(2)本题考查古典概型，以现实生活中常见的学生排队问题为背景，考查学生对数学知识的应用意识．设两位男同学分别为A 、B ，两位女同学分别为a 、b ，则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为共24种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种，∴P(两位女同学相邻)＝1224＝12，故选D .【答案】 (1)B (2)D古典概型求解的三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ；(2)分别计算基本事件的总个数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝m n 求出事件A 的概率.『对接训练』1．[2019·广东深圳模拟]抛两个各面上分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的骰子，向上一面的两个数字之和为3的概率是( )A .13B .16C .136D .118解析：向上的两个数之和为3的有(1,2)，(2,1)两种情况，抛掷两个骰子一共有36种情况，故向上一面的两个数字之和为3的概率是118，故选D .答案：D2．[2019·四川成都一诊]齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为( )A .49B .59C .23D .79解析：设齐王的上等、中等、下等马分别为A ，B ，C ，田忌的上等、中等、下等马分别为a ，b ，c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，a)，(C ，b)，(C ，c)，共9种，∵有优势的马一定获胜，∴齐王的马获胜包含的基本事件有(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(B ，b)，(B ，c)，(C ，c)，共6种，∴齐王的马获胜的概率P ＝69＝23，故选C .答案：C考点2 几何概型1．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．[例2] (1)[2018·长沙联考]长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为( )A .π24B .14C .13D .π8(2)[2019·陕西汉中二模]某电视台每天中午12：30到13：00播放当地新闻，在此期间将随机播出时长5分钟的当地文化宣传片．若小张于某天12：50打开电视，则他能完整收看到这个宣传片的概率是( )A .25B .13C .15D .16【解析】(1)由题意，得该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，即铁饼圆心所在区域为矩形ABCD ，要使该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域，则铁饼圆心所在矩形为EFGH ，由几何概型的概率公式，得该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为P ＝4×26×4＝13，故选C . (2)他能完整收看到这个宣传片的时间是12：50到12：55，共5分钟，12：30到12：55，共25分钟，∴所求概率P ＝525＝15.故选C .【答案】 (1)C (2)C(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.『对接训练』3．[2019·江西上饶“山江湖”协作体三模]如图，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，其中AB ＝2，则质点落在以AB 为直径的半圆内(阴影部分)的概率是( )A .π12B .π4C .π8D .π16解析：根据几何概型概率的计算公式，可知所求概率为12π×122×2＝π8，故选C .答案：C4．[2019·山东青岛调研]有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A ，则点A 到点O 的距离大于1的概率为( )A .13B .23C .34D .14解析：设点A 到点O 的距离小于或等于1的概率为P 1，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点A 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23，故选B .答案：B考点3 概率与其他知识的交汇概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题．[例3] [2019·四川成都摸底]2018年央视大型诗词文化音乐节目《经典咏流传》热播，掀起了全民诵读诗词的热潮．某大学社团调查了该校文学院300名学生每天诵读诗词的时间(所有学生诵读的时间不超过两小时)，并按时间(单位：min )分成六个组：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，[100,120]．根据统计数据得到了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若2名同学诵读诗词的时间分别为x ，y ，当x ，y 满足|x －y|＞60时，这2名同学组成一个小组，已知从每天诵读时间小于20 min 和大于或等于80 min 的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人，现从这5人中随机选取2人，求选取的2人能组成一个小组的概率．【解析】(1)各组数据的频率之和为1，即所有小矩形的面积和为1，故(a＋a＋6a＋8a＋3a＋a)×20＝1，解得a＝0.002 5，所以该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64 (min)．(2)由频率分布直方图知诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数的频率之比为：：1，故抽取的5人中诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数分别为1,3,1.设在[0,20)内的1名学生为A，在[80,100)内的3名学生分别为B，C，D，在[100,120]内的1名学生为E，则抽取2人的所有基本事件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10种．选取的2人能组成一个小组的情况有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，共4种．故选取的2人能组成一个小组的概率为P＝410＝2 5.解决概率与统计综合问题的一般步骤『对接训练』5．[2019·贵州贵阳监测]互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1 000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数分成5组，得到以下频数分布表：分数[0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 种类外卖A(人50 150 100 400 300数)外卖B(人100 100 300 200 300 数)表中得分越高，说明市民对网络外卖服务越满意．若得分不低于60分，则表明该市民对网络外卖服务质量评价较高．现将分数按“服务质量指标”划分成以下四个档次：分数[0,40) [40,60) [60,80) [80,100]服务质量指0 1 2 3标用频率表示概率，解决问题：从参与调查的市民中随机抽取1人，试求其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率．解析：记外卖A的“服务质量指标”为事件A i，外卖B的“服务质量指标”为事件B i，i∈{0,1,2,3}，则其评分中外卖A的“服务质量指标”与外卖B的“服务质量指标”的差的绝对值等于2的概率为P(A2B0＋A3B1＋A0B2＋A1B3)＝P(A2B0)＋P(A3B1)＋P(A0B2)＋P(A1B3)＝0.4×0.2＋0.3×0.3＋0.2×0.2＋0.1×0.3＝0.24.课时作业16概率1．[2019·新疆生产建设兵团二中模拟]有一枚质地均匀的骰子，抛掷两次，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是()A．点数都是偶数B．点数的和是奇数C．点数的和小于13 D．点数的和小于2解析：画出树状图如下：由图可知共有36种情况，其中点数都是偶数的情况有9种，点数的和为奇数的情况有18种，点数和小于13的情况有36种，点数和小于2的情况有0种，故选C .答案：C2．[2019·湖北宜昌联考]某次下课后，某教室里还剩下2位男同学和1位女同学，若他们依次走出教室，则第2个走出的是女同学的概率是( )A .12B .13C .14D .15解析：由题意知共有6个基本事件，第2个走出的是女同学包含2个基本事件，所以第2个走出的是女同学的概率是13.答案：B3．[2019·山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数；907 966 191 925 271 431 932 458 569 683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为( )A .15B .35C .310D .910解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为310，故选C .答案：C4．[2019·广东佛山调研]将一根长为6 m 的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为( )A .13B .23C .25D .35解析：绳子的长度为6 m ，剪成两段后，设其中一段的长度为x m ，则另一段的长度为(6－x)m ，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A ，则A ＝{x|⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x<6，x>2(6－x )或6－x>2x }＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝23，故选B .答案：B5．[2019·河北九校联考]如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为( )A ．16.32B ．15.32C ．8.68D ．7.68解析：由题意，可估计椭圆的面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－96300×6×4＝16.32.故选A .答案：A6．[2019·河南中原名校联盟一模]市场调查发现，大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器．经工商局抽样调查，发现网上购买的家用小电器的合格率约为1720，而实体店里的家用小电器的合格率约为910.现工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是( )A .67B .56C .45D .25解析：∵大约45的人喜欢在网上购买家用小电器，网上购买的家用小电器的合格率约为1720，∴某家用小电器是在网上购买的，且被投诉的概率约为45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1720＝325，又实体店里的家用小电器的合格率约为910，∴某家用小电器是在实体店里购买的，且被投诉的概率约为⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－910＝150，故工商局接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性P ＝325325＋150＝67.答案：A7．[2019·湖北六校联考]在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于16 cm 2的概率为( )A .15B .25C .35D .45解析：设AC ＝x ，则BC ＝10－x ，由题意知x(10－x)＜16，所以x ＜2或x ＞8，又0＜x ＜10，所以该矩形的面积小于16 cm 2的概率为410＝25.答案：B8．[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟] 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为( )A .π24＋9πB .4π24＋9πC .π18＋9πD .4π18＋9π解析：图标第一部分的面积为8×3×1＝24，图标第二部分的面积和第三部分的面积和为π×32＝9π，图标第三部分的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三部分的概率为4π24＋9π，故选B .答案：B9．[2019·河北省级示范联合体联考]袋子中有四个小球，分别写有“和”“平”“世”“界”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“和”“平”两个字都取到才算完成．用随机模拟的方法估计恰好取三次便完成的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，0,1,2,3代表的字分别为“和”“平”“世”“界”，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，随机模拟产生了以下24组随机数组：232 321 230 023 123 021 132 220 011203 331 100 231 130 133 231 031 320122 103 233 221 020 132由此可以估计，恰好取三次便完成的概率为( )A .18B .14C .16D .524解析：由题意可知，满足条件的随机数组中，前两次抽取的数中必须包含0或1，且0与1不能同时出现，第三次必须出现前面两个数字中没有出现的1或0.易知符合条件的数组只有3组：021,130,031，故所求概率P ＝324＝18.故选A .答案：A10．[2019·云南昆明摸底]法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为1的圆内随机地取一条弦，问：其长超过该圆内接等边三角形的边长3的概率为多少？基于对“随机地取一条弦”的不同解释，存在着不同答案．现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A(如图)，另一端点在圆周上随机选取，其答案为( )A .12B .13C .14D .16解析：记圆内接等边三角形为△ABC ，弦的另一个端点为P.如图，若弦AP 的长超过AB 的长，则点P 落在劣弧BC 上，所以所求概率为13.故选B .答案：B11．[2019·广东肇庆联考]已知某条线的地铁每10分钟一班，每站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是________．解析：由于地铁每10分钟一班，每站停1分钟，故所求概率P ＝1－010－0＝110. 答案：11012．[2019·贵州贵阳监测]甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，则甲不输的概率为________．解析：设“乙获胜”为事件A ，则P(A)＝13.因为甲输便是乙获胜，所以甲不输的概率是1－P(A)＝1－13＝23.答案：2313．[2019·河北张家口模拟]已知四棱锥P －ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2.现在球O 的内部任取一点，则该点取自四棱锥P －ABCD 内部的概率为________．解析：将四棱锥P －ABCD 补形为正方体，则正方体的体对角线的长是球O 的直径，设球O 的半径为R ，则23＝2R ，即R ＝3，则四棱锥的体积V ＝13×2×2×2＝83，球O 的体积为43π×(3)3＝43π，则该点取自四棱锥P －ABCD 的内部的概率P ＝8343π＝239π.答案：239π14．[2019·百校联盟培优训练]在一个正五边形的顶点中随机选取三个不同的顶点，则正五边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为________．解析：如图，设正五边形的5个顶点分别为A ，B ，C ，D ，E 任选三个，情况有10种，为ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE.其中符合正五边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的情况有ABD ，ACD ，ACE ，BCE ，BDE ，共5种，故所求的概率为510＝12.答案：1215．[2019·广东汕头第一次联考]某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．(1)求从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数；(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名进行进一步分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．解析：(1)抽样比为621＋14＋7＝17，则21×17＝3,14×17＝2,7×17＝1，所以从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.(2)在抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A 1，A 2，A 3,2名中级教师分别记为A 4，A 5,1名高级教师记为A 6，则抽取2名教师的所有可能结果有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．将“从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师”记为事件B ，则事件B 发生的所有可能结果有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P(B)＝315＝15.16．[2019·河南洛阳市尖子生第二次联考]某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间(单位：时)，停靠时间不足半小时按半小时计，超过半小时且不足1小时按1小时计，以此类推，统计结果如下表：停靠时间/时2.5 33.5 44.5 55.5 6 轮船数量/艘12 12 17 20 15 13 8 3 (1)设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位各停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率．解析：(1)a ＝1100×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.(2)设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤24，0<y ≤24，若这两艘轮船在停靠时有一艘需要等待，则|y －x|<4，符合题意的区域如图中阴影部分(不包括x ，y 轴)所示．记“这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待”为事件A ，则P(A)＝24×24－2×12×20×2024×24＝1136.故这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率为1136.17．[2019·黑龙江哈尔滨六中段考]如图是某市3月1日至3月14日的空气质量指数折线图．空气质量指数小于100表示空气优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(包括到达当天)．(1)求此人到达当日空气优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续3天的空气质量指数方差最大．(直接写出结论，不要求证明)解析：(1)由图看出，1日至13日这13天内，空气优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日，共6天．由古典概型概率计算公式得，此人到达当日空气优良的概率P＝613.(2)此人在该市停留的两天的空气质量指数可能为(86,25)，(25,57)，(57,143)，(143,220)，(220,160)，(160,40)，(40,217)，(217,160)，(160,121)，(121,158)，(158,86)，(86,79)，(79,37)，共13种情况．其中只有1天空气重度污染的是(143,220)，(220,160)，(40,217)，(217,160)，共4种情况，所以，此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P＝4 13.(3)因为方差越大，3天的空气质量指数越不稳定，所以由图看出从5日开始，5,6,7连续3天的空气质量指数方差最大．18．[2019·云南曲靖统测]央视传媒为了解央视举办的《朗读者》节目的收视情况，随机抽取了某市30名观众进行调查，其中有12名男观众和18名女观众，根据这30名观众的观看时长得到如图所示的茎叶图(单位：分)，每次观看时长都在35分钟以上(包括35分钟)的称为“朗读爱好者”，35分钟以下(不包括35分钟)的称为“非朗读爱好者”．(1)若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中抽取5名观众，再从这5名观众中任选2名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；(2)若从这30名观众中观看时长在40分钟以上(包括40分钟)的男、女观众中各选1名，求选出的这2名观众观看时长相差5分钟以上的概率．解析：(1)根据茎叶图可知，“朗读爱好者”有12名，“非朗读爱好者”有18名，易知抽样比为530＝1 6，所以这5人中，“朗读爱好者”有12×16＝2(名)，分别记为B ，C ，“非朗读爱好者”有18×16＝3(名)，分别记为1,2,3.记事件A ：至少选到1名“朗读爱好者”，基本事件有(B ，C)，(B,1)，(B,2)，(B,3)，(C,1)，(C,2)，(C,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共10个，满足事件A 的有(B ，C)，(B,1)，(B,2)，(B,3)，(C,1)，(C,2)，(C,3)，共7个，所以P(A)＝710.(2)观看时长在40分钟以上(包括40分钟)的观众中，男观众的观看时长分别是41,42,44,47,51，女观众的观看时长分别是40,41.现要从上述男、女观众中各选1名，则这2名观众的观看时长有(41,40)，(41,41)，(42,40)，(42,41)，(44,40)，(44,41)，(47,40)，(47,41)，(51,40)，(51,41)，共10种情况．观看时长相差5分钟以上的有(47,40)，(47,41)，(51,40)，(51,41)，共4种情况．故观看时长相差5分钟以上的概率P ＝410＝25.。
高考数学文科二轮专题攻略课件：第十四讲 统计与统计案例
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答案 B 依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号 一次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3
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+12(k-1),令3+12(k-1)≤300,得k≤103 ,因此A营区被抽中的人数是
4
25.令300<3+12(k-1)≤495,得 103 <k≤42,因此B营区被抽中的人数
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2.相关系数r
当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关.
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r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对
值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|
r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.
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^
^
a, 其中b
( xi
i1 n
x)( yi
y)
,
(xi x)2
i1
^
^
a y b x.
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解析 (1)作出散点图如下.
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y
11 13
16
15 6
20
21
6
16, (
i 1
yi
y)2
76,
r
6
(xi x)( yi y)
观察题图易知1号,4号,5号学生的面试分数在100分以下,
故选择的两人的面试分数均在100分以下的选择方法有(1,4),(1,
5),(4,5),共3种, 故选择的两人的面试分数均在100分以下的概率为 3 .