全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
全国高二数学 联合竞赛预赛试题（湖北省）新人教版说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-，22(1)QB x y =-，所以11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==⋅22222222|1|||)|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m m m m m m m m +⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1mmm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。
2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版
2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ．6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩ 因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212nn n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑13[11]111n n n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点.（1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l上，所以133k b -=+，故11)3b =-+. 联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kb x x k +=-+，21222421b x x k -=+，212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-u u u r ，22(1)QB x y =-u u u r，所以11221212(1)(1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =--=+--u u u r u u u r g g12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k bk k k k --=--++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0， 所以QA QB ⊥u u u r u u u r ，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B 两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立.因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB 的面积为3S =.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA 的方程为(1y m x =+，代入椭圆C的方程，消去y ，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221()1||||122()1mmQBmm-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB的面积为11||||22S QA QB==g224(1)4(1)m m=⋅+=⋅+222221||1142()1m mm mmm-+++=⋅++.令22212cos,sin11m mm mθθ-==++，则21|sin|2412sin4Sθθθ+=⋅+.注意到13|sin||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=. ------------------------------------------20分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)加试参考答案与评分标准(A卷)(2)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2020年全国高中数学联赛(湖北)赛区预赛试卷(高二)
2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数741)(2+++=x x x x f 的值域为________________． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα_______________．3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a ．4．设集合}12,,3,2,1{ =S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C 的离心率为_______________．6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp的值为_______________． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p 为_______________．8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2k k k +=+=∑ ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9．已知正项数列}{n a 满足21211143n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++=+且11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围．11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
湖北省全国高二数学联合竞赛预赛试题(湖北省)
（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
填空题只设 8 分和 0 分两档；解答题的评阅，只需思路合理、步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适合区分品位评分。
一、填空题（此题满分64 分，每题8 分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数 f ( x) x 1 的值域为 ________________ ．x 2 4x 72 ．已知 3sin 2 2 sin 2 1 ，3(sin cos ) 2 2(sin cos )2 1 ，则cos2( ) _______________ ．3．已知数列 { a n } 知足： a1为正整数，a n 1 a n, a n 为偶数 ,假如 a1 a 2 a 3 29 ，则21, a n为奇数 ,3a na1 ．4．设会合 S {1,2,3, ,12} ， A { a1 , a 2 , a3 } 是 S 的子集，且知足 a1 a 2 a 3， a3 a2 5 ，那么知足条件的子集 A 的个数为．5．过原点 O 的直线 l 与椭圆 C ：x2 y2 1(a b 0)交于 M,N 两点，P是椭圆 C 上异a 2 b2于 M , N 的任一点．若直线 PM , PN 的斜率之积为1，则椭圆 C 的离心率为 _______________．36．在△ ABC 中， AB BC 2， AC 3 ．设 O 是△ ABC 的心里，若AO p AB qAC ，则p的值为_______________． q7．在长方体 ABCD A1 B1C1 D1中，已知AC 1, B1C 2, AB1 p ，则长方体的体积最大时，p 为 _______________ ．2012 2012 2k．8．设 [ x] 表示不超出x的最大整数，则[ ]k 0 2k 1二、解答题（本大题满分56 分，第 9 题 16 分，第10题 20分，第 11题 20分）9 ．已知正项数列{ a n } 知足anan 1anan 24 anan 1 a n2 13 a n a n 1且a1 1 ，a2 8 ，求{ a n}的通项公式．10．已知正实数a, b 知足 a 2b2 1 ，且a3 b 3 1 m(a b 1)3，求 m 的取值范围．11．已知点 E(m, n) 为抛物线y2 2 px( p 0) 内必定点，过 E 作斜率分别为k1, k2的两条直线交抛物线于A, B,C, D ，且 M , N 分别是线段 AB,CD 的中点．（ 1）当n 0 且 k1 k2 1 时，求△ EMN 的面积的最小值；（ 2）若k1 k2 （0, 为常数），证明：直线 MN 过定点．2012 年全国高中数学结合比赛湖北省初赛试题参照答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依照本评分标准。
2020年全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教
2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=u u u r u u u r u u u r u u u r，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2．2．已知数列{}n a 满足：*1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=L4022 ．3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．4．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．5．设z 是模为2的复数，则1||z z-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3|23||1||23|2x y y y x a -++-+--≤恒成立，则实数a 的最小值为232．7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||2x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =.------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++.------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分10．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有（1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）.所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111nn n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分（2）显然111113424a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以211111k k a a k +->+，------------------------------------------15分所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n>=->-++.------------------------------------------20分11．已知椭圆C ：22142x y +=，过点P 1)33-而不过点Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，所以133k b -=+，故11)3b =-+.联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得222(21)4240k x kbx b +++-=.设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kbx x k +=-+，21222421b x x k -=+， 212122242()222121k b by y k x x b b k k +=++=-+=++，222221212121222244()()()()2121b kby y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++222421b k k -=+------------------------------------------6分因为11(1)QA x y =-u u u r，22(1)QB x y =-u u u r，所以11221212(1)(1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =--=+--u u u r u u u r g g12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++222222224442()2121212121b kb b k b k k k k --=-++-+++++2221[3221)1]21b k b k =++--+222112[1)21)1]2133k k =++-+--+ ＝0，所以QA QB ⊥u u u r u u u r，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.如果直线l 的斜率不存在，则A 、B两点的坐标为33±，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB＝90°.------------------------------------------12分（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB的面积为3S =<.如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，消去y，得222(21)41)1)40m x m x +--+--=，则||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得221|()1|||||122()1m m QB m m-+==+-+.--------------------------16分于是，△QAB 的面积为11||||22S QA QB ==g224(1)4(1)m m =⋅+=⋅+222221||1142()1m mm m m m -+++=⋅++. 令22212cos ,sin 11m m m m θθ-==++，则21|sin |2412sin 4S θθθ+=⋅+.注意到13sin ||sin()|22θθθϕ+=+≤=，212sin 24θ+≥，且等号不能同时取得，所以32432S<⋅=.------------------------------------------20分。
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题及答案(高二)
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 2．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 3．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n nn a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．4．设集合}12,,3,2,1{Λ=S ，},,{321a a a A =是S 的子集，且满足321a a a <<，523≤-a a ，那么满足条件的子集A 的个数为 185 ．5．过原点O 的直线l 与椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 交于N M ,两点，P 是椭圆C 上异于N M ,的任一点．若直线PN PM ,的斜率之积为31-，则椭圆C6．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp的值为32． 7．在长方体1111D C B A ABCD -中，已知p AB C B AC ===11,2,1，则长方体的体积最大时，p为． 8．设][x 表示不超过x 的最大整数，则2012120122[]2kk k +=+=∑ 2012 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ， 所以11)=． ------------------------------------------4分 令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以n n n b b 4411=⋅=-. ------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分 于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a Λ ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的取值范围． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21sin cos 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分 因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．又2423)2(,41)1(-==f f ，所以)41,2423[-∈m ． --------------------------------------20分11．已知点),(n m E 为抛物线)0(22>=p px y 内一定点，过E 作斜率分别为21,k k 的两条直线交抛物线于D C B A ,,,，且N M ,分别是线段CD AB ,的中点．（1）当0=n 且121-=⋅k k 时，求△EMN 的面积的最小值； （2）若λ=+21k k （λλ,0≠为常数），证明：直线MN 过定点．解 AB 所在直线的方程为m n y t x +-=)(1，其中111k t =，代入px y 22=中，得2112220y pt y pt n pm -+-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有1212pt y y =+，从而1211211(2)2(22)2x x t y y n m t pt n m +=+-+=-+．则2111(,)M pt nt m pt -+．CD 所在直线的方程为m n y t x +-=)(2，其中221k t =，同理可得2222(,)N pt nt m pt -+． ------------------------------------------5分（1）当0=n 时，(,0)E m ，211(,)M pt m pt +，222(,)N pt m pt +，2111||||t pt EM +=，2221||||t pt EN +=．又121-=⋅k k ，故121-=⋅t t ，于是△EMN 的面积221211||||||222p S EM EN p t t =⋅==222p p ≥=， 当且仅当1||||21==t t 时等号成立．所以，△EMN 的面积的最小值为2p . ------------------------------------------10分 （2）p nt t t t n t t p t t p k MN -+=----=)(1)()()(2121222121，MN 所在直线的方程为]([)(1121211m nt pt x pn t t pt y +--⋅-+=-，即m x t pt pnt t y -=--+2121)(． ------------------------------------------15分又λ=+=+212111t t k k ，即λ2121t t t t +=，代入上式，得1212()t t n y t t p x m p λ++--⋅=-， 即 m pnyx p y t t -+=-+))((21λ．当0=-λp y 时，有0=-+m p ny x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==λλn m x p y 为方程的一组解，所以直线MN 恒过定点),(λλpn m -． -------------------------------。
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。
请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈==)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 ． 2．已知函数46)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b ． 3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 ．4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，223=BK ，则△ABC 的面积为 ． 5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则=100S ．6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==b a ，6π=∠AOB ，b y a x OP +=，则=-y x ．7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤≤x x f x 对一切实数x 都成立．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．10．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*N n ∈，有6712<∑=nk k a ．11．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）1． 15 ． 2． 5 ．3． 3 ．4．16715．5． 89 ．6． -2 ．7． 12 ．8． 26 ．9． 解：（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22122+=x x ，解得2=x ，由题意可得2221)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ② 由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以41=a ，从而142=-=a c ． 所以函数)(x f 的解析式为 141)(2++=x x x f ．…8分 （2）由)2()(x f t x f <+得122411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x x t x t x ，故 0)382)(2(<+++t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾． …12分 当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 2382-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-121382t t ，解得2125-<<-t ．综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,25． 16分 10．解： （1）由已知，对2≥n 有 11)1()1(11---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )1(1)1(111---=+n n a n na n n ，即)111()1(111nn a n na n n ---=--+， 5分 于是，)111(111)1(1112121---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以 123)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ， 2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,231N n n a n ∈-=． ……………………10分（2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=k k k k k a k ,……15分 所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a nk k n k k.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.67121<=a 故对一切*N n ∈，有6712<∑=n k k a ． ……………………20分11．设313116234++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．解： )10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……5分 下证没有其它整数x 满足要求．（1） 当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(222>++=+-x x x x P ，∴22)3(x x P +>，∴2222)13()3(++<<+x x P x x ．Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．…10分（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2，则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分。
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．已知集合∈>=≤=b a b x x B a x x A ,},|{},|{N ，且 B A N }1{=，则=+b a 1 ．2．已知正项等比数列}{n a 的公比1≠q ，且542,,a a a 成等差数列，则=++++963741a a a a aa ． 3．函数741)(2+++=x x x x f的值域为． 4．已知1sin 2sin 322=+βα，1)cos (sin 2)cos (sin 322=+-+ββαα，则=+)(2cos βα13-． 5．已知数列}{n a 满足：1a 为正整数，⎪⎩⎪⎨⎧+=+,,13,,21为奇数为偶数n n n n n a a a a a 如果29321=++a a a ，则=1a 5 ．6．在△ABC 中，角C B A ,,的对边长c b a ,,满足b c a 2=+，且A C 2=，则=Asin 4． 7．在△ABC 中，2==BC AB ，3=AC ．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp 的值为32． 8．设321,,x x x 是方程013=+-x x 的三个根，则535251x x x ++的值为 －5 ． 二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知正项数列}{n a满足=11a =，28a =，求}{n a 的通项公式．解 在已知等式两边同时除以1+n n a a ，得3141112++=++++nn n n a aa a ， 所以11)=． ------------------------------------------4分 令111++=+nn n a a b ,则n n b b b 4,411==+，即数列}{n b 是以1b ＝4为首项,4为公比的等比数列，所以n n n b b 4411=⋅=-. ------------------------------------------8分所以n nn a a 4111=+++,即 n n n a a ]1)14[(21--=+. ------------------------------------------12分 于是，当1>n 时,22221121]1)14[(]1)14[(]1)14[(-------⋅--=--=n n n n n n a a a∏∏-=--=---=--==112111121]1)14[(]1)14[(n k k n k k a ，因此,⎪⎩⎪⎨⎧≥--==∏-=-.2,]1)14[(,1,11121n n a n k k n ------------------------------------------16分10．已知正实数b a ,满足122=+b a ，且333)1(1++=++b a m b a ，求m 的最小值． 解 令cos ,sin a b θθ==，02πθ<<，则322333)1sin (cos 1)sin sin cos )(cos sin (cos )1sin (cos 1sin cos ++++-+=++++=θθθθθθθθθθθθm ．----------------------------------------5分令 θθsin cos +=x ，则 ]2,1()4sin(2∈+=πθx ，且21s i n c o s 2-=x θθ．------------------------------10分于是21)1(23)1(22)1(22)1(232)1(1)211(223332-+=+-=+-+=+-+=++--=x x x x x x x x x x x x m ． ------------------------------15分因为函数21)1(23)(-+=x x f 在]2,1(上单调递减，所以)1()2(f m f <≤．因此，m 的最小值为2423)2(-=f ． ------------------------------------------20分11．设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=，其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立，求a 的取值范围．解 22225()l o g (56)l o g [()]24a aa a f x x ax a x =-+=--．由⎩⎨⎧>->-,03,02a x a x 得a x 3>，由题意知a a 33>+，故23<a ，从而53(3)(2)022a a a +-=->，故函数225()()24a a g x x =--在区间]4,3[++a a 上单调递增.------------------------------------------5分（1）若10<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递减，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)992(log )3(2+-=+a a a f a ．在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)992(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≥+-9922，解得275+≥a 或275-≤a ． 结合10<<a 得10<<a ． ------------------------------------------10分（2）若231<<a ，则)(x f 在区间]4,3[++a a 上单调递增，所以)(x f 在区间]4,3[++a a 上的最大值为)16122(log )4(2+-=+a a a f a .在区间]4,3[++a a 上不等式1)(≤x f 恒成立，等价于不等式1)16122(log 2≤+-a a a 成立，从而a a a ≤+-161222，即0161322≤+-a a ，解得4411344113+≤≤-a ． 易知2344113>-，所以不符合． ------------------------------------------15分综上可知：a 的取值范围为(0,1)． ------------------------------------------20分。
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全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。
请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤准确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）
1．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈=
=)34,3(,21|sin |ππx x x E ，则E 的真子集的个数为 ． 2．已知函数4
6)(2++=x b x x f 的最大值为49，则实数=b ． 3．若1|lg |<ϕ，则使函数)cos()sin()(ϕϕ-+-=x x x f 为奇函数的ϕ的个数为 ．
4．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，2
23=
BK ，则△ABC 的面积为 ． 5．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 的前n 项和为n S ，则
=100S ．
6．已知=，=，过O 作直线AB 的垂线，垂足为P ．若3||,3||==b a ，6π
=∠AOB ，
b y a x OP +=，则=-y x ．
7．已知实数z y x ,,满足32=xyz ，4=++z y x ，则||||||z y x ++的最小值为 ．
8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象经过点)0,2(-，且不等式221)(22+≤
≤x x f x 对一切实数x 都成立．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）若对一切]1,1[-∈x ，不等式)2
()(x f t x f <+恒成立，求实数t 的取值范围．
10．已知数列}{n a 中，41,121==a a ，且),4,3,2()1(1 =--=+n a n a n a n n n ．
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：对一切*N n ∈，有
6
712<∑=n
k k a ．
11．设3131162
34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．
全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
1． 15 ． 2． 5 ．3． 3 ．4．167
15．
5． 89 ．6． -2 ．7． 12 ．8． 26 ．
9． 解：（1）由题设知，024=+-c b a ． ① 令22
122+=x x ，解得2=x ，由题意可得222
1)2(222+⨯≤≤⨯f ，即4)2(4≤≤f ，所以4)2(=f ，即424=++c b a ． ② 由①、②可得1,42=-=b a c ． ……………………4分
又x x f 2)(≥恒成立，即0)2(2≥+-+c x b ax 恒成立，所以0>a ，且04)2(2
≤--=∆ac b ，即0)42(4)21(2≤---a a ，所以4
1=
a ，从而142=-=a c ． 所以函数)(x f 的解析式为 141)(2++=x x x f ．…8分 （2）由)2()(x f t x f <+得12
2411)()(4122++⎪⎭⎫ ⎝⎛<++++x x t x t x ，故 0)382)(2(<+++t x t x ． 当3822+-<-t t 即2>t 时，3
822+-<<-t x t ，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩
⎪⎨⎧>+--<-138212t t ，此不等式组无解．当3822+-=-t t 即2=t 时，0)2(2<+t x ，矛盾． …12分 当3822+->-t t 即2<t 时，t x t 23
82-<<+-，此不等式对一切]1,1[-∈x 都成立的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-1
21382t t ，解得2125-<<-t ．综合可知，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,25． 16分 10．解： （1）由已知，对2≥n 有 1
1)1()1(1
1---=--=+n a n n a n a n a n n n n ， 两边同除以n ，得 )1(1)1(111---=+n n a n na n n ，即)111()1(111n
n a n na n n ---=--+， 5分 于是，)111(111)1(11121
21---=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑-=-=+n k k a k ka n k n k k k ， 即 2),111(1)1(12≥---=--n n a a n n ，所以 1
23)111(1)1(12--=---=-n n n a a n n ， 2,231≥-=n n a n ．又1=n 时也成立，故*,2
31N n n a n ∈-=． ……………………10分
（2）当2≥k ，有)131431(31)13)(43(1)23(122---=--<-=
k k k k k a k ,……15分 所以2≥n 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++-+-+<+=∑∑==)131431()8151()5121(31112212n n a a n
k k n k k
.6761113121311=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=n 又1=n 时，.6
7121<=a 故对一切*N n ∈，有
6712<∑=n k k a ． ……………………20分
11．设3131162
34++++=x x x x P ，求使P 为完全平方数的整数x 的值．
解： )10(3)13(22--++=x x x P ．所以，当10=x 时，2131=P 是完全平方数． ……5分 下证没有其它整数x 满足要求．
（1） 当10>x 时，有22)13(++<x x P ，又03132)3(2
22>++=+-x x x x P ，
∴22)3(x x P +>，∴2222)13()3(++<<+x x P x x ．Z x ∈，所以此时P 不是完全平方数．…10分
（2）当10<x 时，有22)13(++>x x P ．令Z y y P ∈=,2，
则|13|||2++>x x y ，即|13|1||2++≥-x x y ，所以 222)13(1||2++≥+-x x y y ， 即01|13|2)10(32≥+++---x x x ．解此不等式，得x 的整数值为6,5,4,3,0,1,2----±±，但它们对应的P 均不是完全平方数．
综上所述，使P 为完全平方数的整数x 的值为10. ……………………20分。