2016年全国高中数学竞赛湖北省预赛(word高一含答案)

2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒ ＝ 5 ．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解（1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22a b +的最小值．解设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩ 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<；（2）1124n a n>-．解（1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-=>--，所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分（2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=，所以11112122(21)24n n a n n n >=->-++. ------------------------------------------20分。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一、高二试题及答案

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015 项的和为 1209 ．2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)(x f 在),0(+∞上的最小值为－4 ．3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．4．设∈-==n n b a n n n (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a s i n =-，则2s i n 2s i n BC A +-的值为 1 ．6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f －186 ．7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅，1=⋅．当||++取得最小值时，27tan =∠CAP ．8． ︒+︒10sin 110sin 82的值为 6 ．9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为10．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f yxf -=．（1）试判断函数)(x f 的单调性；（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围．解（1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(12>x xf ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）（2）因为)2()4()24()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分）即)34()(-≤t f t f ，于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>->.34,03,0t t t t ………………………………………（15分）解得 43≤<t ．故t 的取值范围是]4,3(． ………………………………………（20分） 12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(bca c ++的最小值．解设ααcos ,sin ⋅=⋅=cbc a ，)2,0(πα∈，则ααααααcos sin 1cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）令ααcos sin +=x ，则)4sin(2πα+=x ，21≤<x ． …………………（10分）又21cos sin 2-=x αα，所以12121112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）当2=x 时，u ＝)1)(1(b c a c ++取得最小值2231221+=-+．…………………（20分）13．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足*1,N n n T a n =-∈．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++= ，求证：312111-<<-++n n n a S a ．解（1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即nn n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分）（2）由（1）得1121+==n a a a T n n ．一方面，222)1(13121++++=n S n 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n 32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ．所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高二年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为 150 ．3．若66554433221032)2(x a x a x a x a x a x a a x x ++++++=--，则=++531a a a －4 ． 4．已知顶角为︒20的等腰三角形的底边长为a ，腰长为b ，则233abb a +的值为 3 ．5．设∈-==n n b a n n n (15,2N *，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．6．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅．当||++取得最小值时，=∠CAP tan 27．7．已知正三棱锥ABC P -的底面的边长为6,侧棱长为21，则该三棱锥的内切球的半径为 1 ．8．函数)11)(211()(2+-+-++=x x x x f 的值域为]8,22[+．9．已知21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点,B A ,分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P 在线段AB 上，则21PF PF ⋅的最小值为511-．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．）11．设平面点集}0)2518()(|),{(≥-⋅-=xy x y y x A ，}1)1()1(|),{(22≤-+-=y x y x B ．若B A y x ∈),(，求y x -2的最小值．解作出平面点集A 、B 所表示的平面区域，A B 表示如图阴影部分D .令2z x y =-，则2y x z =-，z -表示直线2y x z =-的纵截距.易知：直线2y x z =-经过区域D 中的点P 时，2z x y =-取得最小值. ……………（5分）因为点P 在圆22(1)(1)1x y -+-=上，设它的坐标为(1cos,1sin )θθ++，结合图形可知(,)2πθπ∈.又点P 在曲线1825y x=上，所以有18(1cos )(1sin )25θθ++=，即7sin cos sin cos 025θθθθ+++=. ………………………………………（10分）设sin cos t θθ+=，则21sin cos(1)2t θθ=-，代入得217(1)0225t t -++=，解得15t =或115t =-（舍），即1sin cos 5θθ+=. ………………………………………（15分）结合22sin cos 1θθ+=，并注意到(,)2πθπ∈，解得4sin 5θ=，3cos 5θ=-．所以，点P 的坐标为29(,)55，2z x y =-的最小值为min 292155z =⨯-=-． ………（20分）12．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足∈-=n a T n n ,1N *．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++= ，求证：312111-<<-++n n n a S a ．解（1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即nn n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分）（2）由（1）得1121+==n a a a T n n ．一方面，222)1(13121++++=n S n 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n 32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ．所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）13．过直线0132=+-y x 上一动点A （A 不在y 轴上）作抛物线x y 82=的两条切线， N M ,为切点，直线AN AM ,分别与y 轴交于点C B ,．（1）证明直线MN 恒过一定点；（2）证明△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．证明（1）设),(00y x A ，11(,)M x y ，22(,)N x y .抛物线x y 82=的过点11(,)M x y 的切线方程为AM ：)(411x x yy +=．而AM 过),(00y x A ，故)(41010x x y y += ①①式说明直线)(400x x y y +=恒过点),(11y x M ．………………………………………（5分）同理可证得直线)(400x x y y +=恒过点),(22y x N ．故直线)(400x x y y +=过N M ,两点，则直线MN 的方程为：)(400x x y y +=．又13200-=y x ，代入)(400x x y y +=中，得)13(4)8(0-=-x y y ．所以直线MN 恒过定点)8,13(． ………………………………………（10分）（2）直线AM ：)(411x x yy +=与y 轴交于)4,0(11y x B ．抛物线x y 82=的焦点为)0,2(F ，则111122004y x y x k BF-=--=，又14y k BA =，则18211-=-=⋅y x k k BF BA ，所以BA BF ⊥. 同理可证CA CF ⊥．所以F C B A ,,,四点共圆，且AF 为直径．因此，△ABC 的外接圆恒过定点)0,2(F ． ………………………………………（15分）在AF 和直线0132=+-y x 垂直时，圆的直径AF 最小．此时，直线AF ：)2(20--=-x y ，与0132=+-y x 联立，求得)6,1(-A，则||AF =所以，△ABC． ……………………………………（20分）。

2019全国高中数学联合竞赛湖北预赛试题(高一年级)

2019全国高中数学联合竞赛湖北预赛试题（高一年级）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！〔高一年级〕说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

【一】填空题〔此题总分值64分，每题8分。

直接将答案写在横线上。

〕1、集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，那么=+b a 1、2、正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，那么=++++963741a a a a aa 32-、3、函数741)(2+++=x x x x f的值域为[0,]6、 4、1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，那么=+)(2cos βα13-、 5、数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，那么=1a 5、6、在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，那么=Asin 4、7、在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC 、设O 是△ABC 的内心，假设q p +=，那么q p 的值为32、 8、设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，那么535251x x x ++的值为－5、【二】解答题〔本大题总分值56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分〕 9、正项数列}{na 满足1=且11a =，28a =，求}{n a 的通项公式、解在等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ，所以11)=、------------------------------------------4分令111++=+nn n a a b ,那么nn b b b 4,411==+，即数列}{nb 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以n n n b b 4411=⋅=-.------------------------------------------8分所以nnn a a4111=+++,即n n n a a ]1)14[(21--=+.------------------------------------------12分于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分 10、正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值、解令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，那么322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm 、----------------------------------------5分令θθsin cos +=x ，那么]2,1()4s i n (2∈+=πθx ，且21s i n c o s 2-=x θθ、------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m 、------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤、因此，m的最小值为2423)2(-=f 、------------------------------------------20分11、设)3(log )2(log )(a x a x x f aa -+-=，其中0>a 且1≠a 、假设在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围、解22225()log (56)log [()]24a a a a f x x ax a x =-+=--、由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24aa g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分〔1〕假设10<<a ，那么)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a 、在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a 、结合10<<a 得10<<a 、------------------------------------------10分〔2〕假设231<<a ，那么)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a 、易知2344113>-，所以不符合、------------------------------------------15分综上可知：a 的取值范围为(0,1)、------------------------------------------20分。

2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】

2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】2016年全国高中数学联赛湖北预赛（高一）一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分）1f x1．已知函数f x满足：f12，f x1对定义域内任意x都成立．那么1fxf2016__________．2．不等式3x23x128的解集为__________．3．从五个正整数a,b,c,d,e中任取四个求和，得到的和值构成集合44,45,46,47，则a b c d e__________．π3π5π7πcos cos__________．4．求值：cos cos99995．ABC中，角A,B,C的边长分别为a,b,c，D是BC的中点，若a4，AD c b，则ABC的面积的最大值为__________．6．如果存在实数a，使得关于x的不等式acosx bcos2x1无实数解，则实数b的最大值为__________．7．已知质数p,q满足q2p1，则p q__________．5228．已知实数x,y满足：23x215y118x32y8．，x3，那么，xy__________．2y9．已知MN是边长为ABC的外接圆的一条动弦，MN4，P为ABC的边上动点，则MP PN的最大值为__________．10．设a表示不大于a的最大整数，则方程1的最大正整数解为__________．78二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC得三边长a,b,c（a b c）均为整数，且满足：（1）a,b,c构成等比数列；（2）a,b,c中至少有一个等于100．求符合要求的三元数组a,b,c的个数．12．已知二次函数f x ax bx c满足条件：2x x（1）4a b2a；（2）当x1时，f x1．证明：当x2时，f x5．413．已知定义在R上的函数f x满足：f110，且对任意实数x,y，恒有3f x f y f x y f x y，若数列an满足an3f n f n1，n N*．（1）求数列an的通项公式；（2）令bn24an3an82，n N，Sn是数列bn的前n项和，求证：Sn1．*。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高一预赛试卷及答案

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为 1209 ．2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)(x f 在),0(+∞上的最小值为－4 ．3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．4．设∈-==n n b a n nn (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S ΛI Λ=，则集合S 中的元素的个数为 504 ．5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a sin =-，则2sin 2sin BC A +-的值为 1 ．6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f Λ －186 ． 7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，27tan =∠CAP ．8． ︒+︒10sin 110sin 82的值为 6 ．9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为10．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f yxf -=．（1）试判断函数)(x f 的单调性；（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围．解（1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(12>x x f ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）（2）因为)2()4()24()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分）即)34()(-≤t f t f ，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>->.34,03,0t t t t ………………………………………（15分）解得 43≤<t ．故t 的取值范围是]4,3(． ………………………………………（20分）12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(b c a c ++的最小值．解设ααcos ,sin ⋅=⋅=c b c a ，)2,0(πα∈，则ααααααcos sin 1cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）令ααcos sin +=x ，则)4sin(2πα+=x ，21≤<x ． …………………（10分）又21cos sin 2-=x αα，所以12121112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）当2=x 时，u ＝)1)(1(b ca c ++取得最小值2231221+=-+．…………………（20分） 13．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足*1,N n n T a n =-∈．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++=Λ，求证：312111-<<-++n n n a S a ．解（1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得 n n n n n a a T T a --==+++11111，即n n n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分）（2）由（1）得1121+==n a a a T n n Λ．一方面，222)1(13121++++=n S n Λ 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n Λ；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n Λ32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n Λ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ．所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）。

2016年全国高中数学联赛湖北预赛试题及详解答案【高一】

一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分） 1．已知函数()f x 满足：()12f =，()()()111f x f x f x ++=-对定义域内任意x 都成立．那么()2016f =__________．2．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．3．从五个正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则a b c d e ++++=__________．4．求值：π3π5π7πcos coscos cos 9999+++=__________． 5．ABC ∆中，角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，D 是BC 的中点，若4a =，AD c b =-，则ABC ∆的面积的最大值为__________．6．如果存在实数a ，使得关于x 的不等式12cos cos >+x b x a 无实数解，则实数b 的最大值为__________．7．已知质数,p q 满足5221q p -=，则p q +=__________．8．已知实数,x y 满足：23151222xy --+=，13x y+≤，8328x y -≥．那么，xy =__________．9．已知MN是边长为ABC ∆的外接圆的一条动弦，4MN =，P 为ABC ∆的边上动点，则MP PN ⋅的最大值为__________．10．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为__________．二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC ∆得三边长,,a b c （a b c ≤≤）均为整数，且满足：（1）,,a b c 构成等比数列；（2）,,a b c 中至少有一个等于100．求符合要求的三元数组(),,a b c 的个数．12．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：（1）42a b a -≤<-；（2）当1x ≤时，()1f x ≤．证明：当2x ≤时，()54f x ≥-． 13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1013f =，且对任意实数,x y ，恒有()()()()f x f y f x y f x y =++-，若数列{}n a 满足()()31n a f n f n =--，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()22438nn n a b a =-，*n N ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n S <．答案详解一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分） 1．已知函数()f x 满足：()21=f ，()()()x f x f x f -+=+111对定义域内任意x 都成立．那么()2016f =__________．【解析】由于(),21=f ，则()()()314,213,32=-=-=f f f ，又()()()x f x f x f -+=+111，则()()()()x f x f x f x f 111112-=+-++=+，所以()()()x f x f x f =+-=+214，因此，函数()x f 是周期为4的周期函数，因而()()()4445032016f f f =+⨯=31=． 2．不等式213328x x +-+≥的解集为__________．【解析】当12<<-x 时，()()31212=--+=-++x x x x ，且()xx x x x g -+-++=+=12123333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-x x 33391在(]1,2--上是减函数，在[)1,1-上是增函数 ()()()2812==-<g g x g当1≥x 时，()12-++=x x x f 是增函数，所以当1≥x 时，()1233-++=x x x g 是增函数，且()()2813312=≥+=-+g x g x x当2-≤x 时，()12-++=x x x f 是减函数，所以当2-≤x 时，()1233-++=x x x g 是减函数，且()()2823312=-≥+=-+g x g x x所以不等式213328x x +-+≥的解集为(][)+∞-∞-,12,3．从五个正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和，得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则a b c d e ++++=__________．【解析】从正整数,,,,a b c d e 中任取四个求和总和为()e d c b a ++++4，得到的和值构成5个数，如果得到的和值构成集合{}44,45,46,47，则44,45,46,47的四个数之中必有一个数是相同的，假设相同的数是x ，则()x e d c b a ++++=++++474645444x +=182x ++⨯=2445，所以，x +2能够被4整除，又{}47,46,45,44∈x ，那么46=x ， ()22846474645444=++++=++++e d c b a ，则57=++++e d c b a4．求值：π3π5π7πcos cos cos cos 9999+++=__________．【解析】97cos95cos93cos9cos ππππ+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=9sin 97cos 29sin 95cos 29sin 93cos29sin 9cos 29sin 21πππππππππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+=96sin 98sin 94sin 96sin 92sin 94sin 92sin9sin 21ππππππππ 2198sin 9sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ 5．ABC ∆中，角,,A B C 的边长分别为,,a b c ，D 是BC 的中点，若4a =，AD c b =-，则ABC ∆的面积的最大值为__________．【解析】如图，由于D 是BC 的中点，由三角形中线性质得：2222224c b BC AD +=+，即()22222244c b b c +=+-，bc bc c b 28422≥-=+，于是4≥bc ，在ABC ∆中，由余弦定理得bca cb A 2cos 222-+=bc bc bc c b 224421622-=-+=bc 122-= 222144483sin c b bc A -+-=，设ABC ∆的面积为S , 则()14448341sin 41222222-+-==bc c b A c b S ()284312--=bc ()128431222≤--=bc S ，34≤S ，当8=bc 时等号成立，6．如果存在实数a ，使得关于x 的不等式12cos cos >+x b x a 无实数解，则实数b 的最大值为__________．【解析】使得关于x 的不等式cos cos 21a b x +>无实数解，即存在实数a 使得关于x 的不等式12cos cos ≤+x b x a 有全体实数解，即关于x 的不等式12cos cos ≤+x b x a 的解为全体实数，根据二倍角公式，01cos cos 22≤--+b x a x b ，换元得：t x =cos ，11≤≤-t当11≤≤-t 时，不等式0122≤--+b at bt 恒成立，令()11,0122≤≤-≤--+=t b at bt t f ，则只要⎩⎨⎧≤---≤--+.012,012b a b b a b 即⎩⎨⎧≥+-≤-+.01,01b a b a 时不等式恒成立建立关于aOb 的直角坐标系，满足不等式组的点集如图所示，由图可知，b 的最大值为17．已知质数,p q 满足5221q p -=，则p q +=__________．【解析】根据115432--=++++q q q q q q 1，得()()1115234-=++++-q q q q q q由1225=-p q 得，2521p q =-，即()()2234211p q q q q q =++++-，因为q p ,都是质数，1234++++q q q q 是奇数，2p 是奇数，则当21=-q 时3=q ，由25213p =-可得11=p ，所以14=+q p ；A BCD b c当p q 21=-则p q q q q =++++1234，122222234-=++++q q q q q ，得 03222234=++++q q q q 矛盾，同理221p q =-也不成立，所以14=+q p8．已知实数,x y 满足：23151222xy --+=，13x y+≤，8328x y -≥．那么，xy =__________．【解析】由2122132=+--yx5，得2513213222221yx y x -++---⨯≥+=5所以0753≤-+y x ，8328≥-y x ，353222+≥y x ，所以0556≥--y x ，又2122132=+--y x 5x 322-≥,1≥x ， 2122132=+--yx5y 5-≥12，52≥y 联立得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥--≤-+52,1,31,0556,0753y x y x y x y x 画出满足上面不等式组图象如下，故只有点⎪⎭⎫⎝⎛53,34A 满足条件，所以54=xy9．已知MN 是边长为ABC ∆的外接圆的一条动弦，4MN =，P 为ABC ∆的边上动点，则MP PN ⋅的最大值为__________．【解析】如图，设Q 是线段MN 的中点，由平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和得： ()2222442+=+PQ PN PM82222+=+PQ PN PM 由=+，得2222=⋅++， 4442≤-=-=⋅，0=时，即点P 与Q 重合时，⋅取得最大值4．10．设[]a 表示不大于a 的最大整数，则方程178x x ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最大正整数解为__________．BACMNPQ【解析】设1187≥=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x x ，则r m x +=7，70<≤r ，18-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡m x ，所以m xm <≤-81，m x m 888<≤-，所以，m r m m 8788<+≤- r m r +≤<8，70<≤r ，151<≤m当71≤≤m 时，解为r m x +=7，1,,2,1,0-=m r 当148≤≤m 时，解为r m x +=7，6,,7,8 --=m m r 当14=m ，68=-=m r 成立，所以1046147=+⨯=x ．二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11．已知ABC ∆得三边长,,a b c （a b c ≤≤）均为整数，且满足：（1）,,a b c 构成等比数列；（2）,,a b c 中至少有一个等于100．求符合要求的三元数组(),,a b c 的个数．12．已知二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：（1）42a b a -≤<-；（2）当1x ≤时，()1f x ≤．证明：当2x ≤时，()54f x ≥-． 13．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()1013f =，且对任意实数,x y ，恒有()()()()f x f y f x y f x y =++-，若数列{}n a 满足()()31n a f n f n =--，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()22438nn n a b a =-，*n N ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1n S <．。

2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案

2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒ ＝ 5 ．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解（1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22a b +的最小值．解设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩ 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<；（2）1124n a n>-．解（1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-=>--，所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分（2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=，所以11112122(21)24n n a n n n >=->-++. ------------------------------------------20分。

三角换元技巧与竞赛最值问题

三角换元技巧与竞赛最值问题于志洪【期刊名称】《中学数学教学》【年(卷),期】2018(000)002【总页数】3页(P62-64)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州市海陵区森南新村15栋103室 225300【正文语种】中文本文以部分高中数学竞赛题为例，介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用，供高中师生教与学时参考.例1 (2016年河北省高中数学竞赛高二年级组第7题)已知实数x、y满足x2+y2+xy=3，求x2+y2的最大值和最小值.解设x2+y2=z(z>0)，令代人x2+y2+xy=3，得z+zsinθcosθ=3，即•zsin2θ=3,得因为θ∈[0，2π)，所以-1≤sin2θ≤1，不等式两边同时加上2，得1≤2+sin2θ≤3，所以故x2+y2的最大值是6，最小值是2.评注这是一道二元最值问题，借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元，结合正弦函数的有界性求得结果.真可谓匠心独具，别有洞天.例2 (2016年全国高中数学联赛福建赛区预选赛高一试题)已知实数x、y满足x2+y2-6x+4y+4=0，记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M，最小值为m，计算M+m.解由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2，设则代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.由于u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根，故由韦达定理可求得M+m=72.还可求得Mm=144.评注上述解法从已知条件入手，先将题设式进行配方，结合三角换元，将条件三角化后代入目标函数，从而沟通了题设与结论的关系，实现了将代数最值问题化归为三解函数最值问题来处理，最后根据韦达定理，巧妙求得最大值和最小值之和.上述解法，不仅减少了计算量，而且丰富了学生的解题思路，提高了解题速度，其构思巧妙精彩，今人耳目一新.例3 (2016年土库曼斯坦数学奥林匹克试题)求的最大值和最小值.解因为故令则这里其中当时，取最大值当a=0时，取最小值评注三角换元的目的是去根号.本题中，巧妙使用特定的三角换元一举消除了两个根号，其解法简捷流畅，令人赞叹!例4 (2015年高中数学联赛四川初赛试题)已知函数的最小值为M，最小值为m，则的值( )解将题设变形，所以可设也就是其中从而因为所以由正函数的图象可知所以故选(D).评注本题为一道求无理函数量大值和最小值的竞赛题，用常规方法求解较难，然而根据题设，经过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系，从而便于利用三角换元，将无理函数的最值问题转化为三角函数的化简求最值问题，其构思巧妙，方法新颖，令人赞叹不已.例5 (2013年江西省高中数学竞赛第6题)求函数的最大值和最小值.解1 由待求函数可设所以两边平方后，得3x-6=y2cos4θ①,3-x=y2sin4θ②,②×3得9-3x=3y2sin4θ③，因此①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3，所以而因而故所以1≤y2≤4，而f(x)=ycos2θ +ysin2θ=y，因此函数f(x)的最大值为2，最小值为1. 解2 因为3x-6≥0,3-x≥0，所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2，从而知f(x)的最大值为2，最小值为1.评注本题解题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数来求解最值.解法简洁明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用.例6 (2013年全国高中数学联赛江苏省预赛试题)若实数a、b、c满足a2+b2≤c≤1，求a+b+c的最大值和最小值解设则由可知因为那么当且仅当时，等号成立.因此a+b+c的最大值为最小值为评注此题设计精巧，可以从多角度研究，思维分析切口较宽，解法也较多.然而，根据题中条件的结构特征，利用三角换元思想解题可谓别具一格.例7 (2013年全国高中数学联赛题)若实数x、y满足求x的最大值和最小值.解由条件得知x≥0，又所以可令则条件变为①(i)当x=0时，①成立.(ii)x>0时，①式可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时，取得最大值此时x取得最大值20；当时，取得最小值2，此时x取得最小值4.综上可知，x的最大值是20，x的最小值是4.评论本题含有两个根式，直接进行代数变形相当困难.然而注意到很自然想到利用三角换元法，不仅降低了解题难度而且简捷明快.例8 (2011年第60届捷克和斯洛伐克数学奥林匹克决赛试题)若实数x、y、z满足：x+y+z=12,x2+y2+z2=54，分别求xy、yz、zx的最大值和最小值.解设代人x+y+z=12，得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又从而有9≤xy≤25，同理9≤yz≤25，9≤zx≤25.即xy、yz、zx的最大值均为25，最小值均为9.评注本题构思巧，方法妙，由于智用了三角换元，从而提高了解题效率，降低了题目的难度.综上所述可知：上述例1、例2、例4、5的解1及例6、和例8都是利用两个变量.(sinθ,cosθ)或(sin2θ,cos2θ)来换元的，而例3和例5解2则是利用一个变量来换元的.他们的共同优点可将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示，这样就便于我们运用熟知的三角公式进行化简，利于迅速求得其解. 上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目，考题结构简洁，原生形态，看似平常，实乃新奇，构思精巧，意境高远，有着良好的考查检测工能与较强的命题导向功效，很值得我们一同来鉴赏与探寻.这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的某个三角函数来表示，从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简，直至问题的解决，这种代换思想符合新课程改革的理念精神，利于学生融会贯通课本知识，利于激发学生学习的积极性，利于发展学生的数学才能，利于拓宽学生视野、启迪思维，利于提高教学质量，利于提高学生分析问题和解决实际问题的能力.故笔者认为：在今后的教学过程中，教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析，要发展学生的认识力，培养学生的创造力，这对学生的全面发展将大有益处.附练习题(1)实数x、y满足4x2-5xy+3y2=5，则的最大值和最小值之和为多少？(2016年全国数学联赛河南赛区预选赛高一试题)答案：(2)实数x、y满足x2+y2+xy=3求x2+y2的最大值和最小值.(2016年全国数学联赛河北赛区预选赛高二试题)答案：最大值为6，最小值为2.(3)设实数x、y满足x2-4x+y2+3=0，则x2+y2的最大值与最小值之差是______.(2013年全国数学联赛江苏赛区复赛试题)答案：8.(4)已知正实数a、b满足a2+b2=1且a3+b3+1=m(a+b+1)3求m的最大值和最小值.(2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)答案：m的最大值为最小值为参考文献1 于志洪.应用三角换元法解高考最值问题[J].数学通讯(下半月)，2014(1)2 于志洪.应用三角换元法解竞赛最值问题[J].数学通讯(上半月)，2015(4)3 于志洪.代换法求最值十二曲[J].中学生理科应试.2013(4)。

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题

湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）姓名：班级：分数：一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135x x +-=的实数解为．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则A B＝ .4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是，最小值是． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为． 8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．9．在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B D ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为．10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是．二、解答题（本题满分80分，每小题20分） 11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14xC y +=上的三点．若（第7题）3455O M O A O B =+ ，证明：线段A B 的中点在椭圆22212x y +=上．12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形A B C D E 中，A D 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于C E 的直线，与直线A C 、D C 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形B F C G 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x=2，x =log 32．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ．3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅= ，12AB BC ⋅=- ，则A B＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB⋅-⋅==，得4AB =．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13．（第7题）9．在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B D ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是．提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n ax a x ++=++()3211nn n a x x aa x =+++恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以122a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分） 11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14xC y +=上的三点．若3455O M O A O B =+ ，证明：线段A B 的中点在椭圆22212x y +=上．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1．由3455O M O A O B =+ ，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)．因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(351＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m =3时等式成立，即－1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 . 故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13．如图，圆内接五边形A B C D E 中，A D 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于C E 的直线，与直线A C 、D C 分别交于点F 、G ．证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形B F C G 是矩形．ABC DEFH证明：(1) 由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，∴∠BAF=∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得∠BHA=∠BFA，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900, ∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14．求所有正整数x，y，使得23y x+都是完全平方数．+与23x y解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y =1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y =2x+1，由此可知y是奇数，设y =2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分。

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高一预赛试卷及答案

2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准（高一年级）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题（本大题共10小题，每小题9分，共90分．）1．已知数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为 1209 ．2．已知b a ,是常数，函数3)1ln()(23++++=x x b ax x f 在)0,(-∞上的最大值为10,则)(x f 在),0(+∞上的最小值为－4 ．3．若对于任意实数x ，a x a x 2|1|||≤+-+恒成立，则实数a 的最小值为31．4．设∈-==n n b a n nn (15,2N *)，},,,{},,,{201521201521a b b b a a a S =，则集合S 中的元素的个数为 504 ．5．△ABC 中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,．若C a c a sin =-，则2sin 2sin BC A +-的值为 1 ．6．设多项式)(x f 满足322)1()(2++-=++x x x f x f ，则=+++)9()2()1(f f f －186 ． 7．已知点P 在Rt △ABC 所在平面内，︒=∠90BAC ，CAP ∠为锐角，2||=AP ，2=⋅AC AP ，1=⋅AB AP ．当||AP AC AB ++取得最小值时，27tan =∠CAP ．8． ︒+︒10sin 110sin 82的值为 6 ．9．函数638)(++-=x x x f 的最小值为10．10．使得21+p 和212+p 都是完全平方数的最大质数p 为 7 ．二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分．） 11．定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足：①1)2(=f ；②当1>x 时，0)(>x f ；③)()()(y f x f yxf -=．（1）试判断函数)(x f 的单调性；（2）若2)3()(≤-+t f t f ，试求t 的取值范围．解（1）设210x x <<，则112>x x ，故0)(12>x xf ，即0)()(12>-x f x f ，所以21()()f x f x >，故)(x f 在),0(+∞上是单调增函数． ………………………………………（5分）（2）因为)2()4()24()2(f f f f -==，所以2)2(2)4(==f f ，从而)4()3()(f t f t f ≤-+． ………………………………………（10分）即)34()(-≤t f t f ，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>->.34,03,0t t t t ………………………………………（15分）解得 43≤<t ．故t 的取值范围是]4,3(． ………………………………………（20分）12．已知正实数c b a ,,满足222c b a =+，求)1)(1(b c a c ++的最小值．解设ααcos ,sin ⋅=⋅=c b c a ，)2,0(πα∈，则ααααααcos sin 1cos sin 1)sin 11)(cos 11()1)(1(+++=++=++=b c a c u ． …………………（5分）令ααcos sin +=x ，则)4sin(2πα+=x ，21≤<x ． …………………（10分）又21cos sin 2-=x αα，所以12121112-+=-++=x x x u ． ………………………………（15分）当2=x 时，u ＝)1)(1(b ca c ++取得最小值2231221+=-+．…………………（20分） 13．设n T 是数列}{n a 的前n 项之积，满足*1,N n n T a n =-∈．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设22221n n T T T S +++= ，求证：312111-<<-++n n n a S a ．解（1）易知2111==a T ，1,0≠≠n n a T ，且由n n n n a T a T -=-=++1,111，得n n n n n a a T T a --==+++11111，即n n n a a a -=-++11111，即111111=---+n n a a ． ……………（5分）所以112111111111+=-+-=-+-=-n n n a a n ，故1111+=+-=n nn a n ． ………………………………………（10分）（2）由（1）得1121+==n a a a T n n ．一方面，222)1(13121++++=n S n 212121)2)(1(14313211-=+-=++++⋅+⋅>+n a n n n ；……………（15分）另一方面，41)1(141314121222-+++-+-<n S n 32132)23)(21(12725125231+-=++++⋅+⋅=n n n ．又3131212132321321-=-++=+-<+-+n a n n n n ．所以 312111-<<-++n n n a S a ． ………………………………………（20分）。