31从算式到方程

人教版义务教育教科书◎数学七年级上册3.1 从算式到方程内容简介本节先通过一个具体行程问题。

引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排的目的在于，突出方程的根本特征．引出方程的定义，并使学生认识到从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步．教学目标1．经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步．2．经历估算求解方程的解的过程，培养估算能力，了解方程解的概念；3．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法；4．能结合具体例子认识一元一次方程的定义，体会设未知数、列方程的过程，会用方程表示简单实际问题的相等关系；5．能利用等式的性质求解简单的一元一次方程，了解方程求解的过程；6．会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题，增强数学的应用意识，激发学习数学的热情．教学重点本节重点是对建立方程模型思想的渗透，对一元一次方程及其概念的认识，了解等式的两条性质，并利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．方程是应用广泛的数学工具，在初中数学课程中占重要地位，小学对方程有一定的感性认识，本节着重让学生从实际问题中认识到方程的概念引入的必要性，并且能设未知数、列出方程，感受建立方程模型的一般步骤，由于没有整式运算的基础，求解方程不要过多，使学生整体上把握方程建立模型的思想，更好的建立方程的概念．等式的性质是求解方程的重要依据，理解等式的性质才能进一步研究方程的求解．教学难点本节难点是培养由实际问题抽象出方程模型的能力，正确的设未知数，列出方程．虽然小学对方程有一定认识，但本节的问题更贴近实际，背景、数据更复杂，如何抽象出数学需要的数据以及之间的各种关系对七年级的学生有一定的难度．教学时数4课时．1教师备课系统──多媒体教案2第1课时教学内容3.1.1 一元一次方程． 教学目标1．了解什么是方程，什么是一元一次方程．2．体会字母表示数的好处、画示意图有利于分析问题、找相关关系是列方程的重要一步，从算式到方程是数学的一大进步．3．通过用方程解决实际问题，总结用方程解决实际问题的一般步骤． 教学重点一元一次方程概念． 教学难点实际问题的数学化过程． 教学过程一、设计问题 导入新课问题 一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h ，卡车的行驶速度是60 km/h ，客车比卡车早1 h 经过B 地，A 、B 两地间的路程是多少？教师展示问题，让学生充分发表意见，并给予肯定或帮助，对各种解法给予解释． 学生可自由发表意见，或与同伴交流．二、合作探究 定义方程如果设A ，B 两地相距x km ，你能分别列式表示客车和卡车从A 地到B 地的行驶时间吗？匀速运动中，时间＝路程/速度． 根据问题的条件，客车和卡车从A 地到B 地的行驶时间，可以分别表示为70x h 和60xh ． 因为客车比卡车早 1 h 经过B 地，所以70x 比60x小1，即． 60x －70x ＝1． ① 我们已经知道，方程是含有未知数的等式，上面等式中的 x 是未知数，这个等式是一个方程．通过本章的学习，我们将能够从上面的方程解出未知数的值x ＝420，从而求出A 、B 两地间的路程为420 km ．人教版义务教育教科书◎数学七年级上册3教师结合上面的过程，给出方程的定义．列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．这是首次出现方程的定义，这里所说的等式指其中只有一个等号的式子，等号两边分别叫做等式的左边和右边．三、实例分析 归纳总结例 根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）用一根长24 cm 的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用1 700 h ，预计每月再使用150 h ，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h ？（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？ 解：（1）设正方形的边长为x cm ． 列方程4 x ＝24．（2）设 x 月后这台计算机的使用时间达到2 450 h ，那么在 x 月里这台计算机使用了150x h ．列方程1 700＋150x ＝2 450．（3）设这个学校的学生数为x ，那么女生数为0.52x ，男生数为(1－0.52)x ． 列方程0.52x －(1－0.52)x ＝80． 观察所列的几个方程，有什么共同点？上面各方程都只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．说明：该例安排了三个实际问题，让学生设未知数、列出方程．这样安排一方面是要分散列方程这一教学难点，化整为零地培养由实际问题抽象出方程模型的能力．另一方面是由一些具体的方程归纳出一元一次方程的概念．在本节的前面部分，重点是对建立方程模型思想的渗透和对于一元一次方程及其有关概念的认识．解方程还未成为主要内容，通过定义、举例，进一步巩固一元一次方程的概念． 归纳：上面的分析过程可以表示如下：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．四、小结教师备课系统──多媒体教案4 1．本节课学习了方程和一元一次方程．2．还学习了将实际问题转化为数学问题的一般过程．五、课堂练习根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：（1）环行跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？学生练习，教师进行指导．答案：（1）设跑x周，则400x＝3 000．（2）设买甲种铅笔x支，乙种铅笔(20－x)支，则0.3x＋0.6(20－x)＝9．六、作业教科书第83页习题3.1第1、5、6题．第2课时教学内容3.1.1 一元一次方程．(方程的解)教学目标1．深化对方程的理解．2．对例题进行深入分析，通过计算和比较，从特殊到一般，从具体到抽象地引出方程的解的概念．3．根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．教学重点通过具体数值的计算引出方程的解的概念的过程．教学难点由具体、实际问题抽象出方程的解的概念．教学过程一、设计问题导入新课1．我们上节课探讨了方程和一元一次方程的概念，请同学们对这两个概念复述一遍．2．列方程的一般步骤是什么？说明：首先分析实际问题中的数量关系，然后设未知数，最后利用其中的相等关系列出方程．人教版义务教育教科书◎数学七年级上册二、师生探究归纳总结列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数．我们通过分析实际问题中的数量关系，列出了方程，那么，这样才能求方程的解呢？可以发现，当x＝6 时，4x的值就是24，这时方程4x＝24等号左右两边相等．x ＝6叫做方程4 x＝24的解．这就是说，方程4 x＝24中未知数x的值应是6．同样地，当x＝5时，1 700＋150x的值是2450，这时方程1 700＋150 x＝2 450等号左右两边相等．x＝5 叫做方程1 700＋150 x＝2 450的解．这就是说，方程1 700＋150 x＝2 450中未知数x的值应是5．解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．思考x＝1 000和x＝2 000中哪一个是方程0.52 x－(1－0.52)x＝80的解？说明：进行这样的思考可以通过比较辨别加深对方程的解的理解．为逐步过渡到用等式性质讨论方程的解法作准备．教师可引导学生思考探究，必要时可全班进行讨论．答案：x＝2 000是方程0.52 x－(1－0.52)x＝80的解．三、实例分析巩固提高例已知某厂今年平均每月生产机器80台，比去年每月平均生产机器的1.5倍少13台，那么去年平均每月生产机器的台数为( )．A．54.1B．138C.70D．62分析：我们根据前面讲到的列方程的一般步骤，首先分析实际问题中的数量关系，然后设未知数，最后利用其中的相等关系列出方程．设去年平均每月生产机器为x台，依题意，容易想到：一方面该厂今年平均每月生产机器的台数为80台．另一方面，1.5x就是该厂去年每月平均生产机器台数的1.5倍．而(1.5x－13)就是该厂今年平均每月生产机器的台数．这样就得到了相等关系．解：设去年平均每月生产机器为x台，依题意，有1.5x－13＝80．可以发现，当x＝62时，等式成立，这就是说，方程1.5x－13＝80．中未知数x的值应是62．故应选D．例父亲今年38岁，女儿今年14岁，何时父亲的年龄是女儿年龄的7倍？解：设x年后父亲的年龄是女儿年龄的7倍，那时，父亲的年龄是(38＋x)岁，女儿的年龄是(14＋x)岁，依题意列方程38＋x＝7(14＋x)．可以发现，当x＝－10时，等式成立，这就是说，方程5教师备课系统──多媒体教案6 38＋x＝7(14＋x)中未知数x的值应是－10．这就是说，从今年起，－10年后(根据负数在这里的意义，就是10年前)父亲的年龄是女儿年龄的7倍．答：10年前父亲的年龄是女儿年龄的7倍．说明：（1）应用题要根据实际意义进行检验：10年前，父亲28岁，女儿4岁，父亲正好是女儿年龄的7倍．（2）在解题时，千万不要一看到负数(x＝－10)就主观地断定本题无解，而是要认真分析，结合实际情况细加研究：父亲的年龄不会大到是女儿年龄的7倍，这种关系只有在过去才能成立．四、练习教科书第80页练习．说明：此页的练习是为使学生熟悉“分析实际问题的数量关系，设未知数，列出方程”的思考方法，同时也可以巩固和加深对一元一次方程的有关概念的理解．这里重点在于设未知数和列方程，重点在于让学生对方程是解决实际问题的重要工具有所感受，为后面的内容进行铺垫．所以不必急于让学生考虑方程的解．五、作业教科书第83页习题3.1第3、5、6题．第3-4课时教学内容3.1.2等式的性质．教学目标1．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法．2．培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力，同时培养学生积极探究，勇于创新的学习态度．渗透数学来源于实践的观点．教学重点等式的两条性质．教学难点用等式的性质解简单方程．教学过程一、提出问题导入新课人教版义务教育教科书◎数学七年级上册7我们可以直接看出像4x ＝24，x ＋1＝3这样的简单方程的解，但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质．像m ＋n ＝n ＋m ，x ＋2x ＝3x ，3×3＋1＝5×2，3x ＋1＝5y 这样的式子，都是等式．我们可以用a ＝b 表示一般的等式．二、探究发现 归纳总结探究1请看下图，由它你能发现什么规律？说明：借助天平可以加强对等式性质的直观理解．注意图中的两个方向的箭头，它们分别表示在天平两边“加”或“减”．我们可以发现，如果在平衡的天平的两边都加(或减)同样的量，天平还保持平衡． 等式就像平衡的天平．它具有与上面的事实同样的性质． 等式的性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ．探究2请看下图，由它你能发现什么规律？等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；如果a ＝b (c ≠0)，那么c a ＝cb ． 三、实例分析 巩固提高 例 利用等式的性质解下列方程：教师备课系统──多媒体教案8（1）x ＋7＝26； （2）－5x ＝20； （3）－31x －5＝4．分析：要使方程x ＋7＝26转化为x ＝a (常数)的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减去7就得出的值． 另两个方程也可以类似地考虑，如何转化为x ＝a 的形式．解：（1）两边减7，得x ＋7－7＝26－7．于是x ＝19．（2）两边除以－5，得.52055-=--x 于是x ＝－4．（3）两边加5，得－31x －5＋5＝4＋5． 化简，得－31x ＝9． 两边乘－3，得x ＝－27．一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等，例如，将x ＝－27代入方程－31x －5＝4的左边，得－31x ×(－27)－5＝9－5＝4． 方程的左右两边相等,所以x ＝－27是方程－31x －5＝4的解．四、练习教科书第83页练习． 五、作业教科书第83页习题3.1第4、11题．人教版义务教育教科书◎数学七年级上册9。